2024-2025學(xué)年湖南省長沙市某中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南省長沙市望城二中高二(上)入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={x|-1<x<2},B={0,1,2,3},則4CB=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.若復(fù)數(shù)2=忘。為虛數(shù)單位)，貝?。輟-z=()

1111

A./B,--C,-D.-

3.已知方程2/一(TH+1)汽+HI=0有-正根和-負(fù)根，則TH的取值范圍是()

A.(-8,3—2彘)B.(-8,3+2簿)C.(3-2彘,+8)D.(-8,0)

4.已知奇函數(shù)/(%)在R上是增函數(shù)，g(%)=%/(%).若。=。(［。比。？)/=自(2。5),。=g(4),則a,b,c的大

小關(guān)系為()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

5.如圖，直線48與單位圓相切于點(diǎn)。，射線OP從。/出發(fā)繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在此過程中，記乙4OP=

x(0<X<7T),射線。P經(jīng)過的單位圓。內(nèi)陰影部分的面積為S,則對函數(shù)S=/(%)說法正確的是()

A.當(dāng)x時(shí)，S=

B.3%!豐乂2，使得/'(*1)=/(,x2)/-----

C.對\/久6(0,令，都有/G+久)=fQ)+］(./\

D.對Vxe(0,9都有盛一乃+居+乃=兀后一七W------入

6.對任意的X6R,都有/(—x)=/(x),/(-%)=/(2+x),且當(dāng)xe［—1,0］時(shí)，/(x)=(i)x-1,若關(guān)于支

的方程/(久)-logalM=0在區(qū)間［-5,5］內(nèi)恰有6個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(3,5)B.[3,5]C.[3,5)D.(3,5]

7.已知函數(shù)/■(無)=]；；(：；)?：[：10,若/(無)2ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[0,12]B.[0,J3]C.[0,1]D.[0,^3]

34L

8.已知正實(shí)數(shù)C滿足：對于任意氏均存在i,J6Z,0<i<j<255,使得|cos2e—；|WC,記C的最小值

為九則()

A____<f2<f____

?20001000

c?而(痂

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.2021年4月至2021年12月我國規(guī)模以上工業(yè)天然氣產(chǎn)量保持平穩(wěn)，日均產(chǎn)量(億立方米)與當(dāng)月增速(%)(

當(dāng)月增速=當(dāng)月曹■翼產(chǎn)量x100%)如圖所示，貝ij(

2021年4月至2021年12月我國規(guī)模以上工業(yè)天然氣產(chǎn)量月度走勢

10

9

5.4臺

-10

-20

-30

-40

-50

-60

4)15"6"7JI8"9(]IOJ)1IJ]12月

=U均產(chǎn)量(匕立方米)T-當(dāng)月巾遑(%)

備注：日均產(chǎn)品產(chǎn)量是用當(dāng)月公布的我國規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)總產(chǎn)量除以該月日歷天數(shù)計(jì)算得到的

A.2021年12月份我國規(guī)模以上工業(yè)天然氣產(chǎn)量當(dāng)月增速比上月放緩2.1個(gè)百分點(diǎn)

B.2021年4月至2021年12月我國規(guī)模以上工業(yè)天然氣產(chǎn)量當(dāng)月增速的極差為12.6%

C.2021年7月份我國規(guī)模以上工業(yè)天然氣產(chǎn)量為153億立方米

D.2021年4月至2021年12月我國規(guī)模以上工業(yè)天然氣日均產(chǎn)量的40%分位數(shù)為5.3億立方米

10.△ABC^P，角力、B、C對邊為a、b、c,若a=bcosC+cs譏B,b=2,貝U()

A.B=135°B.B=45°

C.ac的最大值為4+2，ID.AABC面積最大值為YI+1

11.已知ABC-&BiQ是各條棱長均等于1的正三棱柱，D是側(cè)棱CQ的中點(diǎn)，下列結(jié)論為今一

正確的是()\/

A.4c與平面所成的角的正弦值為一

4

B.平面力與平面所成的角是60。

C.A±B1AD

D.平面4BD1平面力當(dāng)。

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知匕3為共線的兩個(gè)向量，且|初=1,|||=2,則|2之一山=

13近年來，加強(qiáng)青少年體育鍛煉，重視體質(zhì)健康已經(jīng)在社會形成高度共識.2021年10月，

在頒布20多年后迎來首次大修.教育部發(fā)布的2022年工作要點(diǎn)中提出，實(shí)施學(xué)校體育和體教融

合改革發(fā)展行動計(jì)劃.為了考察某校各班參加兩項(xiàng)以上體育項(xiàng)目鍛煉小組的人數(shù)，在全校隨機(jī)抽取五個(gè)班

級，把每個(gè)班級參加兩項(xiàng)以上體育項(xiàng)目鍛煉小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).己知樣本平均數(shù)為7,樣本的標(biāo)準(zhǔn)差

為2,若樣本數(shù)據(jù)各不相同，則樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是.

14.設(shè)函數(shù)/(X)對任意實(shí)數(shù)x滿足/(X)=-/Q+1),且當(dāng)OWKWI時(shí)，/(%)=x(l-x),若關(guān)于久的方程

/(X)=依有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，貝必的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題15分)

化簡或計(jì)算下列各式：

411111

(l)(2a3b4)(-6a2/?3)+(-3。時(shí)6)；

(2)已知匈2=a,lg3=b,用a,b表示/o%至；

ii

(3)已知a2+aU=4,求a—GT1的值.

