2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：垂徑定理【十大題型】含答案

2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)垂徑定理【十大題型】含答

案

專題垂徑定理【十大題型】

＞題型梳理1

【題型1垂徑定理的概念識別】......................................................................1

【題型2由垂徑定理求線段的長度】.................................................................3

【題型3由垂徑定理求面積】........................................................................7

【題型4由垂徑定理解決平行弦問題】..............................................................10

【題型5由垂徑定理求坐標(biāo)】.......................................................................12

【題型6由垂徑定理解決同心圓問題】..............................................................15

【題型7利用垂徑定理格點作圖】..................................................................18

【題型8利用垂徑定理求整點的個數(shù)1..............................................................................................21

【題型9利用垂徑定理解決動點問題】..............................................................24

【題型10垂徑定理的應(yīng)用】........................................................................27

?舉一反三

知識點:垂徑定理及其推論

垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.

【題型1垂徑定理的概念識別】

1.（23—24九年級?貴州黔西?階段練習(xí)）如圖，在。。中，半徑于點E,AE=2,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.OE=2B.EC=2C.AB垂直平分OCD.OC垂直平分AB

2.（23-24九年級?黑龍江大慶?階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（）

A.等弦所對的弧相等B.等弧所對的弦相等

C.圓心角相等,所對的弦相等D.平分弦的直徑垂直于弦

3.（23-24九年級?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，48為。。的直徑，CD為。O的弦，AB,CD于瓦下列說

法錯誤的是（）

A

A.CE=DEB.AC=ADC.OE=BED./COB=2/BAD

4.（23—24九年級.全國?單元測試）如圖，=CD,OB,OC分別交AC,8。于點E,尸，連接EF,

則下列結(jié)論中不一定正確的是（）

A.AC=BDB.OE.LAC,OF.LBD

C.△OEF為等腰三角形D.△OEF為等邊三角形

【題型2由垂徑定理求線段的長度】

5.（23-24九年級?安徽合肥?期末）如圖，圓。的半徑OD垂直弦A8于點C,連接AO并延長交圓O于點

E,連接8E.若AB=8,8E=6,則CD長為（）

A.2B.2.5C.3D.4

6.（23-24九年級?全國?單元測試）如圖，已知。O的直徑AB垂直弦CD于點及連接CO并延長交AD于

點尸，且

_____________眇

⑴求證:點E是08的中點;

（2）若AB=12,求CD的長.

7.（23-24九年級?全國?單元測試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系cOy中，直線y=^-x+血與。O相交于

O

4B兩點，且點人在宓軸上，則弦4B的長為.

8.（2024?新疆烏魯木齊?模擬預(yù)測）如圖，在半徑為5的圓。中，43,①是互相垂直的兩條弦，垂足為P,

且AB=CD=6,則OP的長為（）

A.3B.4C.3V2D.472

【題型3由垂徑定理求面積】

9.（23—24九年級?廣東肇慶?期末）如圖，AB為。。的直徑，弦CDLAB于點E,連接AC,BC,BD,F

為47的中點，且OF=1,

（1）求8C的長；

（2）當(dāng)ABCD=30°時,求△4BC的面積.

10.（23-24九年級?北京?期末）如圖，4B是。O的一條弦，點。是48的中點，連接OC并延長交劣弧4B

于點。，連接若48=4,。0=1,求4口。。的面積.

o

11.（23-24九年級?北京海淀?開學(xué)考試）如圖，LE為半圓的直徑，。為圓心，延長到4使

得區(qū)4=2,直線/。與半圓交于8,。兩點，且4040=45°.

（1）求弦BC的長；

⑵求△AOC的面積.

12.（23-24九年級?湖北黃石?期中）如圖，在半徑為1的。。中有三條弦，它們所對的圓心角分別為60°,

90°,120°,那么以這三條弦長為邊長的三角形的面積是.

【題型4由垂徑定理解決平行弦問題】

13.（23-24九年級?天津和平?期中）如圖，4B,GD是半徑為15的。。的兩條弦，AB=24,CD=18,MN

是直徑，AB±MN于點、E,CD±MN于點、F,P為EF上任意一點,^PA+PC的最小值為.

14.（2024.浙江湖州.中考真題）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD〃4B,CD=8.AB=10,則CD與

AB之間的距離是.

cD

15.（23—24九年級.江蘇南京?期中）如圖，在以AB為直徑的圓中，弦CD，AB,河是48上一點，射線

DM,CM分別交圓于點E,F,連接即，求證EFL4B.

