天津部分區(qū)2025屆數(shù)學高二上期末考試模擬試題含解析

天津部分區(qū)2025屆數(shù)學高二上期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓與圓的位置關系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離2．已知直線與直線平行，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.C.1或 D.3．設，分別為具有公共焦點與橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為A. B.1C.2 D.不確定4．已知，是橢圓的兩焦點，是橢圓上任一點，從引外角平分線的垂線，垂足為，則點的軌跡為（）A.圓 B.兩個圓C.橢圓 D.兩個橢圓5．直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不確定6．設x∈R，則x<3是0<x<3的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件7．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球B.至少有一個黑球與至少有一個紅球C.恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球D.至少有一個黑球與都是紅球8．某中學舉行黨史學習教育知識競賽，甲隊有、、、、、共名選手其中名男生名女生，按比賽規(guī)則，比賽時現(xiàn)場從中隨機抽出名選手答題，則至少有名女同學被選中的概率是（）A. B.C. D.9．已知，為橢圓上關于短軸對稱的兩點，、分別為橢圓的上、下頂點，設，、分別為直線，的斜率，則的最小值為（）A. B.C. D.10．若等軸雙曲線C過點，則雙曲線C的頂點到其漸近線的距離為（）A.1 B.C. D.211．已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓的兩個焦點，過F1的直線l交橢圓于M，N兩點，若△MF2N的周長為8，則橢圓方程為()A. B.C. D.12．設，，則與的等比中項為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若斜率為的直線與橢圓交于，兩點，且的中點坐標為，則___________.14．以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是__________15．已知直線與直線平行，則直線，之間的距離為__________.16．設函數(shù)滿足，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）中，三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（1）求角A；（2）若，角A的角平分線交于D，，求a18．（12分）設等差數(shù)列的前項和為（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和19．（12分）在二項式展開式中，第3項和第4項的二項式系數(shù)比為.（1）求n的值及展開式中的常數(shù)項；（2）求展開式中系數(shù)最大的項是第幾項.20．（12分）已知數(shù)列滿足，，且成等比數(shù)列（1）求的值和的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和21．（12分）直線經(jīng)過點，且與圓相交與兩點，截得的弦長為，求的方程.22．（10分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】寫出兩圓的圓心和半徑，求出圓心距，發(fā)現(xiàn)與兩圓的半徑和相等，所以判斷兩圓外切【詳解】圓的標準方程為：，所以圓心坐標為，半徑；圓的圓心為，半徑，圓心距，所以兩圓相外切故選：C2、A【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗可知符合題意.故選：A3、C【解析】根據(jù)題意，設它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關于a、c、m的方程，聯(lián)解可得a2+m2=2c2，再根據(jù)離心率的定義求解【詳解】由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，設P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2m①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a②又∵，∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③，化簡得a2+m2=2c2，即，可得，所以=.故選：C4、A【解析】設的延長線交的延長線于點，由橢圓性質(zhì)推導出，由題意知是△的中位線，從而得到點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓【詳解】是焦點為、的橢圓上一點為的外角平分線，，設的延長線交的延長線于點，如圖，，，，由題意知是△的中位線，，點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓故選：A5、A【解析】首先求出直線過定點，再判斷點在圓內(nèi)，即可判斷；【詳解】解：直線恒過定點，又，即點在圓內(nèi)部，所以直線與圓相交；故選：A6、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義可得出結論.【詳解】，因此，“”是“”必要不充分條件.故選：B.7、C【解析】列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，逐項判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：兩個都是黑球，這兩個事件不是互斥事件，故錯誤；B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，故錯誤；C：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，故正確D：事件：“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，這兩個事件是對立事件，故錯誤；故選：C8、D【解析】現(xiàn)場選名選手，共種情況，設，，，四位同學為男同學則沒有女同學被選中的情況，共有6種，利用對立事件進行求解，即可得到答案；【詳解】現(xiàn)場選名選手，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共種情況，不妨設，，，四位同學為男同學則沒有女同學被選中的情況是：，，，，，共種，則至少有一名女同學被選中的概率為.