課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2024高考數(shù)學(xué)專題十五坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題理

PAGEPAGE23專題十五坐標(biāo)系與參數(shù)方程挖命題【真題典例】【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)料熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點1.極坐標(biāo)方程能在極坐標(biāo)中用極坐標(biāo)表示點的位置,能通過極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化探討曲線的性質(zhì)2024課標(biāo)Ⅱ,22,10分極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化軌跡問題、三角函數(shù)求面積最值★★★2024課標(biāo)Ⅰ,23,10分極坐標(biāo)方程求參數(shù)2024課標(biāo)Ⅱ,23,10分極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化三角函數(shù)求最值2.參數(shù)方程了解參數(shù)方程及參數(shù)的意義,能借助于參數(shù)方程與一般方程的互化進(jìn)一步探討曲線的性質(zhì)2024課標(biāo)Ⅱ,22,10分參數(shù)方程與一般方程互化直線的斜率★★★2024課標(biāo)Ⅰ,23,10分參數(shù)方程三角函數(shù)求最值分析解讀從近5年的高考狀況來看,本專題內(nèi)容始終是高考命題的熱點,以解答題的形式出現(xiàn),分值為10分.主要考查極坐標(biāo)(方程)與直角坐標(biāo)(方程)的互化,參數(shù)方程與一般方程的互化以及參數(shù)方程的應(yīng)用,尤其是利用橢圓、圓的參數(shù)方程求最值及利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求值是高考考查的重點.解題時,應(yīng)熟記互化公式和互化方法,奇妙設(shè)取參數(shù),充分利用轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的指導(dǎo)作用.破考點【考點集訓(xùn)】考點一極坐標(biāo)方程1.(2024四川德陽模擬,22)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ.以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是x=(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程,將直線l的參數(shù)方程化成一般方程;(2)當(dāng)m=0時,直線l與曲線C異于原點O的交點為A,直線θ=-π3解析(1)曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ.轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4x.直線l的參數(shù)方程為x=轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為y=x-m.(2)當(dāng)m=0時,A22,π所以S△AOB=12×2×22sinπ3+2.(2024福建福州四校期末聯(lián)考,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=2+cosα,y=2+sin(1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程;(2)若直線C2與曲線C1交于A,B兩點,求1|OA|解析(1)由曲線C1的參數(shù)方程為x=2+cosα,y=2+sinα(α為參數(shù))得曲線C1的則C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,由于直線C2過原點,且傾斜角為π3,故其極坐標(biāo)方程為θ=π(2)由ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,θ=π3得ρ2-(23∴1|OA|+1|OB|=考點二參數(shù)方程1.(2024四川達(dá)州模擬,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l:x=22(1)求l的一般方程和C的直角坐標(biāo)方程;(2)已知M(0,-1),求|MA|·|MB|的值.解析(1)直線l的參數(shù)方程為x=轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為x-y-1=0.曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ2-6ρcosθ+1=0,轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-6x+1=0.(2)把直線l的參數(shù)方程x=22t,y=-1+22t(t為參數(shù))代入x則|MA|·|MB|=|t1·t2|=2.2.(2024河北衡水中學(xué)期末,22)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l與橢圓C的極坐標(biāo)方程分別為cosθ+2sinθ=0,ρ2=4co(1)求直線l與橢圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)若點Q是橢圓C上的動點,求點Q到直線l的距離的最大值.解析(1)cosθ+2sinθ=0?ρcosθ+2ρsinθ=0?x+2y=0.ρ2=4cos2θ+4sin2θ?ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4?x2所以直線l與橢圓C的直角坐標(biāo)方程分別為x+2y=0,x24+y(2)因為橢圓C:x24+y2=1的參數(shù)方程為因此點Q到直線l:x+2y=0的距離d=|2cosθ+2sin所以當(dāng)θ+π4=kπ+π即θ=kπ+π4(k∈Z)時,d取最大值2煉技法【方法集訓(xùn)】方法1極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法(2024河南濮陽一模,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)過原點O的直線l1,l2分別與曲線C交于除原點外的A,B兩點,若∠AOB=π3解析(1)曲線C的一般方程為(x-3)2+(y-1)2=4,即x2+y2-23x-2y=0,所以,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-23ρcosθ-2ρsinθ=0,即ρ=4sinθ+(2)不妨設(shè)A(ρ1,θ),Bρ2,θ+則ρ1=4sinθ+π3,ρ2△AOB的面積S=12|OA|·|OB|sin=12ρ1ρ2sinπ3=43sinθ=23cos2θ+3≤33.所以,當(dāng)θ=0時,△AOB的面積取最大值33.方法2參數(shù)方程與一般方程的互化方法(2024河北五個一名校其次次聯(lián)考,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1過點P(a,1),其參數(shù)方程為x=a+2t(1)求曲線C1的一般方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;(2)已知曲線C1與曲線C2交于A,B兩點,且|PA|=2|PB|,求實數(shù)a的值.