2023-2024學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)（易錯(cuò)必刷30題6種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）解析版

猜想06反比例函數(shù)（易錯(cuò)必刷30題6種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

一題型目錄展示?

>反比例函數(shù)的性質(zhì)>二.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

>三.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征>四.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式

>五.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題>六.反比例函數(shù)的應(yīng)用

?題型通關(guān)專訓(xùn)>

反比例函數(shù)的性質(zhì)（共2小題）

1.（2023?安陽二模）下列函數(shù)中，其圖象一定不經(jīng)過第三象限的是（）

【分析】分別根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答.

【解答】解：A、???y=/+2x-3開口向上，對(duì)稱軸是直線x=-l,且函數(shù)圖象過（0,-3）點(diǎn)，

:.該函數(shù)圖象過一、二、三、四象限，故本選項(xiàng)不合題意；

2、的系數(shù)2>0,

該函數(shù)圖象過一、三象限，故本選項(xiàng)不合題意；

C、在y=-x+2中，k=-KO,b=2>0,

,該函數(shù)圖象過一、二、四象限，故本選項(xiàng)符合題意;

D、：y=國中，3>0,

X

.?.函數(shù)圖象過一、三象限，故本選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì),

關(guān)鍵是根據(jù)系數(shù)的符號(hào)判斷圖象的位置.

2.（2023?和平區(qū)模擬）已知反比例函數(shù)>=工經(jīng)過平移后可以得到函數(shù)>=工-1,關(guān)于新函數(shù)y=L-l,

XXX

下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)x>0時(shí)，y隨尤的增大而增大

B.該函數(shù)的圖象與y軸有交點(diǎn)

C.該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為（1,0）

D.當(dāng)0〈后/■時(shí)，y的取值范圍是0<經(jīng)1

【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，反比例函數(shù)>=1?當(dāng)x>0或x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，且關(guān)于

X

（0,0）對(duì)稱；經(jīng)過平移后得到丫=工-1,關(guān)于（0,-1）對(duì)稱，增減性不變.

x

【解答】解：A.當(dāng)％>0時(shí)，y隨尤的增大而減小，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.該函數(shù)的圖象與y軸無限接近，但是沒有交點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.該函數(shù)圖象與無軸的交點(diǎn)為（1,0）,故本選項(xiàng)正確，符合題意；

D.當(dāng)0〈爛/時(shí)，y的取值范圍是這1,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，函數(shù)圖象的平移；解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖象

與系數(shù)的關(guān)系.

二.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共7小題）

3.（2023秋?來賓期中）如圖所示，過反比例函數(shù)y=K（左>0）在第一象限內(nèi)的圖象上任意兩點(diǎn)A,B,分

x

別作無軸的垂線，垂足分別為C,D,連接。1,OB,設(shè)AAOC與4臺(tái)。。的面積為Si,S2,那么它們的大

小關(guān)系是（）

A.Si>S2B.Si=S2C.Si<&D.不能確定

【分析】過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S

是個(gè)定值，即s=4|4.

【解答】解：依題意有：R3AOC和RtAB。。的面積是個(gè)定值上肉.

2

所以S1=S2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了反比例函數(shù)y=K中左的幾何意義，即圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐

標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=工因.

4.（2023?西安三模）如圖，菱形0ABe的邊。4在x軸正半軸上，頂點(diǎn)2、C分別在反比例函數(shù)y=22巨

X

與產(chǎn)區(qū)的圖象上，若四邊形O48C的面積為4,區(qū)，則212百_.

【分析】連接。3,設(shè)直線8C與y軸交于點(diǎn)尸，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AOBC的面積為2近，結(jié)合反比例

函數(shù)上的幾何意義可得△C。尸和ABO尸的面積，利用S"CO=SNO3+S^COP建立方程，求解即可.

【解答】解：如圖，連接05,設(shè)直線3C與y軸交于點(diǎn)P,

;四邊形042c是菱形，且面積為4,^3，

.,.△OBC的面積為2M,

「BC〃彳軸，

.\BC.Ly軸，

???8、C分別在反比例函數(shù)尸會(huì)應(yīng)與尸K的圖象上，

XX

S/^COP=^LSxBOP=j^，

2

SABCO=S^POB+SACOP=V3+II-=2^3.

