天津市薊州區(qū)馬伸橋中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題含解析

天津市薊州區(qū)馬伸橋中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.2．已知，條件，條件，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．設(shè)，則A.2 B.3C.4 D.54．在棱長為4的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體各棱及表面上運(yùn)動且滿足，則點(diǎn)P軌跡圍成的圖形的面積為（）A. B.C. D.5．2021年小林大學(xué)畢業(yè)后，9月1日開始工作，他決定給自己開一張儲蓄銀行卡，每月的10號存錢至該銀行卡（假設(shè)當(dāng)天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數(shù)比上個月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達(dá)到1萬元的時間為（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日6．函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，令，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.7．北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點(diǎn)有個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個結(jié)論：①正方體在每個頂點(diǎn)的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類多面體的總曲率是常數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③8．若用面積為48的矩形ABCD截某圓錐得到一個橢圓，且該橢圓與矩形ABCD的四邊都相切.設(shè)橢圓的方程為，則下列滿足題意的方程為（）A. B.C. D.9．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值點(diǎn)10．已知實數(shù)a，b滿足，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.11．為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團(tuán)日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會、主題團(tuán)日這兩個階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（）A.10種 B.12種C.16種 D.24種12．方程表示的曲線是（）A.一個橢圓和一個點(diǎn) B.一個雙曲線的右支和一條直線C.一個橢圓一部分和一條直線 D.一個橢圓二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象在點(diǎn)P（）處的切線方程是，則_____14．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則當(dāng)時___________.15．過圓上一點(diǎn)的圓的切線的一般式方程為________16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，直線與橢圓C的另一個交點(diǎn)為B，則的面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)為常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線相切，求實數(shù)的值；（3）當(dāng)時，在上有兩個極值點(diǎn)且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知為數(shù)列的前項和，且.（1）求的通項公式；（2）若，求的前項和.19．（12分）已知圓C的方程為.（1）直線l1過點(diǎn)P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長；（2）求過點(diǎn)P(3，1)且與圓C相切的直線l2的方程.20．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點(diǎn)，試證明：21．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC上的動點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）當(dāng)時，求點(diǎn)A到平面的距離.22．（10分）已知橢圓過點(diǎn)，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由，且，可得，再結(jié)合，可得，進(jìn)而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因為，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因為，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關(guān)系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對所得解進(jìn)行取舍.2、A【解析】利用“1”的妙用探討命題“若p則q”的真假，取特殊值計算說明“若q則p”的真假即可判斷作答.【詳解】因為，由得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因此，，因，，由，取，則，，即，，所以是的充分不必要條件.故選：A3、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，進(jìn)而可得到.【詳解】，則，故，選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題4、A【解析】構(gòu)造輔助線，找到點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為長方形，從而求出面積.【詳解】取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點(diǎn)，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因為BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A5、C【解析】分析可得每月所存錢數(shù)依次成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為，分析首次達(dá)到1萬元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個月開始，每月所存錢數(shù)依次成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為.因為為增函數(shù)，且，所以第14個月的10號存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬元.故選：C6、B【解析】求導(dǎo)后，令，可求得，再利用導(dǎo)數(shù)可得為減函數(shù)，比較的大小后，根據(jù)為減函數(shù)可得答案.【詳解】由題意得，，，解得，所以所以，所以為減函數(shù)因為，所以，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：比較大小的關(guān)鍵是知道的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性.7、D【解析】根據(jù)曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個頂點(diǎn)的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因為四棱錐有5個頂點(diǎn)，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設(shè)每個面記為邊形，則所有的面角和為，根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確.