2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練：橢圓（附答案解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)經(jīng)典例題訓(xùn)練集一橢圓

一、選擇題

22

1.設(shè)橢圓￡:=+y2=l(a>l),。2：土+y=1的離心率分別為勺，.若%=也6，則

a4

。二()

B.V2C.y/3D.V6

22

2.已知橢圓C：T+2=l(a〉5〉0)的一條弦所在的直線方程是x-y+5=0,弦的中

點(diǎn)坐標(biāo)是M(-4,1),則橢圓C的離心率是()

C.走

22

3.已知橢圓C：9+2=l(0<6(通)的右頂點(diǎn)為A,上、下頂點(diǎn)分別為耳，B2,M

是A片的中點(diǎn).若kAB[-kMB2=-1,則橢圓C的方程為()

尤2

4.設(shè)耳，工為橢圓C：V+j=l(0<〃z<l)的上、下焦點(diǎn)，若在橢圓C上存在一點(diǎn)P,

使得則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

22

5.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：二+匕=1的右焦點(diǎn)為R斜率為2的直線與橢圓C

交于點(diǎn)A,B,且|Ab|+|3刊=20,點(diǎn)。為線段A3的中點(diǎn)，則)

A.V2C.V5

二、多項(xiàng)選擇題

6.2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，返回艙是宇航

員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”.如

圖，在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的焦點(diǎn)/(0,2),

橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點(diǎn)G.若過(guò)原點(diǎn)。的直線與上半橢圓

交于點(diǎn)A,與下半圓交于點(diǎn)3,則（）

A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4夜

B.線段A3長(zhǎng)度的取值范圍是［4,2+2應(yīng)］

C.ZxABF面積的最小值是4

口.△”6的周長(zhǎng)為4+4行

22

7.已知橢圓C:1+與=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,點(diǎn)

ab

P（后,1）在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)。在橢圓上，則以下說(shuō)法正確的是（）

A.離心率的取值范圍為

B.當(dāng)離心率為孝時(shí)，QK+QP的最大值為2a+半

C.存在點(diǎn)。使得斯?西=0

D.」-+，的最小值為1

QEQF.

三、填空題

22

8.已知橢圓。：?+==1（。〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),,P是C上一點(diǎn)，且

ab

PF2工FR,H是線段上靠近百的三等分點(diǎn)，且麗^兩二。，則橢圓C的離心率

為.

22

9.已知橢圓C:=+t=1（?！?）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工?若在橢圓。上存在點(diǎn)尸

a4

使得NF"?=120°,則a的取值范圍為.

四、解答題

10.已知橢圓C:「+4=l（a〉6〉0）的離心率為3，A,3分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上

ab2

頂點(diǎn)，鉆的面積為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線以與y軸交于點(diǎn)直線尸3與x軸交于點(diǎn)N.求

證：為定值.

參考答案

1.答案：A

解析：由橢圓G的方程知離心率弓=包口，由橢圓C的方程知6=走.又

a2

222

e2—y/3e,,BP=y/3■———->4hfefa=4a-4,/.a=-,'：a>\,a=.

212a33

故選A.

2.答案：C

1

￥+-A

解析：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（石,%）,（%,%），則“，2

%

b+-

兩式作差得（石+利*-々）++=0.又用（_4,1）是弦的中點(diǎn)，

ab

々=-8,必+丫2=2,———=土-=1,

X1一尤2a

3.答案：D

解析：由題可得,/=6,A(a,O),用(0力)，B2(Q,-b),r.A四的中點(diǎn)為/

,七印,尤明=-1，…AB】J-MB29

a3ba23b2

AB^?MB?—(—Q,b),

2，-T~2r

a1=3b2=6,/.b2=29

22

二橢圓C的方程為、+乙=1.故選D.

62

解析：由橢圓的性質(zhì)知：當(dāng)P在橢圓左，右頂點(diǎn)時(shí)，/月PK最大，.??若橢圓C上存在

一點(diǎn)尸，使得理，「工，只需尸在橢圓左，右頂點(diǎn)時(shí)，4尸鳥(niǎo)290。，

2a2_4c2

此時(shí)cosZFPF=-----；—<0，

t22a

即2a2<4c2,

22

又Q2=],c=1—m,

.\l<2（l-m2）,

X0<m<l,

??.0<V.故選c

5.答案：D

解析：解法一：由題意知尸（2,0）,設(shè)B（x2,y2）,則

2222

IAF|=7（x1-2）+y1=J（X,-2）+4-|X1=20-乎%，同理可得|5R|=2后-1%?

因?yàn)閨A尸|+|3/|=2加,所以%+々=4.

