2025年上海市數(shù)學高考一輪復(fù)習：復(fù)數(shù)（考點練+模擬練）含詳解

專題10復(fù)數(shù)（考點練+模擬練）

01上?？键c練

一、填空題

1.（23-24高三下?上海青浦?階段練習）i為虛數(shù)單位，則=.

2.（23-24高三下?上海?期中）已知復(fù)數(shù)z=3,則zi的值等于.

3.（2024?上海?三模）已知復(fù)數(shù)z=?2+3i）（i為虛數(shù)單位），則z的實部為.

4.（2023?上海崇明?一模）已知復(fù)數(shù)4=2+ai,z2=3+i,若是純虛數(shù)，則實數(shù)。=.

5.（22-23高三上?上海普陀?階段練習）若復(fù)數(shù)z=l-2i（i為虛數(shù)單位），則z-2-z=.

6.（23-24高三上?上海黃浦?期中）已知復(fù)數(shù)z=l-i（i為虛數(shù)單位），則滿足三w=z的復(fù)數(shù)w為.

7.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足z=（2-2i）i,則Imz=.

8.（23-24高三下?上海?階段練習）已知i是虛數(shù)單位，則.

9.（23-24高三上?上海奉賢?階段練習）已知復(fù)數(shù)z=l+ai（aeR）,其中i是虛數(shù)單位，Re（zi）=2,則。=.

10.（21-22高三下?上海浦東新?階段練習）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2zi（feR）,若|z|=2及，貝心的值為.

11.（23-24高三上?上海?期中）若復(fù)數(shù)z滿足|z-3|+|z+3|=10,則|z|的最小值為_____.

12.（23-24高三上?上海浦東新?開學考試）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=2|z-2i|,貝!||z|的最大值為.

13.（23-24高三下?上海浦東新?階段練習）若2i-3（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實系數(shù)方程2/+px+q=0的一個

根，則P—4=.

n—1

14.（21-22高三上?上海虹口?期中）已知z=——,其中i為虛數(shù)單位，a>0,復(fù)數(shù)。=z（z+i）的虛部減去它的實部

1-1

3

所得的差等于1，則復(fù)數(shù)0的模為

15.（21-22高三下.上海浦東新?階段練習）已知/（%）=犬+（4+1■+2-°是偶函數(shù),則復(fù)數(shù)（。+：1）（2>4）的模為.

16.（2023?上海虹口?一模）設(shè)機，weR,i為虛數(shù)單位，若1-后是關(guān)于）的二次方程Y+如+〃=。的一個虛根,

則m-\-n=.

17.（22-23高二上?上海虹口?階段練習）已知關(guān)于x的方程/+區(qū)+3=0伏eR）有兩個虛根a與且|a-⑶=2&,

實數(shù)k的值是.

18.（2023?上海閔行?模擬預(yù)測）若|z+l-i|=l,則目的最大值與最小值的和為.

19.（21-22高三下?上海虹口?階段練習）已知|z|=l,左eR且z是復(fù)數(shù)，當歸+左+]的最大值為3,則左=.

20.（21-22高三下.上海浦東新?階段練習）歐拉公式屋=cosO+isin。，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立

了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽為“數(shù)學中的天橋”，已知數(shù)列｛%｝的通項公式為

ynrmr

an=cos——+isin--（?=1,2,3,..）,則數(shù)列｛4“｝前2022項的乘積為

21.（21-22高三下.上海虹口?階段練習）已知關(guān)于x的方程：Y-（6+i）x+9+ai=0（oeR）有實數(shù)根6,若復(fù)數(shù)z滿

足日-"歷卜2忖，則忖的最小值為.

22.（21-22高三下?上海徐匯.階段練習）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，下列命題中為真命題的序號是.

①同2=歸|;②若Zj-Z2〉。，則Z]>Z2；

③若（Z]_Z2）2+卜2—Z3『=0,則Z]=Zz=Z3；④憶-Z?|=J（Z]+Z2J-dZ—；

⑤z；=z；,則Z].司=z?Z；⑥2乎2Vz；+z；；

⑦兩個共軌復(fù)數(shù)的差是純虛數(shù)；⑧若|z+i|=|z-i|,則Z必為實數(shù).

二、單選題

23.（2024高三?上海.專題練習）設(shè)a,6eR,“復(fù)數(shù)a+歷是純虛數(shù)”是“a=0”的（）

A.充分而不必要條件；B.必要不充分條件；

C.充分必要條件；D.既不充分也不必要條件.

