福建省廈門市思明區(qū)夏門一中2025屆高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析_第1頁
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福建省廈門市思明區(qū)夏門一中2025屆高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線上的一點,則點M到拋物線焦點F的距離等于()A.6 B.5C.4 D.22.在棱長為1的正方體中,是線段上一個動點,則下列結論正確的有()A.不存在點使得異面直線與所成角為90°B.存在點使得異面直線與所成角為45°C.存在點使得二面角的平面角為45°D.當時,平面截正方體所得的截面面積為3.已知圓上有三個點到直線的距離等于1,則的值為()A. B.C. D.14.“”是“方程表示雙曲線”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知A,B,C三點不共線,O是平面ABC外一點,下列條件中能確定點M與點A,B,C一定共面的是A. B.C. D.6.有一個圓錐形鉛垂,其底面直徑為10cm,母線長為15cm.P是鉛垂底面圓周上一點,則關于下列命題:①鉛垂的側面積為150cm2;②一只螞蟻從P點出發(fā)沿鉛垂側面爬行一周、最終又回到P點的最短路徑的長度為cm.其中正確的判斷是()A.①②都正確 B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確7.“”是“方程表示橢圓”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知平面內有一點,平面的一個法向量為,則下列四個點中在平面內的是()A. B.C. D.9.設直線的傾斜角為,且,則滿足A. B.C. D.10.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點,且它們的離心率之積為1,則橢圓的標準方程為()A. B.C. D.11.已知雙曲線:的左、右焦點分別為,,過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為,若,則雙曲線的離心率是()A. B.C. D.12.已知圓,則圓C關于直線對稱的圓的方程為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,正方體的棱長為1,C、D分別是兩條棱的中點,A、B、M是頂點,那么點M到截面ABCD的距離是____________.14.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為______15.如圖①,用一個平面去截圓錐,得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究,其中比利時數(shù)學家(1794-1847)的方法非常巧妙,極具創(chuàng)造性.在圓錐內放兩個大小不同的球,使得它們分別與圓錐的側面,截面相切,兩個球分別與截面相切于,在截口曲線上任取一點,過作圓錐的母線,分別與兩個球相切于,由球和圓的幾何性質,可以知道,,于是.由的產生方法可知,它們之間的距離是定值,由橢圓定義可知,截口曲線是以為焦點的橢圓.如圖②,一個半徑為2的球放在桌面上,桌面上方有一個點光源,則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸,垂直于桌面且與球相切,,則橢圓的離心率為___________.16.一道數(shù)學難題,在半小時內,甲能解決的概率是,乙能解決的概率是,兩人試圖獨立地在半小時內解決它,則問題得到解決的概率是________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)記為等差數(shù)列的前n項和,已知.(1)求的通項公式;(2)求的最小值.18.(12分)已知拋物線C的焦點為,N為拋物線上一點,且(1)求拋物線C的方程;(2)過點F且斜率為k的直線l與C交于A,B兩點,,求直線l的方程19.(12分)已知拋物線上的點M(5,m)到焦點F的距離為6.(1)求拋物線C的方程;(2)過點作直線l交拋物線C于A,B兩點,且點P是線段AB的中點,求直線l方程.20.(12分)雙曲線的離心率為2,經過C的焦點垂直于x軸的直線被C所截得的弦長為12.(1)求C的方程;(2)設A,B是C上兩點,線段AB的中點為,求直線AB的方程.21.(12分)已知函數(shù).(1)當時,討論的單調性;(2)當時,證明:.22.