部編九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末考前基礎(chǔ)訓(xùn)練：圓（共55題解析版）

期末考前基礎(chǔ)練練練-圓

圓的認(rèn)識(shí)（共2小題）

1.已知。。中最長的弦為10,則OO的半徑是（）

A.10B.20C.5D.15

【分析】根據(jù)圓的直徑為圓中最長的弦求解.

【解答】解：??.最長的弦長為10,

.??OO的直徑為10,

???OO的半徑為5.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、

等圓、等弧等）.

2.下列說法，其中正確的有（）

①過圓心的線段是直徑

②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑組成的圖形叫做扇形

③大于半圓的弧叫做劣弧

④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)圓的有關(guān)概念進(jìn)項(xiàng)分析即可.

【解答】解：①過圓心的弦是直徑，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；

②由一條弧和經(jīng)過這條弧的兩個(gè)端點(diǎn)的兩條半徑組成的圖形叫做扇形，故該項(xiàng)正確；

③小于半圓的弧叫做劣弧，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；

④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓，故該項(xiàng)正確.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

垂徑定理（共3小題）

3.如圖，45是。。的弦，半徑于點(diǎn)。，若的半徑為10°加，48=161?加，則。。的長是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】連接04,先由垂徑定理得再由勾股定理求出的長即可.

2

【解答】解：如圖，連接CM,則。4=10。加，

VOCLAB,AB=16cm,

ZODA—90°,AD=BD=~^4B=8cm,

2

在中，由勾股定理得：。。=而三后==6(cm),

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解此題的關(guān)鍵.

4.如圖，AB,CZ)是。。的兩條平行弦，且N8=4,CD=6,AB,CD之間的距離為5,則。。的直徑是

()

A.413B.2vl§C.8D.10

【分析】作。于延長〃。交CD于N,連接05,0D,由垂徑定理，勾股定理即可求解.

【解答】解：作于延長交CD于N,連接03,OD,設(shè)(W=x,

:.MB=LB=2,DN=1JCD=3,

22

,：OB2=OM1+MB2,

：.OB2=X2+22,

?：ON=OT^+D*

：.OD2=(5-X)2+32,

"：OB=OD,

."+4=(5-x)2+9,

；?x=3,

/.O52=32+4=13,

：.OB=y[13,

；.O。直徑長是205，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是作(W,48于延長M0交CD于N,連接08,0D

構(gòu)造直角三角形，以便應(yīng)用垂徑定理，勾股定理.

5.(1)解方程：/-4x=0.

(2)如圖，已知弓形的弦長N8=8,弓高CD=2(CD_L/8并經(jīng)過圓心。).求弓形所在。。的半徑r

的長.

【分析】設(shè)。。的半徑為r,根據(jù)垂徑定理得到AD=6,由于OD=r-2,則利用勾股定理得到62+(r-

2)2=/,然后解方程即可.

【解答】(1)解：Vx(x-4)=0,

.*.x=0或x-4=0,

??*1=0,X2=4；

(2)解：設(shè)(DO的半徑為r,

'：CD±AB并經(jīng)過圓心O,

：.AD=BD=^4B=^X8=4,OD=OC-CD=r-2,

22

在RtZ^CM。中，42+(r-2)2=/,解得廠=5,

即O。的半徑的長為5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.也考查了勾股定

理.

三.圓心角、弧、弦的關(guān)系(共3小題)

6.如圖，N8為。。的直徑，C是氏4延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)。在上，且CD=CM,CD的延長線交于

點(diǎn)￡,若/C=23°,試求/￡。8的度數(shù).

【分析】利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)求得NEDO,從而利用三角形的外角的性質(zhì)求解.

【解答】解：'：CD=OA=OD,ZC=23°,

：.NODE=2NC=46°,

"：OD=OE,

：.ZE=ZEDO=46°,

:./EOB=NC+NE=46°+23°=69°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)及等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和

三角形外角性質(zhì)是關(guān)鍵.

7.如圖，AB是O。直徑，BC=BD＞連接CD,過點(diǎn)。作射線C3的垂線，垂足為點(diǎn)G,交48的延長線于

點(diǎn)F.

(1)求證：AE=EF；

(2)若CD=EF=13求8G的長.

【分析】(1)連接證明//=/￡再根據(jù)三線合一即可證明4E=ER

(2)先求出DK=CE=5,由NC的正切求出從而得到3尸的值，在Rt^BGF中即可求出答

2

案.

