2025年高考數(shù)學(xué)江蘇地區(qū)一輪復(fù)習(xí)模擬題匯編：平面解析幾何（含解析）

江蘇地區(qū)一輪復(fù)習(xí)模擬題匯編：平面解析幾何-2025年高考數(shù)學(xué)核心考

點(diǎn)突破

一、單選題

1.（23-24.江蘇南京.模擬）方程（0-1次-y+2°+1=0（4€1＜）所表示的直線（）

A.恒過(guò)點(diǎn)（-2,3）B.恒過(guò)點(diǎn)（2,3）

C.恒過(guò)點(diǎn)（2,-3）和點(diǎn)（2,3）D.恒過(guò)點(diǎn)（-2,3）和點(diǎn)（3⑵

2.（23-24.江蘇南京二模）已知直角梯形A58,且A（U）,B（3,l）,C（3,3）,￡＞（2,3）,則過(guò)其中

三點(diǎn)的圓的方程可以為（）

A.（x-2）2+y2=3B.（X-2）2+/=2

C.（x-2）2+（y-2）2=2D.（x-3）2+（^-2）2=2

3.（23-24?江蘇南京?三模）設(shè)圓G：f+/一10彳+4/+25=0與圓Cz：犬+產(chǎn)-6尤+8=0,點(diǎn)A,B

分別是C-G上的動(dòng)點(diǎn)，M為直線y=x+l上的動(dòng)點(diǎn)，則+的最小值為（）

A.20+3B.3-2忘C.672-3D.60+3

4.（2024?江蘇蘇州?三模）已知過(guò)拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)F的直線與C相交于兩點(diǎn)，V軸上一

點(diǎn)尸滿足則OP.OB=（）

A.1B.2C.-1D.-2

22

5.（23-24?江蘇南京?一模）已知A為橢圓3+與=1（。＞6＞0）的左焦點(diǎn)，氏C都在此橢圓上，OABC

ab

是菱形，則此橢圓的離心率為（）

A.由B.73-1C.D.-

323

6.（23-24.江蘇南京?模擬）已知A,3是圓。:必+產(chǎn)=4上兩點(diǎn)，且|川?|=2,直線x=my+4上存在

點(diǎn)P使得04+02=0尸，則根的取值范圍為（）

”（_好心、

22

7.（23-24.江蘇南京.二模）在平面直角坐標(biāo)系宜方中，點(diǎn)戶是橢圓土+匕=1上的動(dòng)點(diǎn)，橢圓的左、

259

右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,則盧局的最大值為（）

68

A.572B.2C.—D.一

Y55

8.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面

22

反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線E-.與一斗=1（。>0,6>0）的左、

ab

右焦點(diǎn)分別為乙，尸2,從尸2發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖中的45兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)。和0,且

4

cosABAC=――,AB-BD=0,則E的離心率為（）

A典B.亙C.巫

D.非

352

二、多選題

9.（23-24?江蘇南京?二模）已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=%（x-l）過(guò)拋物線E：V=2px（p>0）的焦點(diǎn)，

且與E交于A3兩點(diǎn)點(diǎn)A在第一象限，且直線與E的準(zhǔn)線/交于點(diǎn)C,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.p=2

B.若k=1,貝AB=12

C.若BC=2BF,貝|左=3

3

D./AOB為鈍角

10.（23-24?江蘇揚(yáng)州?模擬）已知圓O:Y+y2=4,貝ij（）

A.圓0與直線〃式+了-m-1=。必有兩個(gè)交點(diǎn)

B.圓。上存在4個(gè)點(diǎn)到直線/“-、+拒=0的距離都等于1

C.圓。與圓f+y?-6x-8y+根=0恰有三條公切線，則〃?=16

D.動(dòng)點(diǎn)尸在直線x+y-4=0上，過(guò)點(diǎn)尸向圓。引兩條切線，A3為切點(diǎn)，則四邊形叢。8面積

最小值為2

22

11.（23-24.江蘇南京?模擬）如圖，Q是橢圓。］：5+==1（〃〉“0）與雙曲線

ab

22

c?：j-與=i（〃?>o,〃>O）在第一象限的交點(diǎn)，且G，共焦點(diǎn)片，鳥，/片「8=e，G，G的離心率分別

mn

為G，G，則下列結(jié)論正確的是（）

A.|尸耳|=.+聞P閭=a-m

134

B.右，=60，則/十/=4

C.若，=90，則d+W的最小值為2

6n

D.tan—=

2b

三、填空題

12.（23-24?江蘇南京?模擬）設(shè)尸是直線/：x+y+l=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作圓C:（x-3）2+（y_4>=4的

切線，則切線長(zhǎng)的最小值為.

