四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題理含解析

PAGE17-四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題理（含解析）一、選擇題（每題5分，共60分）1.的值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】視察角度并變形，利用兩角和與并公式計(jì)算.【詳解】.故選：A【點(diǎn)睛】考查了誘導(dǎo)公式和兩角和與差公式的逆用，屬于簡(jiǎn)潔題.2.(1＋tan18°)·(1＋tan27°)的值是()A. B.1＋ C.2 D.2(tan18°＋tan27°)【答案】C【解析】,故選C3.已知，，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】視察角度之間的聯(lián)系得，再用兩角差的正弦公式計(jì)算.【詳解】由，又，則，則,則.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了角變換技巧和兩角和與差公式，屬于簡(jiǎn)潔題.4.下面說(shuō)法正確的是（）A.平面內(nèi)的單位向量是唯一的B.全部單位向量的終點(diǎn)的集合為一個(gè)單位圓C.全部的單位向量都是共線(xiàn)的D.全部單位向量的模相等【答案】D【解析】【分析】利用單位向量的概念：模為1的向量為單位向量，逐一分析推斷.【詳解】對(duì)A：?jiǎn)挝幌蛄坑卸鄶?shù)個(gè)，錯(cuò)誤；對(duì)B：?jiǎn)挝幌蛄康钠瘘c(diǎn)不肯定在同一點(diǎn)，終點(diǎn)的集合不肯定是一個(gè)單位圓，錯(cuò)誤；對(duì)C：?jiǎn)挝幌蛄康姆较虿豢隙ㄏ嗤蛳喾?，故C錯(cuò)誤；對(duì)D:由單位向量的定義，正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)單位向量概念的理解，屬于簡(jiǎn)潔題.5.在中，是的中點(diǎn)，則()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的加減運(yùn)算和中線(xiàn)向量的表示，計(jì)算可得所求向量.【詳解】在中，為邊上的中線(xiàn)，為的中點(diǎn)，所以，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問(wèn)題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有向量的加減運(yùn)算法則，以及向量共線(xiàn)時(shí)的表示方法，再有就是中線(xiàn)向量的表示，屬于簡(jiǎn)潔題目.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將問(wèn)題中的角看作未知角，條件中的角看作已知角，由未知角與已知角的關(guān)系，可以用已知角表示未知角，然后通過(guò)利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值.【詳解】因，又因?yàn)?，所以，則有故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的求解問(wèn)題，屬于給值求值類(lèi)型，經(jīng)常利用角的關(guān)系對(duì)問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用相關(guān)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式以及二倍角公式進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題.7.若，則=（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】分析】將所求的關(guān)系式的分母“1”化為（cos2α+sin2α），再將“弦”化“切”即可得到答案．【詳解】tanα，∴cos2α+2sin2α．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，“弦”化“切”是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．8.下列各式中，不正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)分別運(yùn)用兩角和差公式，角變換技巧,協(xié)助角公式，降次公式等變形推斷正誤.【詳解】對(duì)A：由，得，A正確；對(duì)B：，B正確對(duì)C：，C錯(cuò)誤.對(duì)D:，D正確故選：C【點(diǎn)睛】本題綜合考查了兩角和差公式，角變換技巧,協(xié)助角公式，降次公式等的應(yīng)用.9.已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)意，則為A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】由向量的減法法則，將題中等式化簡(jiǎn)得，進(jìn)而得到，由此可得以為鄰邊的平行四邊形為矩形，得的形態(tài)是直角三角形?！驹斀狻恳?yàn)?，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由此可得以為鄰邊的平行四邊形為矩形，所以，得的形態(tài)是直角三角形?！军c(diǎn)睛】本題給出向量等式，推斷三角形的形態(tài)，著重考查平面對(duì)量的加法、減法法則和三角形的形態(tài)推斷等學(xué)問(wèn)。10.如圖在△ABC所在平面上有一點(diǎn)P，滿(mǎn)意＋＋＝，則△PAB與△ABC的面積之比是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】解：∵＋＋＝，∴＋＋-=，即＋＋+=∴＋+=，2+=，∴點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上，且|AC|=3|PA|那么△PAB的面積與△ABC的面積之比是．故選A．11.如圖所示，兩個(gè)不共線(xiàn)向量的夾角為，分別為與的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：由題意，設(shè)，則＝＝，所以，所以，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選B．考點(diǎn)：1、平面對(duì)量的加減運(yùn)算；2、向量共線(xiàn)．12.聞名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同始終線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線(xiàn)被稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)，該定理則被稱(chēng)為歐拉線(xiàn)定理．設(shè)點(diǎn)，分別是△的外心、垂心，且為中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造符合題意的特別三角形（例如直角三角形），然后利用平面對(duì)量的線(xiàn)性運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖所示的，其中角為直角，則垂心與重合，為的外心，，即為斜邊的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，為中點(diǎn)，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量的線(xiàn)性運(yùn)算，以及三角形的三心問(wèn)題，同時(shí)考查學(xué)生分析問(wèn)題的實(shí)力和推理論證實(shí)力．二、填空題(每題5分，共20分)13.若，則________．【答案】【解析】【分析】先由二倍角公式將化為，再依據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，熟記公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.14.定義運(yùn)算，若，，，則__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題干定義得到，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到：，，代入式子：得到結(jié)果.【詳解】依據(jù)題干得到，，，，代入上式得到結(jié)果為：故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角差的正弦公式的應(yīng)用，以及同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，特別角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，難度中等.15.設(shè)，，且，，則的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)題意可求，，又，，可求，，又，依據(jù)兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果.【詳解】由，所以，因?yàn)?，所?又，所以又，所以；所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及兩角和的正弦公式，本題屬于中檔題.16.已知點(diǎn)在內(nèi)，且滿(mǎn)意，設(shè)、、的面積依次為、、，則______．【答案】【解析】【詳解】因?yàn)?，所以，所以．三、解答題17.已知為銳角，（1）求的值（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由α為銳角，，由同角關(guān)系可得和，再依據(jù)正切的二倍角公式即可求出的值；（2）由于，利用兩角差的正切公式即可求出，再依據(jù)同三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，最終利用兩角差的正弦公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由α為銳角，，得.所以所以（2）由題意及同三角函數(shù)的基本關(guān)系可得所以.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)同角的基本關(guān)系，以及兩角差的正弦和正切公式，以及正切的二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線(xiàn).（1）若，，，求證：三點(diǎn)共線(xiàn).（2）試確定實(shí)數(shù)k，使和反向共線(xiàn).【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用向量共線(xiàn)定理，證得與共線(xiàn)，即可得證；（2）由題意可得存在實(shí)數(shù)，使，綻開(kāi)后，運(yùn)用方程思想，即可得到所求值．【詳解】（1）證明：∵，，，∴.∴、共線(xiàn)，又∵它們有公共點(diǎn)，∴、、三點(diǎn)共線(xiàn)（2）∵與反向共線(xiàn)，∴存在實(shí)數(shù)，使即，∴∵，是不共線(xiàn)兩個(gè)非零向量，∴，∴，∴，∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查向量共線(xiàn)定理的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．19.已知函數(shù)圖象的一部分如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，求值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖象可得，由周期公式可求，從而可求函數(shù)的解析式；（2）由，可求，又由，可求，結(jié)合角的范圍可求，由兩角差的正弦函數(shù)公式即可得解．【詳解】（1）由圖象可知，（2），