(10分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值;(2)是否存在實數(shù),,,對任意的正數(shù),都有成立?若存在,求出,,的所有值;若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】將點代入拋物線方程求出,再由拋物線的焦半徑公式可得答案.詳解】將點代入拋物線方程可得,解得則故選:B2、D【解析】由正方體的性質可將異面直線與所成的角可轉化為直線與所成角,而當為的中點時,可得,可判斷A;與或重合時,直線與所成的角最小可判斷B;當與重合時,二面角的平面角最小,通過計算可判斷C;過作,交于,交于點,由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面,且四邊形是等腰梯形,然后利用已知數(shù)據(jù)計算即可判斷D.【詳解】異面直線與所成的角可轉化為直線與所成角,當為中點時,,此時與所成的角為90°,所以A錯誤;當與或重合時,直線與所成角最小,為60°,所以B錯誤;當與重合時,二面角的平面角最小,,所以,所以C錯誤;對于D,過作,交于,交于點,因為,所以、分別是、的中點,又,所以,四邊形即為平面截正方體所得的截面,因為,且,所以四邊形是等腰梯形,作交于點,所以,,所以梯形的面積為,所以D正確.故選:D.3、A【解析】求出圓心和半徑,由題意可得圓心到直線的距離,列方程即可求得的值.【詳解】由圓可得圓心,半徑,因為圓上有三個點到直線的距離等于1,所以圓心到直線的距離,可得:,故選:A.4、A【解析】方程表示雙曲線則,解得,是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選:A5、D【解析】首先利用坐標法,排除錯誤選項,然后對符合的選項驗證存在使得,由此得出正確選項.【詳解】不妨設.對于A選項,,由于的豎坐標,故不在平面上,故A選項錯誤.對于B選項,,由于的豎坐標,故不在平面上,故B選項錯誤.對于C選項,,由于的豎坐標,故不在平面上,故C選項錯誤.對于D選項,,由于的豎坐標為,故在平面上,也即四點共面.下面證明結論一定成立:由,得,即,故存在,使得成立,也即四點共面.故選:D.【點睛】本小題主要考查空間四點共面的證明方法,考查空間向量的線性運算,考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.6、C【解析】根據(jù)圓錐的側面展開圖為扇形,由扇形的面積公式計算即可判斷①,在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑,計算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm,母線長為15cm.底面圓周長為.將其側面展開后得到扇形半徑為cm,弧長為,則扇形面積為,①錯誤.將其側面展開,則爬行最短距離為,由弧長公式得展開后扇形弧度數(shù)為,作,,又,,cm,②正確.故選:C7、B【解析】根據(jù)方程表示橢圓,且2,再判斷必要不充分條件即可.【詳解】解:方程表示橢圓滿足,解得,且2所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選:B8、A【解析】設所求點的坐標為,由,逐一驗證選項即可【詳解】設所求點的坐標為,則,因為平面的一個法向量為,所以,,對于選項A,,對于選項B,,對于選項C,,對于選項D,故選:A9、D【解析】因為,所以,,,,故選D10、A【解析】計算雙曲線的焦點為,離心率,得到橢圓的焦點為,離心率,計算得到答案.【詳解】雙曲線的焦點為,離心率,故橢圓的焦點為,離心率,即.解得,故橢圓標準方程為:.故選:.【點睛】本題考查了橢圓和雙曲線的離心率,焦點,橢圓的標準方程,意在考查學生的計算能力.11、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形,然后結合雙曲線的定義得到,設,進而作,得出,由此求出結果【詳解】因為,所以,即所以,由雙曲線的定義,知,設,則,易得,如圖,作,為垂足,則,所以,即,即雙曲線的離心率為.故選:B12、B【解析】求得圓的圓心關于直線的對稱點,由此求得對稱圓的方程.【詳解】設圓的圓心關于直線的對稱點為,則,所以對稱圓的方程為.故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意建立空間直角坐標系,然后結合點面距離公式即可求得點M到截面ABCD的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系,可得A(0,0,0),B(1,1,0),D(0,,1),M(0,1,0),∴(0,1,0),(1,1,0),(0,,1),設(x,y,z)為平面ABCD的法向量,則,取y=﹣2,可得x=2,z=1,∴(2,﹣2,1),∴M到截面ABCD的距離d故答案為.