圓錐曲線的方程講義-高三數(shù)學一輪復習

人教A版數(shù)學圓錐曲線的方程專題四

知識點一根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程，求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,橢圓中的直線過定點

問題

22

典例1、已知橢圓C：1+與=1(a>8>0)的左右焦點為月，F(xiàn)2,上、下端點為九星.若從周，

%,B],當中任選三點所構(gòu)成的三角形均為面積等于2的直角三角形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，過點網(wǎng)0,2)作兩條不重合且，斜率之和為2的直線分別與橢圓交于A,B,E,尸四點，

若線段A5,石廠的中點分別為M,N,試問直線是否過定點？如果是，求出定點坐標，如果

不是，請說明理由.

22

隨堂練習：已知橢圓M』+3=l(a>b>0)上任意一點P到橢圓M兩個焦點片,工的距離之和為4,且

cib

離心率為".

2

(1)求橢圓加的標準方程；

(2)設A為M的左頂點，過A點作兩條互相垂直的直線AC,AD分別與M交于C,。兩點，證明：直線8

經(jīng)過定點，并求這個定點的坐標.

22(oA

典例2、已知橢圓C:，+==l(a>6>0),過點-―丁,1,(亞應).

abI2,

(1)求。的方程；

(2)若不過點A(。,2)的直線/與。交于弘N兩點，且滿足|AM+AN|=|AM-AN試探究：/是否過

定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

隨堂練習：已知為橢圓E:J+(=l(a>6>0)上一點，上、下頂點分別為A、B,右頂點為C,

且〃2+/=5.

(1)求橢圓E的方程；

(2)點P為橢圓E上異于頂點的一動點，直線AC與5尸交于點Q,直線C尸交y軸于點H.求證：直線HQ

過定點.

223

典例3、已知橢圓。：，+夫=1(穌6>0)過點4(-2,0).右焦點為尸，縱坐標為彳的點〃在。上,

ab2

且AFIMF.

（1）求。的方程；

（2）設過/與x軸垂直的直線為1,縱坐標不為0的點P為。上一動點，過萬作直線⑸的垂線交/

于點0,證明：直線網(wǎng)過定點.

隨堂練習：已知點耳（-1，。），圓巴：（x-iy+y2=8,點。在圓工上運動，。￡的垂直平分線交。工于點P.

（1）求動點尸的軌跡C的方程.

（2）動點尸的軌跡C與x軸交于A,8兩點（A在B點左側(cè)），直線/交軌跡C于M,N兩點（V,N不在x

軸上），直線AM,3N的斜率分別為印，k2,且勺=2m，求證：直線/過定點.

知識點二根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程,根據(jù)韋達定理求參數(shù)，根據(jù)弦長求參數(shù)

典例4、已知橢圓E:]+/=1（°>6>0）過點（2,0）,離心率為,.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設直線y=fcv-0被橢圓C截得的弦長為|,求％的值.

隨堂練習：已知橢圓氏￡+5=1伍>6>0）的離心率為無，上頂點為A（O,1）.

ab2

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點川0,白）且斜率為％的直線與橢圓E交于不同的兩點N,且|MN|=半，求人的值.

丫229

典例5、已知橢圓點+白=1（°>6>0）的離心率為。左頂點為A（-3,0）.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線/：y=H（左>0）與橢圓在第一象限的交點為尸，過點力的直線/'與橢圓交于點。，若/'///,

<|A2|=||0P|（。為原點），求％的值.

隨堂練習：已知橢圓C：J+/=l（a”>0）的焦距為2石，且過點）野

（1）求橢圓C的方程；

（2）設過橢圓頂點5（0㈤,斜率為％的直線交橢圓于另一點。,交x軸于點E,且忸。|、忸冏、|煙成

等比數(shù)列，求於的值.

典例6、在平面直角坐標系xQy中，已知橢圓C*，=l（a>6川的離心率e=#,且橢圓。上一點N

到。（0,3）距離的最大值為4,過點“（3,0）的直線交橢圓。于點/、B.

（1）求橢圓。的方程；

（2）設夕為橢圓上一點，且滿足0A+08.0P（。為坐標原點），當|AB|<6時，求實數(shù)力的取值范圍.

隨堂練習：已知弘N分別是x軸，y軸上的動點，且MV|=4+26,動點P滿足=設點P

的軌跡為曲線C.

(1)求曲線。的軌跡方程；

(2)直線4：3x-2y=O與曲線。交于/,8兩點，G為線段47上任意一點(不與端點重合)，斜率為4

的直線4經(jīng)過點G，與曲線C交于區(qū)廠兩點.若」黑石的值與G的位置無關(guān)，求次的值.

GA?