16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—ABC。中，側(cè)面P4B_L底面ABCD,底面力BCD為矩形，PA=PB,。為4B的中點(diǎn)，

OD1PC.

(1)求證：0clpD；

(2)若PD與平面P28所成的角為30。，AB=2,求四棱錐的P-ABC。的體積.

17.(本小題15分)

某跨國公司決定將某種智能產(chǎn)品大量投放中國市場，已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本30萬元，每生產(chǎn)一臺需另

投入90元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為G(?萬元，G(x)=

(250—3x,0<%<25

]on,30009000

[80+-----~^TfX>25

(1)寫出年利潤S(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量%(萬臺)的函數(shù)解析式(利潤=銷售收入-成本)；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時(shí)，該公司獲得的利潤最大？并求出最大利潤.

18.(本小題15分)

已知函數(shù)/(%)=sin2x—2V3sin2x+V-3.

(I)若點(diǎn)P(苧，》在角a的終邊上，求tern2a和/(a)的值；

(II)求函數(shù)f(%)的最小正周期；

(III)若％6[0,1],求函數(shù)/(%)的最小值.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(%)=loga^|(a>0且aH1)；

(1)判斷函數(shù)奇偶性，并說明理由；

(2)求函數(shù)/(%)的反函數(shù)fT(%)；

(3)若函數(shù)/(%)的定義域?yàn)閇%刃，值域?yàn)閇log/a(S-l)],logja(a-1)]],并且/(%)在[仇邛]上為嚴(yán)格減函

數(shù)，求a的取值范圍.

參考答案

l.c

2.D

3.D

4.B

5.D

6.A

1.B

8.F

9.ABD

IQ.BCD

U.ACD

12.0或4

13.9

14.(5-2<6,1)U{2心-3}

4111114111,1155

]5.解：(l)(2a3/74)(-6a2M)+(-3加須)=超+2一訪Lw==4a昉適；

(2)Zo53y=log312-log3S=log3(3x4)-log3S=1+2log32-log35=1+2震—器=1+2翳—

噎=1I2^2lTg2_13s2-1

lg3~lg3lg3~lg39

又因?yàn)榫?=a,lg3=b,

所以Io%y=1+

1_1

(3)(a2+a-2)2=a+a-1+2=42,

所以。+=14,

1111?

2

又因?yàn)?成一a~2)=a+-2=12,所以成一a~2=±2<3,

1111_

所以a-a-1=(a2+。-2)(成一a-2)=±8<f3.

16.證明：(1)連結(jié)。P,

PA=PB,。是力B的中點(diǎn)

OPLAB.

又,?,側(cè)面P4B1底面48CD,平面PABCI平面4BCD=AB,OPu平面

PAB,

：.OP_L平面力BCD,

???OCu平面ABCD,。。u平面力BCD,

OPLOD,OP1OC,

XvOD1PC,OPu平面。PC,PCu平面。PC,OPCPC=P,

.-.OD_L平面。PC,

OCu平面。PC,

OD1OC,

又???OP1OC,OPu平面。PD,。。<=平面。P。，OPCOD=0,

：.OC1平面。PD,

PDu平面。PD,

OC1PD.

解:(2)取CD中點(diǎn)E,連結(jié)。E,

1i

???OD1OC,AD=OE=^CD=^AB=1.

???ADLAB,平面48CD1平面Pg平面;MBC平面ABC。=AB,ADu平面4BCD,

.-.AD1平面P4B,

NDP2為直線PD與平面P4B所成的角.

???/.DPA=30°,PA=y[3AD-

OP=7Ap2-AO2=<2.

Vp-ABCD=gpo.SABCD=|><AA2X1X2=等.

f—3x2+160%—30,0<x<25

17.解：(1)年利潤S=x?G(x)-30-90x={9000.

—10%----------F2970,x>25c

'x

⑵當(dāng)。<xW25時(shí)，S=-3x2+160x-30=-3(x-y)2+等,

所以S在(0,25]上單調(diào)遞增，

所以Smax=-3x252+160x25-30=2095；

9000

當(dāng)x>25時(shí)，S=-10x--+2970=2970-(10x+—)<2970-210x-—=2370,

XvXy-MXx

當(dāng)且僅當(dāng)10%=等，即第=30時(shí)，等號成立，此時(shí)"磔=2370,

因?yàn)?370>2095,所以％=30,Smax=2370,

故當(dāng)年產(chǎn)量為30萬臺時(shí)，該公司獲得的利潤最大，最大利潤為2370萬元.

18.解:(I)若點(diǎn)P(苧,勺在角a的終邊上,

所以sina=g,cosa=故tcma=9,

所以‘由12a=代比=帛天=口

/(a)=sin2a+y/~3cos2a=2s譏(2a+1)=2x苧=V-3

(II)由于函數(shù)/(%)=sinlx—2V3sin2%+yj~3=2sin(2x+

所以函數(shù)的最小正周期為T=y=7T.

(Ill)由于xe[0,芻，所以2久+)eg,亨],

所以當(dāng)x=狎，函數(shù)的最小值為居)=2s譏(第=-43.

19.解：(1)由話>0,解得久>2或x<-2.

則定義域?yàn)?一8,-2)U(2,+8),關(guān)于原點(diǎn)對稱，