2024中考數(shù)學(xué)幾何模型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：全等與相似模型之十字模型（學(xué)生版）

專(zhuān)題18全等與相似模型之十字模型

幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，研究的是形狀、大小和相對(duì)位置等幾何對(duì)象的性質(zhì)和變換。在初中幾

何學(xué)中，十字模型就是綜合了上述知識(shí)的一個(gè)重要模型。本專(zhuān)題就十字模型相關(guān)的考點(diǎn)作梳理，幫助學(xué)生

更好地理解和掌握。

模型1.正方形的十字架模型（全等模型）

“十字形”模型，基本特征是在正方形中構(gòu)成了一個(gè)互相重直的“十字形”，由此產(chǎn)生了兩組相等的銳角

及一組全等的三角形。

1）如圖1,在正方形/BCD中，若E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，AELBF-,則AE=BF.

2）如圖2,在正方形/BCD中，若￡、F、G分別是BC、CD、4g上的點(diǎn)，AELGF-,貝I]AE=GF。

3）如圖3,在正方形N8CZ）中，若￡、F、G、〃分別是8C、CD、AB、49上的點(diǎn)，EHLGF；則HE=GF。

模型巧記：正方形內(nèi)十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.

例1.（22.23下?廣東?課時(shí)練習(xí)）如圖，將一邊長(zhǎng)為12的正方形紙片/BCD的頂點(diǎn)/折疊至DC邊上的點(diǎn)

E,使?！?5,若折痕為尸。，則尸。的長(zhǎng)為（）

A.13B.14C.15D.16

例2.（2023年遼寧省丹東市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形/BCD中，48=12,點(diǎn)￡,月分別在邊3C,

CD上，/E與BF相交于點(diǎn)G,若BE=CF=5,則8G的長(zhǎng)為.

例3.（2023安徽省蕪湖市九年級(jí)期中）如圖，正方形/BCD中，點(diǎn)E、F、77分別是BC、CD的中點(diǎn),

CE、DF交手G,連接NG、HG.下列結(jié)論：①CE工DF；（2）AG=DG；（3）ZCHG=ZDAG；

（4）2HG=AD.正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例4.（廣西2022-2023學(xué)年九年級(jí)月考）（1）感知：如圖①，在正方形/BCD中，E為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)

￡不與點(diǎn)45重合），連接?！?過(guò)點(diǎn)4作JFLQE,交BC于點(diǎn)、F,證明：DE=AF.

（2）探究：如圖②，在正方形48CD中，E,尸分別為邊A8,CD上的點(diǎn)（點(diǎn)E,尸不與正方形的頂點(diǎn)重

合）,連接M,作所的垂線分別交邊4D,8c于點(diǎn)G,H,垂足為。若￡為N8中點(diǎn),DF=\,48=4,

求G8的長(zhǎng).（3）應(yīng)用：如圖③，在正方形4BCD中，點(diǎn)E,尸分別在2C,CD上，BE=CF,BF,AE

相交于點(diǎn)G.若/B=3,圖中陰影部分的面積與正方形/BCD的面積之比為2：3,貝！U4BG的面積為,

△4BG的周長(zhǎng)為.

圖①圖②圖③

模型2.矩形的十字架模型（相似模型）

矩形的十字架模型：矩形相對(duì)兩邊上的任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時(shí)這兩條線段的的比等于矩

形的兩邊之比。通過(guò)平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。

如圖1,在矩形N5CD中，若￡是上的點(diǎn)，MDEA.AC,則變=生

ACAB

則空=蛆

ACAB

如圖3,在矩形/BCD中，若E、F、M、N分別是45、CD、AD,3C上的點(diǎn)，且E7LLMV,則里=變

MNAB

例1.（2223下?廣西?九年級(jí)期中）如圖，把邊長(zhǎng)為/8=2近，3c=4且=45。的平行四邊形/BCD對(duì)

折，使點(diǎn)3和。重合，求折痕MV的長(zhǎng).

例2.（22?23下?河北?九年級(jí)期中）如圖，在矩形/BCD中，E、F、G、〃分別為ND、BC、AB、CD

邊上的點(diǎn)，當(dāng)EF_LGH時(shí)，證明：EF-.GH=AB:BC.