2

解得左=-2A/^,（正值舍去），

故答案為：-2?.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即在反比例函數(shù)y=K的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸

x

作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是工因，且保持不變.也考查了三角形的面

積.

5.（2022秋?二道區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線中點(diǎn)E與點(diǎn)2都經(jīng)過反比例函數(shù)y2二

的圖象，且S矩形ABCD=8,則上的值為（）

A.2B.4C.6D.8

【分析】過點(diǎn)E作EM1AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作EN1AB于點(diǎn)N,設(shè)B（a,b）,則AB=a,根據(jù)S矩形ABCD

=8可得4。=為，由點(diǎn)E為矩形對(duì)角線2。的中點(diǎn)可得知￡=工皿=且，硒=工皿.，以此得

a222a

出b+魚），最后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義結(jié)合圖象經(jīng)過第一象限即可求解.

【解答】解：過點(diǎn)E作EM1AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作EN1AB于點(diǎn)N,

設(shè)5（〃，b）,

??A8=〃,

***S矩形ABCD=8,

：.AD=^-

a

???點(diǎn)E為矩形A8C0對(duì)角線5。的中點(diǎn)，EMLAD,ENJLAB,

J.ME//AB,EN//AD.

222a

b葉）,

?..點(diǎn)E與點(diǎn)B都經(jīng)過反比例函數(shù)y上的圖象,

X

（b+^-）=ab?

Na

.*.ab=4f

由圖可知，反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過第一象限，

X

??左=〃Z?=4.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)中左的幾何意義，熟練掌握在反比例函數(shù)y■圖象中任

取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向無軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|川是解題關(guān)鍵.

6.（2022秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABC。與y軸分別交于￡、尸兩

點(diǎn)，對(duì)角線8。在X軸上，反比例函數(shù)y支（k卉o）的圖象過點(diǎn)A并交于點(diǎn)G,連接。R若8E：

AE=1：2,AG：GD=3：2,且的面積為建，則上的值是（）

55

【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)M,GNLx軸于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)A（a,6）,則AM=6,OM=a,可得ADGN

s^DAM,貝I]08：OM=BE：AE,再由BE：A￡=l：2,AG：GD=3：2,可得到OB=La,GN=^-b,

25

從而得到。N=^a,進(jìn)而得到MN=W*a，繼而。N=a,再由平行四邊形的性質(zhì)，可得ABO尸S/\DNG,

22

從而得到OF=L,再由SAFCD=SABCD-SABDF,即可求解.

5

【解答】解：如圖，過點(diǎn)4作4〃，工軸于點(diǎn)M,GNLx軸于點(diǎn)N,

y

：.AM//NG,軸,

:ADGNS/\DAM,0B-.OM=BE：AE,

?GN=DN=DG

*'AMDMAD'

,:BE：A￡=l：2,AG：GD=3：2,

OB=^-OM=^a,GN=DG=_2DN=2

22TADMNI

:.GN=Zb,

5

:點(diǎn)A、G在反比例函數(shù)y=K(#0)的圖象上,

X

.\k—ab——b*ON,

5

：.ON=^-a,

2

:.MN=ON-OM=~a,

2

:.DN=Z，,

32

BD=OB+ON+DN=4a,

ZOBF=ZGDN,SKABD=S^BCD,

"：/BOF=/GND=90。,

:ABOFs叢DNG,

.0B_0Fya_0F

??--,Hn,

DNGNa2

-b

b

OF=^-b,

5

■:S〉FCD=SxBCD-SABDF,

-AxAz?x4?=—,

2255

解得ab=3,

??k~~ah~~2),

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，反比例函數(shù)中左的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)，

熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

7.(2023?宿城區(qū)一模)如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=K(x<0)的圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)2在無軸的負(fù)半軸上

x

S.AO=AB,若AAB。的面積為4,則k的值為-4.

【分析】過點(diǎn)A作ACUx軸，設(shè)點(diǎn)A(x,y),可得出孫=匕再根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案.