【解答】(1)證明：如圖，連接AD,

?.25是直徑，BC=BD，

J.ABA.CD,

:.NC+/CBE=90°,

\'CG±DF,

ZF+ZFBG=90°,

又,：/CBE=/FBG

；.NC=NF,

VBC=BD-

NA=NC,

：.ZA=ZF,

JL'JAFLDE,

；.AE=EF；

(2)解：'：CD=EF=10,ABLCD,

:.DE=CE=1~EF=5,

2

?*.tanZF=tanZC=A,

2

.'.BE=—CE=—,

22

；.BF=EF-BE=10-5=耳

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系等圓的有關(guān)知識(shí)和三角函數(shù)，第(2)問解題的關(guān)鍵是求出

5廠的長.

8.如圖.在四邊形N2C尸中.FALAB.BC±AB.。。經(jīng)過點(diǎn)/,B,C,分別交邊NRFC于點(diǎn)D,E.且

E是面的中點(diǎn).

(1)求證：E是尸C的中點(diǎn).

(2)連結(jié)/E,當(dāng)AB=6./￡=5時(shí)，求/斤的長.

【分析】(1)連接NC,根據(jù)/C為圓。的直徑，得到//EC為直角，根據(jù)E為弧CD的中點(diǎn)，得到弧

相等，根據(jù)等弧對(duì)的圓周角相等，利用NSN得到三角形全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；

(2)連接CD,利用面積法求出FC與“尸比值，設(shè)/C,根據(jù)勾股定理求出x的值，即可求出/尸的

長.

【解答】(1)證明：連接NC,

'：BC±AB,

：.ZABC^90°,

；./C是圓。的直徑，

/.ZAEC=90°,

ZAEF=}?,0o-ZAEC=90°=ZAEC,

為面的中點(diǎn)，

???DE=CE>

ZFAE=ZCAE,

在和中，

，ZCAE=ZFAE

<AE=AE，

LZAEC=ZAEF

/\AEC^/\AEF(ASA),

：.EC=EF,

為尸C的中點(diǎn)；

(2)連接CO,

"JFALAB,CBLAB,

：.ZADC=ZAEC=90°,

四邊形/DC8是矩形，

CD—AB—6,

???S0C=UC?4E=LF?CD,

22

：.5FC=6AF,

■FC=_6

"AF百

設(shè)尸C=12x,則/尸=10x,

為尸C.的中點(diǎn),

/.FE—X.FC—6x,

2

在中，根據(jù)勾股定理得：AE2+EF2^AF2,

即52+(6x)2=(10x)2,

解得：x=$,

8

：.AF=Wx=^,.

4

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，矩形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，全等三角形

的判定與性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)較多，難度一般，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

四.圓周角定理（共3小題）

9.如圖，已知N8是半圓O的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)。是半圓上的兩點(diǎn)，且3c.求證：AD=CD.

【分析】利用直徑所對(duì)的圓周角是90°,可得再利用0D〃5C,可得最后利用垂

徑定理即可求證.

【解答】證明：?.22是半圓。的直徑，

：.AC±BC,

5L.'：OD//BC,

：.ODLAC,

??.AD=CD>

:.AD=CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理得到會(huì)=而.

10.已知：如圖，N8是的直徑，弦CD_L/8于點(diǎn)E,連結(jié)/D

（1）若而=104°,求/54D的度數(shù).

（2）點(diǎn)G是AC上任意一點(diǎn)，連結(jié)GN,GD求證：ZAGD^ZADC.

【分析】（1）由圓周角定理的推論即可計(jì)算；

（2）由垂徑定理，圓周角定理的推論，即可證明.

【解答】（1）解：是O。的直徑，弦CDLA8于點(diǎn)E,

VCD=104°,

BD=52°,

/.ZBAD=^X52°=26°；

2

（2）證明：是。。的直徑，弦CDL48于點(diǎn)￡,

AC=AD-

/AGD=NADC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，圓周角定理的討論，關(guān)鍵是掌握：垂直于弦的直徑平分弦對(duì)的兩條??；同

弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，圓周角等于它所對(duì)弧度數(shù)的一半.

11.如圖，C是忘的中點(diǎn)，ZAOC=4ZB,OC=4.

（1）求//的度數(shù)；

（2）求線段N5的長度.

【分析】（1）延長CO交N3于“，連接8C,根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)推

出/4=30°；

（2）解直角三角形求出48=2百，根據(jù)垂徑定理即可解決問題.