例3.（22-23?貴港?中考真題）已知：在矩形48CD中，AB=6,AD=243,P是8C邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將

矩形/BCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，折痕為E尸.（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí),

則線段即=,EF=；（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)3,C均不重合時(shí)，取EF

的中點(diǎn)。，連接并延長(zhǎng)尸。與G尸的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)連接打ME,MA.①求證：四邊形"E始是平

行四邊形：②當(dāng)時(shí)，求四邊形〃口戶的面積.

圖1圖2

例4.（2022年四川樂(lè)山中考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷）解答（1）如圖1,矩形/BCD中，EF±GH,E尸分別交/瓦

CD于點(diǎn)E,F,GH分別交AD,8。于點(diǎn)G,H.求證：不7=二苒；（2）如圖2,在滿足（1）的條件下，點(diǎn)

GHAB

M,N分別在邊8C,CD上,若——=一，求一7的值；⑶如圖3四邊形48cz（中，ZABC=90a,AB=AD

GH15AM

、DN,,/士

=10,AMLDN,點(diǎn)M,N分別在邊8C,上,'求而的值.

7）,FCDFNCD

AEBANB

AEB

圖1圖2圖3

模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）

1）等邊三角形中的斜十字模型（全等+相似）：

如圖1,已知等邊△ZBC,BD=EC（或CD=/E）,則4D=3E,且/。和BE夾角為60。，AABC.

A

BD0

2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：

如圖2,在△/BC中，AB=BC,ABLBC,①。為中點(diǎn),?BF±AD,③AF：FC=2：1,@ZBDA=ZCDF,

⑤/AFB=/CFD,?ZAEC=U5°,@AE=42EC,以上七個(gè)結(jié)論中，口了“知二得五”。

BB

T\X'

FCG.G

3）直角三角形中的十字模型：

如圖3,在三角形48c中，BC=kAB,ABLBC,。為2c中點(diǎn)，BFLAD,貝！|/尸：FC=2：k2,（相似）

例1.（22-23.成都市.八年級(jí)期中）如圖，在等邊△48C中，D、￡分別是8C、NC上的點(diǎn)，且3D=CE,AD

與BE相交于點(diǎn)P.下列結(jié)論：①AE=CD；②AP=BE；③/PAE=/4BE；④N4P2=120°,其中正確

的結(jié)論是（填序號(hào)）

例2.（2223下?淄博?一模）如圖，等邊“BC,點(diǎn)、E,尸分別在NC,8c邊上，AE=CF,連接/凡BE,

相交于點(diǎn)尸.（1）求NAPF的度數(shù)；⑵求證：BPBE=BFBC.

例3.（2223下?無(wú)錫?階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊A/3C中，D、E分別為邊8C、/C上的點(diǎn)，AD

與3E相交于點(diǎn)P,若BD=CE=2,則//〃>￡=°；則A48P的周長(zhǎng)為.

A

/\E

BC

D

例4.（2223下?六安?一模）如圖1,等邊“3C中，點(diǎn)￡分別在3C、/C上，S.BD=CE,連接/￡＞、BE

交于點(diǎn)?⑴求證：乙〃芍=60。；（2）如圖2,連接CF,若BD=；BC,判斷CF與的位置關(guān)系并說(shuō)明理

由；（3）如圖3,在（2）的條件下，點(diǎn)G在/E上，G尸的延長(zhǎng)線交2。于X,當(dāng)/G=PG=5時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出

線段的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

例5.（2223上?深圳?期中）如圖，在瓦A4BC中，ZABC=90°,A4=3C=3,點(diǎn)。為3c邊上的中點(diǎn),

連接過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BE交/C于點(diǎn)足則3尸的長(zhǎng)為.

