中考數(shù)學專項復習：線段、角的軸對稱性（知識梳理與考點分類講解）

專題2.3線段、角的軸對稱性(知識梳理與考點分類講解)

第一部分【知識點歸納】

【知識點一】線段的軸對稱性

1.線段是軸對稱圖形：線段的垂直平分線和它本身所在的直線是它的對稱軸；

2.線段的垂直平分線定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂

直平分線，也叫線段的中垂線.

3.線段的垂直平分線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；

性質(zhì)2：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

【要點提示】線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引

輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相

等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.

【知識點二】角的軸對稱性

角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸

(1)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

【要點提示】用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：如圖，若CD平分乙4DB,點P是CD

上一點，且PEL4。于點E,PRLBD于點F,則PE=P尸.

(2)角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

【要點提示】用符號語言表示角的平分線的判定：如圖，若PEL4D于點E,PELBD于點、

F,PE=PF,則PD平分乙〃)8

(3)角平分線的尺規(guī)作圖

試卷第1頁，共10頁

A

C

D

EB

（1）以。為圓心，適當長為半徑畫弧，交。/于。，交0B于E.

（2）分別以。、E為圓心，大于;的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點C.

（3）畫射線OC.

射線OC即為所求.

第二部分【題型展示與方法點撥】

【題型1】角平分線的性質(zhì)定理

【例1】（22-23八年級下?陜西咸陽?期中）

1.如圖，在四邊形中，點E是5c的中點，AB1BC,DC1BC,/￡平分

ZBAD.求證：AD-AB+CD.

DC

【變式1］（23-24七年級下?陜西榆林?期末）

2.如圖，在RtZi/BC中，ZC=90°,4D平分/B4C,交BC于點、D,8=3,48=10,

則的面積為（）

A.10B.15C.20D.30

【變式2】（2024?四川達州?模擬預測）

3.如圖，在△/BC中，DEJ.AB于E,DFJ.AC于F,為/A4c的平分線，LABC

面積是28cm,AB=20cm,AC=8cm,DFcm.

試卷第2頁，共10頁

【題型2】角平分線的判定定理

【例2】（22-23七年級下?吉林長春?期末）

4.如圖，在△/8C中，。為NC邊上一點，DEJ.4B于懸E,于點尸,

BE=BF.

（1）求證：BD平分N4BC；

（2）若A8=9,8C=11,S“BC=40,則。E的長為

【變式1］（23-24八年級下?陜西榆林?期末）

5.如圖，在RtZUBC中，ZC=90°,點。在8c上，連接4D,S^ACD:S^ABD=AC:AB,

若NB=54°,則/BAD的度數(shù)為（）

A.20°B.16°C.18°D.36°

【變式2】（23-24八年級上?海南省直轄縣級單位?期中）

6.如圖，已知點。、E、尸分別是△NBC的三邊上的點，CE=BF,S4DCE=S4DBF，且

ABAD=42。，則ZBAC的值是.

試卷第3頁，共10頁

【題型3】尺規(guī)作圖——作角平分線

【例3】（2024?河南商丘?模擬預測）

7.請你完成命題“三角形兩個角的平分線的交點一定在另一個角的平分線上”的證明.已知:

如圖，在△4BC中，48,/C的平分線交于點。，連接/Z）.

請你用無刻度直尺和圓規(guī)完成作圖，將“求證”補充完整，并寫出證明過程.

【變式1】（23-24七年級下?河北保定?期末）

8.如圖，在△NBC中，ZC=90°,按以下步驟作圖：

C

①以點/為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交/C,48于點N；

②再分別以點N為圓心，大于;"N的長為半徑畫弧，兩弧交于點。；

③作射線49,交6c于點￡.

已知CE=2,AB=1,則助的面積為（）

A.5B.7C.9D.14

【變式2】（23-24七年級下?廣東深圳?期末）

9.如圖，在△NBC中，"=56。，利用尺規(guī)作圖，得到直線DE和射線4F.若

ZEAF=22°,則N8=°.

試卷第4頁，共10頁

【題型4】線段垂直平分線的性質(zhì)定理

[例4]（22-23八年級下?甘肅張掖?期末）

10.如圖，在△NBC中，點￡是8c邊上的一點，連接4E,2D垂直平分4E,垂足為R

交NC于點D.連接DE.