24.（23-24高三下?上海楊浦?階段練習）已知z均為復(fù)數(shù)，則下列命題不正確的是（）

A.若z=2,貝Uz為實數(shù)B.若z2<0,貝Uz為純虛數(shù)

C.若z=2，貝|z=±l,土iD,若z3=l，則彳=z2

Z

25.（23-24高三下?上海?開學考試）下列命題不正確的為（）

A.若復(fù)數(shù)句，zZ的模相等，則句，z?是共軌復(fù)數(shù)

B.4，Z2都是復(fù)數(shù)，若馬+馬是虛數(shù)，則均不是z?的共朝復(fù)數(shù)

C.復(fù)數(shù)是實數(shù)的充要條件是z=5

D.zsC,|z+i|+|z-i|=2,則z對應(yīng)的點Z的軌跡為線段

26.（2023?上海寶山?一模）已知z是復(fù)數(shù)，三是其共軌復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）

A.z2=|z|2B.若目=1,貝電一1一1的最大值為四+1

C.若z=（l-2i）2,則復(fù)平面內(nèi)三對應(yīng)的點位于第一象限D(zhuǎn).若l-3i是關(guān)于x的方程f+px+q=0（p,qeR）

的一個根，貝內(nèi)=-8

27.（2002?上海?高考真題）如圖，與復(fù)平面中的陰影部分（含邊界）對應(yīng)的復(fù)數(shù)集合是（）

5n一］71,571

------,Z￡CB.<1,—<argz<——，z￡C

666

z|z|<l,Imz>^-,zeC

C.l,Imz>—,ZGCD.

2

28.⑵-22高三上.上海浦東新?階段練習）已知函數(shù)個）=1鳴（1-三。的定義域為A，復(fù)數(shù)2=言一理若由A

則Iz|的取值范圍是（）

A.1<|Z|<A/5B.1<|Z|<A/5

C.l<|z|<^D.l<|z|<^

29.（2023?上海閔行?一模）已知復(fù)數(shù)4、z?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為尸、Q,|OP|=5（。為坐標原點），且

zf-ZjZj-sin0+zf=0,則對任意OeR,下列選項中為定值的是（）

A.\OQ\B.\PQ\C.△。尸。的周長D.△OPQ的面積

30.（22-23高三下?上海寶山?階段練習）數(shù)學家們在探尋自然對數(shù)底e=2.71828與圓周率兀之間的聯(lián)系時，發(fā)現(xiàn)了

以下公式:

(1)e%=l+-+—+—+—+

1!2!3!4!n\

3512M-1

/八?xx+xX

(2)sinx=—--??+(-ir1----------------------1-????

3!5!7!(2n-l)!’

x2%4X6-2

(3)cosx=1-一十-----------------------------1-------.

2!4!6!(2n-2)l

上述公式中，xeC,〃為正整數(shù).

據(jù)此判斷以下命題中正確的個數(shù)是（）（i為虛數(shù)單位）.

①e"=cosx+isinx；②ea=sinx+icosx;@em+1=0;?e17t+i=0;⑤卜"+e"<2.

A.1個B.2個C.3個D.4個

三、解答題

31.(2012高三上?上海徐匯?學業(yè)考試)已知復(fù)數(shù)4=H_+(a2_3)i,Z2=2+(3a+l)i,aeR.

⑴若復(fù)數(shù)4-%在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點落在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若虛數(shù)4是方程f一6%+加=0的一個根，求實數(shù)機的值.

32.(2021?上海?模擬預(yù)測)已知關(guān)于x的方程f-3依-3a=0(aeR)的虛數(shù)根為小馬.

(1)求國+國的取值范圍；

(2)若歸-馬卜1,求實數(shù)。的值.

33.(21-22高一下?上海嘉定?期末)已知復(fù)數(shù)4="一名必=2-々+1,(0€1<),若4和z?互為共軌復(fù)數(shù).

⑴求實數(shù)。的值；

IT]Z,Z2

(2)求滿足不等式”2>4的實數(shù)m的取值范圍.

34.(21-22高三下?上海寶山?期中)已知虛數(shù)z=a+icos。，其中a,OGR,i為虛數(shù)單位.

⑴若對滿足條件的任意實數(shù)仇均有歸+2-歸3,求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若z,z2恰好是某實系數(shù)一元二次方程的兩個解，求a,。的值.

35.(2020高三?上海?專題練習)已知復(fù)數(shù)2=*+”，w=x'+y'i,z0=l-mi(m>0),z,w,z0滿足卬=空,\w\=1\z\.

(1)若z所對應(yīng)點(x,y)在圓Y+y2-4x=o上，求w所對應(yīng)點的軌跡；

(2)是否存在這樣的直線/,z對應(yīng)點在/上，w所對應(yīng)點也在直線/上？若存在，求出所有這些直線；若不存在，

請說明理由.

36.(22-23高一下?上海楊浦?期末)設(shè)f(z)是一個關(guān)于復(fù)數(shù)z的表達式,若同)=菁+卯(其中x,?4，%eR，i

為虛數(shù)單位)，就稱了將點尸(龍》)7?對應(yīng)”到點。(公乂).例如〃z)2將點(0,1)7'對應(yīng)”到點(0,-1).