人教A版數(shù)學圓錐曲線的方程專題四答案

22

典例1、答案：(1)y+^=l(2)直線MV過定點，且定點為(TO)

解：(1)解法一：從月，工，呂，當中任選三點可構(gòu)成四個三角形，

其中△64巴△烏耳員工，△耳耳小會△片居鳥.

為此僅需考慮△耳與乙，一片匕坊為面積等于2的直角三角形即可.

其中%平心=：2c加=1,5例下能=；.26c=l.

因為△片8萬為等腰三角形，故可得/耳3解=90。，即有：2a2=公2；

同時因為用耳耳為等腰三角形，故可得/B也5=90。，即有：21=4〃；

綜上可得：b2=c2=2,a2=4,即可得橢圓C的方程為《+反=1.

42

解法二：由橢圓的對稱性，結(jié)合已知條件可知從片，四，當中任選三點所構(gòu)成的三角形,

均為等腰直角三角形，故四邊形大與外層是面積為4的正方形，

又正方形的邊長為"，故"=4,即。=2

又正方形的對角線相等，所以2b=2c,即b=c

22

又因為廿+°2=/=4,所以6=C=0從而橢圓C的方程為匕+乙=1.

42

（2）解法一：依題意，設直線A3的方程為：y=G+2①

設直線所的方程為：y=k2x+2,

聯(lián)立方程①與橢圓C的方程可得（26+1）/+8幻+4=0

由韋達定理得4+4=-2：,；］，根據(jù)中點公式可得：X”=/；/=_1

則為=幻M+2=R'即”卜'，舅同理可得：N卜春，念

故直線MN的方程為：y-念=匚會卜+哉］

因為匕+網(wǎng)=2,將履=2-匕代入上式可得：y=,一廣（尤+1）

i一4勺十4K］

故直線MN必過定點Q（TO）.

解法二：依題意可知直線MN的斜率存在，設直線MV的方程為：y=+b①,

設直線AB的方程為：>=左/+2②，設直線E廠的方程為：y=k2x+2,

聯(lián)立方程②與橢圓C的方程可得（2片+l）d+甌犬+4=。

XXAXB

由韋達定理得4+4=-2：T；1根據(jù)中點公式可得：M=~^=-2^'+1

同時點M是直線AB和直線跖V的交點，聯(lián)立方程①②得與=餐!

Ky—K

4kb-2

即可得一整理得2必；-4%+6-2=0④

同理可得2"：一4麻]+匕一2=0⑤

根據(jù)④⑤可以理解為匕，左2為關(guān)于院的一元二次方程2次;-4kko+b-2=O的兩個根.

由韋達定理可得：勺+幺=笠=華=2,即可得：b=k,

2bb

直線MN的方程為：y=Ax+6=Mx+l）,故直線MN必過定點。（TO）.

隨堂練習：答案：（1）；+丁=1（2）直線CD恒過定點證明見解析

解：（1）由橢圓定義知:|「耳|+|尸詞=2a=4,解得：0=2,

又曷心'率e=￡=^^,c=A/3,Z?2=a2—c2=1,

a2

二橢圓M的標準方程為：=+V=l.

4

（2）由（1）知：A（-2,0）；

當直線8斜率存在時，設。。:丁=履+根，。（藥,％）,

y=kx+m

由</得:（1+4左?）％?+8Amx+4m2—4=0,

——+V=1

14'

2

則A=16（l+4左2一/）>。，解得：m<1+4V,.,.%+%2=-;一~Try,xxx2=

1+4K

-L,鼬=%；2.%j2=j=_菁%2_2（%+%2）—4,

2

即（煙+m）（kx2+m）=+研（%+x2）+m=—x^x2.2（再+x2）—4,

2

二.（左2+1）玉電+（〃+2）（石+x2）+m+4=0,

（￡+I）（W-4）8km（mk+2）

+/+4=0，

1+442~1+412-

2

整理可得：5m-16Am+12左2=（5加一6左）（m一2左）=0,.,.根=與左或加=2人;

當根=2左時，直線CD:y=Ax+2左=左（%+2）恒過A點，不合題意；

當加=$時，直線小y=丘+駟=*+￡|,9恒過定點m；

當直線。斜率不存在且恒過,g，01寸，即CD:x=-《，

X=—6―4-4

由《25得:y=±U，kAC,kAD=—X65=_1,滿足題意；

工+）2=15）+2）+2

〔4y55

綜上所述：直線8恒過定點,g，o]

典例2、答案：⑴4+4=1⑵直線過定點°，一］

64I5J

'91

----1--=11O

解：（1）由題意，2,?，解得/=6方=4,所以橢圓0的標準方程為［+4=1.

64

A+A=i

（2）因為|AM+AN|=|AM-AN|,兩邊平方，化簡整理得，AM-AN=O

易知直線/的斜率存在，設其方程為丫=履+加，其中mW2.