⑴若△4BC的周長為19,AOEC的周長為7,求4B的長.

⑵若乙4BC=30。，ZC=45°,求的度數(shù).

【變式1】（23-24七年級下?山東東營?期末）

11.如圖，在△NBC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,分別以/、2為圓心，兩弧分別交

于￡、F,直線E尸交3c于點。，則A/CD的周長等于（）

A.7B.8C.9D.10

【變式2】（23-24七年級下?安徽宿州?期末）

12.如圖，在△/BC中，AB=AC,SC=3cm,分別以點N,C為圓心，以大于g/C為半

徑作弧，兩弧分別交于點M,N,過點"，N作直線"N交48于點尸，連接CP.若MBC

的周長比ABCP的周長大5cm,則ABCP的周長為cm.

【題型5】線段垂直平分線的判定定理

試卷第5頁，共10頁

【例5】（2024?湖南長沙?一模）

13.如圖，△NBC中，ZACB=90°,AD平分/B4C,DE，AB于E.求證:

（1）4E=AC；

（2）直線AD是線段CE的垂直平分線.

【變式1】（23-24八年級上?河南南陽,期末）

14.如圖，在△ABC中，以點/為圓心，NC的長為半徑作弧，與BC交于點E,分別以點E

和點C為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點P,作射線4尸交于點D若

ZB=45°,ZC=2ZCAD,則/A4E的度數(shù)為（）

A

A

Z/p

不

A.30°B.25°C.20°D.15°

【變式2］（22-23七年級下?陜西咸陽?期末）

15.如圖，在△N2C中，AB=AC,點。是△4BC內(nèi)部一點，DB=DC,點、E是邊AB上

一點，若CD平分//CE,ZAEC=U0°,則/BOC的度數(shù)為

【題型6】尺規(guī)作圖——作垂直平分線和垂線

【例6】（23-24七年級下?遼寧阜新?期中）

16.現(xiàn)有兩條高速公路。4、和C,。兩個城鎮(zhèn)（如圖），準備建立一個燃氣中心站M使

中心站到兩條公路距離相等，并且到兩個城鎮(zhèn)距離相等，請你畫出中心站位置.

試卷第6頁，共10頁

【變式1】（23-24七年級下?山東濟南?期末）

17.如圖，在△ABC中，ZB=34°,NACB=78°,根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可知/1=（）

【變式2】（23-24七年級下?遼寧朝陽?期末）

18.如圖，A/BC的周長為25cm,分別以/、2為圓心，以大于g/8的長為半徑畫圓弧,

兩弧交于點。、E,直線DE與4B邊交于點F,與邊/C交于點G,連接BG,AGBC的周

長為15cm,則AB的長為.

【題型7】軸對稱的綜合變換

[例7]（20-21七年級上?黑龍江大慶?期末）

19.如圖，點P是外一點，點M、N分別是兩邊上的點，點P關(guān)于OA的對

稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在線段MN的延長線上.若

PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,則線段QR的長為多少

試卷第7頁，共10頁

Af

【變式1］（21-22七年級下?全國?單元測試）

20.如圖，△42C中，ZACB=90°,AC=BC,/8=4,點￡在3c上，且8￡=2,點P

在2/8C的平分線5。上運動，則PE+PC的長度最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式2】（20-21七年級下?四川成都?期末）

21.如圖，分別以線段的兩個端點為圓心，以大于;N2長為半徑作弧，兩弧交于點M

和點N,在直線上取一點C,連接C4,C5,點。是線段NC的延長線上一點，且8=

g/C,點尸是直線上一動點，連接PD,PB,若8C=4,則尸D+P8的最小值為.

2-

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

［例1］（2024?四川眉山?中考真題）

試卷第8頁，共10頁

22.如圖，在△4BC中，AB=AC=6,BC=4,分別以點A,點B為圓心，大于;48的

長為半徑作弧，兩弧交于點E,F,過點E,尸作直線交NC于點。，連接AD,則△3C。

的周長為（）

B（

A.7B.8C.10D.12

【例2】（2024?四川廣元?中考真題）

23.點尸是正五邊形/8CDE邊DE的中點，連接3尸并延長與CD延長線交于點G,則/BGC

的度數(shù)為.