【解答】解:過點(diǎn)A作ACLx軸，設(shè)點(diǎn)A(x,y),

"：OA=AB,

***OC=BCf

；?點(diǎn)B(2x,0),

???頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=K(x<0)的圖象上,

??xy~~ki

??,△043的面積為4,

.」OB?AC=4,

2

gp_Xx2|x|Xy=4,

??xy=-4,

即k=-4.

故答案為：-4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)y=K圖象上的點(diǎn)

X

（x,y）一定滿足孫=4.

8.（2023秋?高新區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)A,點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=K（左>0,x>0）,軸，若CD

x

=3。。，則A83C與AADO的面積比為1：5.

【分析】過C作軸于E,依據(jù)軸于點(diǎn)8,即可得出SAAOD=S四邊形BDCE,設(shè)△3。。的面積

為S,即可得到△3OC的面積為3S,ABOC的面積為4S,進(jìn)而得到四邊形BDCE的面積為125+35=155,

即AAO。的面積為15S,即可得出△8OC與△ADO的面積比.

：42，彳軸于點(diǎn)2,

?.SAAOB=SACOE,

'?SAAOD—S四邊形BDCE,

設(shè)AB。。的面積為S,

"：CD=3OD,

...△8。。的面積為35,ABOC的面積為4S,

,JBD//CE,

:.BE=30B,

.?.△BCE的面積為ns,

：.四邊形BDCE的面積為12S+3S=15S,

即△AOD的面積為15S,

.,.△BOC與AA。。的面積比為3：15=1：5,

故答案為：1：5.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反比例函數(shù)左的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)左的幾何意義是解本題的關(guān)鍵.

9.（2023?惠東縣校級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第一象限內(nèi)的點(diǎn)尸（x,y）與點(diǎn)A（2,2）在

同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，PCJ_y軸于點(diǎn)C,尸。，》軸于點(diǎn)。，那么矩形OAPC的面積等于4.

【分析】根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出k的值，進(jìn)而得出矩形ODPC的面積.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)A（2,2）在反比例函數(shù)y=K的圖象上，可得：2=1，

解得：k=4,

因?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)的點(diǎn)P（x,y）與點(diǎn)A（2,2）在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，

所以矩形ODPC的面積等于4,

故答案為：4

【點(diǎn)評(píng)】此題考查反比例函數(shù)系數(shù)左的幾何意義，關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出女的值.

三.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共3小題）

10.（2023?南開區(qū)一模）點(diǎn)A（xi,yi）,B（無2,>2）,C（X3,*）在反比例函數(shù)y=上的圖象上，若無1<尤2

x

<0<尤3,則yi,y2,”的大小關(guān)系是（）

A.yi<j2<j3B.j2<j3<jiC.y3<yi<y\D.yi<y\<yi

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)Xl<X2<0<X3,判斷出三點(diǎn)所

在的象限，再根據(jù)函數(shù)的增減性即可得出結(jié)論.

【解答】解：：反比例函數(shù)y=工中，4=1>0,

X

???此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在一、三象限,

*.*X1<X2<O<X3,

???A、5在第三象限，點(diǎn)C在第一象限，

?*.yi<0,y2<0,”>0,

???在第三象限y隨x的增大而減小，

?*.yi>y2,

'.y2<yi<yi.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，先根據(jù)題意判斷出函數(shù)圖象所在的象限及三點(diǎn)

所在的象限是解答此題的關(guān)鍵.

11.(2023?陜西)若點(diǎn)A(-1,2),B(1,m),C(4,n)都在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則機(jī)，〃的大

小關(guān)系是相<n.(填“>”"=”或“<”)

【分析】依據(jù)題意，先由A求出解析式，再把所給點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出機(jī)〃的

值，比較大小即可.

【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)為〉=工，

X

又A(-1,2)在反比例函數(shù)圖象上，

:.k=(-1)x2=-2.

J反比例函數(shù)為y=--.

x

又點(diǎn)、B(1,m)在反比例函數(shù)y=-2的圖象上，

x

??TH,--~2.

VC(4,n)都在反比例函數(shù)y=-2圖象上，

x

?，?〃=-—,

2

:?m〈n.

故答案為：<.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積等于

比例系數(shù).