16.（23—24九年級?江蘇宿遷?階段練習(xí)）若弦AB,CD是。。的兩條平行弦，。。的半徑為13,AB=10,

CD=24,則AB,CD之間的距離為

【題型5由垂徑定理求坐標(biāo)】

17.（23-24九年級?河南信陽?期末）如圖，半徑為5的。人經(jīng)過M,N兩點，若已知兩點坐標(biāo)分別為M（0,

—3）,N（O,—9）,則人點坐標(biāo)為（）

C.(-6,-4)D.(-4,-6)

18.（23-24九年級?上海?階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，以點P為圓心的弧與力軸交于4、3兩點，已知點P

的坐標(biāo)為（l,y）,點A的坐標(biāo)為（一1,0）,那么點B的坐標(biāo)為.

19.（23-24九年級?云南曲靖?期末）如圖在平面直角坐標(biāo)系"中點人在力軸負(fù)半軸上，點8在0軸正半

軸，以AB為直徑的。O經(jīng)過點O,連接O。,過點。作DEL49于點E,若N4DO=120°,AB=4,則

圓心點D的坐標(biāo)是.

20.（23-24九年級?河北邢臺?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知O為坐標(biāo)原點，點河是反比例函

數(shù),=旦3>0）圖象上的一個動點，若以點/為圓心，4為半徑的圓與直線夕=比相交,交點為P,Q,當(dāng)

X

弦PQ的長為4V3時，點雙的坐標(biāo)為（）

A.（1,6）和（6,1）B.（2,3）或（3,2）

C.（四,32）或（3方,四）D.（，^,2心）或（2遍,血）

【題型6由垂徑定理解決同心圓問題】

21.（23-24九年級?安徽合肥?期末）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌

面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水

面AB的寬度是（）cm.

C.4V3D.4V5

22.（23—24九年級?廣東廣州?期末）如圖，兩個同心圓，大圓的半徑為5,小圓的半徑為3,若大圓的弦AB與

小圓有公共點，則弦的取值范圍是（

A.8WABW10B.8C4BW10C.4WABW5D.4cABW5

23.（23-24九年級.浙江臺州.期末）如圖，一人口的弧形臺階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得

的一組圓弧.已知每個臺階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm,AC=BD=

40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm

___________F

24.（23-24九年級.浙江.期末）某市地鐵施工隊開始隧道挖掘作業(yè)，如圖1,圓弧形混凝土管片是構(gòu)成圓形

隧道的重要部件.如圖2,有一圓弧形混凝土管片放置在水平地面上,底部用兩個完全相同的長方體木

塊固定，為估計隧洞開挖面的大小，甲、乙兩個組對相關(guān)數(shù)據(jù)進行測量,測量結(jié)果如下表所示，利用數(shù)據(jù)

能夠估算隧道外徑（08）大小的組是（）

小組測量內(nèi)容

甲的長

乙HG,GN的長

圖1圖2

A.兩組測量數(shù)據(jù)都不足B.甲組

C.乙組D.兩組都可以

【題型7利用垂徑定理格點作圖】

25.（23-24九年級.浙江臺州.期末）如圖是由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.0O

經(jīng)過A,B,。三個格點，僅用無刻度直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖.（保留畫圖痕跡，不寫畫法）

（2）在圖2的劣弧/C上找一點E,使=

26.（23-24九年級?河北石家莊?期中）如圖，在帶有正方形網(wǎng)格的平面直角坐標(biāo)系xOy中，一條圓弧經(jīng)過

4（0,3）,8（2,3）0（3,2）三點,那么這條圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）

C.(0,1)D.(1,0)

27.（23-24九年級?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖,方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點O,

B,。在格點（兩條網(wǎng)格線的交點叫格點）上，以點。為原點建立直角坐標(biāo)系.

⑴過A,B,。三點的圓的圓心河坐標(biāo)為（,）；

（2）請通過計算判斷點。（3,—5）與。河的位置關(guān)系.

28.（23-24九年級?浙江溫州?期中）如圖，在8x6的方格紙中，每個小正方形的頂點稱為格點，請按要求作

圖：

（1）已知點8在AC上，作AC所在圓的圓心0（保留作圖痕跡）；

（2）作格點（頂點均在格點上），使N4DC與/ABC互補.