【解答】解：（1）如圖，延長CO交48于X,連接2C,

C

：c是前的中點(diǎn)，

VAC=BC-

C.CHLAB,AH=BH,

：.ZAHO=90°,

,JOA^OB,

NA=NOBA,

VZAOC=90°+ZA=4ZOBA,

.*.N/=30°；

(2)'：OA=OC=4,CHLAB,ZA=30°,

：.OH=1.OA^2,

AH=22

?*-VOA-OH=V42-22=2?，

：.AB=2AH=443-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助

線，屬于中考常考題型.

五.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共3小題）

12.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一圓，CE是邊3c的延長線.

(1)求證/￡U8=NDCE；

(2)若/D48=60°,ZACB=70°,求N/8D的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/。/2+/。。2=180。，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證明結(jié)論；

（2）根據(jù)圓周角定理得到//O8=N/C8=70°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【解答】（1）證明：：四邊形4BCD內(nèi)接于圓，

AZDAB+ZDCB^180°,

VZDCE+ZDCB=\SO0,

/DAB=NDCE；

（2）解：VZACB=70°,

:.NADB=NACB=70°,

/.ZABD=ISO0-60°-70°=50°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)

鍵.

13.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，。是弧/C的中點(diǎn)，延長3c到點(diǎn)E,使CE=4B,連接5D,ED.

（1）求證：BD=ED.

（2）若/4BC=60°,40=5,則O。的直徑長為10.

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到反4O=NECD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

（2）連接。。并延長交O。于R連接CE則NFCD=90°,根據(jù)已知條件得到40=

CD=5,求得/尸=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：??,府=而，

：.AD=DC,

.四邊形4BCD內(nèi)接于O。，

ZBAD+ZBCD=ISO°,

VZECD+ZBCD=\SQ°,

/BAD=/ECD,

在和△?！辍辏┲?，

'AD=DC

<ZBAD=ZECD>

LAB=CE

:.AABD咨ACEDCSAS）,

：.BD=ED；

（2）解：連接。。并延長交。。于F，連接CR

則//。=90°,

是弧ZC的中點(diǎn)，

/.AD=CD-

/.ZABD=ZCBD,AD=CD=5,

VZABC=60°,

；.NCBD=30°,

:./F=/DBC=30°,

：.DF^2CD=10,

.??O。的直徑長為10,

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

14.如圖，點(diǎn)/、B、C、。都在。。上，OC±AB,N/DC=30°.

(1)求/20C的度數(shù);

(2)求/NC8的度數(shù);

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出眾=前，再利用圓周角定理得出/3OC的度數(shù);

（2）連接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)便可求得結(jié)果.

【解答】解：（1）,??點(diǎn)/、B、C、。都在。。上，0CL/2,

AC=BC）

VZADC^30°,

：.ZAOC=ZBOC=2ZADC=60°,

.?.NBOC的度數(shù)為60°；

（2）連接AD,

C

vAC=BC）

:.NADC=NBDC=30°,

；./4DB=60°,

VZACB+ZADB=1S0a,

AZACB^nO0.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理和圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握和運(yùn)用這些定

理是解決問題的關(guān)鍵.

六.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共2小題）

15.已知點(diǎn)尸在圓外，它到圓的最近距離是1C7M,到圓的最遠(yuǎn)距離是7c〃Z,則圓的半徑為（）

A.3cmB.4cmC.3cm或4cmD.6cm

【分析】搞清楚尸點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最近距離與到圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離的關(guān)系為差為直徑(尸為圓外一點(diǎn))，

本題易解.

【解答】解：尸為圓外一點(diǎn)，且P點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最近距離為157,到圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為757,則圓的

直徑是7-1=6(cm),因而半徑是3cm

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到圓的最大距離和最小距離，可以得到圓的直徑，然后確

定圓的半徑.

16.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/(2,9)、2(2,3)、C(3,2)、D(9,2)在。尸上.

(1)在圖中清晰標(biāo)出點(diǎn)P的位置；

(2)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是,。尸的半徑是.

【分析】點(diǎn)尸的坐標(biāo)是弦CD的垂直平分線的交點(diǎn).

【解答】解：(1)弦的垂直平分線是、=6,弦CD的垂直平分線是x=6,因而交點(diǎn)P的坐標(biāo)是(6,

6).

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，G)P的半徑是尸的半徑是P4的長，PA=V(6-2)2+(6-9)=51

故答案為：(6,6),5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，掌握?qǐng)A心是圓的垂直平分線的交點(diǎn)，是解決本題的關(guān)鍵.