解析(1)∵曲線C1的參數(shù)方程為x=a+2t∵曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ+4cosθ-ρ=0,∴ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,又ρcosθ=x,ρ2=x2+y2,∴x2+4x-x2-y2=0,即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2=4x.(2)設(shè)A,B兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,由y2=4x,x=則Δ=(-22)2-4(2-8a)>0,即a>0,∴t依據(jù)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,∴由|PA|=2|PB|得t1=2t2或t1=-2t2,∴當(dāng)t1=2t2時,有t解得a=136>0,符合題意;當(dāng)t1=-2t2時,有解得a=94>0,符合題意.綜上所述,a=136或a=過專題【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點一極坐標(biāo)方程1.(2024課標(biāo)Ⅱ,22,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4.(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿意|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為2,π3解析本題考查極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用.(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標(biāo)為(ρ1,θ)(ρ1>0).由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cos由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρB,α)(ρB>0).由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面積S=12|OA|·ρB=4cosα·sinα-π3=2當(dāng)α=-π12時,S取得最大值2+3.所以△OAB面積的最大值為2+32.(2024課標(biāo)Ⅰ,22,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程.解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知,C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點.當(dāng)l1與C2只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0,經(jīng)檢驗,當(dāng)k=0時,l1與C2沒有公共點;當(dāng)k=-43時,l當(dāng)l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.經(jīng)檢驗,當(dāng)k=0時,l1與C2綜上,所求C1的方程為y=-43方法總結(jié)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化技巧(1)巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ或同時平方技巧,將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,然后利用公式代入化簡得到直角坐標(biāo)方程.(2)巧借兩角和差公式,轉(zhuǎn)化成ρsin(θ+α)或ρcos(θ+α)的形式,進(jìn)而利用互化公式得到直角坐標(biāo)方程.(3)將直角坐標(biāo)方程中的x轉(zhuǎn)化為ρcosθ,將y轉(zhuǎn)化為ρsinθ,即可得到極坐標(biāo)方程.考點二參數(shù)方程1.(2024課標(biāo)Ⅱ,22,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ,(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.解析(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x24+當(dāng)cosα≠0時,l的直角坐標(biāo)方程為y=tanα·x+2-tanα,當(dāng)cosα=0時,l的直角坐標(biāo)方程為x=1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi),所以①有兩個解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0.又由①得t1+t2=-4(故2cosα+sinα=0,于是直線l的斜率k=tanα=-2.注:因為在教材中,參數(shù)方程與一般方程對應(yīng),極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程對應(yīng),所以本題中的“直角坐標(biāo)方程”更改為“一般方程”更合適.方法總結(jié)以角θ為參數(shù)的參數(shù)方程,一般利用三角函數(shù)的平方關(guān)系:sin2θ+cos2θ=1將參數(shù)方程化為一般方程;而弦的中點問題常用根與系數(shù)的關(guān)系或點差法進(jìn)行整體運算求解.2.(2024課標(biāo)Ⅲ,22,10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,☉O的參數(shù)方程為x=cosθ,(1)求α的取值范圍;(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.解析本題考查參數(shù)方程與一般方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系.(1)☉O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1.當(dāng)α=π2時,l與☉O交于兩點.當(dāng)α≠π2時,記tanα=k,則l的方程為y=kx-2.l與☉O交于兩點當(dāng)且僅當(dāng)21+k2<1,解得k<-1或k>1,即α∈π(2)l的參數(shù)方程為x=設(shè)A,B,P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=tA+tB2,且tA,tB滿意t2-22tsinα+1=0.于是tA+tB=22sinα,tP=2sinα.又點P的坐標(biāo)(x,y)易錯警示簡單忽視直線斜率不存在的情形.B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點一極坐標(biāo)方程1.(2024北京,10,5分)在極坐標(biāo)系中,直線ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)與圓ρ=2cosθ相切,則a=.