22

13.（23-24高二下.上海.模擬）該橢圓C:土+匕=1的左右焦點(diǎn)為斗鳥，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，滿足

369

/月產(chǎn)工=90,貝卜百尸弱的面積為.

14.（2025?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線￡：丁=22武2>0）的焦點(diǎn)為歹，滿足若過(guò)點(diǎn)尸（-1,1）的

UFVF

直線交C1于U,V,則有萬(wàn)萬(wàn)=話.在C1上有三點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，其中心的軌跡記為g,則G的

軌跡方程為,試給出一圓「，使得對(duì)G上任意一點(diǎn)T,過(guò)點(diǎn)T作「的兩條切線分別交G于

不同于T的點(diǎn)48,則48必為「的切線：.

四、解答題

15.（23-24?江蘇無(wú)錫?模擬）己知圓C過(guò)三點(diǎn)（1,3）,。,-7）,（4,2）.

⑴求圓C的方程;

（2）斜率為1的直線/與圓C交于M,N兩點(diǎn)，若CMN為等腰直角三角形，求直線/的方程.

16.（23-24?江蘇南京.模擬預(yù)測(cè)）己知橢圓C：3+/=l（a>b>0）的離心率為坐，且過(guò)點(diǎn)尸（2,⑹.

⑴求橢圓C的方程;

⑵過(guò)右焦點(diǎn)廠的直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若AF=3FB，求的面積.

22

17.（2024?江蘇?三模）已知M為等軸雙曲線「1-5=1（〃>0］〉0）上一點(diǎn)，且M到「的兩條漸

ab

近線的距離之積等于1.

（1）求「的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)尸在第一象限，且在漸近線的上方，分別為「的左、右頂點(diǎn)，直線PAPB分別與y軸交于

點(diǎn)C,。.過(guò)點(diǎn)尸作r的兩條切線，分別與y軸交于點(diǎn)瓦尸（E在下的上方），證明：13=1。尸|

18.(2024.江蘇南京?二模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)與雙曲線Ea:b=1(?>0,&>0)

有公共的焦點(diǎn)R且。=4).過(guò)尸的直線/與拋物線C交于A,8兩點(diǎn)，與E的兩條漸近線交于P,

Q兩點(diǎn)(均位于y軸右側(cè)).

(1)求E的漸近線方程；

(2)若實(shí)數(shù)力滿足彳-7|=FTTH_TRFT,求2的取值范圍.

{,\OP\\°Q\)\AF\\BF\

19.(23-24?江蘇南京?模擬)如圖在平面直角坐標(biāo)系中，48分別是雙曲線

22

(?:=-2=1(。>0,6>0)的左右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在雙曲線的右支上且位于第一象限，直線AP和8P分

ab

別與，軸交于點(diǎn)M，N,當(dāng)。點(diǎn)坐標(biāo)為(3jJ2一時(shí)，直線OP剛好與雙曲線的一條漸近線垂直.

44

N

(1)求雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在定點(diǎn)。，使得以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)。，若存在求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由;

⑶求四邊形AWBN的面積的取值范圍.

參考答案：

1.A

【分析】將方程(a—l)%-y+2a+l=0(awR)化為(%+2)a-x-y+l=0(QwR),令〃的系數(shù)等于0,即

可得到答案.

［詳解］(?—I)x-y+2a+l=0(aeR),/.(x+2)6z-x—y+l=0,

fx+2=0fx=—2

令an，解得a,

即方程(a-1)%-y+2a+l=0(acR)所表示的直線恒過(guò)定點(diǎn)(-2,3).

故選：A.