2222_1

由上+江=1,三+區(qū)=1,兩式相減得入土耳.豆二耳=—_L,因?yàn)橹本€A3的斜率為

8484玉+馬項(xiàng)一92

2,所以入二生=2,所以外+%=-1,則D（2,-口，所以|叩=Q=WI,故選

%1-x22JV42

D.

解法二：由題意知F（2,0）,設(shè)A（%，K）,B（x2,y2）,D（x0,y0）,則

|AR|=J（x「2y+y；=,同理可得|20/，

22

因?yàn)閨4或+|班＞2&,所以為+0=4.設(shè)直線A3的方程為y=2x+/,與、+乙=1

84

Q

聯(lián)立并整理得9無(wú)2+8江+2/—8=0,所以為+々=-｝，

X（）=見(jiàn)；々=2,所以為=2/_■!=_；,故￡＞（2,-31,

選D.

解法三：由題意知砥2,0）,設(shè)A（x"J,B（x2,y2）,則

2222

IAF\=A/（X1-2）+J1=^（X1-2）+4-|X1=2向與玉,同理可得|BF\=2后一等々，

因?yàn)镮A尸I+I1=,所以X]+々=4.設(shè),則%~x2=—=—,又

x082

X0=A±^=2,所以為=一故D,,—；|,|O0|=^Z!=平，故選D.

6.答案：ABD

解析：由題意知，橢圓中的幾何量b=c=2,則a=2及，2a=4^2,A正確；

|AB|=|O5|+|QA|=2+|QA|,由橢圓的性質(zhì)可知2旦。4區(qū)20,所以4W|A3區(qū)2+20,

B正確；

t己NAOF=6（0＜，V二],則

S^ABF=S^AOF+S^OBF=^\OA\-\OF\sin0+^\OB\-\OF\sin(Ti-3)

=|OA|sin6>+2sin6>=(|OA|+2)sin6?,取。=C，貝US4A*=1+工I%1<1+工義2四<4,

622

c錯(cuò)誤；

由橢圓定義知，|AP|+|AG|=2a=4jI,所以AAFG的周長(zhǎng)為|尸G|+4后=4+4A歷,

D正確.故選ABD.

7.答案：BD

解析：由題意可得2a=4,所以a=2,由點(diǎn)在橢圓內(nèi)部可得？+1,可得

4b

2<b2<4,即2<4-/<4,所以0<°<也對(duì)于A,e=—e0,^~,故A錯(cuò)誤；對(duì)

a[2)

于B,當(dāng)6=手時(shí)，c當(dāng),鳥(niǎo)[曰人]

QFl+QP=2a-QF2+QP<2a+PF2=^+^-,故B正確；對(duì)于C,由A知0<e<[,

若e=、一,當(dāng)Q在短軸端點(diǎn)時(shí)，NKQF,最大,止匕時(shí)cosNEQM=-----；—=0,則

22a"

N￡QE=90。，由0<6<事，可得/耳。區(qū)的最大值小于90。，所以不存在點(diǎn)。使得

函?函=0,即C錯(cuò)誤；對(duì)于D,

1,1_QF+QF44,

-----1----------1------2------------N------------------=],當(dāng)且僅當(dāng)QG=QE=2時(shí)等號(hào)

。耳QF2QF.QF2QF/QF?[。耳

成立，故D正確.故選BD.

A/6—\/2

8.答案:

2

721/12.2

解析：因?yàn)椤给B(niǎo)，片乙，所以|尸詞=一,|P￡|=2a-|P周=2。--=-—,

aaa

[2,2

口耳|=總產(chǎn)周=飛工.因?yàn)辂?所=0,所以所以則

WW即塞=干,整理得多倔?所以人病+』,解

得八方或叫號(hào)(舍)，所以橢圓C的離心率為

9.答案：［4,+8)

解析：設(shè)橢圓C上一點(diǎn)M,|5|=7〃(〃/>0),|嗎|=〃5>0),|耳閶=2c,由橢圓的

加2_|_%2_A2

定義知m+〃=2a.在△〃耳居中，由余弦定理得cosN4M片=----------

2mn

=⑺+〃)2-23-3=4〃-4/2碗=也_1又以/31“2,當(dāng)且僅當(dāng)

2mn2mn2mn\2J

m=n,即點(diǎn)M為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)cos/￡M￡取得最小值，即

NRMF2取得最大值，如圖所示.要使得橢圓C上存在點(diǎn)P使得/HP%=120°,根據(jù)橢

圓的對(duì)稱性，可得/。叫260。，cosZOM^<1,即在Rt^OM8中，

于4=2=2<3,解得。之4,所以。的取值范圍為［4,+oo).

\MF2\aa2

(2)證明見(jiàn)解析

解析：(1)由題意，得《2===±3=1—?jiǎng)t。=2