答案1+22.(2024湖南,11,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為π4的直線l與曲線C:x=2+cosα答案2ρcosθ+考點二參數(shù)方程1.(2024江蘇,21C,10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為x=1+12解析橢圓C的一般方程為x2+y2將直線l的參數(shù)方程x=1+12t,1+12t2+32t24=1,即7t所以AB=|t1-t2|=167評析本題主要考查直線和橢圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程與一般方程的互化以及直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問,考查運算求解實力.2.(2024江蘇,21C,10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為x=-8+解析直線l的一般方程為x-2y+8=0.因為點P在曲線C上,設(shè)P(2s2,22s),從而點P到直線l的距離d=|2s2當(dāng)s=2時,dmin=45因此當(dāng)點P的坐標(biāo)為(4,4)時,曲線C上點P到直線l的距離取到最小值45C組老師專用題組考點一極坐標(biāo)方程1.(2024北京,11,5分)在極坐標(biāo)系中,點A在圓ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,點P的坐標(biāo)為(1,0),則|AP|的最小值為.

答案12.(2024天津,11,5分)在極坐標(biāo)系中,直線4ρcosθ-π6答案23.(2024北京,11,5分)在極坐標(biāo)系中,直線ρcosθ-3ρsinθ-1=0與圓ρ=2cosθ交于A,B兩點,則|AB|=.

答案24.(2024廣東,14,5分)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ-π4=2,點A的極坐標(biāo)為A2答案55.(2024重慶,15,5分)已知直線l的參數(shù)方程為x=2+t,y=3+答案56.(2024廣東,14,5分)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則曲線C1和C2交點的直角坐標(biāo)為.

答案(1,1)7.(2024江蘇,21C,10分)在極坐標(biāo)系中,直線l的方程為ρsinπ6解析本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)學(xué)問,考查運算求解實力.因為曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,所以曲線C是圓心為(2,0),直徑為4的圓,因為直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinπ6-θ設(shè)A(4,0),則A為直線l與圓C的一個交點.設(shè)另一個交點為B,則∠OAB=π6連接OB,因為OA為直徑,所以∠OBA=π2所以AB=4cosπ6=23因此,直線l被曲線C截得的弦長為23.一題多解把直線和曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程得到l:x-3y-4=0,C:x2+y2-4x=0,則C:(x-2)2+y2=4,半徑R=2,圓心C(2,0)到l的距離d=22=1,因此,直線l被曲線C截得的弦長為2R2-8.(2024課標(biāo)Ⅲ,22,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為x=2+t,y=kt(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為x=(1)寫出C的一般方程;(2)以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cosθ+sinθ)-2=0,M為l3與C的交點,求M的極徑.解析本題考查參數(shù)方程與一般方程的互化,極坐標(biāo)方程.(1)消去參數(shù)t得l1的一般方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的一般方程l2:y=1k設(shè)P(x,y),由題設(shè)得y消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的一般方程為x2-y2=4(y≠0).(2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).聯(lián)立ρ2故tanθ=-13,從而cos2θ=910,sin2θ=代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交點M的極徑為5.思路分析(1)由參數(shù)方程干脆消去參數(shù)t、m、k,即得C的一般方程.(2)將C的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,與直線l3的參數(shù)方程聯(lián)立,從而求得點M的極徑.方法總結(jié)極坐標(biāo)問題既可以化為直角坐標(biāo)處理,也可以干脆用極坐標(biāo)求解.但要留意極徑、極角的取值范圍,避開漏根或增根.9.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.(1)以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程;(2)直線l的參數(shù)方程是x=tcos解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圓C的極坐標(biāo)方程ρ2+12ρcosθ+11=0.