2.C

【分析】直接將點(diǎn)的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)即可逐一判斷各個(gè)選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,A(l,l),3(3,1)的坐標(biāo)都不滿足圓的方程(x-2『+9=3,

即圓(尤-2)?+y2=3不可能過(guò)四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，故A不符合題意；

對(duì)于B,C(3,3),。(2,3)的坐標(biāo)都不滿足圓的方程"-2)2+丁=2,

即圓(x-2)2+y?=2不可能過(guò)四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，故B不符合題意；

對(duì)于C,4(1,1),3(3,1),C(3,3)的坐標(biāo)都滿足圓的方程(x-2>+(y_2)2=2,

。(2,3)的坐標(biāo)不滿足圓的方程(尤-2)2+(y-2)2=2,

即圓(無(wú)-2『+(y-2?=2過(guò)四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，故C符合題意；

對(duì)于D,A(l,l),3(3,1)的坐標(biāo)都不滿足圓的方程(x-3)2+(y-2『=2,

即圓(x-3y+(y-2)2=2不可能過(guò)四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，故D不符合題意.

故選：C.

3.C

【分析】分析發(fā)現(xiàn)兩圓心C1和g的連線恰好垂直于直線y=x+l,從而得出當(dāng)Af與G和C,共線時(shí)

最小，從而得解.

【詳解】

因?yàn)閳AC1：尤2+/—1。x+4〉+25=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（尤一5）2+（、+2）：2=4；

圓G：/+/-6工+8=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（X-3）2+V2=1

所以G和Q的圓心坐標(biāo)分別為（5,-2）、（3,0）,半徑外=2,4=1,

所以直線GC?的斜率上=上匕9=-1,而直線＞=x+l的斜率為1

3—5

所以直線C]Cz與直線y=x+l垂直，如圖，

所以當(dāng)M與C]和G共線時(shí)最小，此時(shí)MA+MB=MCX—rx+MC2—r2,

|5+2+l|羽,眸口

又此時(shí)MG==2五,

所以陷+最小值為4忘-2+2應(yīng)-1=60-3.

故選：C

4.D

【分析】利用給定條件找到變量之間的關(guān)系，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】

設(shè)x=zny+l,4（%,為,3（孫丫2）,「（0,。,尸（1,0）,

Ix-my+1。

聯(lián)立方程組得到，消x可得＞2-4my-4=0,

y+必=4m

解得'一.,因?yàn)锽4_LPR,所以P4PF=0,

%%=-4

而PA=(xl,yl-t),PF=(l,-t),

而PA.P尸=%_5+”=^-_明+/=0,

解得/=],此時(shí)OPJ。,?，。3=伍,為)，

OPOB=y2x^-=-2,故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是合理利用給定條件消去變量，然后利用得平面

向量的坐標(biāo)表示結(jié)合韋達(dá)定理到所要求的定值即可.

5.B

【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為人因?yàn)樗倪呅蜵4BC是菱形，可得=叫=|。。=怛。=|45|=|。耳,

NCFO=60，根據(jù)|Q4|=|OC|=|O司=c,AC=6c,CF=c,又|AC|+|B|=2a,推得2a=+l)c,

設(shè)右焦點(diǎn)為F,連接尸C,因?yàn)樗倪呅巍?BC是菱形，則8,C關(guān)于了軸對(duì)稱,

所以4H=|OC|=|BC|=|AB|=\OF\,

因?yàn)橐籄O8,_COB和尸OC是等邊三角形,

所以/C尸0=60,在△AC/7中，=|0。=|。同=c,

所以AC=2c-sin60=V3c,CF=2c-cos60=c,又|AC|+|CF|=2。，

?J.C_2一萬(wàn)]

所以2a=(有+l)c,所以a(>/3+l)c(73+1)

2

故選：B.

6.A

【分析】根據(jù)題意分析可知：點(diǎn)尸的軌跡是以原點(diǎn)。為圓心，半徑為2后的圓，且直線尤=沖+4與

圓尤2+V=12有交點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系列式求解即可.

【詳解】由題意可知：圓O：尤2+V=4的圓心為。(0,0),半徑r=2,

設(shè)AB中點(diǎn)為則。1+O2=2OM，

且OA+O8=OP，可得。尸=2OM，

又因?yàn)閨AB|=2,可知△Q43為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

則Q叫=若，可得|0尸|=2|0叫=26，

可知點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)。為圓心，半徑為2月的圓，

因?yàn)橹本€x=：取+4上存在點(diǎn)尸使得OA+OB=OP，

即直線尤=沖+4與圓/+；/=12有交點(diǎn)，

可知圓心到直線的距離d=解得：〃7€(_8,一呼ug,+s

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的方程有兩類方法：

(1)幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的半徑和圓心，得出

圓的方程；

(2)代數(shù)法，求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立條件，利用“待定系數(shù)法”求出圓心和半徑.