【題型8利用垂徑定理求整點的個數(shù)】

29.（2024?四川自貢?模擬預(yù)測）已知。O半徑為5,P在。。所在平面OP=3,則過點P的弦中，長為整數(shù)

的弦有（）條.

A.1B.2C.3D.4

30.（23-24九年級?全國?單元測試）如圖,直徑為10的。。內(nèi)有一點P,且OP=3,則經(jīng)過P點的所有弦中

長度為整數(shù)的有條.

31.（23-24九年級?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點。為圓心的圓過點

人（13,0）,直線0=的;—3/：;+4（卜/0）與。0交于8、。兩點,則弦6。的長為整數(shù)的有條.

32.（2024?河北石家莊?一模）如圖，是。。的弦,直徑AWLAB于點O,MN=10,AB=8,如圖以O(shè)為

原點建立坐標(biāo)系.我們把橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整數(shù)點，則線段OC長是,上的整數(shù)點

【題型9利用垂徑定理解決動點問題】

33.（23—24九年級?河南周口?階段練習(xí)）如圖，在。Q中，半徑為5,GH,CD是兩條弦，GH=8,CD=6,

于點E,CDLMN于點尸.點P在MN上運動，則PG+PC的最小值為.

34.（23—24九年級?河南信陽?期中）如圖，在。。中，4D為直徑，弦8CL4D于點連接OB,已知

=2cm,NOBC=30°，動點E在直徑AD上從。向A以lcm/s的速度做勻速運動，運動時間為加，當(dāng)

NOBE=30°時，力的值為

A

35.（23—24九年級?北京西城?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系cOy中，以（3,0）為圓心作。P,（DP與2軸交

于與9軸交于點。（0,2）,。為。P上不同于人、8的任意一點，連接QA、QB,過P點分別作尸E

于E,尸尸，于尸.設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為4,PE2+PF2=y.當(dāng)Q點在。P上順時針從點A

運動到點B的過程中，下列圖象中能表示"與力的函數(shù)關(guān)系的部分圖象是（）

36.（23—24九年級.江西贛州.期末）如圖，AB為半圓的直徑，48=10,點。到弦/C的距離為4,點P從B

出發(fā)沿8A方向向點4以每秒1個單位長度的速度運動，連接CP,經(jīng)過秒后，AAPC為等腰三

角形.

________________________________

【題型10垂徑定理的應(yīng)用】

37.（23-24九年級?浙江臺州?期末）“圓材埋壁”是《九章算術(shù)》中的一個問題“今有圓材埋在壁中，不知大

小.以鋸鋸之,深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知:鋸口深

為1寸，鋸道48=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為（）

A.26寸B.25寸C.13寸D.50.5寸

38.（23-24九年級?陜西商洛?期末）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬，為16米，拱高CN為4米.

⑴求橋拱的半徑；

（2）若大雨過后，洪水泛濫到河面寬度DE為12米時,求水面漲高了多少？

39.（23-24九年級?浙江寧波?期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1,筒車盛水桶的運行

軌道是以軸心。為圓心的圓，如圖2,已知圓心。在水面上方，且。O被水面截得弦AB長為4米，。O

半徑為2.5米.若點C為運行軌道的最低點，則點。到弦所在直線的距離是米.

圖1圖2

40.（23-24九年級?上海寶山?期中）為傳承海派文化,社區(qū)準(zhǔn)備舉辦滬劇愛好者觀摩演出活動.把某場館的

一個正方形區(qū)域改造成一個由矩形和半圓形組成的活動場地（如圖），矩形ABCD是觀眾觀演區(qū)，陰影部

分是舞臺，CD是半圓O的直徑，弦EF與CD平行.已知班長8米，舞臺區(qū)域最大深度為2米,如果每

平方米最多可以坐3名觀眾，那么觀演區(qū)可容納名觀眾.

專題垂徑定理【十大題型】

＞題型梳理

【題型1垂徑定理的概念識別】......................................................................1

【題型2由垂徑定理求線段的長度】.................................................................3

【題型3由垂徑定理求面積】........................................................................7

【題型4由垂徑定理解決平行弦問題】..............................................................10

【題型5由垂徑定理求坐標(biāo)】.......................................................................12

【題型6由垂徑定理解決同心圓問題】..............................................................15

【題型7利用垂徑定理格點作圖】..................................................................18

【題型8利用垂徑定理求整點的個數(shù)1..............................................................................................21

【題型9利用垂徑定理解決動點問題】..............................................................24

【題型10垂徑定理的應(yīng)用】........................................................................27

?舉一反三

知火點:垂徑定理及其推論

垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論:平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.