Z

⑴若f(z)=z+l(zeC)點蟲U)丁對應(yīng)”到點0,點空了對應(yīng)”到點。2。,1),求點0、G的坐標；

(2)設(shè)常數(shù)入reR,若直線/：y=kx+t,/(z)=z2(zeC),是否存在一個有序?qū)崝?shù)對(仁。，使得直線/上的任意

一點P(x,y)“對應(yīng)”到點Q(.M)后，點。仍在直線/上？若存在，試求出所有的有序?qū)崝?shù)對化。；若不存在，請說

明理由；

⑶設(shè)常數(shù)“，beR,集合D={z|zeC且Rez>0}和A={o|oeC且同<1},若/⑵二安;滿足：①對于集合。

中的任意一個元素z,都有/(z)eA；②對于集合A中的任意一個元素。，都存在集合D中的元素z使得。=f(z).請

寫出滿足條件的一個有序?qū)崝?shù)對(a,b),并論證此時的f(z)滿足條件.

02上海模擬練

一、填空題

2-i

1.（2024?上海閔行.三模）復(fù)數(shù)z=—（i為虛數(shù)單位），貝匹=.

1

2.（2024?上海奉賢二模）已知復(fù)數(shù)z=（3-4i）-i（i為虛數(shù)單位），貝ijz=.

3.（2023?上海黃浦?一模）已知復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=4-2i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模等于.

4.（2023?上海金山?一模）已知機是實數(shù)，i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z="1的實部和虛部互為相反數(shù),則目=.

5.（2023?上海靜安?一模）已知復(fù)數(shù)z=±辿（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)。的

a-i

取值范圍是.

6.（2024?上海普陀?二模）已知復(fù)數(shù)z=l+i,其中i為虛數(shù)單位，則彳在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標為.

7.（2024?上海寶山.二模）設(shè)實數(shù)尤、y滿足（尤+用1-2+不=（尤-向（1+:1）6為虛數(shù)單位），貝p+y=.

8.（2023?上海楊浦?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是A,其共輾復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是反。是

坐標原點，若A在第一象限，且。則土二=.

z—Z

9.（2024.上海楊浦?二模）設(shè)復(fù)數(shù)4與句所對應(yīng)的點為Z1與ZZ,若4=l+i,z2=i-z1；則,乙卜.

10.（2024.上海黃浦?二模）若實系數(shù)一元二次方程Y+"+6=0有一個虛數(shù)根的模為4,則“的取值范圍是.

11.（2024?上海?三模）已知關(guān)于龍的一元二次方程尤2+履+公-2左=0有兩個虛根X”尤2,且片+月=3,則實數(shù)上的

值為.

12.（2017?上海?三模）已知函數(shù)〃x）=log/3'+l）+；a法為偶函數(shù)，g（元）=2工+七挈為奇函數(shù)，其中。、b為常

322

數(shù)，貝以0+6）+（療+^）+,3+》3）+-+廿00+。皿）=

二、單選題

13.（2024?上海長寧?二模）設(shè)zeC,則“z=7'是"zwR”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.（2020?上海楊浦?一模）設(shè)4a2為復(fù)數(shù)，則下列命題中一定成立的是（）

A.如果馬>0,那么4>z?B.如果㈤=%|,那么Zj=±z?

C.如果B>1,那么閔>閭D.如果z；+z：=0,那么z=Z2=。

Z2

15.(2022?上海黃浦?模擬預(yù)測)復(fù)平面內(nèi)存在復(fù)數(shù)4=10=-1,23="+立1對應(yīng)的三點21,423,若點乙可

22一

與Z”Z2，Z3共圓，則下列復(fù)數(shù)中可以表示為Z4的是()

A.tanl5°+cot30°iB.cos450+sin30°i

C.tan30°+sinl50iD.sin75o+sinl5°i

16.(2022?上海奉賢?一模)復(fù)數(shù)(cos29+isin3(9>(cose+isin，)的模為1,其中i為虛數(shù)單位，夕e[0,2兀],則這樣

的e一共有()個.

A.9B.10C.11D.無數(shù)

三、解答題

17.(2019?上海?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=0，Z?的虛部為2.

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)設(shè)復(fù)數(shù)z、Z?、z-z?在復(fù)平面上對應(yīng)點分別為A、B、C,求(OA+OB)OC的值.

18.(2021?上海浦東新?模擬預(yù)測)已知關(guān)于x得二次方程：尤?+(2+i)x+4ab+(2a-6)i=0(a,beR).

(1)當方程有實數(shù)根時，求點(。力)的軌跡方程；

⑵求方程實數(shù)根的取值范圍.