7.D

【分析】根據(jù)橢圓定義以及點(diǎn)點(diǎn)距離即可求解.

22

【詳解】依題意，設(shè)PO,y),而巴(4,0),a=5,^+^-=1,

陽(yáng)

要使\HO*P\取…大’則夕在右半橢圓上，故。＜x45,

|明-照「8x81,818

——————

5（16V5（16￥5,此時(shí)點(diǎn)P位于右頂點(diǎn).

V25+j?V石+于

故選：D

8.C

【分析】使用題設(shè)條件得到閨口,|AB|,閨A|的比值，然后引入?yún)?shù)f并得到等量關(guān)系。=r，最后使用余

弦定理即可得到齊次方程并求解.

【詳解】連接G4GB，根據(jù)題意，耳AC三點(diǎn)共線，￡,員￡＞三點(diǎn)共線.

所以工閨心|4呼3

5

故可設(shè)寓，=3f,\AB\=4t,國(guó)4=5"

由于

4a=2a+2a=（寓A|—|gA|）+（|百同一優(yōu)同）=|居A|+寓同一（|入川+|6目）=寓A|+閨同—|AB|=5r+3r_4r=4r

故。=%.

從而國(guó)H=5a,\FlB\=3a,故怩旬=3匹R

|2

一母i「：|他「+閨用

而cos/不入An-cosNG8B,結(jié)合余弦定理得IM2+K<

2閨周優(yōu)A2山外|叵3

9a2+4c2-25a2a2+4c2-9a225

故,解得3r=2,所以e

2-2c-3a2-2c-aa22

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于在求得線段間比例后引入?yún)?shù)，方便后續(xù)的研究.

9.AD

【分析】根據(jù)直線丫=乂久-1）過(guò)拋物線E的焦點(diǎn)求出?？膳袛郃；設(shè)直線y=x-l,與拋物線方程聯(lián)

立，利用48=占+%+?？膳袛郆；過(guò)3作3￡>_U,由拋物線的定義可知5D=",根據(jù)BC=2B尸得

直線/的傾斜角可判斷C；直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入0402的坐標(biāo)表示，再利

用向量的夾角公式可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由拋物線后：/=2力（°>0）可得準(zhǔn)線方程為彳=-光，

又直線y=fc（x一1）過(guò)拋物線E：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，

則F（l,0）,所以一光=-1,解得。=2,故A正確；

對(duì)于B,由A選項(xiàng)可得;/=4x,且焦點(diǎn)尸（1,0）,當(dāng)左=1時(shí)，設(shè)直線V=xT,

/、/、Iy=x-1

設(shè)4（%,%）,3（%，%），貝Ujy2_4x，整理得比2-6X+1=0,所以與+冷=6,

所以AB=&+%+0=8,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,過(guò)B作BD_U,垂足為。，由拋物線的定義可知B￡）=5F,

若BC=2BF,則BC=23。，貝Ij/3C￡）=3O,

則直線/的傾斜角為60°,貝1左=有，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由A選項(xiàng)可得V=4x,且焦點(diǎn)F（l,0）,因?yàn)橹本€

,=左（1），4（%，乂），8（孫％），則IT?整理得

IZ=4.r

k2x2-（2k2+4）x+k2=0,所以無(wú)1+過(guò)=”吧,尤1尤2=1，

K

因?yàn)椤?=（石,必）,。5=（九2，%），所以

2

OA-OB=xlx2-^-yly2=x1x2-^k-l）（x2-1）

=(左2+1)再入2—左2(%]+%2)+左2=(k2+])一k22k：4+k2

K

=(Jt2+1)-(2k2+4)+A;2=-3,

/S八OA'OB八

所以cos/ACB=<0,所以-AO3為鈍角，故D正確.

OMOB

故選：AD.

10.AC

【分析】根據(jù)直線切過(guò)定點(diǎn)(1,1)切該定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷A；求出圓的圓心到直線/的距離可判斷B；

將圓丁+/一6芯-8、+根=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，轉(zhuǎn)化為兩圓外切可判斷C；由SMOB=2SPOA=2S

且當(dāng)尸O最小時(shí)S分最小時(shí)可判斷D.