【例1】（23-24七年級下?湖北武漢?期末）

24.如圖，AB//CD,N4B”的角平分線AP交NHCD的角平分線的反向延長線于點P,直

線PB交CD于點、N,若NHCD-2NBNC=24°,貝|/尸+/〃=。

【例2】（23-24七年級下?重慶沙坪壩?階段練習）

25.如圖1,在中，BD為ZC邊上的高，8尸是2的角平分線，點E為4F上一

點，連接/E,ZAEF=45°.

試卷第9頁，共10頁

⑴求證：AE平分NB4F

(2)如圖2,連接CE交BD于點G,若AB/E與AC/E的面積相等，求證：BG=CF

試卷第10頁，共10頁

1.見解析

【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定

和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

如圖所示，作EF1ND于點尸，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得斯=￡2,根據(jù)中點的性質(zhì)可得

EF=EC,再根據(jù)全等三角形的判定可得Rt&4FE*RtA4BE(HL),

RtADFE^RtADmHL),由此可得N尸=N8,FD=CD,由此即可求解.

【詳解】證明：如圖所示，作E尸上ND于點尸，則N/FE=NDFE=90。，

AB±BC,DC1BC,

：.AB1BC,DC±BC,ZB=ZC=90°,

?；AE平分NBAD,

EF=EB,

???點E是5c的中點，

EB—EC,

；,EF=EC,

在Rt^AFE和RtdABE中,

[AE=AE

\EF=EB'

???RtZ\/FEgRtA45E(HL),

???AF=AB,

在RtADFE和RtADCE中,

DE=DE

EF=EC'

.-.RtADF^RtADmHL),

：,FD=CD,

vAD=AF+FD,SLAF+FD=AB+CD,

??.AD=AB+CD.

答案第1頁，共17頁

2.B

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線上的點到兩邊的

距離相等.

過點。作垂線交于點E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到DE的長度，再根據(jù)三角形的面

積公式進行計算即可.

【詳解】解：過點。作垂線交于點E,

???/。平分/詡。，ZC=90°,DE1AB,

:.DE=DC=3,

???△45。的面積為竺在10x3

=15.

2

故選：B.

3.2

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

△45。的面積是28cm,列式得；4斤石。+；4。。尸=28,即可得到答案.

【詳解】解：在△/3C中，DEJ.AB于E,DFJ.AC于F,力。為/氏4C的平分線，

:.DE=DF,

fxABC的面積是28cm,

:.^AB-ED+^AC-DF=2S,即g(/C+/B)?FD=28,

.?.gx(8+20)FD=28,

.e.FD=2cm,

故答案為：2.

4.(1)詳見解析

⑵。E=4

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)和判定，靈活運用所學

答案第2頁，共17頁

知識是解題的關(guān)鍵.

（1）連接2D,證明RtABOEgRtA8O/（HL）,得DE=DF,再利用角平分線的性質(zhì)即可

解決問題；

（2）結(jié)合（1）DE=DF,根據(jù)S^BC=S△.+S^BCD=40,代入值計算即可解決問題.

【詳解】（1）證明：如圖，連接5。,

VDELAB于點E,DF18C于點尸，

ABED=ZBFD,

在RtASDE1和R3DF中,

BD=BD

BE=BF

:.RtABDEZRLBDF(HL),

：.DE=DF,

■：DEL于點E,DF1BC于點、F,

:.BD平分/4BC；

40

(2)解：：S"C=S.ABD+S.BCD=，

-AB-DE+-BCDF=40,

22

???DEDF,

gr)￡(N3+8C)=40

???AB=9,3c=11,

1z)E(9+ll)=40

DE=4,

故答案為：4.

5.C

【分析】本題考查了角平分線的判定以及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，根據(jù)

答案第3頁，共17頁

S

^ACD=-^ACxCD,S^ABD=-ABxDH,以及S“CD：S^ABD=&C:AB,得出CZ)=Z>"，證

明4D是/C/8的角平分線，結(jié)合NC=90。，NB=54。,得出

ZCAB=180°-90°-54°=36°,即可作答.