12.(2023春?巴東縣期中)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(4,0),B(0,2),四邊形ABC。為正方形，

雙曲線y=K(厚0)經(jīng)過邊的中點(diǎn)￡

（1）求左的值;

（2）求（1）中雙曲線與邊的交點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【分析】（1）依據(jù)題意，過點(diǎn)E作軸，從而可得△BC8之△ABO,從而可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，最后將E的坐標(biāo)代入y=K,即可得解.

x

（2）由題意，首先求出直線的解析式，然后根據(jù)進(jìn)而求出的解析式，最后與（1）中

所求反比例函數(shù)組成方程組即可得解.

【解答】（1）解：依據(jù)題意，過點(diǎn)E作C”J_y軸，垂足為H.

.四邊形ABCD是正方形，

：.BC^AB,/CBA=90。.

：.ZCBH+ZABO=90°.

'：ZBCH+ZCBH=90°,

：./ABO=ZBCH.

又NCHB=ZBOA=90°,

.?.△BCH名AABO.

：.CH=BO,BH=AO.

\"A(4,0),B(0,2),

:.CH=BO=2,B//=AO=4.

：.C(2,6).

又B(0,2),

：.E（1,4）.

又點(diǎn)E在雙曲線＞=區(qū)上，

X

.\k=4.

（2）VA（4,0）,B（0,2）,

直線AB為：y=--x+2.

2

VAB±AZ）,

可設(shè)直線A￡＞為y=2x+m.

又A在直線AQ上，

2x4+m=0.

??ITI~~~8.

???直線A。為y=2x-8.

將y=2x-8與y=4聯(lián)列方程組得，

X

.fx=2-V6-fx=2+V^

??〈/—或〈l?

y=-4-2V6y=-4+2V6

?「尸在第一象限內(nèi)，

：.F（2+76，-4+276）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要能熟練掌握并理解.

四.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共5小題）

13.（2023?雙柏縣模擬）反比例函數(shù)＞=工經(jīng)過點(diǎn)（-1,-4）,則反比例函數(shù)的解析式為（）

X

4.4-

A.y=-4xB.y=—C.y=--D.y=4x

xx

【分析】依據(jù)題意，將點(diǎn)（-1,-4）代入反比例函數(shù)解析式可以求得上的值，進(jìn)而可以得解.

【解答】解：由題意，將點(diǎn)（-1,-4）代入反比例函數(shù)解析式〉=上，

X

-4=工

-1

???左=4.

...反比例函數(shù)的解析式為＞=&.

X

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，解題時(shí)需要熟練掌握并理解.

14.(2023?興隆臺(tái)區(qū)二模)如圖，正方形A8C。的邊長為10,點(diǎn)A的坐標(biāo)為8,0),點(diǎn)8在y軸上，CE

軸，若反比例函數(shù)y=K(k卉0)的圖象過點(diǎn)C.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)尸在反比例函數(shù)圖象上，當(dāng)AEb面積為12時(shí)，求點(diǎn)尸坐標(biāo).

【分析】(1)依據(jù)題意，先求出。4,再根據(jù)勾股定理得出02=6,再由AAB。絲△8CE,進(jìn)而求出點(diǎn)C

的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

(2)依據(jù)題意，由CE=OB=6,再結(jié)合AECE面積為12,從而尸到CE的距離為4,又C的縱坐標(biāo)為

2,故廠的縱坐標(biāo)為6或-2,進(jìn)而代入反比例函數(shù)解析式可以得解.

【解答】解：(1))VA(-8,0),

；.。4=8.

在R3AOB中，AB=10,根據(jù)勾股定理得，02rAB2_0A2==]Q2_82=6,

：.B(0,-6).

:四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC,ZABC=90°.

ZABO+ZCBE^9Q°.

軸，

AZB￡C=90°.

；./CBE+/BCE=9Q。.

：.ZABO=ZBCE.

：.(A4S).

:.CE=OB=6,BE=OA=8.

：.OE=BE-OB=2.

：.C(6,2).

?.?反比例函數(shù)數(shù)>=(際0)的圖象過點(diǎn)。(6,2),

???左=6x2=12.

所求反比例函數(shù)的解析式為

X

(2)由題意，VCE—OB—6,SAECF=^CE?h=12，

；.〃=4,即從而F到CE的距離為4.