(3分)(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R).(4分)設(shè)A,B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2+12ρcosα+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.(6分)|AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+由|AB|=10得cos2α=38,tanα=±15所以l的斜率為153或-15方法總結(jié)利用數(shù)形結(jié)合的思想方法及整體運算的技巧極大地提高了解題效率.評析本題考查直線和圓的極坐標(biāo)方程;極坐標(biāo)的幾何意義的應(yīng)用;利用方程的思想方法是求解的關(guān)鍵.10.(2024課標(biāo)Ⅰ,23,10分,0.825)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程;(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=π4(ρ∈R),設(shè)C2與C3的交點為M,N,求△C2解析(1)因為x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=-2,C2的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(5分)(2)將θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2=2,故ρ1-ρ2=2,即|MN|=2由于C2的半徑為1,所以△C2MN的面積為12思路分析(1)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ求解;(2)將直線C3的極坐標(biāo)方程代入圓C2的極坐標(biāo)方程,通過解方程求出|MN|的值,再結(jié)合圓C2的半徑求△C2MN的面積.方法總結(jié)直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化方法:直角坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程11.(2024課標(biāo)Ⅱ,23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:x=tcosα,y=(1)求C2與C3交點的直角坐標(biāo);(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值.解析(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-23x=0.聯(lián)立x2+y2所以C2與C3交點的直角坐標(biāo)為(0,0)和32(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的極坐標(biāo)為(2sinα,α),B的極坐標(biāo)為(23cosα,α).所以|AB|=|2sinα-23cosα|=4sinα當(dāng)α=5π6思路分析(1)由互化公式把曲線C2,C3的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程求得交點的直角坐標(biāo);(2)求出C1的極坐標(biāo)方程,進(jìn)而得點A,B的極坐標(biāo)分別為(2sinα,α),(23cosα,α),從而得出|AB|=|2sinα-23cosα|,利用三角函數(shù)的相關(guān)學(xué)問可求其最大值.解題關(guān)鍵將|AB|表示成關(guān)于α的函數(shù)是解第(2)問的關(guān)鍵.12.(2024江蘇,21C,10分)已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+22ρsinθ-解析以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點O,以極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+22ρ22化簡,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圓C的半徑為6.評析本小題主要考查圓的極坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化等基礎(chǔ)學(xué)問,考查運算求解實力.13.(2024遼寧,23,10分)將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程;(2)設(shè)直線l:2x+y-2=0與C的交點為P1,P2,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.解析(1)設(shè)(x1,y1)為圓上的點,在已知變換下變?yōu)镃上點(x,y),依題意,得x由x12+y12=1得x2+y2故C的參數(shù)方程為x=cos(2)由x2+y2不妨設(shè)P1(1,0),P2(0,2),則線段P1P2的中點坐標(biāo)為12,1,所求直線斜率為k=1即ρ=34sin考點二參數(shù)方程1.(2024安徽,4,5分)以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程是x=A.14B.214C.2D.22答案D2.(2024天津,12,5分)已知圓x2+y2-2x=0的圓心為C,直線x=-1+答案13.(2024湖北,16,5分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲線C的參數(shù)方程為x=t-答案254.