2023-2014年北京十年中考數(shù)學(xué)《幾何綜合》含答案解析

2023~2014北京十年中考數(shù)學(xué)分類匯編一一幾何綜合

1.（2023?北京）在中，NB=NC=oc（0°<a<45°）,于點(diǎn)。是線

段上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)M,C重合），將線段DM繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段?！?

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段/C上口寸，求證：。是MC的中點(diǎn)；

（2）如圖2,若在線段3M■上存在點(diǎn)尸（不與點(diǎn)8,M重合）滿足。尸=DC,連接NE,

EF,直接寫出N/EP的大小，并證明.

第1頁（共10頁）

2.(2022?北京)在△48C中，ZACB=90°,。為△/8C內(nèi)一點(diǎn)，連接3D,DC,延長

。。至U點(diǎn)￡,使得CE=DC.

(1)如圖1,延長2C到點(diǎn)F，使得CF=3C,連接/凡EF.若4F_LE尸，求證：BDL

AF；

(2)連接NE,交8。的延長線于點(diǎn)〃，連接S,依題意補(bǔ)全圖2.AB2=AE2+BD2,

用等式表示線段CD與S的數(shù)量關(guān)系，并證明.

第2頁(共10頁)

3.（2021?北京）如圖，在△N8C中，AB=AC,ZBAC=a,M為3c的中點(diǎn)，點(diǎn)。在MC

上，以點(diǎn)/為中心，將線段4。順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段連接8￡,DE.

（1）比較NA4E與/的大小；用等式表示線段BE,BM,必）之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明；

（2）過點(diǎn)"作N2的垂線，交DE于點(diǎn)、N,用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

第3頁（共10頁）

4.（2020?北京）在△/8C中，ZC=90°,AOBC,。是N3的中點(diǎn).￡為直線NC上一

動點(diǎn)，連接過點(diǎn)。作交直線8C于點(diǎn)尸，連接ER

（1）如圖1,當(dāng)E是線段NC的中點(diǎn)時，設(shè)/E=a,BF=b,求E尸的長（用含a,6的

式子表示）；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段G4的延長線上時，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段EF,BF

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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5.(2019?北京)已知//O3=30°,X為射線。/上一定點(diǎn)，O8=V^+1，尸為射線。2

上一點(diǎn)，M為線段上一動點(diǎn)，連接尸河，滿足/。血。為鈍角，以點(diǎn)尸為中心，將線

段順時針旋轉(zhuǎn)150°,得到線段尸N,連接ON.

(1)依題意補(bǔ)全圖1；

(2)求證：NOMP=NOPN；

(3)點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)〃的對稱點(diǎn)為。，連接QP寫出一個OP的值，使得對于任意的點(diǎn)M

總有ON=QP,并證明.

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6.（2018?北京）如圖，在正方形N8CD中，￡是邊上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)/、3重合），

連接。E,點(diǎn)/關(guān)于直線DB的對稱點(diǎn)為尸，連接班'并延長交8C于點(diǎn)G,連接。G,過

點(diǎn)E作EHLDE交DG的延長線于點(diǎn)H,連接BH.

（1）求證：GF=GC；

（2）用等式表示線段2〃與/E的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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7.（2017?北京）在等腰直角△NBC中，ZACB=9Q°,尸是線段3c上一動點(diǎn)（與點(diǎn)8、C

不重合），連接/P,延長至點(diǎn)0,使得CQ=CP,過點(diǎn)。作尸于點(diǎn)〃，交AB

于點(diǎn)M.

（1）若/為。=（1,求/4WQ的大?。ㄓ煤琣的式子表示）.

（2）用等式表示線段M3與尸。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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8.（2016*北京）在等邊△43C中,

圖1圖2

（1）如圖1,P,。是3c邊上的兩點(diǎn)，AP=AQ,NBAP=2Q°,求的度數(shù)；

（2）點(diǎn)尸，。是3c邊上的兩個動點(diǎn)（不與點(diǎn)3,C重合），點(diǎn)尸在點(diǎn)。的左側(cè)，且NP

=/。，點(diǎn)。關(guān)于直線/C的對稱點(diǎn)為連接NM,PM.