又C的縱坐標(biāo)為2,

二一的縱坐標(biāo)為6或-2.

又產(chǎn)在反比例函數(shù)上，

x

的橫坐標(biāo)為2或-6.

：.F(2,6)或(-6,-2).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，解題時(shí)需要熟練掌握并理解是關(guān)鍵.

15.(2023?興寧市校級(jí)一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形A8C。是平行四邊形，B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)

分別為(-4,0),(-1,0).點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為4,C￡>邊與y軸交于點(diǎn)尸.反比例函數(shù)>=為(x>0)的

x

圖象經(jīng)過點(diǎn)。，反比例函數(shù)y=N(x<0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,且與A8交于點(diǎn)E.

x

(1)求反比例函數(shù)y=K(x<0)的表達(dá)式；

X

(2)連接跖，猜想四邊形AE尸。是什么特殊四邊形，并加以證明.

【分析】(1)由題意可得，D(2,4).由四邊形ABC。是平行四邊形可知，AD//BC,AD=BC,所以AO

=3,A,。兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)比點(diǎn)。的橫坐標(biāo)少3,則A(-l,4),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入

反比例函數(shù)解析式可得出結(jié)論;

(2)四邊形AE9是平行四邊形.由點(diǎn)48的坐標(biāo)可得，直線A2的解析式為：y=2x+K.聯(lián)立反

33

比例函數(shù)和直線的表達(dá)式可得，E(-3,A).由C(-1,0),D(2,4),可得直線CD的解析式

3

為：y=4x+a,所以尸(0,A),￡(-3,A),所以EP〃x軸〃〃無軸，EF=AD=3,由平行四邊形

3333

的判定可知，四邊形AETD是平行四邊形.

【解答】解：(1):點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為4,點(diǎn)。在反比例函數(shù)y=B(x>0)的圖象上，

X

???當(dāng)y=4時(shí)，旦=4,解得x=2,

x

：.D(2,4).

(-4,0),C(-1,0).

：.BC=3,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC,

.*.AD=3,A,。兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)比點(diǎn)。的橫坐標(biāo)少3,

AA(-1,4),

???反比例函數(shù)y=K(x<0)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,4)；

x

:?k=-4,

反比例函數(shù)y=K(x<0)的表達(dá)式為：y=-A(x<0).

XX

(2)四邊形AEO是平行四邊形.證明如下：

設(shè)直線的解析式為：y=mx+b,

VA(-1,4),B(-4,0),

f4

z,m=^

.「m+b=4,解得3

I-4m+b=0i16

|b-3

直線A8的解析式為：y=4x+K.

33

令4乂+生=--,解得尤=-1或％=-3,

33x

：.E(-3,A).

3

VC(-1,0),D(2,4),

.?.直線CD的解析式為：y=4x+4,

33

令x=0,得y=4,

3

：.F(0,A),

3

,：E(-3,A),

3

.?.EF〃x軸,EF=3,

：AO〃x軸，AD=3,

：.EF//AD,EF=AD,

四邊形AEFD是平行四邊形.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，平行四邊形的性質(zhì)與判

定等相關(guān)知識(shí)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

16.（2022?易縣三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AAB。的邊AB垂直x軸于點(diǎn)8,反比

例函數(shù)y支（x>0）的圖象經(jīng)過A。的中點(diǎn)C,與邊A2相交于點(diǎn)。，若。的坐標(biāo)為（4,m）,AD=3.

（1）反比例函數(shù)y上的解析式是y=4；

XX

（2）設(shè)點(diǎn)E是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E且平行y軸的直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)R則方面

積的最大值是工.