七.確定圓的條件（共2小題）

17.下列語句中正確的有（）①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③三點(diǎn)確

定一個(gè)圓；④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系以及垂徑定理等對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可求出正確答案.

【解答】解：①同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

②平分弦的直徑垂直于弦，被平分的弦不能是直徑，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③三點(diǎn)必須不在同一條直線上，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸，此選項(xiàng)正確；

故正確的有1個(gè)，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及垂徑定理和圓的有關(guān)定理；解題時(shí)要注意圓心角、弧、

弦的關(guān)系是在同圓或等圓中才能成立.

18.某地出土一個(gè)明代殘破圓形瓷盤，為復(fù)制該瓷盤需確定其圓心和半徑，請(qǐng)?jiān)趫D中用直尺和圓規(guī)畫出瓷

盤的圓心（不要求寫作法、證明和討論，但要保留作圖痕跡）.

【分析】根據(jù)垂徑定理，在殘破的圓形瓷盤上任取兩個(gè)弦，分別作弦的垂直平分線即可.

【解答】解：在圓上取兩個(gè)弦，根據(jù)垂徑定理，

垂直平分弦的直線一定過圓心,

所以作出兩弦的垂直平分線即可.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理的推論，我們可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論這樣敘述：一條直線①過

圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣弧.在應(yīng)用垂徑定理解題時(shí)，只要具備上述5

條中任意2條，則其他3條成立.

八.三角形的外接圓與外心（共4小題）

19.如圖，是△NBC的外接圓，/OCB=30°,則//的大小為（）

A.30°B.60°C.80°D.120°

【分析】由O2=OC,得/O2C=NOCB=30°,則N3OC=120°,即可根據(jù)圓周角定理求得//=■!

2

Z56>C=60°,得到問題的答案.

【解答】解：是△48C的外接圓,

J.OB^OC,

：.NOBC=NOCB=30°,

AZ5OC=180°-ZOBC-ZOCB=nO0,

AZA=l-ZBOC=60o,

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理等知識(shí)，根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)求出ZBOC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，△NBC的三個(gè)頂點(diǎn)在O。上，。。的半徑為5,N/=60°,求弦BC的長.

【分析】連接CO并延長交。。于。，根據(jù)圓周角定理得到/。=//=60°,NCBD=90。，根據(jù)勾股

定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接CO并延長交。。于。，連接5D,

則NO=N/=60°,NCBD=9G°,

；O。的半徑為5,

.*.0)=10,

：.BD=1.CD=5,

2

22

BC=VCD-BD=V102-52=5后

故弦8c的長為573.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確地作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，△N8C是OO的內(nèi)接三角形，直徑/8=4,CD平分N/C2交O。于點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)E,連接

AD.BD.

(1)若/C48=25°,求/4EO的度數(shù);

(2)求40的長.

【分析】(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得//C2=90°,再利用角平分線的定義可得N/CD=N

BCD=45。，然后再利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得N/C5=90°,再利用(1)的結(jié)論可得益=而，從而可得40=

DB,然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1)Y/B是O。的直徑，

AZACB^90°,

；CD平分N4CB,

：.NACD=NBCD=L/4CB=45°,

2

'：ZCAB=25°,

：.ZAED=ZACE+ZCAE^O0,

.*.N/EO的度數(shù)為70°；

(2)是0。的直徑，

/.ZACB=90°,

ZACD=ZBCD,

AD=BD-

:.AD=DB,

'：AB=4,

:.AD=BD=單=2近,

V2

：.AD的長為2&.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在△N8C中，AE平分/B4C,BE平分/ABC,的延長線交△/BC的外接圓于點(diǎn)。，連接

BD.求證：DB=DE.

A

B

D

【分析】根據(jù)角平分線定義得到ZBAE=ZCAD,得到而=而，根據(jù)圓周角定理得到

ZDBC=ZBAE,根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】證明：平分/A4C,BE平分NABC,

：.NABE=/CBE,ZBAE=ACAD,

：.命口命所對(duì)的圓心角相等，

???CD=BD-

ZDBC=ZCAD,

：.ZDBC=ZBAE,

'：ZDBE=ZCBE+ZDBC,ZDEB=ZABE+ZBAE,

：.NDBE=NDEB,

：.DE=DB.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外接圓和外心，圓周角定理，等腰三角形的判定，熟練掌握角平分線定義是

解題的關(guān)鍵.