①依題意將圖2補(bǔ)全；

②小茹通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)尸，。運(yùn)動的過程中，始終有為=尸”，小茹把

這個猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：要證明我=尸"，只需證△/回是等邊三角形；

想法2：在切上取一點(diǎn)N,使得BN=BP,要證明我=PM,只需證△/NP之△PCM；

想法3：將線段8尸繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段3K,要證只需證必=

CK,PM=CK…

請你參考上面的想法，幫助小茹證明（一種方法即可）.

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9.（2015?北京）在正方形48CD中，8。是一條對角線，點(diǎn)P在射線CD上（與點(diǎn)C、

。不重合），連接4P,平移△4DP,使點(diǎn)。移動到點(diǎn)C,得至IJZ\2C。，過點(diǎn)0作。

于H,連接NX,PH.

（1）若點(diǎn)P在線段C￡＞上，如圖I.

①依題意補(bǔ)全圖1;

②判斷N"與尸〃的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；

（2）若點(diǎn)尸在線段CD的延長線上，且//〃2=152°,正方形/BCD的邊長為1,請

寫出求。尸長的思路.（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）

圖1備用圖

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10.(2014?北京)在正方形/8C。外側(cè)作直線/P,點(diǎn)3關(guān)于直線/尸的對稱點(diǎn)為E,連接

BE,DE,其中DE交直線/產(chǎn)于點(diǎn)?

(2)若/必8=20°,求NND9的度數(shù)；

(3)如圖2,若45°<ZPAB<90°,用等式表示線段AB,FE,FD之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明.

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2023~2014北京十年中考數(shù)學(xué)分類匯編一一幾何綜合

參考答案與試題解析

I.在△/8C中，Z5=ZC=a(0°<a<45°),于點(diǎn)。是線段上的動

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡在線段NC上時，求證：。是MC的中點(diǎn)；

(2)如圖2,若在線段沖■上存在點(diǎn)尸(不與點(diǎn)2,M重合)滿足。尸=。。，連接4E,

EF,直接寫出的大小，并證明.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得。河=。￡,ZMDE=2a,利用三角形外角的性質(zhì)求出/DEC

=a=ZC,可得DE=DC,等量代換得到DC即可；

(2)延長FE到〃使尸￡=切，連接CH,AH,可得DE是△/C77的中位線，然后求出

ZB=ZACH,設(shè)DM=DE=m,CD=n,求出BF=2m=CH,證明9g/C"(￡4S),

得到AF=AH,再根據(jù)等腰三角形三線合一證明AE±FH即可.

【解答】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,ZMDE=2a,

VZC=a,

AZDEC=ZMDE-ZC=a,

：.ZC=/DEC,

；?DE=DC,

：.DM=DC,即。是MC的中點(diǎn)；

(2)ZAEF=90°,

■:DF=DC,

第1頁(共20頁)

：.DE是MCH的中位線,

：.DE//CH,CH=2DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,/MDE=2a,

：.ZFCH=2a,

ZB=ZC—a,

：.ZACH=a,△/BC是等腰三角形，

AZBZACH,AB=AC

設(shè)DM=DE=m,CD=n,貝!ICH=2%,CM=m+n,

.DF=CD=n,

.,.FM=DF-DM=n-m,

'：AM±BC,

BM=CM=m+n,

.".BF=BM-FM—m+n--m)—2m,

：.CH=BF,

在△48萬和△/CH中，

'AB=AC

<ZB=ZACH>

,BF=CH

:.AABF咨AACHQSAS),

：.AF=AH,

\"FE=EH,

C.AELFH,即//斯=90°,

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角

形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三

角形是解題的關(guān)鍵.

2.在△/2C中，N/C2=90°,。為△48C內(nèi)一點(diǎn)，連接3。，DC,延長。C到點(diǎn)E,使

得CE=DC.

(1)如圖1,延長2c到點(diǎn)R使得CF=3C,連接/尸，EF.若”工EF,求證：BDL

AF-,

(2)連接4B,交8。的延長線于點(diǎn)〃，連接C",依題意補(bǔ)全圖2.AB2=AE2+BD2,

用等式表示線段⑦與的數(shù)量關(guān)系，并證明.