【分析】（1）先確定出點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)C坐標(biāo)，將點(diǎn)C,。坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中即可得出結(jié)論；

（2）由機(jī)=1,求出點(diǎn)C,。坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出經(jīng)過C、。兩點(diǎn)的直線的解析式，設(shè)出點(diǎn)E坐

標(biāo)，進(jìn)而表示出點(diǎn)尸坐標(biāo)，即可建立面積與〃的函數(shù)關(guān)系式即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）,：AD=3,D（4,加，

,\A(4,m+3),

:點(diǎn)C是。4的中點(diǎn),

：.C(2,

2

?..點(diǎn)C,。在雙曲線y=K上,

x

'4m=k

.fk=4

,,晨=1

???反比例函數(shù)解析式為y=&；

X

故答案為：y——-,

x

(2)?.加=1,

：.C(2,2),D(4,1),

設(shè)直線CD的解析式為y^ax+b,

.[2=2a+b

Il=4a+b

'一1

A-"E

b=3

.?.直線CD的解析式為y=-lx+3,

如圖，設(shè)點(diǎn)E(%-L?+3),

：.2<n<4,

,：EF//y軸交雙曲線y=§于F,

X

：.F(%A),

n

EF=~—n+3~,

2n

SAOEF=—(--n+3--)xn=—(-—；!2+3/z-4)=-—(?-3)2+—,

22n2244

V2<n<3,

；."=3時(shí)，SAOEF最大，最大值為工，

故答案為：-1.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解本題的關(guān)鍵是建

立SAOEF與n的函數(shù)關(guān)系式.

17.（2022?西寧）如圖，正比例函數(shù)y=4x與反比例函數(shù)y=K（尤>0）的圖象交于點(diǎn)A（a,4）,點(diǎn)B在反

x

比例函數(shù)圖象上，連接A3,過點(diǎn)B作8（7，無軸于點(diǎn)C（2,0）.

（1）求反比例函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)。在第一象限，且以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】（1）先求。，再求解析式.

（2）數(shù)形結(jié)合，利用平行四邊形的性質(zhì)求。的坐標(biāo).

【解答】解：（1）.正比例函數(shù)y=4無與反比例函數(shù)丫=霆（x>0）的圖象交于點(diǎn)A（.a,4）,

x

??4=4。，

??1,

AA(1,4),

：.k=4xl=4.

反比例函數(shù)的表達(dá)式為：

（2）當(dāng)尤=2時(shí)，y———2,

2

：.B（2,2）.

：.BC=2.

在第一象限，以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC=2,

無軸，

：.D的坐標(biāo)為（1,2）或（1,6）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查求反比例函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握待定系數(shù)法，充分利用平行四邊形性質(zhì)是求解

本題的關(guān)鍵.

五.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共9小題）

18.（2023?立山區(qū)一模）如圖，直線"＞0）與雙曲線〉=9交于A,8兩點(diǎn)，若A（2,機(jī)），則點(diǎn)8

的坐標(biāo)為（）

A.（2,2）B.（-2,-1）C.（-2,-2）D.（-1,-4）

【分析】利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)A、8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可解決問題.

【解答】解：：點(diǎn)A（2,機(jī)）在＞=屋上，

x

??機(jī)=2,

AA（2,2）

VA,B關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，

：.B（-2,-2）.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，理解4B關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱.

19.（2023?思明區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=x+:"（機(jī)＜0）與雙曲線相

交于點(diǎn)A,8,點(diǎn)A在第一象限，延長A。與已知雙曲線交于點(diǎn)C,連接8C,若OA=1,直線AC與x軸

所夾的銳角為15。，貝!UA8C的面積為()

A.1B.2C.近D.—

22

【分析】根據(jù)題意作出圖形，可得點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，連接。3,AOBC和

△OAB的面積相等，過點(diǎn)A作AELx軸于點(diǎn)E,設(shè)直線48與無軸交于點(diǎn)D,可得NZME=45。，

由對(duì)稱可知，OA=OB=1,所以NO8A=/OAB=30。，ZOBC=60°,過點(diǎn)8作BF_LAC于點(diǎn)尸，求出

△OAB的面積即可得出結(jié)論.

【解答】解：由反比例函數(shù)和一次函數(shù)的對(duì)稱性可知，點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

連接OB,XOBC和AOAB的面積相等.

過點(diǎn)A作AELx軸于點(diǎn)E,設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)D

,*.D(-m,0),

設(shè)AE=t,則x+m=t,

.\x=t-m,即OE=t-m,

；.DE=t,

：.AE=DEf

???△AOE是等腰直角三角形，即NAOE=ND4E=45。，

由題意可知，ZAOE=15°,

：.ZOAB=30°,

由對(duì)稱可知，0A=03=1,

：.ZOBA=ZOAB=30°,

：.ZOBC=60°,

過點(diǎn)5作即」AC于點(diǎn)R

OF=^,BF=\/3OF=J^-,

22

/.SAOAB=」?CM?BF=』X1X1_=1_,

2224

SAABC=2S&0AB=-.