例6.（2223下?滄州?二模）如圖，在中，AABC=90°,/8=3C,點(diǎn)。是線段48上的一點(diǎn),

連接C0,過(guò)點(diǎn)3作3G，CO,分別交C。、◎于點(diǎn)E、F,與過(guò)點(diǎn)4且垂直于45的直線相交于點(diǎn)G,連

接。尸，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

AD5

AGAF什1-1=（r、,，,八|一

A.——-=——B.右點(diǎn)。TEAB1的中點(diǎn)，則力尸=2-45

ABFC3

C.當(dāng)B、C、F、。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，DF=DBD.若器=；,則以BC="期尸

例7.（2223?廣東?期中）如圖，在RtA4C3中，NACB=90°,/C=4,6C=3,點(diǎn)。為NC上一點(diǎn)，連

接BD,E為4B上一點(diǎn)、,CE1BD于點(diǎn)F,當(dāng)/。=。時(shí)，求CE的長(zhǎng).

例8.（22-23下?深圳?一模）如圖①，在Rt?8C中，AC=BC,4c8=90。，點(diǎn)。為8c邊上的一點(diǎn),

連接4D,過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)凡交48于點(diǎn)￡,連接。E.

RF

(1)若4E=2BE,求證：/F=2CF；(2)如圖②，若AB=C，DELBC,求名的值.

AE

圖①圖②

例9.(22.23上?長(zhǎng)春?階段練習(xí))某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了

如下探究:

【觀察與猜想】(1)如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、尸分別是48、AD上的兩點(diǎn)，連接DE,CF,DELCF,

DF

則拿的值為..【類(lèi)比探究】⑵如圖②，在矩形48co中，4D=7,CE>=4,點(diǎn)E是邊/。上

CF

一點(diǎn)，連接CE,BD,且求匚”的值.【拓展延伸】⑶如圖③，在放中，ZACB=90°,

BD

點(diǎn)。在8C邊上，連結(jié)4D,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E,CE的延長(zhǎng)線交48邊于點(diǎn)尸.若/C=3,BC=4,

Q

BF=-,則GD=

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2223下?杭州?一模）如圖，在等邊“3C的NC,2C邊上各取一點(diǎn)M,N使,AM=CN,AN,相交

于點(diǎn)O.若/M=4,MO=2,則2。的長(zhǎng)是（）

A.5B.6C.7D.8

2.（2023.湖北.九年級(jí)期末）如圖，將邊長(zhǎng)為12cm的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)E處,

折痕為MN.若CE的長(zhǎng)為7cm,則MN的長(zhǎng)為（）

C.15D.無(wú)法求出

3.（2023.南充市中考模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,P為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AP,過(guò)點(diǎn)B作BELAP

于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CE交AD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CH±BE于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H,連接HF,下列結(jié)論正確的是（）

5R

A.CE=V5B.EF=-C.cosZCEP=—D.HF2=EF?CF

25

4.（黑龍江省牡丹江市2021年中考數(shù)學(xué)真題試卷）如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為3,E為邊上一點(diǎn)，

3E=：L.將正方形沿G尸折疊，使點(diǎn)/恰好與點(diǎn)E重合，連接NF,EF,GE,則四邊形/GE尸的面積為（）

A.2而

5.（2223下?東營(yíng)?中考模擬）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，連結(jié)

CD,過(guò)點(diǎn)B作BGLCD,分別交CD、CA于點(diǎn)E、F,與過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G,連結(jié)DF,給

出以下四個(gè)結(jié)論：①空=空；②若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則AF=Y2AB；③當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)

ABFC3

圓上時(shí)，DF=DB；④若黑=1，則5澳比=95M.其中正確的結(jié)論序號(hào)是（）

DB

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

6.（2223下?江門(mén)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在心ZUBC中，ZACB=90°,AC=BC.點(diǎn)。是線段8c上的一點(diǎn)，連

接4D,過(guò)點(diǎn)C作CG，/。，分別交40、于點(diǎn)G、E,與過(guò)點(diǎn)3且垂直于2C的直線相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)。

RF

是3c的中點(diǎn)，連接DE.則盥=;

BDC

7.（22?23下?山西?一模）如圖，在及△NBC中，/48C=90。，AB=BC=2,NE是8c邊上的中線，過(guò)點(diǎn)

2作NE的垂線2。，垂足為X,交/C于點(diǎn)。，則4。的長(zhǎng)為.