第2頁(共20頁)

圖1

【分析】（1）證明△3CO之（SAS）,由全等三角形的性質(zhì)得出

證出3。〃￡尸，則可得出結(jié)論；

（2）由題意畫出圖形，延長8C到尸，CF=BC,連接/凡EF,由（1）可知

EF,BD=EF,證出//斯=90°,得出/DAE=90°,由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：在△3CD和△尸CE中，

'BC=CF

'NBCD=NFCE'

,CD=CE

:.△BCD"AFCE（.SAS）,

：.ZDBC=ZEFC,

C.BD//EF,

'JAFLEF,

：.BD±AF；

（2）解：由題意補(bǔ)全圖形如下:

圖2

CD=CH.

證明：延長8C到尸，使C尸=8C,連接/凡EF,

'：AC±BF,BC=CF,

第3頁（共20頁）

：.AB=AF,

由(1)可知5D〃￡F,BD=EF,

,：AB2=AE2+BD1,

:.AF2=AE2+EF2,

：.ZAEF=90°,

J.AELEF,

C.BDLAE,

：.ZDHE=90°,

又,：CD=CE,

：.CH=CD=CE.

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

勾股定理的逆定理，證明△BCOgAFCE是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在△/BC中，AB=AC,ZBAC=a,M為的中點(diǎn)，點(diǎn)。在MC上，以點(diǎn)/為

中心，將線段/D順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段NE,連接BE,DE.

(1)比較NA4E與/。。的大小；用等式表示線段BE,BM,也。之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明；

(2)過點(diǎn)M作的垂線，交DE于點(diǎn)、N,用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

【分析】(1)由可得然后S/S證△/BE之△/CD即可;

(2)作EH_LAB交BC于H,可證ABEF24BHF得BE=BH,再證再借助

MN//HF,由平行線分線段成比例即可證出.

【解答】解：(1)VZDAE=ZBAC=a,

：.ZDAE-/B4D=ZBAC-/BAD,

即/氏

在△4BE和△/CD中,

第4頁(共20頁)

，AB=AC

'NBAE=NCAD，

.AE=AD

:.AABE義AACD(S/S),

：.BE=CD,

為BC的中點(diǎn)，

：.BM=CM,

：.BE+MD=BM；

(2)如圖，作EH_LAB交BC于■H,交4B于F,

由(1)ZX4BE會A4CD得:/ABE=/ACD,

"：ZACD=ZABC,

：./ABE=/ABD,

在△BE尸和中，

，ZEBF=ZHBF

1BF=BF，

LZBFE=ZBFH

.?.△BEFq4BHF(ASA

：.BE=BH,

由(1)知：BE+MD=BM,

,:MN〃HF,

?EN=MH；

"DN"MD'

【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的對

稱性等知識，作EHLAB構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

4.在△ABC中，NC=90°。是48的中點(diǎn).￡為直線/C上一動點(diǎn)，連接過

點(diǎn)。作。尸，交直線3C于點(diǎn)尸，連接ER

第5頁（共20頁）

（1）如圖1,當(dāng)E是線段/C的中點(diǎn)時，設(shè)NE=a,BF=b,求即的長（用含a,6的

式子表示）；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段C4的延長線上時，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段NE,EF,BF

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

【分析】（1）由三角形的中位線定理得。￡〃8C,D￡=1BC，進(jìn)而證明四邊形CEO廠是

矩形得￡>E=CF,得出CR再根據(jù)勾股定理得結(jié)果；

（2）過點(diǎn)B作BM//AC,與ED的延長線交于點(diǎn)M,連接MF,證明△/?！阦八8?！钡?/p>

AE=BM,DE=DM,由垂直平分線的判定定理得￡尸=旅，進(jìn)而根據(jù)勾股定理得結(jié)論.

【解答】解：（1）???。是N3的中點(diǎn)，￡是線段/C的中點(diǎn)，

C.DE//BC,DE=1.BC,

2

VZACB=9Q°,

:./DEC=90°,

'：DF±DE,

:./EDF=90°,

二四邊形CED尸是矩形，

；.DE=CF=1￡C,

2

：.CF=BF=b,

'：CE=AE=a,

EF=7CF24CE2=7a2+b2；

（2）AE2+BF2=EF2.

證明：過點(diǎn)8作與ED的延長線交于點(diǎn)連接〃尸,

則/CBM=/ACB=90°,

第6頁（共20頁）

:。點(diǎn)是48的中點(diǎn),

：.AD=BD,

在△/￡>￡和中，

，ZAED=ZBMD

<NADE=/BD『

.AD=BD

:AADE出ABDMCAAS),

：.AE=BM,DE=DM,

'：DF±DE,

：.EF=MF,

,;BW+BF2=MF2,

:.AE2+BF2=EF2.