【詳解】解：如圖：過點。作。

S.,=-ACxCD,S..^-ABxDH

Z\AcvJn2△AHI)Rn2

??.S^ACD-SAABD=AC：AB

：,CD=DH

.??力。是/C45的角平分線

：.ABAD=-ACAB

2

???ZC=90°,/B=54。

ZCAB=180°-90°-54°=36°

???/84D的度數(shù)為18°

故選：C.

6.84°##84度

［分析］本題考查了三角形面積公式、角平分線的判定與性質(zhì)，作。G，于G,，4C

于H,由三角形面積公式得出。G=。，，從而得出AD平分/8/C,再由角平分線的性質(zhì)

即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，作。GLAB于G,DHL4C于H,

[BFDG，SQE=；CEDHCE=BF,

v=S

^△DCE-°ADBF，

答案第4頁，共17頁

DG=DH,

DG1AB,DHYAC,

AD平分/BAC,

/BAC=2/BAD=2x42°=84°,

故答案為：84°.

7.見解析

【分析】本題考查尺規(guī)作圖一角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，命題與證明，根據(jù)命題

可知求證：點。在-A4c的平分線上.過點。作。廠，BCOGL/C,證明

RtA4ED0RtA/GD（HL）可得=,即可得到結(jié)論.

【詳解】解：完成作圖如圖所示.

求證：點。在/A4c的平分線上.

證明：過點。作。民。尸，5C,OG，NC,如圖所示.

???BD,CD是LABC的角平分線，

DE=DF,DF=DG.

DE=DG,

又AD=AD,

RUAED^RUAGD（UL）.

ZDAE=ZGAD,即點。在NA4c的平分線上.

8.B

【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點E到4C和AB的距

離相等，點￡至IMB的距離等于CE的長度，利用三角形面積公式即可得到答案.

【詳解】解：由基本作圖得到4。平分/C4B,

.?.點E到AC和AB的距離相等，

.??點￡到4B的距離等于CE的長度，即點E到的距離為2,

答案第5頁，共17頁

S.AEB=1x7x2=7.

故選：B.

9.40

【分析】本題考查了作圖一基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)

角和定理等知識，由作圖可知，DE為線段的垂直平分線，/尸為/E/C的平分線，則

AE=BE,/EAC=2NE4尸=44°,從而得到NB/E=N8,由三角形內(nèi)角和定理求出NB,

即可得到答案.

【詳解】解：由作圖可知，為線段43的垂直平分線，AF為/E4c的平分線，

AE=BE,ZEAF=-ZEAC,

2

ZBAE=ZB,NEAC=2ZEAF=2x22°=44°,

???N3+NC+ZB/E+NE/C=180。，ZC=56°,ZEAC=44°,

.-.ZB+56°+ZBAE+44°=180°,

；.NB+NBAE=80°,

.,.2/8=80°,

："B=40°,

故答案為：40.

10.(1)^5=6

(2)NCDE=60。

【分析】(1)先證明=AD=DE,結(jié)合△NBC的周長為19,AOEC的周長為7,

可得N8+8E=19-7=12,從而可得答案；

(2)先求解NA4c=180。-30。-45。=105。，證明絲A8￡Z)(SSS),再利用全等三角形

的性質(zhì)可得答案.

【詳解】(1)解：是線段/￡的垂直平分線，

*，?AB=BE,AD=DE,

???△Z5C的周長為19,△DEC的周長為7,

AB+BE+CE+CD+AD=19,CD+EC+DE=CD+CE+AD=7,

4B+8￡=19—7=12,

AB=BE=6；

答案第6頁，共17頁

(2)W：vZABC=30°fZC=45°,

??.ABAC=180?！?0?！?5。=105。，

在^BAD和ABED中,

BA=BE

<BD=BD,

DA=DE

???ABAD知BED(SSS),

??.ABED=ABAC=105°,

ZCDE=/BED—NC=105。-45。=60°.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角

和定理的應用，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵.

11.A

【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈

活運用所學知識解決問題.證明推出的周長的周長=4C+CB,即可得結(jié)

論.

【詳解】解：???以48為圓心，兩弧分別交于E、F,直線EF交BC于點D,

.?.E尸是45的中垂線，

/.AD=DB,

/.AD+CD=BD+CD=CB,

，"CD的周長=/C+C5=7,

故選：A.

