甘肅省蘭州市第九中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題含解析

甘肅省蘭州市第九中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為（）A. B.C. D.2．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1=1，－=1，則an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-14．點(diǎn)A是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.5．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（）A.4 B.C.2 D.6．已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.7．將數(shù)列中的各項(xiàng)依次按第一個(gè)括號(hào)1個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)2個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)4個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)8個(gè)數(shù)，第五個(gè)括號(hào)16個(gè)數(shù)，…，進(jìn)行排列，，，…，則以下結(jié)論中正確的是（）A.第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為1025 B.2021在第11個(gè)括號(hào)內(nèi)C.前10個(gè)括號(hào)內(nèi)一共有1025個(gè)數(shù) D.第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字之和8．已知直線為拋物線的準(zhǔn)線，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C.4 D.89．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為P，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的A. B.C. D.11．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.12．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)、作兩條互相垂直的直線、，它們的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是________14．正三棱柱的底面邊長和高均為2，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)，連接，，則點(diǎn)到平面的距離為______.15．雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則的面積為__________16．（建三江）函數(shù)在處取得極小值，則=___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，已知平面ABCD，為等邊三角形，，，.（1）證明：平面PAD；（2）若M是BP的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.18．（12分）我們知道，裝同樣體積的液體容器中，如果容器的高度一樣，那么側(cè)面所需的材料就以圓柱形的容器最省.所以汽油桶等裝液體的容器大都是圓柱形的，某臥式油罐如圖1所示，它垂直于軸的截面如圖2所示，已知截面圓的半徑是1米，弧的長為米表示劣弧與弦所圍成陰影部分的面積.（1）請寫出函數(shù)表達(dá)式；（2）用求導(dǎo)的方法證明.19．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，其中表示不超過最大整數(shù)，如，.（i）求、、；（ii）求數(shù)列的前項(xiàng)的和.20．（12分）在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足（1）求A的大??；（2）若，的面積為，求的周長21．（12分）已知圓心為的圓過原點(diǎn)，且直線與圓相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線的斜率為，且直線與圓相交于兩點(diǎn).①若，求弦的長；②若圓上存在點(diǎn)，使得成立，求直線的斜率.22．（10分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長為.故選：C.2、D【解析】設(shè)，根據(jù)題意可得，由雙曲線定義得、，進(jìn)而求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則，則，又因?yàn)?，所以，則,在中，，即，所以.故選：D3、A【解析】由題可得，利用與的關(guān)系即求.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以故選：A.4、A【解析】動(dòng)點(diǎn)在曲線，則找出曲線上某點(diǎn)的斜率與直線的斜率相等的點(diǎn)為距離最小的點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域?yàn)椋簩η髮?dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)該點(diǎn)到直線的距離為最小根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：解得：故選：A5、A【解析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可確定焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選：A.6、A【解析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的斜率，利用，結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】設(shè)直線AB的傾斜角為，因?yàn)?，所以直線AB的斜率，即，因?yàn)椋?故選：A7、D【解析】由第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列的第512項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)為數(shù)列的第1023項(xiàng)，進(jìn)行分析求解即可【詳解】由題意可得，第個(gè)括號(hào)內(nèi)有個(gè)數(shù)，對于A，由題意得前9個(gè)括號(hào)內(nèi)共有個(gè)數(shù)，所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列的第512項(xiàng)，所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為，所以A錯(cuò)誤，對于C，前10個(gè)括號(hào)內(nèi)共有個(gè)數(shù)，所以C錯(cuò)誤，對于B，令，得，所以2021為數(shù)列的第1011項(xiàng)，由AC選項(xiàng)的分析可得2021在第10個(gè)括號(hào)內(nèi)，所以B錯(cuò)誤，對于D，因?yàn)榈?0個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為，最后一個(gè)數(shù)為，所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字之和為，所以D正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題意確定出第10個(gè)括號(hào)內(nèi)第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)分別對應(yīng)數(shù)列的哪一項(xiàng)，考查分析問題的能力，屬于較難題8、D【解析】先求拋物線的方程，再聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由弦長公式可求的最小值.