M

【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂

直平分線的判定，關(guān)鍵在于構(gòu)造全等三角形.

5.已知//。8=30°,//為射線04上一定點(diǎn)，P為射線上一點(diǎn)，M為

線段08上一動點(diǎn)，連接PM,滿足/(W尸為鈍角，以點(diǎn)尸為中心，將線段順時針

旋轉(zhuǎn)150°,得到線段尸N,連接ON.

(1)依題意補(bǔ)全圖1；

(2)求證：ZOMP=ZOPN；

(3)點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)X的對稱點(diǎn)為0,連接0p寫出一個OP的值，使得對于任意的點(diǎn)M

總有ON=。尸，并證明.

第7頁(共20頁)

BB

圖1備用圖

【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形.

（2）由旋轉(zhuǎn)可得NMPN=150°,故/OPN=150°-ZOPM；由//。8=30°和三角形

內(nèi)角和180°可得N（WP=180°-30°-ZOPM^150°-AOPM,得證.

（3）根據(jù)題意畫出圖形，以O(shè)N=QP為已知條件反推OP的長度.由（2）的結(jié)論

=/OPN聯(lián)想到其補(bǔ)角相等，又因?yàn)樾D(zhuǎn)有PM=PN,已具備邊■角相等，過點(diǎn)N作

NC_LO8于點(diǎn)C,過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)。，即可構(gòu)造出△PnWgZXNCP,進(jìn)而得尸。

=NC,DM=CP.此時加上ON=QP,則易證得△OCN0△QDP,所以。C=。。.利用

ZAOB=30°,設(shè)PD=NC=a,則OP=2。，OD=6a.再設(shè)。M=CP=x,所以QD

=OC=OP+PC=2a+x,MQ=DM+QD=2a+2x.由于點(diǎn)M、。關(guān)于點(diǎn)女對稱，即點(diǎn)X為

中點(diǎn)，故MH=IjAQ=a+x,DH=MH-DM=a,所以O(shè)H=OD+DH=?a+a=?+1,

2

求得。=1,故OP=2.證明過程則把推理過程反過來，以。尸=2為條件，利用構(gòu)造全等

證得ON=QP.

【解答】解：（1）如圖1所示為所求.

(2)設(shè)/。PA/=a,

:線段繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)150°得到線段PN

:.NMPN=150°,PM=PN

：./OPN=ZMPN-/OPM=150°-a

ZAOB=3Q°

第8頁（共20頁）

AZOMP=180°-AAOB-ZOPM=180°-30°-a=150°-a

：.ZOMP=ZOPN

(3)。尸=2時，總有ON=Q尸，證明如下：

過點(diǎn)N作NCL05于點(diǎn)C,過點(diǎn)尸作PDLO4于點(diǎn)。，如圖2

，ZNCP=Z.PDM=ZPDQ=90°

VZAOB=30°,OP=2

：.PD=1JOP^1

2

OD=VOP2-PD2=V3

?：OH=6+1

：.DH=OH-OD=\

'：ZOMP=ZOPN

.?.180°-ZOMP^180°-ZOPN

即/尸〃D=/NPC

在APDM與工NCP中

，ZPDM=ZNCP

<ZPMD=ZNPC

TM=NP

:APDMW&NCP(AAS)

:.PD=NC,DM=CP

設(shè)DM=CP=x,貝!]。。=。尸+PC=2+x,MH=MD+DH=x+]

:點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)H的對稱點(diǎn)為Q

:?HQ=MH=x+\

：.DQ=DH+HQ=1+x+l=2+x

：.OC=DQ

在AOCN與叢QDP中

r0C=QD

<Z0CN=ZQDP=90°

tNC=PD

：./\OCN^/\QDP(SAS)

：.ON=QP

第9頁（共20頁）

圖2

【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)題意畫圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和180。，勾股定理，全等

三角形的判定和性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì).第（3）題的解題思路是以O(shè)N=QP為條件反推

OP的長度，并結(jié)合（2）的結(jié)論構(gòu)造全等三角形；而證明過程則以O(shè)P=2為條件構(gòu)造全

等證明ON=QP.