故選：.9、A【解析】設出點，的坐標，并表示出兩個斜率、，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成與點的坐標相關的代數(shù)式，再與橢圓有公共點解決即可.【詳解】橢圓中：，設則，則，，令，則它對應直線由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A10、A【解析】先求出雙曲線C的標準方程，再求頂點到其漸近線的距離.【詳解】設等軸雙曲線C的標準方程為，因為點在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線C的標準方程為，故上頂點到其一條漸近線的距離為.故選：A11、A【解析】由題得c=1,再根據(jù)△MF2N的周長＝4a＝8得a＝2，進而求出b的值得解.【詳解】∵F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓的兩個焦點，∴c＝1，又根據(jù)橢圓的定義，△MF2N的周長＝4a＝8，得a＝2，進而得b＝，所以橢圓方程為.故答案為A【點睛】本題主要考查橢圓的定義和橢圓方程的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.12、C【解析】利用等比中項的定義可求得結果.【詳解】由題意可知，與的等比中項為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解析】根據(jù)給定條件設出點A，B的坐標，再借助“點差法”即可計算得解.【詳解】依題意，線段的中點在橢圓C內(nèi)，設，，由兩式相減得：，而，于是得，即，所以.故答案為：14、；【解析】根據(jù)相切可得圓心到直線距離即為圓的半徑,利用點到直線距離公式解出半徑,即可得到圓的方程【詳解】由題,設圓心到直線的距離為,所以,因為圓與直線相切,則,所以圓的方程為,故答案為：【點睛】本題考查利用直線與圓的位置關系求圓的方程,考查點到直線距離公式的應用15、【解析】利用直線平行與斜率之間的關系、點到直線的距離公式即可得出【詳解】解：因為直線與直線平行，所以，解得，當時，，，則故答案為：【點睛】熟練運用直線平行與斜率之間的關系、點到直線的距離公式，是解題關鍵16、5【解析】考點：函數(shù)導數(shù)與求值三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理統(tǒng)一三角函數(shù)化簡即可求解；（2）根據(jù)角平分線建立三角形面積方程求出b,再由余弦定理求解即可.【小問1詳解】由及正弦定理，得∵，∴∵，∴∵，∴【小問2詳解】∵，∴，解得由余弦定理，得，∴.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和求和公式求出首項和公差，進而求出通項公式；（2）結合（1）求出，再令得出數(shù)列的正數(shù)項和負數(shù)項，進而結合等差數(shù)列求和公式求得答案.【小問1詳解】設等差數(shù)列的首項和公差分別為和，∴，解得：所以.【小問2詳解】，所以.當；當，當，時，，當時，.綜上：.19、（1），常數(shù)項為（2）5【解析】（1）求出二項式的通項公式，求出第3項和第4項的二項式系數(shù)，再利用已知條件列方程求出的值，從而可求出常數(shù)項，（2）設展開式中系數(shù)最大的項是第項，則，從而可求出結果【小問1詳解】二項式展開式的通項公式為，因為第3項和第4項的二項式系數(shù)比為，所以，化簡得，解得，所以，令，得，所以常數(shù)項為【小問2詳解】設展開式中系數(shù)最大的項是第項，則，，解得，因為，所以，所以展開式中系數(shù)最大的項是第5項20、（1）；；（2）【解析】（1）由于，所以可得，再由成等比數(shù)列，列方程可求出，從而可求出的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用錯位相減法求【詳解】解：（1）數(shù)列{an}滿足，所以，所以a2+a3＝a1+a2+d，由于a1＝1，a2＝1，所以a2+a3＝2+d，a8+a9＝2+7d，且a1，a2+a3，a8+a9成等比數(shù)列，所以，整理得d＝1或2（1舍去）故an+2＝an+2，所以n奇數(shù)時，an＝n，n為偶數(shù)時，an＝n﹣1所以數(shù)列{an}的通項公式為（2）由于，所以所以T2n＝b1+b2+．．．+b2n＝﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+．．．+[﹣22n﹣2?（2n﹣1）2]+22n﹣2?（2n）2，＝20×（22﹣12）+22×（42﹣32）+．．．+22n﹣2?[（2n）2﹣（2n﹣1）2]＝20×3+22×7+．．．+22n﹣2?（4n﹣1）①，所以，②，①﹣②得：﹣3T2n＝20×3+22×4+．．．+22n﹣2×4﹣22n×（4n﹣1），＝3+4×﹣22n×（4n﹣1），＝，所以21、或【解析】直線截圓得的弦長為，結合圓的半徑為5，利用勾股定理可得圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式列方程求出直線斜率，由點斜式可得結果.【詳解】設直線的方程為，即，因為圓的半徑為5，截得的弦長為所以圓心到直線的距離，即或，∴所求直線的方程為或.【點睛】本題主要考查點到直線距離公式以及圓的弦長的求法，求圓的弦長有兩種方法：一是利用弦長公式，結合韋達定理求解；二是利用半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，利用勾股定理求解.22、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標系，設，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結果小問1詳解】在中，，因為，分別是，邊上的中點，所以∥，，所以