12.8

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖-作垂直平分線，根據(jù)作圖可得/尸=。尸，根據(jù)的周長

比的周長大5cm,求得4B,再根據(jù)周長公式計算即可得到答案.

【詳解】解：由作圖可知"N是線段ZC的垂直平分線，

AP=CP,

:.BP=AB-AP=AB-CP,

△BC尸的周長為5P+BC+CP=/B—CP+BC+C尸=ZB+8C,

??,AB=AC,

???/\ABC的周長為AB+AC+BC=2AB+BC,

答案第7頁，共17頁

LABC的周長比△3CP的周長大5cm,

AB+BC+5=2AB+BC,

AB=5cm,

ASCP的周長為45+BC=5+3=8cm,

故答案為：8.

13.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定；

⑴根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DC,從而證明也RtA/CD(HL),即可證明；

(2)根據(jù)垂直平分線的判定證明即可.

【詳解】(1)證明：???N/C8=90。，AD平分NBAC,DE1AB,

：.DE=DC,

.?.RtA/E。咨RtA/CD(HL),

：.AE=AC-

(2)-.-AE=AC,

???點N在線段CE的垂直平分線上，

■：DE=DC,

???點D在線段CE的垂直平分線上，

AD是線段CE的垂直平分線.

14.D

【分析】本題考查了用直尺和圓規(guī)作角平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理，直角

三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵.由作法可知/E=/C,,

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理，可得DE=CD,又因為

ZC=2ZCAD,根據(jù)直角三角形兩銳角互余，可求得/。。=30。，即/E4D=30°,再求

出284D的度數(shù)，即得答案.

【詳解】???以點N為圓心，NC的長為半徑作弧，

AE=AC,

???分別以點E和點C為圓心、大于;EC的長為半徑作弧，兩弧相交于點尸，

答案第8頁，共17頁

/.APVCE,且?！?CD,ZEAD=ACAD,

/.ZCAD+ZC=90°,

???ZC=2NCAD,

:.ZCAD=30°,

NEAD=30°,

?「Z5=45°,

/.ABAD=90°-ZB=45°,

NBAE=/BAD-ZEAD=45?！?0。=15。?

故選D.

15.70

【分析】如圖所示，取的中點R連接Z尸，則可證明4。在5。的垂直平分線上，得到

ZAFB=ZAFC=90°,證明方絲△ZCF得至！J尸=/力。尸，同理可得尸=ZOC尸，

設(shè)NACD=/DCE=x,ZECB=y,貝lj/Z5C=/4C5=2x+歹，ZDCB=ZDBC=x+y,由

三角形外角的性質(zhì)得到2x+2>=110。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出答案即可.

【詳解】解：如圖所示，取3C的中點R連接Z尸，

VAB=AC,BD=CD,

???AD在BC的垂直平分線上，

???4D、下三點共線，且4915。，

???/AFB=/AFC=9。。,

又AF=AF,BF=CF,

AABF^AACF(SAS),

ZABF=ZACF,

同理可得/DBF=/DCF,

???CD平分/ZCE,

ZACD=/DCE,

設(shè)NACD=/DCE=x,ZECB=y,

：.ZABC=ZACB=2x+y,ZDCB=ZDBC=x+y,

???ZAEC=ZECB+ZEBC,

2x+2y=110°,

答案第9頁，共17頁

...NBDC=180°-(ZDC5+ZDBC)=180°-(2x+2y)=70。.

【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定,

線段垂直平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題.

16.見詳解

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，弄

清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖.

到兩條公路的距離相等，則要畫兩條公路的夾角的角平分線，到C,。兩點的距離相等又要

畫線段的垂直平分線，兩線的交點就是點M的位置.

【詳解】解：如圖：（1）做出的角平分線O。；

（2）連接CD,作CD的垂直平分線；

（3）。的垂直平分線和OD的交點，即為所求點

【分析】本題考查三角形外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì).先用三角形

內(nèi)角和求出NA4C,再用角平分線求出/B4D,由線段垂直平分線知/3'=/3=34。，

然后用外角性質(zhì)求出ZAFC,最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出/a.