BE%

8.（山東2022-2023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，正方形/BCD中，點(diǎn)E、F、X分別是/5、

BC、C￡>的中點(diǎn)，CE、DF交于G,連接/G、HG.下列結(jié)論：①NG=N。；②/G_LG〃；③NZMG=60。；

④/4GE=NBCE.其中正確的有.

AD

9.（江西2023-2024學(xué)年九年級(jí)月考數(shù)學(xué)試題）在矩形紙片/BCD中，AB=6,BC=8,將紙片折疊.

（1）如圖1,若沿3尸對(duì)折，使點(diǎn)C恰好落在4D上得到點(diǎn)￡,求NE的長(zhǎng).

（2）如圖2,若沿對(duì)角線AD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，BF與4D交于點(diǎn)E,求NE的長(zhǎng).

（3）如圖3,若沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)/重合，求折痕E尸的長(zhǎng).

10.（2023年成都市中考三模數(shù)學(xué)試題）已知正方形43。的邊長(zhǎng)為6,動(dòng)點(diǎn)瓦尸分別在邊/民上運(yùn)動(dòng),

連接EF.（1）如圖1,過(guò)3作8GL跖交邊4D于點(diǎn)G,交E尸于點(diǎn)H.i）若G為4D的中點(diǎn)，〃為3G的

中點(diǎn)，求/E的長(zhǎng)；ii）探索線段NE,。。（節(jié)之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論并證明.（2）如圖2,將四邊形

EBCF沿EF翻折得到四邊形EB'C'F,B'E與AD相交于點(diǎn)P,調(diào)整點(diǎn)E和點(diǎn)廠的位置使得線段8'C’始終經(jīng)過(guò)

頂點(diǎn)D.i）若點(diǎn)。到E尸的距離。0=可，求DP的長(zhǎng)；ii）點(diǎn)2,到工。的距離是否存在最大值？若存在,

請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)最大距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

11.（四川省成都市2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）【模型發(fā)現(xiàn)】如圖1,在正方形43。

中，E為邊3c上一點(diǎn)（不與點(diǎn)2、C重合），過(guò)點(diǎn)。作垂直于/￡的一條直線。尸，垂足為G,交N8于點(diǎn)

R小明發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)證明：LDAF會(huì)LABE得4E=DF（不需證明）

【模型探究】（1）如圖2,在正方形/BCD中，尸為邊8C上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合），M為線段CD上

一點(diǎn)（不與C、。重合），過(guò)點(diǎn)河作垂足為G,交48于點(diǎn)N,請(qǐng)直接寫(xiě)出。m與/N及線段DM、

BN、CP之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）如圖3,在（1）的條件下，若垂足G恰好為4P的中點(diǎn)，連接8。，交于點(diǎn)〃，連接并延長(zhǎng)交

邊/。于點(diǎn)/,再連接8G,請(qǐng)?zhí)骄烤€段8G、G4的數(shù)量關(guān)系；

［拓展應(yīng)用】（3）如圖4,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)必N分別為邊CO、上的點(diǎn)，過(guò)/作NG，跖V,

已知/G=5,將正方形/BCD沿著MN翻折，8c的對(duì)應(yīng)邊笈C’恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)/,連接廠M交4D于點(diǎn)。.過(guò)

點(diǎn)。作。&1MN,垂足為R,求線段少的長(zhǎng).（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）

圖1圖2圖3圖4

12.（成都市錦江區(qū)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）（1）問(wèn)題探究：如圖1,在正方形/BCD,

點(diǎn)E,。分別在邊BC,43上，于點(diǎn)。，點(diǎn)G,尸分別在邊C。、45上，GPLAE.

①判斷。。與/E的數(shù)量關(guān)系：DQAE-,②推斷：爺?shù)闹禐椋海唬o(wú)需證明）

（2）類(lèi)比探究：如圖（2）,在矩形/BCD中，—將矩形48co沿G廳折疊，使點(diǎn)A落在8C邊上

AB3

的點(diǎn)￡處，得到四邊形正EPG,EP交CD于點(diǎn)、H,連接/E交G廠于點(diǎn)。.試探究G尸與/￡之間的數(shù)量關(guān)

系，并說(shuō)明理由；⑶拓展應(yīng)用1：如圖3,四邊形/3CZ）中，ZABC=90°,4B=AD=10,BC=CD=5,

DN

AMLDN,點(diǎn)、M,N分別在邊5。、45上，求——的值.