九.直線與圓的位置關(guān)系（共3小題）

23.如圖，已知/。=30°,C為上一點(diǎn)，且OC=6,以點(diǎn)C為圓心，試判斷半徑為3的圓與的位

置關(guān)系，并說明理由.

【分析】利用直線/和。。相切Qd=r,進(jìn)而判斷得出即可.

【解答】解：相切，

理由：過點(diǎn)C作CDLN。于點(diǎn)。,

：/。=30°,0C=6,

：.DC=3,

以點(diǎn)C為圓心，半徑為3的圓與CM的位置關(guān)系是：相切.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直線與圓的位置，正確掌握直線與圓相切時(shí)d與，?的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

24.如圖，48是O。的直徑，AN、/C是O。的弦，P為48延長線上一點(diǎn)，AN、PC的延長線相交于點(diǎn)

M,且/"_LPAf,NPCB=/PAC.

（1）試判斷直線PC與的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若AB=10,/P=30°,求MV的長.

【分析】（1）連結(jié)OC,則。4=OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/P/C=//CO.求得

ACO.根據(jù)圓周角定理得到//C3=90°,求得OCUPC.根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論.

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到NCOP=60°.解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）直線PC與。。相切.

理由：連結(jié)。C,則。4=OC,

ZPAC=ZACO.

'：NPCB=NPAC,

：.ZPCB=ZACO.

：.ZOCP=ZOCB+ZPCB=ZOCB+ZACO=ZACB.

,：AB為O。的直徑，

ZACB=90°,

：.ZOCP=9Q°,

即OC±PC.

;oc為半徑，

直線PC與。。相切.

(2)VZP=30°,ZOCP=9Q°,

；.NCOP=60

'：AB=W,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：熟練掌

握?qǐng)A的切線的判定方法.

25.如圖，在△NBC中，BD=DC,以N2為直徑的。。交2c于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。EL/C,垂足為￡.

(1)求證：4B=AC；

(2)判斷直線DE與的位置關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)利用必證明RtZUB。絲RtZUCD,可得結(jié)論；

(2)連接?！?,利用三角形中位線定理可得OD〃NC,從而證明即可證明結(jié)論.

【解答】(1)證明：:/臺(tái)為。。的直徑，

J.ADLBC,

在和RtZX/DC中,

[AD=AD,

lAB=AC，

絲RtzX/CD(HL)，

：.AB=AC

（2）解：直線DE與O。相切，理由如下:

連接OD,如圖所示:

由△Z2D之△/CD知：BD=DC,

又；OA=OB,

為△/BC的中位線，

.'.OD//AC,

'JDELAC,

J.ODLDE,

為OO的半徑，

...DE與。。相切.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，三角形中位線定理，圓的切線的判定等知識(shí)，熟練掌握切線的判

定方法是解題的關(guān)鍵.

一十.切線的性質(zhì)（共3小題）

26.如圖，菱形O/5C的頂點(diǎn)）,B,C在上，過點(diǎn)8作OO的切線交。4的延長線于點(diǎn)D若O。的

C.2MD.272

【分析】連接08,根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到90。，根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理

得到△ON3為等邊三角形，得到//08=60°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算，得到答案.

【解答】解：如圖：連接

：8。是。。的切線,

???NO5Z)=90°,

丁四邊形CMBC為菱形，

；?OA=AB,

°：OA=OB,

：.OA=OB=AB,

：.AOAB為等邊三角形，

ZAOB=60°,

AZ(9D5=30°,

：.OD=2OB=4,

由勾股定理得，^=VOD2-OB2=2A/3,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過

切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，N8是。。的弦，直線8c與。。相切于點(diǎn)8,ADLBC,垂足為。，連接。/、OB.

（1）求證：AB平分NOAD；

（2）點(diǎn)E是O。上一動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)/、2重合，連接/￡、BE,若//。8=100°,求//匹的度

數(shù).

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到02L2C,證明4D〃O瓦根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/D42=NOR4,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZOAB=ZOBA,等量代換證明結(jié)論；

（2）分點(diǎn)￡在優(yōu)弧上、在劣弧上兩種情況，根據(jù)圓周角定理解答即可.

【解答】（1）證明：：直線3c與。。相切于點(diǎn)3,

C.OBLBC,

'：ADLBC,

J.AD//OB,

：.ZDAB^ZOBA,

"：OB=OA,

：.ZOAB=ZOBA,

：.ZDAB=ZOAB,

.?.N3平分NCUD；

(2)解：當(dāng)點(diǎn)E在優(yōu)弧上時(shí)，NAEB=L/AOB=5Q°,

2

當(dāng)點(diǎn)在劣弧N3上時(shí)，NAE'5=180°-50°=130°,

綜上所述，N/E5的度數(shù)為50°或130°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

28.如圖，PA,是。。的切線，A,3是切點(diǎn)，/C是直徑.