【題型1垂徑定理的概念織別】

1.（23—24九年級.貴州黔西.階段練習(xí)）如圖，在。。中，半徑0。，入?yún)斡邳c石，人石=2,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.OE=2B.EC=2C.AB垂直平分OCD.OC垂直平分AB

【答案】。

【分析】由垂徑定理和勾股定理分別對各個選項進行判斷即可.

【詳解】解:連接。4,

條件不足，不能求出OE和EC的長，故選項A、B不符合題意；

?/OC_LAB于點E,

OC是線段AB的垂直平分線，故選項D正確，符合題意；

選項。不符合題意，

故選：。.

【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2.（23-24九年級?黑龍江大慶?階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（）

A.等弦所對的弧相等B.等弧所對的弦相等

C.圓心角相等,所對的弦相等D.平分弦的直徑垂直于弦

【答案】B

【分析】根據(jù)弧、弦、圓周角的關(guān)系，垂徑定理，逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A、因為等弦所對的弧有可能為優(yōu)弧，也可能是劣弧，故本選項錯誤，不符合題意；

B、等弧所對的弦相等，故本選項正確，符合題意；

。、在同圓或等圓中，圓心角相等，所對的弦相等，故本選項錯誤，不符合題意；

。、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項錯誤，不符合題意；

故選：B

【點睛】本題主要考查了弧、弦、圓周角的關(guān)系，垂徑定理，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

3.（23-24九年級?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，入口為。O的直徑，CD為。。的弦，，CD于瓦下列說

法錯誤的是（）

A.CE=DEB.AC=ADC.OE=BED.NCOB=24BAD

【答案】。

【分析】根據(jù)垂徑定理解題.

【詳解】???CD為OO的弦，AB，CD于E,

：.CE=ED,AC=AD,BC=BD,

：.CD=2BD

_________0

：.ZCOB=2ZBAD

故選項A、B、。正確，

無法判斷OE=BE,故選項。錯誤，

故選：C

【點睛】本題考查垂徑定理，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

4.（23—24九年級.全國.單元測試）如圖，=CD,OB,OC分別交AC,BD于點E,尸，連接EF,

則下列結(jié)論中不一定正確的是（）

A.AC=BDB.OE±AC,OF±BD

C.跳1為等腰三角形D.△OEF為等邊三角形

【答案】。

【分析】根據(jù)48=8。=。。，AB+BC=BC+CE）,即可判斷出=從而進行判斷A.

根據(jù)AB=BC=CD,利用垂徑定理的推論，進行判斷即可B.

根據(jù)垂徑定理的推論，得到OE=OF,從而可得結(jié)論，即可判斷C、D.

【詳解】?.?AB=BO=GD,

：.AB+BC^BC+CD,

：.AC=BD,

：.40=80,A正確

；AB=BC=CD,

：.OE±AC,OF_LBD,B正確

VAC^BD,OE±AC,OF±BD,

：.OE=OF,

A△OEF為等腰三角形，不一定是等邊三角形，

二。正確，。錯誤.

故選：D.

【點睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定、等邊三角形的判定.

【題型2由垂徑定理求線段的長度】

5.（23—24九年級?安徽合肥?期末）如圖，圓。的半徑OD垂直弦于點C,連接AO并延長交圓O于點

E,連接BE.若AB=8,8E=6,則CD長為（）

￡

A.2B.2.5C.3D.4

【答案】A

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，三角形中位線性質(zhì)，設(shè)?O的半徑為r,^-Rt/\AOC中，利用勾

股定理求出r,再利用三角形的中位線定理即可解決問題.

【詳解】解:設(shè)。O的半徑為T,

?：OD±AB,AB=8,

AC=BC=4,

?.-AE為直徑，

：.BE_LAB,

?：。是AE的中點，

OC=^-BE=3,

在Rt^AOC中，

.-.OA2=OC2+AC2,

.5=32+42,

：.r=5,

：.OD=5,

：.CD=OD-OC=5-3=2.