1=0

[詳解]對(duì)于A,將直線〃K+y_〃?_l=O整理得(x_l)"i+y_l=0,由

y_]=0，

知x=l,y=l,所以直線〃叱+>-根-1=。過(guò)定點(diǎn)(1,1),因?yàn)楦?12<4,

所以該定點(diǎn)在圓內(nèi)，故A正確;

x-y+應(yīng)=0的距離為坐

對(duì)于B,圓V+丁=4的圓心到直線/:二1,

所以過(guò)圓心且與直線/平行的直線與圓相交有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為1,

與直線/平行且與圓相切，并且與直線/在圓心同側(cè)的直線到/的距離為1,

所以只有三個(gè)點(diǎn)滿足題意，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,將圓了?+y2—6x-8y+m=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x—3)2+(^—4)2=25—m,

因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓外切，所以J(0_3>+(0-4)2=,25_加+2,

解得加=16,故C正確；

對(duì)于D,連接OP,OA,O8,因?yàn)锳8為切點(diǎn)，所以。

所以SMOB=2SPOA=2SPOB，且當(dāng)尸。最小時(shí)，ZPOA最小，

|0+0-4|

所以當(dāng)尸。與直線垂直時(shí)，PO^==2亞,又因?yàn)榘霃綖?,

a7i2+i2

所以上4=JPO2_Q42=2,

所以S如出=：以*40=2,5以纏皿=2S=4,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.ABD

【分析】選項(xiàng)A：利用雙曲線和橢圓的定義求解即可.選項(xiàng)B：利用余弦定理結(jié)合離心率求解即可,

選項(xiàng)C：利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解即可，選項(xiàng)D：利用半角公式結(jié)合弦化切求解即可.

2222

【詳解】對(duì)于A,橢圓G：5+與=l(a>6>0),雙曲線C2：當(dāng)=1(相>0,〃>0),

abmn

[\PE\+\PF2\=2a....

由橢圓、雙曲線的定義可知，1|p^|_|PF|=2m-解得|尸團(tuán)=〃+叫?閶=。-加，故A正確；

對(duì)于B,令忻用=2c,

由余弦定理得COS。=①『+陷2-1/_(。+附2+("租)2-4c2_a2+m2

22

21MPF2\2(tz+m)(a—m)a-m

當(dāng)6=60時(shí)，1+3療=好，BPM134

I+34,因此石+石=4,故B正確;

eie2

211c

當(dāng)6=90時(shí)，a2+H12=2c2,BPp1+2,有/+.=2,

而則有d+破=26G<2[^^],解得e：+e；>2,故C錯(cuò)誤;

22222221-

a+m-2c_(?-c)-(c-m)b2-n2

a2-m2(“2_02)+卜2一祖2)b2+n2

1+

2o.2e】2?

cos——sin—1-tan—

cos0=cos2--sin2—=22______2

222o.2e20

cos—+sin—1+tan—

222

解得tan?,

JH0ri

而tan—>0,—>0,因此tan—=—,故D正確.

2b2b

故選：ABD.

12.2不

【分析】由題意得當(dāng)|PQ|最小時(shí)，CP連線與直線/：x+y+l=0垂直，由點(diǎn)到直線的距離公式和勾股

定理可求得答案.

22

【詳解】(x-3)+(y-4)=4s

二圓心C(3,4),半徑廠=2.

設(shè)切點(diǎn)為。，

由題意可知，點(diǎn)尸到圓C:d+y2=4的切線長(zhǎng)|PQ|最小時(shí)，CPL,

圓心到直線的距離"=四營(yíng)"=4夜，

切線長(zhǎng)的最小值為：J(40y-4=2外.

故答案為：2幣.

13.9

【分析】解法一：由橢圓方程求出設(shè)儼耳|=叫改|="然后由橢圓的定義結(jié)合已知條件列

方程可求出，從而可求出耳尸耳的面積，解法二：利用焦點(diǎn)三角形的面積公式求解

22________

【詳解】解法一,：由C:^+上=1,得a~=36,b~=9,則。=6,b=3,c=《a1—b"=3>/3>

369

設(shè)|尸耳|=〃2,|”|=〃，則由題意得

m+n=2a=12

加2+〃2=4。2=108'

由zn+〃=12,得m2+〃2+2〃Z〃=144,

所以108+2%?=144,得"m=18,

所以耳尸鳥的面積為:〃切=9

22

解法二：由C:土+上=1,得。2=36,〃=9,

369

因?yàn)槭?90

QOQO

所以由焦點(diǎn)三角形的面積公式得巨tan—=9tan—=9.