又.

.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由的部分圖象確定其解析式，兩角差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基本學(xué)問(wèn)的考查．20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)且時(shí)，的值域是，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）首先利用三角恒等變形公式將函數(shù)化為的形式，再由，解出x的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由，得到，進(jìn)而得到，從而由（1）所得式子，可用a、b將函數(shù)的最小值及最大值，取立得方程組，解之即可求得a、b的值.試題解析：（1），，為所求（2），，∴考點(diǎn)：1、三角函數(shù)的性質(zhì)；2、三角函數(shù)的圖象的應(yīng)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，用換元法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，已知函數(shù)的最大值及最小值求其中字母參數(shù)的值，這是學(xué)生的難點(diǎn)，是三角函數(shù)求最值的逆向過(guò)程.不留意已知中的是本題的易錯(cuò)點(diǎn).21.如圖，是一塊半徑為，圓心角為的扇形空地.現(xiàn)確定在此空地上修建一個(gè)矩形的花壇，其中動(dòng)點(diǎn)在扇形的弧上，記.

(1)寫(xiě)出矩形的面積與角之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)角取何值時(shí)，矩形的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.【答案】（1）（2）時(shí)，S取得最大值【解析】【分析】先把矩形的各個(gè)邊長(zhǎng)用角表示出來(lái)，進(jìn)而表示出矩形的面積，即可得到答案化簡(jiǎn)函數(shù)，利用角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求矩形面積的最大值【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，，所以，（Ⅱ）因?yàn)?，所以所以?dāng)，即時(shí)，矩形CDEF的面積S取得最大值【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用三角函數(shù)解答矩形面積，關(guān)鍵是用含有的表達(dá)式來(lái)表示出矩形的長(zhǎng)和寬，在表示過(guò)程中運(yùn)用三角函數(shù)解三角形，在求最值時(shí)將其轉(zhuǎn)化為用協(xié)助角化簡(jiǎn)題，然后求解，此類(lèi)題目解答的方法還是須要駕馭．22.如圖所示，在中，，，與相交于點(diǎn)，設(shè)，.（1）試用向量，表示；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，分別交線(xiàn)段，于點(diǎn)，.記，，求證：為定值.【答案】(1).(2)證明見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）由，，三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，由，，三點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)，列出方程組，即可求解的值，得到結(jié)論；（2）由，