故選：A.

6.（23-24九年級?全國?單元測試）如圖，已知。。的直徑AB垂直弦CD于點E,連接CO并延長交AD于

點尸，且。尸，AD

⑴求證:點E是的中點；

（2）若48=12,求CD的長.

【答案】（1）證明見解析；

（2）6V3.

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出CE=DE,證明△ACE空△ADE（SAS）,得出AC=AD,同理：CA=CD,證明

△ACD是等邊三角形，得出NOCE=30°,根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出OE=-j-OC,即可證明結(jié)論；

⑵根據(jù)AB=12,得出00=6,求出OE=1~OC=3,根據(jù)勾股定理求出CE=y/OC2-OE2=V62-32=

3沖，即可求出結(jié)果.

【詳解】⑴解:證明：如圖，連接AC.

?.?AB_LCD于點E,

:.CE=DE,

(CE=DE

在/\ACE和△ADE中,{4AEC=AAEC,

[AE^AE

：./XACE空AADE(SAS)

：.AC=AD,

同理：CA=CD,

.?.△ACD是等邊三角形，

/.ZD=60°,

：.ZOCE=30°,

：.OE^^-OC,

；OB=OC,

：.OE=：OB.

：.OE=BE,

.?.E是OB的中點.

⑵解：???AB=12,.

/.OC=6,

.?.OE=]OC=3,

在Rt/\OCE中,

CE=VOC2-O￡；2=V62-32=3V3,

/.CD=2CE=6^3.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度角

直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明△ACD是等邊三角形.

7.（23-24九年級?全國?單元測試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系水為中，直線夕=坐c+四與。O相交于

O

48兩點，且點A在①軸上,則弦48的長為.

【答案】3遍

【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，垂徑定理，勾股定理，過點。作OOLB,設(shè)直線夕=卑;r+

O

同與夕軸交于點。，求出A。兩點坐標(biāo)，勾股定理求出4。的長，等積法求出OD的長，再利用勾股定理求出

AD的長，進而求出4B的長即可.

【詳解】解:設(shè)直線y=率2+四與沙軸交于點C,過點。作，4B,則AB=2AD,

O

,?*y—~^~x+心，

O

當(dāng)力=0時，g=A/3，當(dāng)g=0時，/=—3,

???4(-3,0),C(0,炳,

:.OA—3,0(7=V3,

??.AC=2V3,

?：OD_LABf

SAAOC^^OA-OC^^AC-OD,

：.3V3=2V3OD,

：.OD=^~,

：.AD=VOA2-OL>2=,

：.AB=2AD=3V3.

故答案為：3〃S.

8.（2024?新疆烏魯木齊?模擬預(yù)測）如圖，在半徑為5的圓O中，48,CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P,

且AB=CD=6,則QP的長為（）

A.3B.4C.3V2D.4V2

【答案】。

【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理,作出輔助線是解題的關(guān)鍵.作于河，ON，CD

于N,連接OB,OD,首先利用勾股定理求出OM■的長，然后判定四邊形MONP是正方形即可得到答案.

【詳解】解:作OA1_L于河，ON_LCD于N,連接OB,OD,

由垂徑定理得AM^BM=DN=CN=3

勾股定理得：OM=ON=y/BCP-BM2=A/52-32=4,

?.?弦AB、CD互相垂直，

NDPB=90°,

?/OM±AB于M,ON±GD于N,

/.4OMP=2ONP=90°

四邊形MONP是矩形，

?；OM=ON,

：.四邊形MONP是正方形，

.?.OP=4V2

故選：D.

【題型3由垂徑定理求面積】

9.（23—24九年級?廣東肇慶?期末）如圖，AB為。O的直徑，弦CD，4B于點E,連接AC,BC,BD,F

為AC的中點，且QF=1,

（1）求8C的長;

⑵當(dāng)ZBCD=30°時,求△ABC的面積.

【答案】⑴2

（2）273

【分析】本題以圓為幾何背景，考查了中位線定理、垂徑定理、勾股定理等知識點.熟記定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

（1）由題意可得OF〃8C且據(jù)此即可求解；

⑵由“垂徑定理”可得BELCD,CD=2DE,BCBD,BD^BC,連接OC,在Rt/XABC求出線段AC的長

度即可求解.