6.如圖，在正方形/BCD中，E是邊43上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)/、2重合），連接DE,點(diǎn)/

關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為尸，連接M并延長交于點(diǎn)G,連接DG,過點(diǎn)￡作

交。G的延長線于點(diǎn)X,連接3H.

（1）求證：GF=GC；

（2）用等式表示線段28與/E的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）如圖1,連接DR根據(jù)對稱得：4ADE咨LFDE,再由HL證明RtZ\DbG

^RtADCG,可得結(jié)論；

（2）證法一：如圖2,作輔助線，構(gòu)建4W=/￡,先證明NEDG=45°,得DE=EH,

證明1之△E28,則根據(jù)等腰直角得：EM=?AE,得結(jié)論；

證法二：如圖3,作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△ZUEg△EW,得AE=HN,AD

=EN,再說明是等腰直角三角形，可得結(jié)論.

【解答】證明：（1）如圖1,連接DF

:四邊形48CD是正方形，

：.DA=DC,ZA=ZC=90°,

:點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為F,

：.4ADE與AFDE,

第10頁（共20頁）

：.DA=DF=DC,ZDFE=ZA=9Q°,

：./DFG=90°,

在Rt△。尸G和RtADCG中,

...[DF=DC,

,1DG=DG'

/.RtADFG^RtADCG(HL),

：.GF=GC；

(2)BH=\[2AE,理由是：

證法一：如圖2,在線段40上截取使

'：AD=AB,

：.DM=BE,

由(1)知：Z1=Z2,Z3=Z4,

：/4DC=90°,

/.Zl+Z2+Z3+Z4=90°,

.,.2/2+2/3=90°,

/.Z2+Z3=45",

即/助G=45°,

■:EHIDE,

：.NDEH=90°,△DMr是等腰直角三角形，

/.ZAED+ZBEH=ZAED+Z1=90°,DE=EH,

在△￡)〃￡1和中，

，DM=BE

Z1=ZBEH-

,DE=EH

:.△DME"AEBH(SAS),

：.EM=BH,

RtZ\/EN中，N/=90°,AM=AE,

：.EM=42AE,

:.BH=MAE；

證法二：如圖3,過點(diǎn)〃作HNL48于N,

第11頁（共20頁）

AZENH=90°，

由方法一可知：DE=EH,Z1=ZNEH,

在和△EW中，

，ZA=ZENH

Z1=ZNEH>

,DE=EH

:.ADAE咨LENH(AAS),

：.AE=HN,AD=EN,

?：AD=AB,

：.AB=EN=AE+BE=BE+BN,

：.AE=BN=HN,

是等腰直角三角形，

/.BH=近HN=MAE.

圖1

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，對稱的性質(zhì)，

等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解決本題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)得到相等的邊和相

第12頁（共20頁）

等的角，證明三角形全等，作出輔助線也是解決本題的關(guān)鍵.

7.在等腰直角△/BC中，/ACB=90°,尸是線段8c上一動點(diǎn)（與點(diǎn)8、。不重合），連

接4P,延長8c至點(diǎn)°,使得CQ=CP,過點(diǎn)0作。于點(diǎn)77,交48于點(diǎn)

（1）若/B4C=a,求N4WQ的大?。ㄓ煤琣的式子表示）.

（2）用等式表示線段兒以與尸。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出乙B/C=NB=45°,ZPAB=45°-a,由

直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）連接/。，作由44S證明得出尸C=ME,4MEB是等

腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）ZAMQ=45°+a；理由如下：

?1,/R4C=（x,AACB是等腰直角三角形，

/.ZBAC=ZB=45a,ZPAB=45°-a,

'JQHLAP,

：.ZAHM=90°,

...//MQ=180°-ZAHM-ZPAB=450+a；

（2）PQ=MMB；理由如下：

連接N。，作九花，。瓦如圖所示：

,：AC±QP,CQ=CP,

：.ZQAC=ZR4C=a,

：.ZQAM^45°+a^ZAMQ,

:.AP=AQ=QM,

在△4PC和△QWE中，

第13頁（共20頁）

，ZMQE=ZPAC

'ZACP=ZQEM，

.AP=QM

:.叢APC經(jīng)XQME（44S）,

：.PC=ME,

?：4MEB是等腰直角三角形，

:.LPQ=^2-.MB,

22

:.PQ=?MB.

方法二：也可以延長NC到。，使得CD=CQ.

則易證尸出△。氏W.