19.(2018?上海奉賢?二模)設(shè)復(fù)平面上點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)z=x+y“xeR,yeR)C?為虛數(shù)單位)滿足

|z+2|+|z-2|=6,點Z的軌跡方程為曲線G.雙曲線G：/一片=1與曲線有共同焦點，傾斜角為二的直線/與雙

曲線G的兩條漸近線的交點是A、B,OAOB=2>。為坐標原點.

(1)求點Z的軌跡方程G;

(2)求直線/的方程；

(3)設(shè)APQR三個頂點在曲線G上，求證：當。是APOR重心時，APQR的面積是定值.

專題10復(fù)數(shù)（考點練+模擬練）

01上?？键c練

一、填空題

2-i3

1.（23-24高三下?上海青浦?階段練習）i為虛數(shù)單位，則——=

【答案】典

22

【解析】因為宗2+i(2+i)(l-i)3-i31.

IT?―+一〒一二？

故答案為：叵.

2

2.（23-24高三下?上海?期中）已知復(fù)數(shù)z=3,貝人三的值等于_______.

1-1

【答案】2

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出z,再利用共軌復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)乘法計算即得.

2i.(l+i)-2+2i

【解析】復(fù)數(shù)Z-=-l+i,z=-i-i，

(l-i)(l+i)2

所以z「=(-l+i)(-l-i)=2.

故答案為：2

3.（2024.上海.三模）己知復(fù)數(shù)z=i（2+3i）（i為虛數(shù)單位），則z的實部為

【答案】-3

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則，化簡為。+6i（a，6eR）的形式，即。為實部.

【解析】z=i（2+3i）=2i+3i2=-3+2i.

所以復(fù)數(shù)的實部為-3.

故答案為：-3

4.（2023?上海崇明?一模）已知復(fù)數(shù)Z=2+ai,z2=3+i,若z邑是純虛數(shù)，則實數(shù)。=.

【答案】6

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算，求得Z|Z2=（6-a）+（3a+2）i,再根據(jù)4烏為純虛數(shù)，即可求解.

【解析】」ZiZ2=（6-a）+（3a+2）i,若z—是純虛數(shù)

6—a=0

所以__即Q=6

3a+2w0

故答案為：6

5.（22-23高三上?上海普陀?階段練習）若復(fù)數(shù)z=l-2,（i為虛數(shù)單位），貝壯揚-z=

【答案】4+2z72z+4

【分析】根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的乘法、加法運算即可求解.

【解析】由z=l-2,得W=i+2i，

所以z-2—z=（l—2i）（l+2i）—（1—2i）=5—l+2i=4+2i,

故答案為：4+2i

6.（23-24高三上?上海黃浦?期中）已知復(fù)數(shù)z=l-i（i為虛數(shù)單位）,則滿足Zw=z的復(fù)數(shù)w為

【答案】-i

【分析】根據(jù)已知結(jié)合共輾復(fù)數(shù)得出彳=l+i,代入化簡，即可得出答案.

【解析】z=l-i,則5=l+i,

則三十=2,為（l+i>w=l-i,

2

即吁匕(I)l-2i+i2-2i

1+i(l+i)(l-i)l2-i22

故答案為：—i

7.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足z=（2-2i）i,則Imz=

【答案】2

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算求出z即可得解.

【解析】依題意，z=2+2i,所以Imz=2.

故答案為：2

8.（23-24高三下?上海?階段練習）已知i是虛數(shù)單位，則加

【答案】1/0.5

【分析】由復(fù)數(shù)除法運算以及虛部的概念即可求解.

故答案為：

9.（23-24高三上.上海奉賢.階段練習）已知復(fù)數(shù)z=l+ai（aeR）,其中i是虛數(shù)單位，Re（zi）=2,則。=

【答案】-2

【分析】先求得zi,然后根據(jù)zi的實部求得

【解析】依題意，zi=(l+ai)i=-a+i,

而Re(zi)=2,所以一“=2,。=一2.

故答案為：-2

10.(21-22高三下.上海浦東新?階段練習)已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=24reR),若回=2夜，則t的值為,

【答案】2或-2

【分析】先由z(l+i)=2/i(feR)求出z,再由目=20列方程可求出t的值

、/、2ri2ri(l-i)

［解析］由z(zl+i)=2G(fwR),^z=---=-———-=ri(l-i)=f+ri,

v7v71+1(1+1)(1-1)

因為14=20,

所以產(chǎn)+/=卜6')，解得f=2或/'=—2,

故答案為：2或-2

11.(23-24高三上.上海?期中)若復(fù)數(shù)z滿足|z-3|+|z+3|=10,則的最小值為_____.