22

故答案為：9

14.9y2=4x-32(x-9r2-8-2z)2+y2=4r2(f>0)(答出一種特殊情況即可)

【分析】(1)先確定G的方程，然后利用等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算軌跡方程；

(2)先給出圓的方程卜-9/_8-2)+y2=4/(f>o),再計(jì)算驗(yàn)證即可.

【詳解】

UPUFUP\UQ

(1)設(shè)直線LV交C1的準(zhǔn)線于點(diǎn)0,據(jù)已知有行故

VPVP=阿

而點(diǎn)P,Q都在線段外，故尸，。重合，從而尸(-U)在C1的準(zhǔn)線上，所以的準(zhǔn)線是x=-l.

這就得到p=2,所以G的方程是丁=4元.

設(shè)上的三個(gè)不同點(diǎn)￡（4/,4〃），M,N構(gòu)成等邊三角形LWN,設(shè)該三角形的重心為G（氏/）,則

LG=（a—,/3—4”）.

所以的坐標(biāo)分別是—尸—2a1±--^-^）+2y/3u,-^-a—2^f3u2

-/?-2H+—6Z-2A/3M2>|=4-a--/3-2u2+2y/3u

故

、22JI22

（36riXf3732廠、

-/5-2M--6Z+2V3M2=4-CK+—^-2M2-2V3M.

（22JI22J

得］|夕—2"j+3（^a-2uA+2相［|/?_2d［ga_2〃2j=2（3a_4"2）+2后（一￡+4〃），

^（3-2u\+3（^a-2u2-273||/7-2MY|a-2w2^=2（3a-4M2）-（一尸+4M）.

22

兩式分別相加，相減，得［^￡一2〃+3（^a-2uA=2（3a-4u）,jQ?-2Mj=-^+4M.

（3^-4z/）2+3（a-4z/2）2=8（3a-4w2

故可得方程組

（3^-4M）（?-4M2）=4（-^+4M）

16z/4+16"--8a〃~-86a+3力~+a?-8a=0

展開即得

16〃3-12例2-4々〃-16〃+3協(xié)+4尸=0

將第一式減去第二式的M倍，^12^M3+32w2-4au2-12］3u-3ocj3ii+3/3-+a2-8a=0,從而

486a3+128/-16a/-48的一120113K+12^2+4a2-32a=0.

再由第二式得48￡"3一36尸2"2_]2初〃_48￡&+9皿2+12/2=0,兩式作差即有

128M2-16au2+4?2-32a=-36^2M2+9?/?2.

222

所以（128—161+36月2）/^-4a+32a+9a/3=?（32-4a+9^）,即

e（32-4a+9尸2）=028-16a+36夕）I=4（32_%+942）/.

所以a=4/或32—4a+9/2=0.

若a=4l,則由（36-4"）9-4"2）=4（-6+4“）知夕=4〃，所以L,G重合，這不可能.

故一定有32-4a+9￡2=0,BP9/3'=4a-32.

另一方面，若9萬(wàn)2=4a-32,貝|取方程16/-12仇？一4cra-l6a+3姐+46=0的一根〃后，根據(jù)上面

類似的計(jì)算知16d+161一8d_8的+3斤+a*12-8a=0.

取的坐標(biāo)為弓々-2/g4-2a1土〃+2氐,日&-2島2,則等邊三角形乙肱V的頂點(diǎn)在

G上，且中心為尸).

綜上，G上的等邊三角形的中心的軌跡方程為9y②=4x-32.

(2)我們?cè)O(shè)圓r的方程為(無(wú)一9產(chǎn)-8-2)+/=4/(z>o).

則對(duì)G上的點(diǎn)7氏2+82),設(shè)過(guò)該點(diǎn)的x=My-2s)+9/+8與圓「相切，則根據(jù)距離公式有

|9r+2r+2fa-9?

=2t.

J-+]

從而（9r+2/+2質(zhì)一9s2『=4產(chǎn)（廿+i）,gp4（?-r2）^2+45（%2+2?-9?）＞t+（9r+2Z-952）2-4f2=0.