【詳解】(1)解：,??AB為。。的直徑，

乙4cB=90°,

?/F為AC的中點，。為AB的中點，

：.OFHBC,OF=：BC,

?：OF^1,

：.BC=2OF=2-,

(2)VCD±AB,

：.BC=BD,

：.BC=BD=2,

???弦CD_LAB于點、E,

：.BE_LCD,CD=2DE,

???/.D=ADCB=30°,B￡>=BC=2,

：.BE=1,DE=^BD2-BE2=V3,

CD=2V3.

連接OC,

4CAB=ND=30°,OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=30°,

乙4OC=120°.

在Rt/\ABC中，

=90°,BC=2,ZCAB=30°,

A。==2遍，

AS△曲=yX2V3X2=2V3.

10.（23—24九年級?北京?期末）如圖，AB是。。的一條弦，點。是的中點，連接OC并延長交劣弧

于點。，連接。8,。氏若AB=4,CD=1,求△80。的面積.

o

【答案】SARCD=2.5

【分析】本題考查的知識點是垂徑定理、勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理.

先根據(jù)垂徑定理得到BC==2,再根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，4BOD的面積即可求解.

【詳解】解:設(shè)。。的半徑是r,

?.?點。是的中點，OC過圓心O,

/.OC±AB,

?.?AB=4,GD=1,

.?.BC=：AB=2,OC=OD-CD=T—1,

?.?在直角ABOC中，OB?=。02+Be?,

“="1）2+22,

解得r=

S^BOD=-^-ODBC-xx2=

11.（23-24九年級?北京海淀?開學(xué)考試）如圖，/比為半圓的直徑，O為圓心，。右=6囂，延長DE到A,使

得區(qū)4=方,直線47與半圓交于8,。兩點，且/D1C=45°.

（1）求弦的長；

⑵求△AOC的面積.

【答案】⑴22

（2）8+272

【分析】⑴過點。作OMI.BC于河，根據(jù)垂徑定理得BM=CM,由ZDAC=45°得到OM=AMOA=

y/OM2+AM2=四OM,再根據(jù)勾股定理可計算出CM=y/OC2~OM2=血，進而可求BC;

（2）由⑴可知：CM=^2,<W=AM=4,則AC=AA/+CM=4+，^,然后根據(jù)三角形面積公式求解.

【詳解】（1）解：過點O作OM±于"，如圖，則BM=CM,

c

DOEA

'：直徑DE=6A/2,EA=V2,

/.OC=OD=OE=3A/2,OA=OE+AE=4V2,

ADAC^45°,則AAOM^45°

OM=AM,則OA=^/OM2+AM2=^OM,

：.OM=4,

在Rt^COM中，OC=32,

ACM=y/OC2-OM2=V2,

：.BC=2CM=2。

⑵由⑴可知：CM^V2,(W=4A1=4,

AO=AM+CM=4+V2,

S&AOC=^~OM'AC—9x4X(4+V^)—8+2y/2.

【點睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股定理、等腰

直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

12.（23-24九年級.湖北黃石?期中）如圖，在半徑為1的。。中有三條弦，它們所對的圓心角分別為60°,

90°,120°,那么以這三條弦長為邊長的三角形的面積是

【答案】存

【分析】如圖，連接OA,OB,OC,OD,OE,OF,作（W_LEF于則OA=OB=OC=OD=OE=OF=

1,ZAOB=60°,ZCOD=9Q°,ZSG>F=120°,△AOB是等邊三角形，△COD是等腰直角三角形，48=1,

CD=2,EF=v^,由F+（蓼y=3=（代）2,可知該三角形是以為直角邊的直角三角形，然后求面積

即可.

【詳解】解:如圖，連接。4,OB,OC,OD,OE,OF,作OM_LEF于M,

：.OA=OB=OC=OD=OE=OF=1,

：.AAOB=60°,ZCOD=90°,NEOF=120°,

△AOB是等邊三角形，△COD是等腰直角三角形,

AB=OA=1,CD=VOC2+OL>2=V2,

4EOF=120°,OE=OF,

：.4OFE=30°,FM=^-EF,

.?.OM=]OF=),

由勾股定理得FM=y/OF2-OM2=乎,

/.EF=V3,

.?.三條弦組成的三角形的三條邊的長為1,V3,V2,

12+(V2)2=3=(V3)2,

該三角形是以1,四為直角邊的直角三角形，

.?.面積為—=*

故答案為：烏.