(2024湖北,16,5分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C1的參數(shù)方程是x=t,y=3t3(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C答案(3,1)5.(2024湖南,16(2),6分)已知直線l:x=5+(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(5,3),直線l與曲線C的交點為A,B,求|MA|·|MB|的值.解析(1)ρ=2cosθ等價于ρ2=2ρcosθ.①將ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0.②(2)將x=5+32t,y=3+12t代入②,得t6.(2024課標(biāo)Ⅲ,23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3cosα,y=sinα(1)寫出C1的一般方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo).解析(1)C1的一般方程為x23+yC2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.(5分)(2)由題意,可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(3cosα,sinα).因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值,d(α)=|3cosα當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ+π6(k∈Z)時,d(α)取得最小值,最小值為2,此時P的直角坐標(biāo)為3思路分析(1)對于C1的參數(shù)方程,利用sin2α+cos2α=1消去參數(shù)α可得C1的一般方程,對于C2的極坐標(biāo)方程,由兩角和的正弦公式及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得C2的直角坐標(biāo)方程;(2)由C1的參數(shù)方程設(shè)出P點的直角坐標(biāo),利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)的學(xué)問進(jìn)行求解.方法總結(jié)求與曲線上動點有關(guān)的最值時,常利用曲線的參數(shù)方程表示出曲線上的動點,從而利用三角函數(shù)的學(xué)問求最值,這樣可以極大簡化運算過程.評析本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與一般方程的互化關(guān)系以及參數(shù)方程的應(yīng)用.考查考生對基礎(chǔ)學(xué)問和基本技能的應(yīng)用實力.正確利用曲線的參數(shù)方程是求解第(2)問的關(guān)鍵.7.(2024陜西,23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=3+12(1)寫出☉C的直角坐標(biāo)方程;(2)P為直線l上一動點,當(dāng)P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標(biāo).解析(1)由ρ=23sinθ,得ρ2=23ρsinθ,從而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3.(2)設(shè)P3+12t則|PC|=3+12t28.(2024課標(biāo)Ⅱ,23,10分,0.462)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,θ∈0,(1)求C的參數(shù)方程;(2)設(shè)點D在C上,C在D處的切線與直線l:y=3x+2垂直,依據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo).解析(1)C的一般方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的參數(shù)方程為x=1+cos(2)設(shè)D(1+cost,sint).由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓.因為C在點D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同.tant=3,t=π3故D的直角坐標(biāo)為1+cosπ3思路分析(1)先把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,再求其參數(shù)方程.(2)利用曲線C的參數(shù)方程設(shè)出點D的直角坐標(biāo),由切線的性質(zhì)求解.9.(2024江蘇,21C,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為x=1-2解析將直線l的參數(shù)方程x=1-22t,y=2+22t代入拋物線方程y2所以AB=|t1-t2|=82.10.(2024福建,21(2),7分)已知直線l的參數(shù)方程為x=a-(1)求直線l和圓C的一般方程;(2)若直線l與圓C有公共點,求實數(shù)a的取值范圍.解析(1)直線l的一般方程為2x-y-2a=0,圓C的一般方程為x2+y2=16.(2)因為直線l與圓C有公共點,故圓C的圓心到直線l的距離d=|-2解得-25≤a≤25.11.(2024課標(biāo)Ⅰ,23,10分)已知曲線C:x24+y2(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的一般方程;(2)過曲線C上隨意一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.