【答案】4

【分析】根據(jù)題設(shè)條件確定復(fù)數(shù)z對應(yīng)點在以(3,0),(-3,0)為焦點，長軸長為10的橢圓上，結(jié)合橢圓性質(zhì)及|z|的幾

何意義確定最小值.

【解析】設(shè)2=.丫+其且x,yeR,又解-3|+|z+3|=10,

所以J(尤-3)2+3+J(元+3)2+5=10,

即點(％y)到兩定點(3,0),(-3,0)的距離之和為10,

所以點(x?)在以(3,0),(-3,0)為焦點，長軸長為10的橢圓上，

由|z|=J7T7表示橢圓上點到原點距離，故其最小值為短半軸b=病二/=序?qū)?4.

故答案為：4

12.(23-24高三上?上海浦東新?開學考試)己知復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=2|z-2i|,貝||z|的最大值為.

［答案］2a+4近

3

【分析】

設(shè)復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，根據(jù)給定的等式求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡作答.

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yeR),由|z-21=2|z-2i|,得而三節(jié)7=2后而二了，

整理得V+y2+［x-?y+4=0,即(x+g)?+(y--1)2=,

因此復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(x,y)在以點C(-二3為圓心，逆為半徑的圓，。為原點，

333

4A/22a+4出

所以12k=1。。+d-------

33

故答案為:H也

13.(23-24高三下?上海浦東新?階段練習)若2i-3(i為虛數(shù)單位)是關(guān)于了的實系數(shù)方程2d+px+g=0的一個

擊艮，貝心.

【答案】-14

【分析】由題意可將2i-3代入方程2d+px+g=0,結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方以及復(fù)數(shù)的相等，即可求得。應(yīng)，即得答案.

【解析】由題意2i-3是關(guān)于x的實系數(shù)方程2x2+px+q=0的一個根，

貝！J2(2i—3)2+〃(2i—3)+q=0,即10—37+q+(2p—24)i=0,

10-3〃+q=0p=12

即得

2/7-24=0q=26

故p_g=_14,

故答案為：-14

Q—i

14.(21-22高三上.上海虹口?期中)已知z二7一，其中i為虛數(shù)單位，?！?,復(fù)數(shù)。=z(z+i)的虛部減去它的實部

1-1

3

所得的差等于1，則復(fù)數(shù)。的模為

【答案】:正/述

22

【分析】利用復(fù)數(shù)乘法法則計算出0=3+幺空Di,從而列出方程，求出。=2,進而求出模長.

22

【解析】把2=『(〃>0),代入。中,

a-i.(l+qi)(4+i)a+l+

侍。=口---------1-1=-I1,

1-i222

工Q(Q+1)a+13d八小

由~~———,行Z〃R0=4,又。＞0,所以〃=2,

222

故|同="|+3i=^|+9=|^-

故答案為：-1A/5

15.(21-22高三下?上海浦東新?階段練習)已知/(x)=犬+(o+l)x+2-。是偶函數(shù),則復(fù)數(shù)(a+i)⑵-4的模為

【答案】A/10

【分析】根據(jù)/'(x)=d+(a+l)x+2-a是偶函數(shù)可得。=-1,根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算求出(a+i)⑵-a)的結(jié)果，根據(jù)

模的計算求得答案.

【解析】由/cond+g+Dx+z-a是偶函數(shù)，

*m*f(—九)=f(x),(—x)2—(a+l)x+2—ci=%2+(a+1)%+2—a,

即2(a+l)%=0,因為,故a=-l,

所以(a+i)(2i—a)=(—l+i)(2i+l)=—3—i,

故復(fù)數(shù)(a+i)(2i—a)的模為?一3丫+(-打=曬，

故答案為：A/10

16.(2023?上海虹口?一模)設(shè)加，〃wR,i為虛數(shù)單位，若1-"是關(guān)于x的二次方程無2+皿+〃=0的一個虛根,

貝|m+n—.

【答案】2

r^22——2

【分析】將根代入方程，化簡即可得到(-2+加+力+(-2石-鬲)i=0,列方程組即可求得一，.

[〃=4

【解析】將％=1-gi代入方程得：(1-V3i)2+m(l-V3i)+n=0,

即1一2^/§i+3i?+m-V3mi+〃=0,即(-2+m+n)+(-2^/3-石機)i=0,

所以|--2+6m-+鬲n=0=?！鈁得m=-2,

所以m+〃=2.

故答案為：2

17.(22-23高二上?上海虹口?階段練習)已知關(guān)于x的方程V+爪+3=0伏eR)有兩個虛根。與夕，且|々-0=2加,

實數(shù)上的值是.

【答案】±2

【分析】由求根公式得虛根，再由題意列方程求解

【解析】由求根公式得f+履+3=0(keR)的虛根為x=-"a2-父i,

2

故3—尸|=\J12-k2=2亞,解得k—±2,

故答案為：±2

18.(2023?上海閔行?模擬預(yù)測)若|z+l-i|=l,則同的最大值與最小值的和為.