【點睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形，勾

股定理，勾股定理逆定理等知識.正確求解線段長度是解題的關(guān)鍵.

【題型4由垂徑定理解決平行弦問題】

13.(23—24九年級.天津和平.期中)如圖，AB,CD是半徑為15的。。的兩條弦，48=24,CD=18,MN

是直徑，AB±MN于點E,CD±于點F,P為EF上任意一點，則弘+PC的最小值為.

【答案】212

【分析】由于43兩點關(guān)于對稱，因而24+「。=「3+「。，即當(dāng)及C、P在一條直線上時，_R4+PC的

值最小，即BC的值就是。4+0。的最小值.

【詳解】解:連接BC,OB,OC,作CH垂直于AB于

?.?AB=24,CD=18,MN^^^,AB_LMN亍,EE,CD_LMN亍,&F,

：.BE=^-AB=12,CF=^-CD=9,

：.OE=y/OB2-BE2=9,OF=y/OC2-CF2=12,

：.CH=OE+OF=9+12=21,

BH=BE+EH=BE+CF=12+9=21,

在Rt/^CH中，根據(jù)勾股定理得：BC=y/BH^+CH2=21V2,

即P4+PC的最小值為21V2.

故答案為：21點.

【點睛】本題考查垂徑定理以及最短路徑問題，靈活根據(jù)垂徑定理確定最短路徑是解題關(guān)鍵.

14.(2024?浙江湖州?中考真題)如圖，已知43是半圓O的直徑，弦CD"AB,CD=8.AB=10,則CD與

AB之間的距離是

______________即

【分析】過點。作OH，CD于H,連接OC,先利用垂徑定理得到CH=4，然后在Rt/XOCH中，利用勾股定理

即可求解.

【詳解】解:過點。作OH_LCD于H,

連接OC,如圖，則CH=DH=#D=4,

在Rt/XOCH中，OH=V52-42=3,

所以CD與AB之間的距離是3.

故答案為3.

【點睛】此題主要考查垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題關(guān)鍵.

15.（23—24九年級?江蘇南京?期中）如圖，在以為直徑的圓中，弦CDLAB,河是AB上一點，射線

DM,CMr分別交圓于點E,F,連接即，求證AB.

【答案】證明見解析.

【分析】利用垂徑定理和線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)證得再根據(jù)圓周角定理和

平行線的判定證明EF//CD,即可得結(jié)論.

【詳解】證明：「AB是直徑，CDLAB,

.?.AB垂直平分CD,

：.MC=MD,

:"C=4D,

；NC=NE,

：.NE=ND,

：.CD//EF,

?：CD±AB,

：.EF±AB.

【點睛】本題考查垂徑定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)，熟

練掌握垂徑定理和圓周角定理是解答的關(guān)鍵.

16.（23—24九年級.江蘇宿遷.階段練習(xí)）若弦AB,CD是。。的兩條平行弦，。。的半徑為13,AB=10,

CD=24,則AB,CD之間的距離為

【答案】7或17

【分析】本題考查了垂徑定理與勾股定理，解題的關(guān)鍵是分情況畫出圖形并作出正確的輔助線.

首先根據(jù)題意分情況進行討論分析，然后分別畫出相應(yīng)的圖形，再根據(jù)垂徑定理和勾股定理，計算出圓心到兩

條弦的距離，最后根據(jù)圖形即可推出AB、OC間的距離.

【詳解】解：連接04OC,過點O作OM±AB于點"，

?：ABIICD,

：.直線OM±CD,設(shè)垂足為N點，

VOM±CD,OM±AB,AB=10,CD=24,

4M=BM=5,CN=DN=12,

：04=00=13,

在Rt^AOM中，OM=y/AO2-AM2=V132-52=12,

在Rt/\CON中，ON=YCCP—CN?=V132-122=5,

①如下圖：當(dāng)AB,CD在圓心的兩側(cè)，則它們之間的距離為AW,

/.MN=OM+ON—12+5=17(cm)

②如下圖，如果AB、CD在圓心的同側(cè)，則它們之間的距離為MN,

B

\D

N

0

：.MN=OM-ON=12-5=7.

綜上所述，AB,CD之間的距離為7或17.

故答案為：7或17.