工+匚1

由<64,（3左2+2）X?++3;〃2—12=0,

y=kx+m

△=36左2租2—12（3k2+2）（m2-4）=24（6k2+4-m2）,

設〃（不乂）川（々,%）,則為+%

3K"T"L3K+Z

所以AM.KA公％%+（%-2）（%-2）=玉%2+（g+加-2）（京2+加一2）

2

=（左2+1）玉々+左（m一2）（%+x2）+（m-2）=0,

所以儼+4黑1+左（吩2）?瞪1+（吩2）2=0,

即（左2+l）（3m2-12）-6k2m（m-2）+（m-2）2（3）t2+2）=0,

因為znw2,所以（左之+1）（3m+6）-6k2m+（m-2）（3k2+2）=0,

所以3左2m+6女2+3加+6—6左之祖+3左2m+2加一6左2—4=0，

2

得5加+2=0,解得加二一不，滿足A>0,

所以直線’的方程為：y=kx-^,即直線過定點（0,

丫2

隨堂練習：答案：（1）-+V=1（2）證明見解析

4

解：⑴因為小⑦為橢圓4+，1（。>6>0）上一點，所以J+￡F=L

131S

因為/=5,所以一萬+號=1，整理得4/-1%2+15=0,解得從=1或62=—.

5-b-4b4

當b2=:時，a2=7,與矛盾.所以慶=1,a2=4.

44

r2

橢圓E的方程為小

(2)設直線族的斜率為3則/小y=履-1.

y=kx-1

“日42k-l

因為，AC：y=-yX+l,由＜i解侍XQ=不~=不?

y=一一x+1"2k+l=2左+1

2

y=kx-1

X22,所以犬2+4（Ax—1）2—4=0,整理得（1+4左2）x?—8日=。，

因為＜II

=I

8k4k2-1

所以工尸=

4F7T，yp=4k^-

4k2-1

4左2+14/i2k+1，所以/小尸-當三(％-2).

所以kpc=

8k-8k2+Sk-24k-2

4FZI-2

人2k+1

令傳ZR力=~

2k+\2k-\（21+1）2（2I）28k

所以%=空_2^±14人2—14/—1_2k

442k—1

-2一+124+12女+1

2左+1

4o：y=------x+

所以RQ2k-12k-1

1*2k4k2k

所以后〉+1=一^~~071（I）.所以直線R。過定點(2,-1).

2k-Y2k-12k-l

22

典例3、答案：（1）3+3=1（2）過定點（2,0）；證明過程見詳解

解：(1)設點*G。)，其中c=E^＞0,則加

9

因為橢圓C過點A(-2,0),則a=2,將點M的坐標代入橢圓C的方程得且工r

a2b2

?22

所以4-廿J解得6=百，因此橢圓C的標準方程為上+J=1；

~+V=l43

(2)設點尸(x°,%)(x°/±2,%w0),則3=/,所以直線B4的垂線的斜率為左=-胃,

玉)十Z70

由題可知^(1,0),故直線FQ的方程為V=-W(x-1),

在直線產(chǎn)。的方程中，令X=-2,可得y=3(x0+2),即點Q[_2,3(/+2)],

%Iy0J

3(%+2)

所以直線尸。的方程為3(%+2)"-35+2)-4

%%+2-%(x0+2)

陽3(/+2)一$23(%+2)

-%(~)+2)[3(%+2)—%

因為,+?=i，所以y：=3-乎，

31+2『____3(-0+2)______(/+2)_4

所以3（%+2）-北31+2)-3]1

所以廠端甘（.一4）=甯簧（7），所以直線加過定點（2,。）.

隨堂練習：答案：（1）y+/=l（2）證明見解析

解：（1）圓/：（》-1）2+心=8的圓心為瑪（1,0）,半徑為2立,

依題意得|3|+|尸段=|。閭=2后＞陽閶=2,則動點P的軌跡是以小%為焦點的橢圓,

其中a=0,c=l,b2=a2-c2=l,所以動點P的軌跡C的方程為］+y2=i.

（2）設直線/的方程為彳=沙+叫M（XQ3N（x2,y2）,

x=ty+m

則由彳導(產(chǎn)+2)y?+2mty+m？一2=0,

x2+y2=1

2mt

…二K

由根與系數(shù)的關(guān)系得①,

m2-2

由題意M,N兩點不在x軸上，所以玉力±0,廿土叵，m手土立,

又點.-叵0），可應,。），所以—小，―二^，由"犬=1得一號『

從而由已知k[=2&得-%母=2—,即(%—0)(%—收)=一4%%②,

2ylx2—v2'

又西=0]+巾,x2=ty2+m(3),

將③代入②得d+4)x%+?"L&)(M+%)+("L0)2=°，

將①代入上式并整理得：(r2+4)(m2-2)+r(m-^)(-2mr)+(m-A/2)2(r2+2)=0.

m-yflw0,.\+4)(m+行)+(-2根/)+(加一應)(*+2)=0,

整理得6M+2四=0,.,.加=-乎，直線/的方程為了=0-1，

故直線/恒過定點.