（1）連接3C,OP,求證：OPHBC；

（2）若。尸與48交于點(diǎn)。，OD：DP=1：4,AD=2,求直徑NC的長.

【分析】（1）連接根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到。PL/瓦根據(jù)圓周角定理得到

90°,根據(jù)平行線的判定定理證明結(jié)論；

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到/O4P=90°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到/3二?！?〃，求出OD,根據(jù)勾

股定理求出Q4,進(jìn)而求出4C.

【解答】（1）證明：如圖，連接

,:PA,P2是。。的切線，

:.PA=PB,

"：OA=OB,

.".OPLAB,

是。。的直徑，

AZABC=90°,

：.ZABC=ZADO,

：.OP//BC-,

(2)解：設(shè)。。=無，則。尸=4無，

'：PA是O。的切線，

：.ZOAP=90°,ADLOP,

：.AD1=OD'DP,即22=X-4X,

解得：x=l(負(fù)值舍去)，

：.OD^1,

由勾股定理得：。/=〃02刈口2=遙,

:.AC=2爬.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半

徑是解題的關(guān)鍵.

一十一.切線的判定(共3小題)

29.如圖，在Rt448C中，ZACB^90°,CD是斜邊48上的中線，以CD為直徑的。。分別交/C、BC

于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)N作NEL4B,垂足為點(diǎn)￡.

(1)若。。的半徑為旦，AC=5,求8N的長；

4

(2)求證：NE是。)0的切線.

【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可求由勾股定理可求2C,由等腰三角形的性質(zhì)可得3N=6；

（2）欲證明NE為。。的切線，只要證明

【解答】解：（1）連接ON,ON,

;。。的半徑為工3，

4

.?.0)=11,

2

,：ZACB=90°,CD是斜邊48上的中線,

；.3。=。。=40=里

2

：.AB=13,

:BC=22

-VAB-AC=12,

;CD為直徑，

:.NCND=90°,且aO=CD.

：.BN=NC=6.

(2)■.?ZACB=90°,。為斜邊的中點(diǎn)，

:.CD=DA=DB=1AB.

2

：.ZBCD=ZB,

?：OC=ON,

：.ZBCD=ZONC.

："ONC=/B.

：.ON//AB,

■:NELAB,

：.ONINE.

為。。的切線.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考

題型.

30.如圖，以△N8C的邊8c的長為直徑作交AC于點(diǎn)、D,若NA=/DBC,求證：N8是。。的切

線.

【分析】根據(jù)圓周角定理得到/ADC=90°,根據(jù)題意得到NBLBC,根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論.

【解答】證明：為。。的直徑，

/.ZBDC=90°,

：.ZA+ZABD^90°,

NA=/DBC,

：.ZDBC+ZABD=90°,

：.AB±BC,

YBC為。。的直徑，

是O。的切線.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定定理、圓周角定理，熟記經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是

圓的切線是解題的關(guān)鍵.

31.如圖，A,B,C,。是。。上的四個(gè)點(diǎn)，NADB=NBDC=60°,過點(diǎn)/作/￡〃2c交CD延長線于點(diǎn)

E.

(1)求N48C的大??；

(2)證明：/￡是O。的切線.

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得到NC48=/ADC=60°,NACB=NADB=6Q°,根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)解答即可；

(2)連接/O并延長交于尸，根據(jù)垂徑定理的推論得到NFLBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論.

【解答】(1)解：由圓周角定理得：NCAB=/BDC=60°,ZACB=ZADB=60°,

...△/3C為等邊三角形，

AZABC^60°；

(2)證明：連接并延長交8C于R

"：AB=AC,

AB=AC-

：.AF±BC,

■:AE//BC,

：.AFLAE,

是。。的半徑，

是。。的切線.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定、圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握經(jīng)過半徑

的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵.

一十二.切線的判定與性質(zhì)(共2小題)

32.如圖，48是半圓。的直徑，。為2c的中點(diǎn)，延長。。交介于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為。。的延長線上一點(diǎn)且滿

足NB=NF.

(1)求證：C戶是。。的切線；

(2)若45=4,Z5=30°,連接求40的長.