【題型5由垂徑定理求坐標(biāo)】

17.(23-24九年級?河南信陽?期末)如圖，半徑為5的。人經(jīng)過M,N兩點，若已知兩點坐標(biāo)分別為M(O,

—3),N(O,—9),則人點坐標(biāo)為()

A.(—5,—6)B.(-4,-5)C.(—6,—4)D.(-4,-6)

【答案】。

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理;連接AM■，過A作AB_L9軸交于B,由垂徑定理得BM=之MN,由

勾股定理得AB=^AM2-BM'2,即可求解；掌握定理，構(gòu)建是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:如圖，連接AM,過力作AB_L夕軸交于B,

；.AM=5,BM=^MN,

A/(0,—3),N(0,—9),

:.MN=6,OM=3,

:.BM=3,

AB=AM1-BM1=V52-32=4,

力(—4,—6);

故選：D.

18.(23-24九年級?上海?階段練習(xí))在直角坐標(biāo)系中，以點P為圓心的弧與力軸交于4、8兩點，已知點P

的坐標(biāo)為(1,7/),點A的坐標(biāo)為(-1,0)，那么點B的坐標(biāo)為.

【答案】(3,0)

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，垂徑定理；

如圖，過點P作PC_Lc軸于。，則C(l,0),求出AC,根據(jù)垂徑定理可得BC的長，然后可得點B的坐標(biāo).

【詳解】解:如圖，過點P作PC_L.軸于。，則。(1,0),

.?.OB=l+2=3,

故答案為：(3,0).

19.(23—24九年級.云南曲靖.期末)如圖在平面直角坐標(biāo)系①Oy中點人在力軸負(fù)半軸上，點口在“軸正半

軸，以AB為直徑的。。經(jīng)過點O,連接O。,過點。作。E，49于點E,若AADO=120°,=4,則

圓心點。的坐標(biāo)是

【分析】本題考查了中位線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂徑定理.先利用圓半徑相等得到ABAO=30°,即可求

出OB和04,再利用垂徑定理得到DE是中位線，即可得到。點坐標(biāo).

【詳解】：以AB為直徑的0。經(jīng)過點O,

：.OA^OB^OD,

?：/ADO=120°,

ZBAO=30°,

,/AB—4,

：.OB=^-AB=21,OA=y/AB2-OB2=273,

?：DE±AO,

：.AE=OE=yOA=V3,

:.DE是AABO中位線，

：.DE=^-OB=1,

.-.￡>(-73,1),

故答案為：(一》/3,1).

20.（23-24九年級?河北邢臺?期末）如圖,在平面直角坐標(biāo)系tOy中，已知。為坐標(biāo)原點，點“是反比例函

數(shù)夕=旦（/>0）圖象上的一個動點，若以點河為圓心，4為半徑的圓與直線“=宓相交,交點為P,Q,當(dāng)

X

弦PQ的長為4V3時，點雙的坐標(biāo)為（）

A.(1,6)和(6,1)B.(2,3)或(3,2)

C.(2,3?或(3D.（"以四）或（2四,啰）

【答案】。

【分析】當(dāng)點“在直線夕=①上方時，連接,作MH_LPQ,則PE和P2W,求得Affi；,作MF_L工軸交弦PQ

于點。，設(shè)FO=a■，利用等腰直角三角形得CF和,進一步得,即可知點Al（a,a+22），代入反比例函

數(shù)求得a即可；根據(jù)對稱性可得點”在直線9=,下方時的坐標(biāo).

【詳解】解：當(dāng)點“在直線y=/上方時，連接PM,作MH_LPQ,如圖,

則PE=^PQ=2V3,PM=4,

在RtAPEM中，ME=VPM2-FE2=^42-(2V3)2=2,

^MF±x軸交弦PQ于點。，設(shè)FO=a，則CF=a,而OC=V2a,

,:MFHy軸,

：./MCE=45°,

：.MC=2V2,

貝”點M(a,a+2M^),

=a+2^2,解得a=V2,或a-—3V2(舍去),

a

___________F

則河（2,3四），

當(dāng)點“在直線9=2下方時，由對稱性可知M（3V2,V2）,

故選：C.

【點睛】本題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，以

及勾股定理,作出輔助線并利用對稱性是解題的關(guān)鍵.

【題型6由垂徑定理解決同心圓問題】

21.（23-24九年級?安徽合肥?期末）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌

面上，水杯的底面如圖所