2025屆湖南雅禮中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆湖南雅禮中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知命題：，；命題：，使，若“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.64 B.72C.80 D.1444．已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N兩點(diǎn)分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.5．已知在空間直角坐標(biāo)系（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）中，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，則z軸與平面OAB所成的線(xiàn)面角為（）A. B.C. D.6．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．①命題設(shè)“，若，則或”；②若“”為真命題，則p，q均為真命題；③“”是函數(shù)為偶函數(shù)的必要不充分條件；④若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一基底；其中正確判斷的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.48．如圖，在單位正方體中，以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，9．拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于（）A. B.C. D.10．已知命題：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；命題：等軸雙曲線(xiàn)的離心率為，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.11．直線(xiàn)的傾斜角為（）A.60° B.30°C.120° D.150°12．若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.13 B.39C.45 D.21二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)__________14．我國(guó)古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì)．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開(kāi)始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________15．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_(kāi)______________16．雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）公差不為零的等差數(shù)列中，已知其前n項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n和18．（12分）一杯100℃的開(kāi)水放在室溫25℃的房間里，1分鐘后水溫降到85℃，假設(shè)每分鐘水溫變化量和水溫與室溫之差成正比（1）分別求2分鐘，3分鐘后的水溫；（2）記n分鐘后的水溫為，證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（3）當(dāng)水溫在40℃到55℃之間時(shí)（包括40℃和55℃），為最適合飲用的溫度，則在水燒開(kāi)后哪個(gè)時(shí)間段飲用最佳．（參考數(shù)據(jù)：）19．（12分）已知函數(shù)，其中，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.20．（12分）設(shè)P是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).（1）若點(diǎn)P到直線(xiàn)距離為，求的最小值；（2）若，求的最小值.21．（12分）在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知（1）求角的大??；（2）若的面積，求的值22．（10分）設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x≤2，或x＞6，命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若q是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，可得出，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，則，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.2、D【解析】根據(jù)題意，判斷命題和的真假性，結(jié)合判別式與二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由為假命題可得“”為真命題，即p、q都為真命題，故，解得故選：D3、B【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，求得，再用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，，解得，.故選：B.4、C【解析】由題意可得且，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入雙曲線(xiàn)方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在第二象限，在第一象限.由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可得，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線(xiàn)的離心率，所以取，則故選：C5、B【解析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以，設(shè)平面OAB的一個(gè)法向量為，則得所以，令，得，所以又z軸的一個(gè)方向向量為，設(shè)z軸與平面OAB所成的線(xiàn)面角為，則，所以所求的線(xiàn)面角為，故選：B6、B【解析】分析可知，對(duì)任意的恒成立，由參變量分離法可得出，求出在時(shí)的取值范圍，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可知對(duì)任意的恒成立，則對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，.故選：B.7、B【解析】利用逆否命題、含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性、充分和必要條件、空間基底等知識(shí)對(duì)四個(gè)判斷進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】①，原命題的逆否命題為“，若且，則”，逆否命題是真命題，所以原命題是真命題，①正確.②，若“”為真命題，則p，q至少有一個(gè)真命題，②錯(cuò)誤.③，函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是“”.所以“”是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件，③錯(cuò)誤.④，若為空間的一個(gè)基底，即不共面，若共面，則存在不全為零的，使得，故，因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)基底，，故，矛盾，故不共面，所以構(gòu)成空間的另一基底，④正確.所以正確的判斷是個(gè).故選：B8、A【解析】設(shè)平面的法向量是，，，由可求得法向量.【詳解】在單位正方體中，以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量是，，，則，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故選：.9、C【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)求得參數(shù)，再由焦半徑公式得結(jié)論【詳解】由題意，解得，所以，故選：C10、D【解析】求出的焦點(diǎn)坐標(biāo)，及等軸雙曲線(xiàn)的離心率，判斷出為假命題，q為真命題，進(jìn)而判斷出答案.