【點睛】本題主要考查空間直角坐標系及其應用,點面距離的計算等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.14、【解析】求出、的值,利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】因為,則,所以,,,故所求切線方程為,即.故答案為:.15、##0.5【解析】利用球與圓錐相切,得出截面,在平面圖形中求解,以及圓錐曲線的來源來理解切點為橢圓的一個焦點,求出,得出離心率.【詳解】設球切于,切于E,,球半徑為2,所以,,∴,又中,,,故橢圓長軸長為,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點為橢圓的焦點知:球O與相切的切點為橢圓的一個焦點,且,,橢圓的離心率為.故答案:.16、【解析】分甲解決乙不能解決,甲不能解決乙能解決,甲能解決乙也能解決三類,利用獨立事件的概率求解.【詳解】因為甲能解決的概率是,乙能解決的概率是,所以問題得到解決的概率是,故答案為:三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)設數(shù)列的公差為d,由,利用等差數(shù)列的前n項和公式求解;(2)利用等差數(shù)列的前n項和公式結合二次函數(shù)的性質求解.【小問1詳解】解:設數(shù)列的公差為d,∵,∴,解得2,∴.【小問2詳解】由(1)知2,∴,,,∴當時,取得最小值-16.18、(1)(2)或【解析】(1)拋物線的方程為,利用拋物線的定義求出點N,代入拋物線方程即可求解.(2)設直線的方程為,將直線與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理以及焦半徑公式可得或,即求.【小問1詳解】拋物線的方程為,設,依題意,由拋物線定義,即.所以,又由,得,解得(舍去),所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由(1)得,設直線的方程為,,,由,得.因為,故所以.由題設知,解得或,因此直線方程為或.19、(1)(2)【解析】(1)由拋物線定義有求參數(shù),即可寫出拋物線方程.(2)由題意設,聯(lián)立拋物線方程,結合韋達定理、中點坐標求參數(shù)k,即可得直線l方程【小問1詳解】由題設,拋物線準線方程為,∴拋物線定義知:可得,故【小問2詳解】由題設,直線l的斜率存在且不為0,設聯(lián)立方程,得,整理得,則.又P是線段AB的中點,∴,即故l20、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)已知條件求得,由此求得的方程.(2)結合點差法求得直線的斜率,從而求得直線的方程.【小問1詳解】因為C的離心率為2,所以,可得.將代入可得,由題設.解得,,,所以C的方程為.【小問2詳解】設,,則,.因此,即.因為線段AB的中點為,所以,,從而,于是直線AB的方程是.21、(1)在上單調遞減,在上單調遞增(2)證明見解析【解析】(1)當時,利用求得的單調區(qū)間.(2)將問題轉化為證明,利用導數(shù)求得的最小值大于零,從而證得不等式成立.【小問1詳解】當時,,且,又與均在上單調遞增,所以在上單調遞增.當時,單調遞減;當時,單調遞增綜上,在上單調遞減,在上單調遞增.【小問2詳解】因為,所以,要證,只需證當時,即可.,易知在上單調遞增,又,所以,且,即,當時,單調遞減;當時,單調遞增,,所以.【點睛】在證明不等式的過程中,直接證明困難時,可考慮證明和兩個不等式成立,從而證得成立.22、(1)極小值為:,無極大值(2),,【解析】(1)先求導求單調性,再判斷極值點求極值即可;(2)易知,只需要為函數(shù)和的公切線即可,求出公切線,代入后分別證明和成立即可.【小問1詳解】由題意知:,令,解得,令,解得,所以函數(shù)在單調遞增,在單調遞減,所以為函數(shù)的極小值點,即極小值為:,無極大值.【小問2詳解】設,易知,所以點是和的公共點,要使成立,只需要為函數(shù)和的公切線即可,由(1)知,,所以在點處的切線為:,同理可得在點處的切線為:,由題意知為同一條直線,所以解得,即等價于;下面證明這個式子成立:首先證明等價于,設,所以,恒成立,所以單調遞增,易知,所以當時,,當時,,所以在單調遞減,在單調遞增,所以,故不等式成立,即成立;再證明:等價于,設,所以,所以當時,,

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