【答案】2&

【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的何意義可得復(fù)數(shù)z表示以(-L1)為圓心的半徑為1的圓，從而可求出忖的最值，進而

可得答案.

【解析】由幾何意義可得：復(fù)數(shù)z表示以(-L1)為圓心的半徑為1的圓，

貝[&T應(yīng)+l]n|zL+|z1mM=20.

故答案為：2女

19.(21-22高三下?上海虹口?階段練習)己知|z|=l,左eR且z是復(fù)數(shù)，當歸+左+]的最大值為3,則左=.

【答案】±1

【分析】由Iz|=l可知，z.z=i，化簡產(chǎn)+后+]可得其最值為網(wǎng)+2,進而求出上的值.

【解析】設(shè)z=a+歷,a,b&R,因為|z|=l,所以|z『=l,z.^=\,

所以歸+Az+1卜卜2+Az+z.z卜|z(z+z+人,

因為z+z="+6i+q-bi=2aeR，

所以歸+%z+l|=|z(z+z+左)=[z+z+笈'z[=[2。+耳，

因為|z|=，片+k=],所以

所以以2+衣+1|=網(wǎng)+2=3,

IImax11

解得，k=±l,

故答案為：±1.

20.(21-22高三下.上海浦東新?階段練習)歐拉公式屋=cosO+isine,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立

了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽為“數(shù)學中的天橋”，已知數(shù)列伍〃｝的通項公式為

r717Tmr

a?=cos——+isin--(n=1,2,3,),則數(shù)列｛〃“｝前2022項的乘積為一

【答案】-i

【分析】根據(jù)題意，%=8$墨+1$山瀛=/題，然后根據(jù)指數(shù)運算法則求積，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式化簡，

最后根據(jù)定義求結(jié)果.

.rm

【解析】因為屋=cose+isin。，所以?！?cos-^+isin-^=-2022,

20222022

.Ji.2n.20227rn2無2022g.2023n

所以dya>2,■■^^2022e‘。e'。e'。e一。。。e2

2023兀..2023兀,兀、..,兀、

=cos---------Fism--------=cos(l011K+—)+isin(lOII71+—)=—1.

2222

故答案為：-i.

21.(21-22高三下?上海虹口?階段練習)已知關(guān)于x的方程：尤2-(6+i)x+9+oi=0(aeR)有實數(shù)根6,若復(fù)數(shù)z滿

足口一°一歷卜2|z|,則忖的最小值為.

【答案】x/2

【分析】首先由方程求。=6=3,再根據(jù)模的公式化簡為(x+iy+(y-l)2=8,再根據(jù)幾何意義求目的最小值.

【解析】由條件可知，〃-(6+iW+9+a=o,

所以(片-66+9)+(a-6)i=0,

萬2_66+9=0

即，解得:a=b=3,

a—b=O

設(shè)z=x+W,z=x-yi,彳-Q-bi=(x-3)—(y+3)i,

因為「一。一同=2忖，所以(彳-3)2+(〉+3)2=4(尤2+力，

BP(x+l)2+(y-l)2=8,

所以點z在以(-1,1)為圓心，2行為半徑的圓上，所以|z|表示圓上的點到原點的距離，由圖可知

\z\.—2^2—V2=V2.

IImin

故答案為：及

22.(21-22高三下?上海徐匯?階段練習)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，下列命題中為真命題的序號是

@|z|2=|z2|;②若4—2>0,則4乜；

222

?^(zj-z2)+(z2-z3)=0,則Z]=Z2=Z3；?IZ[-z21=^(Z1+z2)-4Z；Z2;

⑤Z；=z；,則z/4=/4；@2Z1Z2<zf+zf；

⑦兩個共軌復(fù)數(shù)的差是純虛數(shù)；⑧若|z+i|=|z-i|,貝Uz必為實數(shù).

【答案】①⑤⑧

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則以及模長公式逐一判斷，判斷一個真命題需要證明，判斷一個假命題需要舉反例.

【解析】①設(shè)Z=a+歷，則彳=。一歷，=(a2+(_°)2)^2

=a2+

歸|=卜_k)+2a歷卜《(a2一芹丫+4a%2=^a2+b2f=/+〃

所以①正確

②設(shè)4=3+i,z2=1+1

z「Z2>0,但4與Z2不能比較大小

所以②不正確

③設(shè)Z=l+i,z2=1,z3=0

則（馬一22）2+（22—23）2=。

所以③不正確

④設(shè)Z[=1+2i,z2=1+i

+2-4

貝1JIZ|—Z?I=|i|=1，7（ZIZ2）ZIZ2=V（Z1-Z2）2=Q=i

所以④不正確

⑤設(shè)Zi=4+bj,z2=a2+b2i

則Z；=（4+&J）2=（〃；-Z?j2）+2^1,Z；=（。2+聳）2=（a2—盡）+2。2%

Z=?」"；_"：="；一￡

12

\2afy=2a2b2

N（Q；-b；『+4Gb；=（a；-b；『+4a豺；

"；+廳）2=（蠟+前

na；+b；=a；+b；

Z]?Z]=z2?z?