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故命題為假命題；命題：等軸雙曲線(xiàn)中，，所以離心率為，故命題q為真命題，所以為真命題，其他選項(xiàng)均為假命題.故選：D11、C【解析】求出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：，即，直線(xiàn)的斜率為，即直線(xiàn)的傾斜角為120°.故選：C.12、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程.【詳解】解：因，所以，又故切線(xiàn)方程為，整理為，故答案為：14、405【解析】前9圈的石板數(shù)依次組成一個(gè)首項(xiàng)為9，公差為9的等差數(shù)列，15、107【解析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)題意列方程可得，從而求出或，再根據(jù)，確定，進(jìn)而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，由成等差數(shù)列可得：，代入可得：，解得：或，又因?yàn)?，易知，又因?yàn)椋?，所以，，故答案為?07.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了和的關(guān)系，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.16、【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程求得左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的方程為，設(shè)其左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可得，解得，故左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其到直線(xiàn)的距離.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合題意，可求得值，根據(jù)成等比數(shù)列，即可求得d值，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式，即可得答案；（2）由（1）可求得，即可得表達(dá)式，根據(jù)裂項(xiàng)相消求和法，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列性質(zhì)可得，解得，又成等比數(shù)列，所以，整理得，因?yàn)?，所以，所以【小?wèn)2詳解】由（1）可得，則，所以，所以18、（1）2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃；（2）證明見(jiàn)解析，，；（3）在水燒開(kāi)后4到7分鐘飲用最佳.【解析】(1)根據(jù)給定條件設(shè)第n分鐘后的水溫為，探求出與的關(guān)系即可計(jì)算作答.(2)利用(1)的信息，列式變形、推導(dǎo)即可得證，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.(3)由(2)的結(jié)論列不等式，借助對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)第n分鐘后的水溫為，正比例系數(shù)為k，記，依題意，，當(dāng)時(shí)，，則有，解得，因此，，即有，，所以2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃.小問(wèn)2詳解】由(1)知，，時(shí)，，，則有，即，而，于是得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則有，即，所以是等比數(shù)列，的通項(xiàng)公式是，.【小問(wèn)3詳解】由(2)及已知得：，即，整理得，兩邊取常用對(duì)數(shù)得：，而，解得，即，所以在水燒開(kāi)后4到7分鐘飲用最佳.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及實(shí)際意義給出的數(shù)列問(wèn)題，正確理解實(shí)際意義，列出關(guān)系式，再借助數(shù)列思想探求相鄰兩項(xiàng)間關(guān)系即可推理作答.19、（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出，，再利用點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)方程；（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，所以切線(xiàn)方程為：，即：（2）函數(shù)定義域?yàn)?，，因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）4.【解析】（1）利用拋物線(xiàn)的定義可知，將問(wèn)題問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，即求.（2）判斷點(diǎn)B在拋物線(xiàn)的內(nèi)部，過(guò)B作垂直準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)Q，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，利用拋物線(xiàn)的定義求解即可.【詳解】解析（1）依題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為.由已知及拋物線(xiàn)的定義，可知，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值.由平面幾何知識(shí)知，當(dāng)F，P，A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，最小值為，即的最小值為.（2）把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入中，得，因?yàn)椋渣c(diǎn)B在拋物線(xiàn)的內(nèi)部.過(guò)B作垂直準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)Q，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)（如圖所示）.由拋物線(xiàn)的定義，可知，則，所以的最小值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，將條件中的邊化成角，可得，進(jìn)而可得的值；（2）由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，得最后結(jié)論試題解析：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得考點(diǎn)：正弦定理；余弦定理【易錯(cuò)點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題的兩重性：①作為三角形問(wèn)題，它必須要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及其有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路；②它畢竟是三角變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見(jiàn)的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”（即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”）是使問(wèn)題獲得解決的突破口22、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解析】（1）分別求出命題和為真時(shí)對(duì)應(yīng)的取值范圍，即可求出；（2）由題可知，列出不等式組即可求解.【詳解】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，命題q：2＜x＜