I3J

22

典例4、答案：(1)土+匕=1；(2)左=±1.

42

解：(1)依題意得。=2,因離心率為4,則橢圓半焦距c=應，于是得一°2=2,

22

所以橢圓月的方程為±+±=1.

42

(2)設直線與橢圓￡的交點為A(占，%),8(X2,%),

:消去y并整理得：2公「4國町解得寸?！号?/p>

由＜

依題意|AB|=J1+如國-引=|,即［+〃=|,

整理得：Ij娛7：(1+")=|，即/+/一2=0,

解得左2=1,即左=±1,

所以人的值是左=±L

丫2

隨堂練習：答案：(1)y+/=l(2)k=±6

解：(1)由禺心率e=￡=X^,貝!J〃=A/5C,

a2

又上頂點4(。，1),知b=l,Xb2=a2-c2=1,可知c=l,a=五,

丫2

???橢圓￡的方程為5+丁=1；

（2）設直線/：y=kx+y[3,設〃（玉，X）,N（x2,y2）,

y=kx+-j3

則V,,整理得：（1+2產(chǎn)卜2+4限+4=0,

=1

1—2+'y

.-4尿_4

公=卜園）2-4x4x（l+2/）＞0,即后2＞i,

??X+X=---------9Z_72

］1?-l+2k2-1+2Q

0（1+用伊-1）8后

|AflV|=,1+『［爸=5/1+1。+三）2-4爸）

1+2-

19

即17左4_32/_57=0,解得：左2=3或一行（舍去）??k=±A/3

典例5、答案：（1）—+^=1（2）左=還

953

C7

解：（1）由題意得。=3,e=—=彳，故c=2,

a3

22

所以從="＜2=5,所以橢圓的方程為-+1=1；

（2）設直線/與橢圓得另一個交點為

設「（玉,乂）,知（々,為）,己（W,力）,因為，〃/,則直線/'的方程為'=左（％+3）,

）=女（％+3）2

聯(lián)立江+《_],消y整理得（9『+5卜2+54〃％+81/-45=。，貝|]一3+無

T+T-+

山”一27廿+1517nl,/030左

所以尤3=》7T'貝U%=Mx3+3)=「p

所以陷=，1+3)2+%2=嚅*，

M>2

聯(lián)立95-,消y整理得(9/+5*—45=0,

y=kx

45所以|0刊=；戶必=；，1+后2.!180

則X]+々=0,%*2=-，

.2+59k2+5

因為|A0|=g|OP|,所以無

解得左=±￡1,又左＞0,所以無=地.

33

隨堂練習：答案：（1）—+/=1；（2）廿=2±且.

4'4

-13.

_-------I-----------^31

解：（1）由已知2c=2由，即有c=百，由已知條件可得/4bL,解得＜

c2=a2—b2=3

因此，橢圓C的方程為4+丁=1；

4

y=kx+\

（2）由（1）得直線80的方程為丫=區(qū)+1,聯(lián)立匕22，

—+y=1

14'

消去y可得（我2+1）/+8依=0,解得則如

依題意左左0且左右土g,

因為即|、郎、|必成等比數(shù)列，^\\BEf=\BD\-\DE\,則。-%＞|為|=1.

當%＞。時，則有其-y°+i=。，該方程無解;

1-小

當％<0時，則煽-如T=。，解得知=

所以MAW，解得心苧

所以，當怛&、|明、|媽成等比數(shù)列時，％2=2聲.

典例6、答案：(1)—+v2=l；(2)-2<t<-6或6<t<2.

4'

解：(1)橢圓。的半焦距c,/=￡=之？=3，即片=4/，

aa4

22

則橢圓方程為蘇+方=1,即/+4/=4",設N5,%),

貝UINQ|=J(無0-0)2+(%-3)2=j4/-4y；+(%-3)2=J-3y；-6%+4/+9=-3(%+1)，破+12,

當%=T時，|N0有最大值,4從+12,即，而+12=4,解得廿=1,a2=4,

故橢圓方程是一+丁=1；

4

(2)設A&,%),3(孫％),P(x,y),直線”的方程為y=Mx-3),

y=女(1-3)

由",整理得(1+4左2)%2一24上+36左2—4=0,

.~4

則A=(-24r1一16(9廿—1)(1+4/)>0,解得左2<(,%i+%2=_1^_,Xi.X2=^_i

因|AB|<有且|=Jl+U[x]-x2|,則(1+^)[(占+元2『一4王尤2]<3,

/八242%，4(36%2—4)/cc\

于是有1+2-——\'<3,化簡，得8/T16r+13>0,

(1+4左2)1+4左

則8/_1>0,即左2>[所以:</<：,

oo5