即PQ=?MB.

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

8.在等邊△48C中,

圖1

(1)如圖1,P,。是3c邊上的兩點(diǎn)，AP=AQ,ZBAP^20°,求N/Q3的度數(shù);

(2)點(diǎn)尸，。是3c邊上的兩個動點(diǎn)（不與點(diǎn)3,C重合），點(diǎn)尸在點(diǎn)。的左側(cè)，且/尸

=4Q,點(diǎn)。關(guān)于直線/C的對稱點(diǎn)為跖連接/跖PM.

①依題意將圖2補(bǔ)全;

第14頁（共20頁）

②小茹通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)P,。運(yùn)動的過程中，始終有我=尸”，小茹把

這個猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1:要證明我=尸"，只需證△/而是等邊三角形；

想法2：在氏4上取一點(diǎn)N,使得BN=BP,要證明我=尸河，只需證

想法3：將線段AP繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段3K,要證a=尸"，只需證以=

CK,PM=CK—

請你參考上面的想法，幫助小茹證明出=尸河（一種方法即可）.

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/，尸。=//。尸，由鄰補(bǔ)角的定義得到//尸3

=/NQC,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）如圖2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到//尸。=//。?，由鄰補(bǔ)角的定義得到/AP8=

ZAQC,由點(diǎn)。關(guān)于直線ZC的對稱點(diǎn)為M,得到/。=/河，/OAC=NMAC,等量代

換得到/M4c=/8/尸，推出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)

論.

【解答】解：⑴'：AP=AQ,

：.ZAPQ^ZAQP,

：.ZAPB=ZAQC,

:A4BC是等邊三角形，

/.Z5=ZC=60°,

；.NB4P=/CAQ=20°,

/.ZAQB=ZAPQ=ZBAP+ZB=S0°；

（2）如圖2,'：AP=AQ,

，NAPQ=Z.AQP,

N4PB=NAQC,

:AABC是等邊三角形，

，/2=/。=60°,

：.ZBAP=ZCAQ,（將線段8P繞點(diǎn)3順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段8K,要證弘=9,

只需證F4=CK,PM=CK…

請你參考上面的想法，幫助小茹證明處=尸」位）

,/點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M,

：.AQ=AM,ZQAC=ZMAC,

第15頁（共20頁）

???/MAC=ABAP,

：.ZBAP+ZPAC=ZMAC+ZCAP=60°,

ZPAM=60°,

U：AP=AQ,

；?AP=AM,

4ApM是等邊三角形，

：,AP=PM.證明△ZB尸也△4CM也

【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性

質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.在正方形/8CQ中，是一條對角線，點(diǎn)。在射線上（與點(diǎn)。、。不重合），連接

AP,平移尸，使點(diǎn)。移動到點(diǎn)C,得至IJz\5C。，過點(diǎn)。作。于H,連接4”,

PH,

（1）若點(diǎn)尸在線段CD上，如圖1.

①依題意補(bǔ)全圖1;

②判斷與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；

（2）若點(diǎn)尸在線段的延長線上，且N/〃0=152°,正方形的邊長為1,請

【分析】（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；

②連接先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△08。是等腰直角三角形，再由"S定理得出a

HDP^^HQC,故PH=CH,ZHPC=ZHCP,由正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

第16頁（共20頁）

(2)根據(jù)四邊形/BCD是正方形，可知△08。是等腰直角三角形，再由平移

的性質(zhì)得出尸。=。。.作印?_LPC于點(diǎn)心由//"。=152°,可得出/4HB及/D4H

的度數(shù)，設(shè)。尸=x,則DR=HR=RQ,由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)①如圖1;

②解法一：如圖1,連接CH,

:四邊形48CD是正方形，QH工BD,

：.ZHDQ=45°,

，△。時是等腰直角三角形.

?：DP=CQ,

在AHDP與AHQC中.

'DH=QH

,?,<ZHDP=ZHQC>

,DP=QC

:AHDPW&HQC(SAS),

:.PH=CH,/HPC=/HCP.

'：BD是正方形ABCD的對稱軸，

:.AH=CH,ZDAH=ZHCP,

:/HPC+NDPH=18O°,

；.NDAH+/DPH=180°,

：.ZADP+ZAHP=1SO°,

.?./4HP=180°-ZADP^9Q°,

：.AH=PH,AHLPH.

解法二