⑥當4=l+i,z?=l—i時，2z/z=4,z；+z；=0

2Z[Zz>z；+z；

所以⑥不正確

⑦如果兩個復(fù)數(shù)是實數(shù)，差值也是實數(shù)，

所以⑦不正確

⑧設(shè)z=a+bi（。，Z?eR）,貝!|z+i=a+（6+l）i,z-i=a+（Z?-l）i

|z+i|=|z-i|=>Ja。+（b+l）~=Ja?+（%_]『=6=0

所以⑧正確

故答案為：①⑤⑧

二、單選題

23.（2024高三.上海.專題練習）設(shè)a,beR,“復(fù)數(shù)a+歷是純虛數(shù)”是“a=0”的（

A.充分而不必要條件;B.必要不充分條件;

C.充分必要條件；D.既不充分也不必要條件.

【答案】A

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義，結(jié)合充分性、必要性的定義進行求解即可.

【解析】當。+歷是純虛數(shù)時，一定有。=0,但是當。=0時，只有當。/。時，。+歷才能是純虛數(shù)，所以“復(fù)數(shù)〃+歷

是純虛數(shù)”是“a=。”的充分而不必要條件，

故選：A

24.（23-24高三下.上海楊浦?階段練習）已知z均為復(fù)數(shù)，則下列命題不正確的是（）

A.若z=N,貝Uz為實數(shù)B.若z2<0,貝Uz為純虛數(shù)

C.若z=2，則2=±1,±1D.若z=l，則彳=z2

Z

【答案】c

【分析】依題意由z=a+為O,8eR）可知若z=2可得/J=0,即A正確；若/<0,可得a=0,b/0,即B正確；

由z=J可得/+〃=i,貝ijz的取值有無數(shù)個；由23-1=卜一1）卜2+2+1）=0可知，z=l或2=可得D

正確.

【解析】由題意，設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷（a,》eR）,

對于A,由z=2,即a+歷=a-歷，解得8=0,所以復(fù)數(shù)z為實數(shù)，所以A正確；

對于B,復(fù)數(shù)z2=4-62+2q歷，因為z2<o,可得a=0,b^O,所以復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，所以B正確；

對于C,令z=a+6i,由z=2整理得=i,則z的取值有無數(shù)個，所以C不正確；

Z

對于D,由z3=l，可得z3-l=0,即（zTd+z+l）=0,

解得z=l或z=-L±3i,所以彳=z2,所以D正確.

22

故選：C.

25.（23-24高三下?上海?開學考試）下列命題不正確的為（）

A.若復(fù)數(shù)4，z2的模相等，則4,z?是共輾復(fù)數(shù)

B.4,z?都是復(fù)數(shù)，若馬+4是虛數(shù)，則4不是z?的共朝復(fù)數(shù)

C.復(fù)數(shù)是實數(shù)的充要條件是z=2

D.zeC,|z+i|+|z-i|=2,則z對應(yīng)的點Z的軌跡為線段

【答案】A

【分析】根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義可判斷ABC,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D.

【解析】對于A,若復(fù)數(shù)Z，z?的模相等，貝I]4,Z2還可能是相等的復(fù)數(shù)，故A錯誤；

對于B,若Z和z,是共軌復(fù)數(shù)，則相加為實數(shù)，不會為虛數(shù)，故B正確；

對于C,若復(fù)數(shù)是實數(shù)，貝Uz=a(aeR),從而三=a(aeR),所以z=N,

反之若z=2,則由。+歷=。一歷(a,beR)得6=0,所以z=a,

所以復(fù)數(shù)是實數(shù)的充要條件是z=2,故C正確；

對于D,設(shè)2=°+歷(a,Z?eR),

由復(fù)數(shù)的幾何意義可知Iz+i,|z-i|=2表示點(°㈤到點(0,-1)和(0,1)距離之和為2,

而點(0,T)和(0,1)之間距離為2,所以z對應(yīng)的點Z的軌跡為線段，故D正確.