2

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是得出AOAB與A08C的面積相等，

屬于中考?？碱}型.

20.(2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬)如圖，矩形A8CD的對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)E,無軸于點(diǎn)8,AC所在

直線交無軸于點(diǎn)R點(diǎn)A、E同時(shí)在反比例函數(shù)y=K(x<0)的圖象上，已知直線AC的解析式為>=旦

X4

x+b,矩形A3C0的面積為120,則女的值是()

A.-20B.C.-40D.二旦

23

【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)設(shè)AC與y軸交于點(diǎn)G,根據(jù)題意可知，AEAMS^EFB,&GOFS

△EBF,可得EM：AF=EB；FB=GO-FO,由直線AC的解析式為y=[x+b,可得G(0,b),F(-

國b,0),貝！|OG=b,OF=-^b,所以EM：AF=GO：FO=3,設(shè)EM=3a,則AM=4a,由矩形的性

334

質(zhì)可得AE=EB=5a,根據(jù)矩形ABC。的面積為120,列出方程，可得/=3；根據(jù)題意，點(diǎn)A,E同時(shí)

在反比例函數(shù)y=K(x<0)的圖象上，則￡(旦，5a),A(」L-4a,5a-3a),即A(K-4a,2a),

x5a5a5a

所以左=（*--4（z）?2a,由此可得結(jié)論.

5a

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)設(shè)AC與y軸交于點(diǎn)G,

：.AM//FB,DB//GO,

：.AEAMsAEFB,AGOFsAEBF,

:.EM：AM=EB：FB,GO：FO=EB：FB,

：.EM：AM=GO：FO,

;直線AC的解析式為y=^c+b,

：.G(0,b),F(-匡b,0),

3

：.OG=b,OF=-生b,

3

:.EM：AM^GO：FO=—,

4

設(shè)EM=3a,則AM=4。,

；?EF=5a,

???四邊形ABC。是矩形，

：.AC=BD,

.\AE=EB=5a,

??,矩形ABC。的面積為120,

/.2XABZ)?AF=120,即10a?4a=120,

2

解得/=3,

根據(jù)題意，點(diǎn)A,E同時(shí)在反比例函數(shù)y=K(x<0)的圖象上,

X

貝5a),A(JL-4a,5a-3a),即A(工-4a,2a).

5a5a5a

'.k—(，一-4a)?2a,

5a

2

解得k=-40a-=-40.

3

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，

矩形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

21.(2023秋?錦江區(qū)校級(jí)期中)如圖，直線y=-^x+3的圖象與>軸交于點(diǎn)4直線y=&+k(左>0)與x軸

交于點(diǎn)8,與丫=工*+3的圖象交于點(diǎn)與y=殳(x>0)的圖象交于點(diǎn)心當(dāng)SAAB”：SAAMC=5：3時(shí)，

4x

【分析】過點(diǎn)M作MELx軸于E,過C作CFLx軸于F,由AABM于△ACM同高，且SAABM：SAAMC=

5：3,得BM：CM=5：3,進(jìn)而可得BM：BC=5：8,證ABMEs^BCF,得BE：BF=ME：CF=5：8,

設(shè)BE=5f,BF=8t,求出點(diǎn)8(-1,0),則OE=5-1,OF=8t-1,據(jù)此可分別求出點(diǎn)M,C的坐標(biāo)，

從而得“石=且(t-1),CF=—^—,再根據(jù)ME：CF=5：8,得二^(r-1)：二—=5：8,由此

48t-l48t-l

解出/2=工，當(dāng)r=5時(shí)得點(diǎn)C(4,9),將點(diǎn)C代入y=fcv+無即可求得上的值；當(dāng)上上時(shí)得點(diǎn)

82842

C(3,3),將點(diǎn)C代入y=fcv+x即可求得上的值.