【分析】(1)欲證明3為。。的切線，只要證明即0CLW即可;

(2)利用圓周角定理和勾股定理求解即可.

???。為5C的中點(diǎn)，

：.ODLBC,

?：OB=OC,

：./B=/OCB,

/B=NF,

：.ZOCB=ZFf

'CODLBC,

：.ZDCF+ZF=90°,

AZDCF+ZOCB=90°.

即OCLCF,

???。/是。。的切線.

(2)解：,?Z5是半圓。的直徑,

AZACB=90°.

??ZB=4,ZB=30°，

：.AC=2BC=V42-22=2V3'

?*.BD=V3.

在RtZ\/CD中,

/1Z)=V4+3=V7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定和性質(zhì)，掌握切線的基本性質(zhì)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形是

解決問題的關(guān)鍵.

33.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O。，為的直徑，過點(diǎn)C作交40的延長線于點(diǎn)E,延長

EC,交于點(diǎn)凡ZECD=ZBCF.

(1)求證：CE為。。的切線;

(2)若。。的半徑為5,DE=\,求的長.

連接OC,先根據(jù)四邊形/BCD內(nèi)接于OO,得NCDE=N0BC,再根據(jù)等量代

換和直角三角形的性質(zhì)可得NOCE=90°,由切線的判定可得結(jié)論;

(2)如圖2,過點(diǎn)。作OG_L/E于G,連接OC,OD,則NOGE=90°,先根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊

形是矩形得四邊形0GEC是矩形，設(shè)。。的半徑為x,根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：如圖1,連接OC,

：.ZOCB=ZOBC,

?..四邊形48CD內(nèi)接于O。，

：.ZCDE=ZOBC,

\'CE±AD,

：.ZE=ZCDE+ZECD=90°,

ZECD=ZBCF,

：.ZOCB+ZBCF=90°,

：.ZOCE=90a,BPOCVEF,

；OC是OO的半徑，

；.CE為。。的切線；

（2）解：如下圖，過點(diǎn)。作OG_L4E于G,連接。C,OD,則NOGE=90°,

?：/E=NOCE=90°,

四邊形OGEC是矩形，

：.OC=EG,GD=5-1=4,

EC=OG={52_42=3,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，圓的有關(guān)知識(shí)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握切線

的判定是本題的關(guān)鍵.

一十三.切線長定理（共3小題）

34.如圖，。。為△4BC的內(nèi)切圓，AC^IO,AB=8,BC=9,點(diǎn)D,E分別為2C,NC上的點(diǎn)，且DE為

O。的切線，則△CDE的周長為（）

【分析】設(shè)48,AC,BC,DE和圓的切點(diǎn)分別是尸，N,M,0.根據(jù)切線長定理得到NC=MC,QE=

DQ.所以三角形CDE的周長即是CM+CN的值，再進(jìn)一步根據(jù)切線長定理由三角形/8C的三邊進(jìn)行求

解即可.

【解答】解：設(shè)N8,AC,BC,和圓的切點(diǎn)分別是尸，N,M,Q,CM=x，根據(jù)切線長定理，得

CN=CM=x,BM=BP=9-x,AN=AP=W-x.

則有9-x+10-x=8,

解得：x=5.5.

所以的周長=。。+?！?0￡+。。=緘=11.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要是考查了切線長定理.要掌握?qǐng)A中的有關(guān)定理，才能靈活解題.

35.如圖，圓。的圓心在梯形/BCD的底邊上，并與其它三邊均相切，若/8=10,AD=6,則C8長

()

A.4B.5C.6D.無法確定

【分析】方法1、設(shè)圓。的半徑是R,圓。與DC、C8相切于點(diǎn)E、F、H,連接。￡、OD、OF、

OC.OH,則圓的半徑凡可以看作△80C,/\COD,△NOD的高，根據(jù)S梯形NBCD=&BOC+SACOD+&

DO4,以及梯形的面積公式即可求解.

方法2、利用切線的性質(zhì)得出//DO=NODC,進(jìn)而得出即可得出。4=6,即：OB=

4,同理：2c=02即可得出結(jié)論.

【解答】解：方法1、

設(shè)圓。的半徑是我，圓。與DC、C8相切于點(diǎn)￡、F、H,連接OE、OD、OF、OC、OH.

設(shè)CD=y,CB=x.

