上海市華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

上海市華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術(shù)是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復(fù)，設(shè)，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)（）A.2 B.3C. D.2．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別，若，，，則（）A. B.C. D.3．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為（）A. B.C. D.4．直線且的傾斜角為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.46．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數(shù)增函數(shù) B.在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)C.為函數(shù)的極小值點(diǎn) D.2為函數(shù)的極大值點(diǎn)8．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（）A.12 B.32C.36 D.729．已知平面的一個(gè)法向量為=（2，－2，4），=（－1，1，－2），則AB所在直線l與平面的位置關(guān)系為（）A.l⊥ B.C.l與相交但不垂直 D.l∥10．在空間直角坐標(biāo)系中，，，若∥，則x的值為（）A.3 B.6C.5 D.411．下列命題中正確的是（）A.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1C.拋物線的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱D.拋物線的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱12．函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A.個(gè) B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，且，則的最小值為___________14．已知函數(shù)，則___________.15．在中.若成公比為的等比數(shù)列，則____________16．秦九韶出生于普州（今資陽市安岳縣），是我國南宋時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)立的秦九韶算法歷來為人稱道，其本質(zhì)是將一個(gè)次多項(xiàng)式寫成個(gè)一次式相組合的形式，如可將寫成，由此可得__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，，平面平面，且（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值18．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.19．（12分）函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）公差不為零的等差數(shù)列中，已知其前n項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n和21．（12分）如圖，在四面體ABCD中，，平面ABC，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，，（1）證明：；（2）求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值22．（10分）（1）已知集合，．：，：，并且是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍（2）已知：，，：，，若為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)，則，解方程可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)是解題關(guān)鍵.2、B【解析】利用正弦定理可直接求得結(jié)果.【詳解】在中，由正弦定理得：.故選：B.3、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：由題，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C4、C【解析】由直線方程可知其斜率，根據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】直線方程可化為：，直線的斜率，直線的傾斜角為.故選：C.5、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.6、B【解析】由等差數(shù)列基本量法求出通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消法求得，求出的最大值，然后利用關(guān)于的不等式是一次不等式列出滿足的不等關(guān)系求得其范圍【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，∴，易知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，∴若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式恒成立首先轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的單調(diào)性與最值，其次轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立7、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求解.【詳解】對(duì)于A，在區(qū)間，，故A不正確；對(duì)于B，在區(qū)間，，故B不正確；對(duì)于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，故C不正確，D正確.故選：D8、C【解析】利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合角標(biāo)和定理即可求解.【詳解】解：等差數(shù)列中，所以等差數(shù)列的前6項(xiàng)之和為：故選：C.9、A【解析】由向量與平面法向量的關(guān)系判斷直線與平面的位置關(guān)系【詳解】因?yàn)?，所以，所以故選：A10、D【解析】依題意可得，即可得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意，即，所以，解得故選：D11、C【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；拋物線的準(zhǔn)線方程為，故B錯(cuò)誤；拋物線的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：C.12、A【解析】利用極小值的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象可知，函數(shù)在內(nèi)的圖象與軸有四個(gè)公共點(diǎn)，在從左到右第一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，在從左到右第二個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，在從左到右第三個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，在從左到右第四個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，所以函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極小值點(diǎn)有個(gè)，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、25【解析】根據(jù)，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為25，故答案為：2514、【解析】先求導(dǎo)數(shù)，代入可得.【詳解】因?yàn)樗?，則，故.故答案為：15、【解析】由條件可得，即，由余弦定理可得答案.【詳解】由成公比為的等比數(shù)列，即由正弦定理可知所以故答案為：16、【解析】利用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先利用正方形和梯形的性質(zhì)證明線面平行，然后再根據(jù)線面平行證明面面平行即可（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)的向量，然后分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，最后求出平面與平面夾角的余弦值【小問1詳解】四邊形是正方形，可得：又平面，平面則有：平面四邊形是梯形，可得：又平面，平面則有：平面又故平面平面【小問2詳解】依題意知兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則有：，，，可得：，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有：取，可得：設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有：取，可得：設(shè)平面與平面的夾角為，則故平面與平面夾角的余弦值為18、（1）；（2）.【解析】（1）利用可求得結(jié)果；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；綜上所述：.【小問2詳解】由（1）得：，.19、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)，原不等式等價(jià)于，分類討論即可得出結(jié)論；（2）不等式對(duì)任意恒成立，即，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，解得，即；當(dāng)時(shí)，恒成立，即；當(dāng)時(shí)，，解得，即；綜上，不等式的解集為；（2），，即或，解得，∴a取值范圍是.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合題意，可求得值，根據(jù)成等比數(shù)列，即可求得d值，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式，即可得答案；（2）由（1）可求得，即可得表達(dá)式，根據(jù)裂項(xiàng)相消求和法，即可得答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列性質(zhì)可得，解得，又成等比數(shù)列，所以，整理得，因?yàn)?，所以，所以【小?詳解】由（1）可得，則，所以，所以21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明平面ABD即可；（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面BCD的一個(gè)法向量和平面DCM的一個(gè)法向量，然后由求解【小問1詳解】證明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小問2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，依題意，可得，設(shè)為平面BCD的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得設(shè)為平面DCM的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夾角的余弦值為22、（1）；（2）【解析】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，又由，求得集合，根據(jù)命題是命題的充分條件，所以，列出不等式，即可求解（2）依題意知，均為假命題，分別求得實(shí)數(shù)的取值范圍，即可