【解答】解：過點(diǎn)M作ME,無軸于E,過C作C尸，x軸于E如圖所示：

?「△ABA/于△ACM同高，且S^AMC=5：3,

：.BM：CM=5：3,

：.BM：BC=5：8,

???ME_Lx軸，W_Lr軸，

：.ME//CF,

:.ABMEsABCF,

：.BE：BF=ME：CF=5：8,

???設(shè)BE=5t,BF=8t,

對(duì)于y=fcv+左(左＞0),當(dāng)y=0時(shí)，kx+k—Q,解得x=-l,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,0),

：.OB=1,

：.OE=BE-OB=5t-1,OF=BF-OB=St-1,

???點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：5L1,點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為8L1,

點(diǎn)M在直線y=一1尤+3上，

.,.點(diǎn)M的縱坐標(biāo)丫=4(5f-1)+3=(f-1),

即ME=(r-1),

4

:點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=g■的圖象上，

X

二?點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y=--—,

8t-l

,:ME：CF=5：8,

1）：—5—=5：8,

48t-l

整理得：16?-18r+5=O,

解得:tl=—,t2=—,

82

當(dāng)片立時(shí)，8t-1=4,、—=空,

88t-l4

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,9）,

4

?.?點(diǎn)C在直線y=fcc+x上,

.".-=4k+k,解得：k=-^-,

420

當(dāng)/=」時(shí)，8/-1=3,—^—=3

28t-l

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,3）,

?.?點(diǎn)C在直線y=fcc+x上,

：.3=3k+k,解得：k=3.

4

綜上所述：左的值為工或旦.

204

故答案為：且或色.

204

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，相似三角形的判定及性質(zhì)，理解題意，靈活運(yùn)

用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

22.（2023?荊州）如圖，點(diǎn)A（2,2）在雙曲線y=K（尤＞0）上，將直線。4向上平移若干個(gè)單位長度交y

X

軸于點(diǎn)8,交雙曲線于點(diǎn)C.若BC=2,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是_（近,2叵）

【分析】由題意，點(diǎn)A（2,2）,貝尤=45。，同時(shí)可得雙曲線解析式，再作。//口軸，作BGLCH,

可得NC8G=45。，又8c=2,再結(jié)合雙曲線解析式可以得解.

【解答】解：：點(diǎn)A（2,2）在雙曲線y=K（尤＞0）上，

：.2=—

2

/.fc=4.

，雙曲線解析式為y=4.

X

如圖，作軸，CH_Lx軸，作8G_LC",垂足分別為。、H、G.

VA(2,2),

：.AD=OD.

：.ZAO￡>=45°.

???ZAOB=45°.

9：OA//BC,

AZCBO=180°-45°=135°.

AZCBG=135°-90°=45°.

:?NCBG=/BCG.

,:BC=2,

:?BG=CG=?

???c點(diǎn)的橫坐標(biāo)為泥.

又C在雙曲線y=4上，

x

：.C（V2-2V2）.

故答案為：（五,2近）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，需要熟練掌握并理解.

23.（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）若一次函數(shù)y=2r-1的圖象與反比例函數(shù)y上（x>0）的圖象相交于點(diǎn)（。，

3）,則:=6.

【分析】利用一次函數(shù)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)中求出左值.

【解答】解：???一次函數(shù)y=2x-1的圖象與反比例函數(shù)y上晨>0）的圖象相交于點(diǎn)（。，3）,

令y=3,代入一次函數(shù)中，

解得x=2,

；?交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3）.

將交點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式中，

解得上=2x3=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題以一次函數(shù)和反比例函數(shù)交點(diǎn)為背景，考查了函數(shù)圖象的性質(zhì)，難度較小，解決問題的關(guān)

鍵就是求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

24.（2023?鳳凰縣模擬）如圖，反比例函數(shù)y=3?的圖象與正比例函數(shù)＞=—的圖象交于A（a,1）、8兩

x

點(diǎn).點(diǎn)a）在反比例函數(shù)圖象上，連接。W,交y軸于點(diǎn)N.

（1）求反比例函數(shù)的解析式.

（2）求△80M的面積.

【分析】（1）由點(diǎn)A（a,1）,M（A-3,a）是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，可得上（a-3）,解得

。=4或a=0（舍去），所以。-3=1,所以反比例函數(shù)的解析式為y=段.