故選：D.8、A【解析】由橢圓與矩形ABCD的四邊都相切得到再逐項判斷即可.【詳解】由于橢圓與矩形ABCD的四邊都相切，所以矩形兩邊長分別為，由矩形面積為48，得，對于選項B，D由于，不符合條件，不正確.對于選項A，，滿足題意.對于選項C，不正確.故選：A.9、A【解析】根據(jù)圖象，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性、極值的定義逐一判斷即可.【詳解】由圖象可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知B錯誤，A正確；是極大值點(diǎn)，沒有極小值，和不是函數(shù)的極值點(diǎn)，可知C，D錯誤故選：A10、D【解析】利用特殊值排除錯誤選項，利用函數(shù)單調(diào)性證明正確選項.【詳解】時，，但，所以A選項錯誤.時，，但，所以B選項錯誤.時，，但，所以C選項錯誤.在上遞增，所以，即D選項正確.故選：D11、A【解析】對中心組學(xué)習(xí)所在的階段分兩種情況討論得解.【詳解】解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會、主題團(tuán)日在第二、三階段，則其它活動有2種方法；主題班會、主題團(tuán)日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團(tuán)日在第四、五階段，則其它活動有1種方法，則此時共有種方法；如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有種方法.綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A12、C【解析】由可得，或，再由方程判斷所表示的曲線.【詳解】由可得，或，即或，則該方程表示一個橢圓的一部分和一條直線.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線方程，即可求解.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，且，所以.故答案為：14、【解析】當(dāng)時，利用及求得函數(shù)的解析式.【詳解】當(dāng)時，，由于函數(shù)是奇函數(shù)，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知函數(shù)的奇偶性以及軸一側(cè)的解析式，求另一側(cè)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】求出過切線的半徑所在直線斜率，由垂直關(guān)系得切線斜率，然后得直線方程，現(xiàn)化為一般式【詳解】圓心為，，所以切線的斜率為，切線方程為，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程，利用切線性質(zhì)求得斜率后易得直線方程16、【解析】求出直線的方程，聯(lián)立方程，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得出答案.【詳解】解：由題意知，，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，或，即，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；（2）7；（3）【解析】（1）根據(jù)題意求得，討論，，，時解，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)為則結(jié)合，得令通過求導(dǎo)研究單調(diào)性解得進(jìn)而解出的值.（3）由已知可得解析式，觀察有，求導(dǎo)得原題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有兩個不同零點(diǎn).結(jié)合根分布可得，函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為是在上的兩個不同零點(diǎn)可得且，代入函數(shù)中令通過單調(diào)性求出進(jìn)而可得答案.【詳解】解：(1)，令，解得：①當(dāng)時，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，恒成立，所以上單調(diào)遞增.④當(dāng)時，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.④當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)設(shè)切點(diǎn)為則(*)，由可得(**)，聯(lián)立(*)(**)可得，設(shè)則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以，所以.（3）由已知可得令由題意知在上有兩個不同零點(diǎn).則，因為函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為，則和是在上的兩個不同零點(diǎn).所以且，所以令則所以在上單調(diào)遞增，所以有其中，即又恒成立，所以故實數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.18、（1）（2）【解析】（1）由與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義得出的通項公式；（2）由（1）得出，再由錯位相減法得出的前項和.【小問1詳解】因為，所以當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，，兩式相減，得，所以，所以，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以.19、（1）（2）x=3或【解析】（1）首先利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最后利用垂直定理、勾股定理計算可得；（2）依題意可得點(diǎn)在圓外，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率不存在直線得到直線方程，但直線的斜率存在時設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程，解得，即可得解；【小問1詳解】解：根據(jù)題意，直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為故；【小問2詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在圓外，分兩種情況討論：當(dāng)直線的斜率不存在時，過點(diǎn)的直線方程是，此時與圓C：相切，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，直線與圓相切時，圓心到直線的距離為解得此時，直線的方程為，所以滿足條件的直線的方程是或.20、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）等價轉(zhuǎn)化和構(gòu)造新函數(shù)在不等式證明中可以起到關(guān)鍵性作用.【小問1詳解】的定義域為，當(dāng)時，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】，存在兩個極值點(diǎn)，則有二正根，由，得由于的兩個極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則由于，所以等價于設(shè)函數(shù)，在單調(diào)遞減，又，從而所以，故.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理21、（1）證明見解析（2）【解析】(1)如圖，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法分別求出和，再證明即可；(2)利用空間向量的數(shù)量積求出平面的法向量，結(jié)合求點(diǎn)到面距離的向量法即可得出結(jié)果.【小問1詳解】證明：如圖