【詳解】因?yàn)橹本€為拋物線的準(zhǔn)線，故即，故拋物線方程為：.設(shè)直線，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故的最小值為8，故選：D.9、A【解析】根據(jù)題意求得，要判斷的形狀，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判斷，從而可得結(jié)論.【詳解】解：由橢圓：，得，則，則，所以且為銳角，因?yàn)?，所以銳角，所以為銳角三角形.故選：A.10、B【解析】根據(jù)輸入的條件執(zhí)行循環(huán)，并且每一次都要判斷結(jié)論是或否，直至退出循環(huán).【詳解】，，，；，【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，執(zhí)行循環(huán)，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件，求得，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)其方程為，根據(jù)題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.12、C【解析】先求出橢圓的右焦點(diǎn)，從而可求拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】，橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，一般地，如果拋物線的方程為，則拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，本題屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)條件可知以為直徑的圓在橢圓的內(nèi)部，可得，再根據(jù)，即可求得離心率的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，以為直徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，即，即，，即.故填：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的取值范圍，求橢圓離心率是?？碱}型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.14、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)面距離的公式可以直接求出.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點(diǎn)，由已知，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，，即：，取，得，，則點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.15、【解析】由平行線的性質(zhì)求出斜率，由點(diǎn)斜式求出直線方程，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，，所以漸近線方程為，不妨設(shè)直線FB的方程為，將代入雙曲線方程整理，得，解得，，所以，所以故答案為：.16、【解析】由，令，解得或，且時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用；極值的條件三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)條件先證明，再根據(jù)線面平行的判定定理證明平面PAD；（2）確定坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，從而求出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求相關(guān)平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：由已知為等邊三角形，且，所以又因?yàn)椋?在中，，又，所以在底面中，，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，則，由（1）知，所以，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，所以，由已知可知平面ABCD的一個(gè)法向量設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，即，得，令，則，所以，由圖形可得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18、（1），（2）證明見解析【解析】（1）由弧長公式得，根據(jù)即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單調(diào)遞增，即可證明.【小問1詳解】由弧長公式得，于是，【小問2詳解】cos，顯然在上單調(diào)遞增，于是.19、（1）；（2）（i），，；（ii）.【解析】（1）推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）（i）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合題中定義可求得、、的值；（ii）分別解不等式、、，結(jié)合題中定義可求得數(shù)列的前項(xiàng)的和.【小問1詳解】解：因?yàn)?，，則，可得，，可得，以此類推可知，對任意的，.由，變形為，是一個(gè)以為公差的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，所以，，因此，.【小問2詳解】解：（i），則，，則，故，，則，故；（ii），當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，因此，數(shù)列的前項(xiàng)的和為.20、（1）（2）【解析】（1）通過正弦定理將邊化為角的關(guān)系，可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由面積公式得，結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而得結(jié)果.【小問1詳解】∵∴由正弦定理，得∴∵，∴，故【小問2詳解】由（1）知，∵∴∵由余弦定理知，∴，故∴，故∴的周長為21、（1）；（2）①，②.【解析】（1）圓心在線段的垂直平分線上，圓心也在過點(diǎn)且與垂直的直線上，聯(lián)立求圓心，進(jìn)而得半徑即可；（2）①垂徑定理即可求弦長；②圓上存在點(diǎn)，使得成立，即四邊形是平行四邊形，又，有都是等邊三角形，進(jìn)而得圓心到直線的距離為，列方程求解即可.試題解析：（1）由已知得，圓心在線段的垂直平分線上，圓心也在過點(diǎn)且與垂直的直線上，由得圓心，所以半徑，所以圓的方程為；（2）①由題意知，直線的方程為，即，∴圓心到直線的距離為，∴；②∵圓上存在點(diǎn)，使得成立，∴四邊形是平行四邊形，又，∴都是等邊三角形，∴圓心到直線的距離為，又直線的方程為，即，∴，解得.22、(1)見解析;(2).【解析】（1）推導(dǎo)出，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，可推出，從而平面，進(jìn)而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面