設(shè)S梯形RBCQ=S

則5=工(CD+AB)R=L(y+10)R----------(1)

22'

S=SABOESACOD+S30A

=----------(2)

222

聯(lián)立(1)(2)得x=4；

方法2、連接OD0c

'：AD,CD是。。的切線,

???ZADO=ZODC,

9：CD//AB,

：.ZODC=ZAOD,

：.ZADO=ZAOD

：.AD=OA

9：AD=6,

：.OA=6f

V^S=10,

.',05=4,

同理可得

OB=BC=4,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出。/=6.

36.如圖，尸4和尸8是。。的兩條切線，A,B是切點(diǎn)、.。是弧上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)。畫。。的切線，分

別交正力和必于。，E兩點(diǎn)，已知P/=P8=5。加，求△尸?！甑闹荛L.

【分析】根據(jù)切線長定理得到。4=必，DA=DC,EB=EC,根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：???尸4和尸8是。。的兩條切線，

:?PA=PB,

同理可得：DA=DC,EB=EC,

；?LPDE的周長=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=TO(cm).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線長定理，從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等.

―H四.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心(共2小題)

37.如圖，△NBC的內(nèi)切圓。。與48,BC,C4分別相切于點(diǎn)。，E,F,且AD=BD=2,EC=3,則△/BC

的周長為（）

A.10B.12C.14D.16

【分析】根據(jù)切線長定理得出“尸=40=2,BE=BD=2,CF=CE=3,再求出△4BC的周長即可.

【解答】解：:△/Be的內(nèi)切圓。。與48,BC,C4分別相切于點(diǎn)D,E,F,AD=BD=2,EC=3,

：.AF^AD=2,BE=BD=2,CF=CE=3,

：./\ABC的周長=48+BC+/C

=AD+BD+BE+CE+AF+CF

=2+2+2+3+3+2

=14,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，能熟記從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的

切線長相等是解此題的關(guān)鍵.

38.如圖，點(diǎn)/為等邊△/BC的內(nèi)心，連接//并延長交△/BC的外接圓于點(diǎn)。，已知外接圓的半徑為2,

則線段的長為（）

A.2B.3C.4D.2^3

【分析】連結(jié)3/,先由△/3C是等邊三角形證明/48C=N區(qū)4C=/C=60°,則/D=/C=60°,再

根據(jù)三角形的內(nèi)心的定義證明/〃2=工/氏4c=30°,NIBA=I/4BC=30°,即可證明40是△45C

22

外接圓的直徑，再證明△03/是等邊三角形，則ZV=B/,即可證明。/=//=1。=2,則8。=。/=

2.

【解答】解：如圖，連接8/,

?：AABC是等邊三角形，

；./ABC=/B4C=/C=60°,

AZD=ZC=60°,

??,點(diǎn)/為等邊△/BC的內(nèi)心，

.,./"B=L/A4C=3O°,NIB4=L/ABC=30°,

22

.?.//2。=180°-ZD-ZIAB=90°,ZDIB=ZIAB+ZIBA=60°,

.'.AD是△NBC外接圓的直徑，

VZZ>5/=180°-ZD-ZDIB=60°,

是等邊三角形，

：.DI=BI,

'：ZIAB=ZIBA,

：.DI=AI=^4D=2,

2

：.BD=DI=2,

線段。3的長為2,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查三角形的內(nèi)心與三角形的外心的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、90°的圓周角所

對(duì)的弦是直徑、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線

是解題的關(guān)鍵.

一十五.正多邊形和圓（共5小題）

39.如圖，有一個(gè)直徑為4c加的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個(gè)最大正六邊形紙片，則這個(gè)正六邊

形紙片的邊心距是（）

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正多邊形圓心角的求法求出的度數(shù)，最后根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)求出即可.

【解答】解：如圖所示，連接08、OA,過點(diǎn)。作于點(diǎn)〃，

?；OO的直徑為4cm,

OB—OA—2cm,

多邊形ABCDEF是正六邊形，

AZA0B=60°,

???△405是等邊三角形，

?/六邊形ABCDEF是正六邊形

AZAOB=360°+6=60°,

?：OB=OA,

???△/OB是等邊三角形，

:?AB=OA=2cm,

9：OHLAB,

.*.5/7=JL45=—X2=1(cm),

22

22=

OH^7OB-BH(cm),

正六邊形紙片的邊心距是向5，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)題意畫出圖形，利用直角三角形的性質(zhì)及正六邊形的性質(zhì)解

答是解答此題的關(guān)鍵.

40.如圖，在正六邊形/BCD斯中，M,N分別為邊CD,2C的中點(diǎn)，/N與2M相交于點(diǎn)尸，則的

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得/8=8C=CD,