2023年九年級下冊圓知識點總結

圓

1.圓的認識

(1)以點。為圓心的圓叫作“圓0”，記為“。0”。

(2)線段0A、OB、0C都是圓的半徑，線段AC為直徑。

(3)連結圓上任意兩點之間的線段叫做弦。直徑是圓中最長的弦。

(4)圓上任意兩點間的部分叫做弧。

不不小于半圓周的圓叫做劣弧。不小于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧。

(5)圓心角：頂點在圓心，兩邊與圓相交的角叫做圓心角。如NAOB.NAOC.NB0C就是圓心角。

2.圓的對稱性

(1)圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。

圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。

(2)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

(2)弦的垂直平分線通過圓心，并且平分弦所對的兩條??；

(3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

以上共4個定理，簡稱2推3定理:此定理中共5個結論中，只要懂得其中2個即可推出其他3個結

論，即：①是直徑②③④弧弧⑤弧弧

中任意2個條件推出其他3個結論。

00

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。―V/A；

即：在。中，,///.?.弧弧

3.圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等,

弦心距相等。即：①；②；③；④弧弧

上述四個結論中，只要懂得其中的1個相等，則可以推出其他的3個結論,

4.圓周角

(1)圓周角：頂點在圓上，兩邊與圓相交的角叫做圓周角。

(2)半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°(直角)。90°的圓周角所對的弦是圓的直徑。

(3)同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的二分之一。

(4)同弧(或等弧)所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧相等。

(5)若三角形一邊上的中線等于這邊的二分之一，那么這個三角形是直角三角形。

即：在4中，V

△ABC是直角三角形或NC=90。

注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的二分之一的

逆定理。

5.點與圓的位置關系

設。。的半徑為r,點圓心0的距離為d,則

(1)點在圓外od>r

(2)點在圓上od=r

(3)點在圓內(nèi)od<r

6.(1)過一點可以畫無數(shù)個圓；

過兩點可以畫無數(shù)個圓，圓心在兩點連線的垂直平分線上；

過不在同一條直線上的三個點可以確定一種圓。

(2)三角形的外接圓：通過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，三角形外接圓的圓心叫做

這個三角形的外心。這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平

分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等。

(3)一種三角形的外接圓是唯一的。

7.直線與圓的位置關系

(1)假如一條直線與一種圓沒有公共點，那么就說這條直線與這個圓相離。

(2)假如一條直線與一種圓只有一種公共點，那么就說這條直線與這個圓相切。此時這條直線叫

做圓的切線，這個公共點叫做切點.

(3)假如一條直線與一種圓有兩個公共點，那么就說這條直線與這個圓相交，此時這條直線叫做

圓的割線.

如上圖，設。0的半徑為r,圓心0到直線1時距離為d,從圖中可以看出:

若d>rO直線/與。。相離；

若d=r<=>直線/與。。相切；

若d<r。直線，與?0相交；

8.切線

(1)鑒定定理：通過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

即：???且過半徑外端二是。的切線

證明切線常用的措施：1.連半徑，證垂直；2.作垂直，證半徑。

(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于通過切點的半徑。

即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中懂得其中兩個條件就能推出最終一種。

(3)切線長：切線上某一點與切點之間的線段時長.

性質(zhì)：從圓外一點可以引圓的兩條切線，切線長相等，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角。

即：：、是的兩條切線???，平分.

(4)三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做這個三角形

的內(nèi)切圓。三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心。這個三角形叫做這個圓的外切三角形，三角

形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等。

9.圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.

即：在。中，?.?四邊形是內(nèi)接四邊形

AZC+ZBAD=180°ZB+ZD=180°

10.圓和圓的位置關系

1)兩個圓沒有公共點，那么就說兩個圓相離，其中(1)又叫做外離，(2)、(3)又叫做內(nèi)含。(3)

中兩圓的圓心相似，這兩個圓還可以叫做同心圓。

2)假如兩個圓只有一種公共點，那么就說這兩個圓相切，如其中(4)又叫做外切，(5)又叫做內(nèi)

切。

3)假如兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交，如(6)所示。

(1)兩圓外離+J

(2)兩圓外切od=R+j

(3)兩圓外離0火一r<2<尺+J

a

(4)兩圓外離=R-j

(5)兩圓外離O0Wd<R—r

11.圓內(nèi)正多邊形的計算

(1)正三角形在。中^是正三角形,在中進行：；

(2)正四邊形：

(3)正六邊形AB:OB:OA=l：s/3:2.

12.圓中的計算問題

(1)弧長的計算公式為：

(2)扇形：由構成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形。

扇形面積的計算公式：

:圓心角：扇形多對應Btl圓的半徑：扇形弧長：扇形面積

(3)圓錐的母線：把圓錐底面圓周上的任意一點與圓錐頂點的連線叫做圓錐的母線。

圓錐的高：連結頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高.

(4)圓錐的底