【詳解】解：：在ZUBC中，48=34。，ZACB=78°,

ABAC=180°--N/C8=180°-34。-78。=68°,

由作圖可知，4D平分NBAC,E尸垂直平分3C,

答案第10頁，共17頁

，/BAD=-ABAC=34°,/BCF=ZB=34°，

2

/AFC=/B+ZBCF=68°,

/a=180°-ZAFC-/BAD=180°-68°-34°=78°,

故選：C.

18.10aw##10厘米

【分析】本題考查了作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段

垂直平分線的性質(zhì).根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：由畫圖可知：

是N8的垂直平分線，

AF=BF,AG=BG,

■：4GBe的周長為15cm,BPBC+5G+CG=15cm,

BC+AC=15cm,

???AABC的周長為25cm,BPAB+BC+AC=25cm,

AB=10cm,

故答案為：10cm.

19.QR=4.5cm,理由見解析

【分析】由題意根據(jù)對稱性可得3=M。，PN=NR,進而利用線段間的等量代換得出

Q?=QV+NQ進行計算即可.

【詳解】解：QR=4.5cm,理由如下：

???點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在MN的延

長線上，

:.PM=MQ,PN=NR.

PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,

:.RN=3cm,MQ=2.5cm,NQ=MN-MQ=4—2.5=1,5(cm).

QR=RN+NQ=3+1.5=4.5(cm).

【點睛】本題考查對稱問題，熟練掌握利用線段間的等量代換進行分析是解題的關(guān)鍵.

20.B

【分析】利用最短路徑直接將點對稱，然后連線求兩線段和的最小值即可.

【詳解】將E關(guān)于8。對稱至點連接CE',

答案第11頁，共17頁

：.EP=PE',

：.PE+PC=PE'+PC,

.-.(PE+PQmin=CE',

???ZACB=90°,AC=BC,AB=4,且BE=2,

■.E'^AB中點，

.-.CE'=-AB=2.

2

.-.(PE+PC].=2

\/min

故選:B

【點睛】此題考查最短路徑，解題關(guān)鍵是將一個定點對稱，當三點共線時線段之和最短.

21.6

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)判斷即可；

【詳解】解：由作法得兒W垂直平分

.??C4=C3=4,PA=PB,

1

???CD=-/C=2,

2

■■.AD—6,

-：PA+PD<AD（點/、P、。共線時取等號），

■■-PA+PD的最小值為6,

■■-PB+PD的最小值為6.

故答案為6.

答案第12頁，共17頁

【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和軸對稱最短距離問題，準確分析計算是解題的

關(guān)鍵.

22.C

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可證明工。=8。,

根據(jù)ABCD的周長=8。+CD+8C=ND+CD+8C=4C+8C,即可求出答案.

【詳解】解：由作圖知，斯垂直平分

AD=BD,

.?△BCD的周長

VAB=AC=6,BC=4,

.△BCD的周長=6+4=10,

故選：C.

23.18°##18度

【分析】連接8。，BE,根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可證A/3E0ACB￡>(SAS),得至=

進而得到3G是DE的垂直平分線，即/DFG=90。，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求出每個內(nèi)

角的度數(shù)，進而得到/EDG=72。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答.

【詳解】解：連接2D,BE,

???五邊形ABCDE是正五邊形,

；.AB=BC=CD=AE,NA=NC

；.AABE%CBD（SAS）,

答案第13頁，共17頁

?*.BE=BD,

???點尸是DE的中點，

.?.8G是DE的垂直平分線，

ZDFG=90°,

'十丁4.,（5-2）x180°

???在正五邊形ABCDE中,ZCDE=——-----=108°,

5

ZFDG=180°-NCDE=72°,

.?./G=180°-ZDPG-/FDG=180°-90°-72°=18°.

故答案為：18。

【點睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定,

三角形的內(nèi)角和定理，正確作出輔助線，綜合運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

24.36

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的外角定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，

根據(jù)角平分線的性質(zhì)和NHCD-2ZBNC=24°可得ZDCQ-ZBNC=12。，再根據(jù)三角形的外

角定理分別求出/尸，ZH,進而可求解

【詳解】解：如圖所示：PQ交