一s（9『+2f-9sz）（9廠+2f—9s~）—4廠

設(shè)滿足條件的k分別為k—?jiǎng)tk+k'呼+=⑴,出=—————

12S2-t24$2-2

同時(shí)，該直線與9y2=以-32的另一個(gè)交點(diǎn)(x,y)滿足9y2=4(Mv-2s)+9$2+8)-32,從而由韋達(dá)定

4k

理知y=----2s.

_4k,_4匕-

設(shè)A（94+8,2a）,B（9Z?2+8,2Z?）,貝lj2a=----2s,2b------2s.

99

2

而直線AB的方程為>=如同卜-91-8)+24,即2龍-9(a+6)y+18他-16=0,從而圓心到直線

口（9r+8+24+18"-16|,8產(chǎn)+4/+18閡

AB的距離d=J----/；——!

j4+81（a+6）-j4+81（a+6『'

-2s（9t2+2t-9s2

故"+.=一—2s=心

而,-2s=

b=也-s99（?-?912T2

9

/、216s2產(chǎn)4（?+r2VI------——-2（s2+t2}

所以4+81（a+6）=4+------^-=-------得，4+81（。+妨―

?-rYs2-t2Y'\s2-t2\

口7秋左=22s/77\2

且ah—------------(k,+左))+s

819v7

22

4(9r+2f-9s2丫一4戶2s-^(9r+2r-9s),

=8iq?不v4?—+,

2

1(9/+2-9s2y-4/2s2(9?+2?-9s)2

―81s2-t2+~9s2-t2+5

:1811"1_3662_巧空^__2

―81s2-t2+~9^'s2-t2一0

/22\42s22t

=r-r——1+-----------522

\'99s2-2

242s22t

=-t一一t+-------------.

99s2-t27

故產(chǎn)+2/+P6=一2/+生得18/+今+18°6=7，+452?^^.

999s2-t2sT

從而b2-r||i8f2+4.+18回=|-4/12一產(chǎn))+4$2⑵]=4/仔+產(chǎn)),

/8產(chǎn)+4/+18°同|18r2+4/+18aZ>||?-r||18/2+4r+18a/?|41s?+產(chǎn))

這就得到"J4+81(?+Z>)2~2(?+r2)21+產(chǎn))~2(?+r)-[

22

所以直線AB到圓(尤-9f2-8-+y=4t的距離恰等于其半徑，故是其切線.

故答案為：9y2=4了-32,(元-9產(chǎn)一8-2)+丁=4/。>o).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)拋物線方程的使用和計(jì)算.

15.(1)(%-1)2+(J+2)2=25

(2)%-〉+2=0或％->一8二0

【分析】(1)根據(jù)圓過(guò)點(diǎn)-7),得到圓心在尸-2上，設(shè)圓心坐標(biāo)(％-2),再由圓心到圓上

的點(diǎn)的距離相等求解；

(2)設(shè)直線/的方程為：尤->+c=O,根據(jù)“CMN為等腰直角三角形，由圓心到直線的距離

|c+3|V2

r求解.

【詳解】⑴解:因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)。,3),(1,-7),故圓心在產(chǎn)-2上,

設(shè)圓心坐標(biāo)(x,-2),

貝lJ(x—l)2+25=(x—4)2+16,解得尤=1.

故其半徑r=J（尤-I）?+25=5.

故圓的方程為：(x-iy+(y+2y=25；

(2)設(shè)直線/的方程為：尤-y+c=O,

因?yàn)镃W為等腰直角三角形，

???圓心到直線的距離4=5=小首1,即卜+3|=5,

解得c=2或一8,所以/：x-y+2=0或x-y-8=0.

22

rv

16.(1)—+^—=1

123

⑵迪

3

【分析】(1)由離心率的值及橢圓過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，可得"的值，即求出橢圓的方程；

(2)設(shè)直線AB的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由AF=3EB，可得參數(shù)的

值，求出點(diǎn)尸到直線AB的距離及弦長(zhǎng)IABI的值，進(jìn)而求出.力記的面積.