解析(1)曲線C的參數(shù)方程為x=2cos直線l的一般方程為2x+y-6=0.(2)曲線C上隨意一點P(2cosθ,3sinθ)到l的距離為d=55則|PA|=dsin30°=其中α為銳角,且tanα=43當(dāng)sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為225當(dāng)sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為25思路分析(1)利用三角換元的方法求曲線C的參數(shù)方程,消去參數(shù)t得直線l的一般方程;(2)利于曲線C的參數(shù)方程表示出P的直角坐標(biāo),由點到直線的距離公式及解直角三角形建立|PA|關(guān)于θ的函數(shù),利用三角函數(shù)的學(xué)問求最值.【三年模擬】解答題(共80分)1.(2025屆廣東佛山順德其次次質(zhì)檢,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=1+2cosφ,y=(1)求C與l1的極坐標(biāo)方程;(2)當(dāng)-π6<α<π3時,直線l1與C相交于O,A兩點.過點O作l1的垂線l2,l解析(1)因為曲線C:x=1+2cos所以曲線C的一般方程為(x-1)2+(y-3)2=4,由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ-23ρsinθ=0.化簡得ρ=2cosθ+23sinθ.因為直線l1:x=所以直線l1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R)(漏寫ρ∈R不扣分).(2)解法一:設(shè)點A的極坐標(biāo)為(ρA,α),-π6<α<π則ρA=|2cosα+23sinα|=4sinα+點B的極坐標(biāo)為ρB則ρB=4sinα+π2∴|OA|+|OB|=ρA+ρB=4sinα+π=42sinα+所以當(dāng)α=π12時,(|OA|+|OB|)max=42解法二:由已知得∠AOB=90°,∴AB為☉C的直徑,故有|OA|2+|OB|2=|AB|2=42=16,∴|OA|+即|OA|+|OB|≤28=42,當(dāng)且僅當(dāng)|OA|=|OB|=22時,|OA|+|OB|取得最大值42.2.(2025屆廣西南寧、玉林、貴港摸底考試,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=2+2cosφ,(1)求曲線C1的一般方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α(0<α<π,ρ∈R),點A是曲線C3與C1的交點,點B是曲線C3與C2的交點,且A,B均異于原點O,且|AB|=42,求α的值.解析(1)由x=2+2cosφ,y=2sinφ(φ為參數(shù))消去參數(shù)φ可得C1的∵ρ=4sinθ,∴ρ2=4ρsinθ,由x=ρcosθ,y=(2)由(1)得曲線C1的方程為(x-2)2+y2=4,其極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,由題意設(shè)A(ρ1,α),B(ρ2,α),則|AB|=|ρ1-ρ2|=4|sinα-cosα|=42sinα-π4∴α-π4=π2+kπ(k∈Z).∵0<α<π,∴α=3.(2025屆河北衡水中學(xué)9月月考,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ+2acosθ(a>0).直線l的參數(shù)方程為x=(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的一般方程;(2)若點P的極坐標(biāo)為(2,π),|PM|+|PN|=52,求a的值.解析(1)由ρ=2sinθ+2acosθ(a>0),得ρ2=2ρsinθ+2aρcosθ(a>0),所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2y+2ax(a>0),即(x-a)2+(y-1)2=a2+1(a>0).直線l的一般方程為y=x+2.(2)將直線l的參數(shù)方程x=-2+22t,y=22t代入x2+y2=2y+2ax并化簡、整理得t2-(32+2a)t+4a+4=0,因為直線l與曲線C交于M,N兩點.所以Δ=[-(32+2a)]2-4(4a+4)>0,解得a≠1.由根與系數(shù)的關(guān)系,得t所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=32+2a=52,解得a=2,此時滿意a>0,且a≠1.故a=2.4.(2025屆湖北、山東重點中學(xué)第一次聯(lián)考,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C1、C2的參數(shù)方程分別為C1:x=2cosθ,y=(1)求曲線C1、C2的一般方程;(2)已知點P(1,0),若曲線C1與曲線C2交于A、B兩點,求|PA|+|PB|的取值范圍.解析(1)曲線C1的一般方程為x24+當(dāng)θ≠π2+kπ,k∈Z時,曲線C2的一般當(dāng)θ=π2+kπ,k∈Z時,曲線C2的一般方程為x=1.(或曲線C2的一般(2)將C2:x=1+tcosθ,y=tsinθ(t為參數(shù))代入C1:x2設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,t1+t2=-6cosθsin2θ+3,t∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=(t1+∵sin2θ∈[0,1],∴|PA|+|PB|∈[3,4].5.(20