故選：A

26.(2023?上海寶山?一模)已知z是復(fù)數(shù)，[是其共輾復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是()

A.z2=|z|2B.若忖=1,貝電一1一1的最大值為0+1

C.若z=(l-2i)2,則復(fù)平面內(nèi)三對應(yīng)的點位于第一象限D(zhuǎn).若l-3i是關(guān)于X的方程x2+px+q=O(0,qeR)

的一個根，則q=-8

【答案】B

【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式計算判斷A；利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B；求出復(fù)數(shù)I判斷C；利用復(fù)數(shù)相等求出4判

斷D.

【解析】對于A,設(shè)z=a+歷(a,)eR),則|z=(a+歷?=/-6?+2a歷，z2^|z|2,A錯誤；

對于B,由|z|=l知，在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點在以原點為圓心的單位圓上，

可看作該單位圓上的點到點(1,1)的距離，因為圓心到(1,1)的距離為近，

則該單位圓上的點到點(1,1)的距離最大值為&+1，B正確；

對于C,z=(l-2i)2=-3-4i,z=-3+4i,則復(fù)平面內(nèi)三對應(yīng)的點位于第二象限，C錯誤；

對于D,依題意，(l-3i)2+p(l-3i)+^=0,整理得(〃+q—8)+(-3p-6)i=0,

["+g-8=0

而。應(yīng)eR,因此二<八，解得。=-2應(yīng)=10,D錯誤.

[-3p—6=0

故選：B.

27.(2002.上海?高考真題)如圖，與復(fù)平面中的陰影部分(含邊界)對應(yīng)的復(fù)數(shù)集合是()

［兀/■/5?！竮z|<l,^<argz<^,zeC

l,-<argz<—,zeCB.

o6

|z|<1,Imz>^,zGC

z|z|=1,Imz-5zeCD.

【答案】D

【分析】由圖可得復(fù)數(shù)的模長、虛部的大小以及坐標，據(jù)此進行計算可得答案.

【解析】由圖可知，滿足條件的復(fù)數(shù)在單位圓內(nèi)（含邊界），故目41；

又復(fù)數(shù)對應(yīng)點的縱坐標大于等于;，故其虛部大于等于;，

所以陰影部分（含邊界）對應(yīng)的復(fù)數(shù)集合為｛z||z區(qū)l,ImzN；,zeC

TT

可得/COA=NCO3=1,

所以mWargzW學，所以陰影部分（含邊界）對應(yīng)的復(fù)數(shù)集合是[z]z0,/mz42argzW”,zeC

o61|266

故選：D.

28.（21-22高三上?上海浦東新?階段練習）己知函數(shù)/（x）=log,（1-^1）的定義域為A，復(fù)數(shù)z，若aeA,

則Iz|的取值范圍是（）

A.l<|z|<>/5B.1<|Z|<A/5

C.l<|z|<V5D.1<|Z|<A/5

【答案】B

【分析】先求出，(x)的定義域A,然后化簡復(fù)數(shù)，把|Z|表示成。的函數(shù)求值域即可.

o_i—r+2

【解析】由1—會r＞0,得4-〉0,即—1VXV2,所以A=(—L2)

x+lX+1

3-i1

因為復(fù)數(shù)z=^7_ai=?(3_i)(l+2i)_ai=l+(l-a)i

1-215

所以|z|=Jl+(a-l)z

因為ae(-1,2),所以|z|=71+(1-a)2e工癡

故選：B

29.(2023?上海閔行?一模)已知復(fù)數(shù)4、z,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為尸、Q,|OP|=5(。為坐標原點)，且

z；-ZjZ2-sin6＞+zf=0,則對任意6eR,下列選項中為定值的是()

A.\OQ\B.C.△。尸。的周長D.△OPQ的面積

【答案】A

(Y

【分析】由已知可得出a-三sin0+l=0,求出方程x2_xsin6+l=0的虛根，結(jié)合復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可得出結(jié)論.

Iz"馬

【解析】因為復(fù)數(shù)4、Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為p、Q,|OP|=5(。為坐標原點)，則4*0,

1

由z；-ZJZJ-sin6+zf=?？傻?三]-^-sin^+^O,

(z"Z]

對于方程尤2-xsind+l=0,則公會近己一代。,

sin0±i\/4-sin20

解方程爐-xsin，+l=0可得尤=

2

所以，乏=忖=應(yīng)3手亙3=＞三，所以，口。=閆=團=|。尸|=5,

Z[2Z]

△OPQ中，由于ZPOQ不是定值，則△OPQ的面積、|尸。|均不為定值,

故選：A.

30.(22-23高三下?上海寶山?階段練習)數(shù)學家們在探尋自然對數(shù)底。。2.71828與圓周率兀之間的聯(lián)系時，發(fā)現(xiàn)了

以下公式:

(1)e"=1+一----1---1---1---1---1—

1!2!3!4!n\

九2〃T

(2)sinx=—---------F

1!7!(2H-1)!

(3)cosx=l-—+—-—~+???

2!4!6!(2n-2)!

上述公式中，x