22

所以橢圓的方程為：上+匕=1;

123

(2)由(1)可得右焦點(diǎn)尸(3,0),

當(dāng)直線48的斜率為0時(shí)，則直線的方程為y=o,

因?yàn)槿f(wàn)=3FB.可得A卜20,0),3(2點(diǎn)0),

所以A/=(2+2括,0),FB=(273-2,0),AF=Q+?FB,顯然與人尸=3/8,與已知條件矛盾,

所以直線A8的斜率不為0,

由于原尸=巫=0,故設(shè)直線A3的方程為尤=沖+3,且切學(xué)-也，

PF2-12

設(shè)4（須，％）,B（X2,y2）,

x=my+3

聯(lián)立/y2整理可得：（4+m2）^2+6my-3=0,

——+—=1

1123

6m—3

可得…一石…為"②

因?yàn)锳F=3_F月,即（-3-％，-％）=3區(qū)-3,%）,

可得一%=3%，即％=-3%，③

-9m

將③代入①,可得%=77^'

再代入②可得：一前了=1,可得加=：，

|2-^m-3|lV2m+l|

點(diǎn)尸(2,0)到直線AB：X-沖一3=0的星巨離4=

A/1+m241+m2

4班（1+加2）

弦長(zhǎng)兇二舄

/I4+m2

73（l+m2）|V2m+l|2cx3

141圓+1卜￥機(jī)m+1

所以SpM=—IAfil,<7=—?

21124+/J1+療9

2

由于根2=:，且根士一立，所以根=￥

22

q

uPAB=叫向+卜華E殍

17.（l）x2-y2=l

(2)證明見(jiàn)詳解

【分析】(1)設(shè)M(x。,%),根據(jù)等軸雙曲線概念得/->：=",利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

(2)設(shè)P(Xo，yo)，再由48坐標(biāo)得到直線尸4,28的方程，繼而可得C,。坐標(biāo)，設(shè)過(guò)尸且與雙曲線

爐-丁=1相切的直線為>=左(》—％)+%,聯(lián)立雙曲線與直線方程，由△=()及韋達(dá)定理可得及尸坐

標(biāo)，繼而可得%+如=%+%，即%-凡=%-力，即僅￡-"|=|%-甫，即可求證.

【詳解】(1)設(shè)律(飛,％),

22

M為等軸雙曲線三-口=1上一點(diǎn)，

ab

二./一%)=a,

雙曲線漸近線為y=±x,

.員+%||%一%|_?2_1

'?7=-------i=-——

V2V222

:7的方程為

（2）設(shè)尸（為,%-%<0,A（T01B0，°），

二直線叢方程為尸A(x+D'直線尸3的方程為k告I(xT,

:.C0,^-\,D0,^_,

I尤o+UIx0-l)

設(shè)過(guò)P且與雙曲線尤2-y2=i相切的直線為y=Mx-%)+%,

聯(lián)立憶丫彳。

(1—A?)/_|_(2左之無(wú)?！?@o)x+2而0%—k?*—y；—1=0,

A=(4XQ—4)左2—8%0，0左+4y；+4=0,

即(x；_1)左2_2入0丁0卜+y；+]=0，

設(shè)直線尸￡P(guān)F的斜率分別為《，月，貝怯+自=學(xué)”,

%0—1

.?.「￡1方程'=4(彳一/)+%,

二磯。，%-飆)，

同理尸尸方程y=左2(彳-5)+%,

:.F(O,yo-k2xo),

?f+%=%+%，

，區(qū)一%|=從-訃

:.\CE\=\DF\.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的性質(zhì)及直線與雙曲線的相切關(guān)系，解題關(guān)鍵是直線與雙曲線

的相切關(guān)系.本題中設(shè)過(guò)尸且與雙曲線f-y2=i相切的直線為尸耳了一毛)+%,聯(lián)立雙曲線與直線方

程，由A=0及韋達(dá)定理可得左+&=學(xué)+，則為+力=2%-(勺+左2)%=2%-學(xué)3又

%oTXo-1Xo-1

—2y

yc+y0=^~i'得/+%=%+%,即%-九=%一力，即僅E-ydT%-%，即可求證.

18.⑴片土耳

3

⑵心

【分析】(1)由兩曲線有公共的焦點(diǎn)凡且。=46,得c=2b,a=^3b,可求漸近線方程；

(2)通過(guò)設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理，表示出占+4和士-/，由

\0P\\0Q\\AF\\BF\

“I血+血j=1同一贏求”的取值范圍.

22

【詳解】⑴拋物線Uy?=2p