AM

?BE3

（4）拓展應(yīng)用2：如圖2,在（2）的條件下，連接CP,-GF=2A/10,求C尸的長(zhǎng).

BF4

13.（2223下?江蘇?九年級(jí)期中）平行四邊形/BCD中，BC=nAB,E,尸分別是邊DC上的點(diǎn)，AF1BE,

G為垂足.⑴如圖1,當(dāng)〃=1,N/BC=90。時(shí)，求證：AF=BE

（2）如圖2,當(dāng)〃=也，ZABC=90°,48=2,求E尸的最小值

（3）如圖3,當(dāng)〃=1,sinZABC=~,￡為4D的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出黑的值.

5BE

圖1圖2圖3

14.（2022年湖北中考模擬）知矩形NBCD中，七=左，點(diǎn)E是3C邊上一點(diǎn)，GFLAE于點(diǎn)、O,分別交

AB

GF

AB、CD于點(diǎn)足G.⑴特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,若左=1,則卞=______;

AE

GF

（2）類(lèi)比探究：如圖2,若左=31,請(qǐng)?zhí)骄咳闹?，并?xiě)出探究過(guò)程；

4AE

⑶拓展應(yīng)用：如圖3,在（2）的條件下，將矩形/BCD沿。尸折疊，使點(diǎn)/恰好落在2C邊上的點(diǎn)E處，

得到四邊形尸EFG,PE與CD交于點(diǎn)H,連接PC.已知tan/CG尸=g,GF=2也，求PC的長(zhǎng)

15.（成都市錦江區(qū)2022-2023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期入學(xué)練習(xí)數(shù)學(xué)試題）（1）如圖1,在正方形N8CD中，

點(diǎn)E,歹分別是ND上的兩點(diǎn)，連接DE,CF,若DELCF,則孑的值為；

CE

（2）如圖2,在矩形/BCD中，40=7,CD=4,點(diǎn)E是4D上的一點(diǎn)，連接CE,AD,若CE_L8D,則訪

的值為;

（3）如圖3,在四邊形中，/A=NB=90。，點(diǎn)、E為ABk一點(diǎn)、,連接。E,過(guò)點(diǎn)C作DE的垂線交

￡￡）的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交40的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，求證：DE-AB=CFAD-,

（4）如圖4,在RtA/BD中，ZBAD=9Q°,3=18,將沿3。翻折，點(diǎn)/落在點(diǎn)C處，得到△C5D,

DF5

點(diǎn)下為線段/。上一動(dòng)點(diǎn)，連接。尸，作DELCF交于點(diǎn)、E,垂足為點(diǎn)G,連接NG.設(shè)方=§，求

AG的最小值.

圖1圖2圖3圖4

16.（2023年廣東省深圳市中考模擬數(shù)學(xué)試題）【問(wèn)題解決】

如圖1,己知正方形/BCD中，E,尸分別是BC,CD邊上的點(diǎn)，/E與3廠交于點(diǎn)G.當(dāng)/￡_L8/時(shí)，求

證：AE=BF■,

【類(lèi)比遷移】如圖2,在菱形4BCD中，E,尸分別是3C,C。邊上的點(diǎn)，AE與BF交于點(diǎn)G.若

AAEB=ZBFC=60°,求證：AE=BF.

【拓展延伸】如圖3,在四邊形中，E,歹分別是8C,C。邊上的點(diǎn)，4E與BF交于點(diǎn)

4E

G.ABAD=ZBCD=90°,AB=3,BC=4,BC=CD,若AELBF,請(qǐng)求出一的值.

A

圖1圖2圖3

17.（2223下?安徽模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在等邊“3C中，點(diǎn)D,E分別在邊8C,/C上，S.BD=CE,連

接BE相交于點(diǎn)?

沿43翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，連接G廠并延長(zhǎng)交42于點(diǎn)〃交BC于點(diǎn)/.當(dāng)NB=6