因式分解介紹課件講義

3.1多項式的因式分解

請同學(xué)們完成下列計算，看誰算得又準(zhǔn)又快．（1）-1.2568×(-3)+0.2568×(-3)（2）1012-992

（3）572+2×57×43+432

根據(jù)左面算式填空:(1)3x2-3x=_______(2)ma+mb+mc=___(3)a2-b2=__________(4)x2-6x+9=________(5)a3-a=___________3x(x-1)=______,m(a+b+c)=_____,(a+b)(a-b)=_____,(x-3)2=_________,a(a+1)(a-1)=____,3x2-3xma+mb+mca2–b2x2-6x+9a3-a3x(x-1)m(a+b+c)(a+b)(a-b)(x-3)2a(a+1)(a-1)想一想做一做速戰(zhàn)速決a2-b2=(a+b)2=m(a+b+c)(a+b)(a-b)(a+b)2m(a+b+c)=a2-b2=a2+2ab+b2

=am+bm+cm整式乘法因式分解整式的積多項式多項式整式的積a2+2ab+b2am+bm+cm聯(lián)系1：新舊相聯(lián)整式乘法與因式分解=(a+b)(a-b)互逆變形聯(lián)系2：新舊相聯(lián)分解質(zhì)因數(shù)與因式分解1-x24x2-8x1-4x2x2-14x+49=(1+x)(1-x)=4x(x-2)=(1-2x)(1+2x)=(x-7)2因式分解1、結(jié)果都是以積的形式出現(xiàn)2、積中的每個因式（數(shù)）都不能再分6＝2×318＝2×32分解質(zhì)因數(shù)90＝2×32×5100＝22×52定義

一般地，把一個多項式表示成幾個整式的乘積的形式，稱為把這個多項式因式分解，有時我們也把這一過程叫做分解因式。要求：１.是一種恒等變形

2.變形對象：是

;

3.變形過程：由

變成

的形式

4.變形的結(jié)果：是幾個

的積

5.分解結(jié)果中的每個因式不能再分明確新知多項式和積整式只有多項式才可能進(jìn)行因式分解判斷下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?

(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2).2x(x-3y)=2x2-6xy(3).(5a-1)2=25a2-10a+1(4).x2+4x+4=(x+2)2(5).(a-3)(a+3)=a2-9(6).m2-42=(m+4)(m-4)(7).2πR+2πr=2π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解火眼金睛觀察與思考(1).1-x2

(2).4x2-8x(3).1-4x2(4).x2-14x+49=(1+x)(1-x)=4x(x-2)=(1-2x)(1+2x)=(x-7)2觀察分解前多項式的次數(shù)與分解后每個因式的次數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？分解后，每個因式的次數(shù)都低于原來的多項式因式分解的作用：降次即：將高次轉(zhuǎn)化為低次實戰(zhàn)考場下列從左到右的變形中，哪些是因式分解？哪些不是？為什么？

(1)2m(m－n)=2m2－2mn(2)5x2y－10xy2=5xy(x－2y)(3)4x2－4x+1=(2x－1)2(4)x2+x+1=x(x+1)+1

(6)x2+1=(x-1)(x+1)不是整式兩邊不相等智力搶答(1)1012－992=(2)872+87×13=(3)512－2×51+1=因式分解的應(yīng)用:(4)2.5×19.7－44.5×2.5+2.5×25.9如果多項式ax＋B可分解為a(x＋y),則B等于()

A.a

B.ay

C.ax

D.y

B1、已知x-y=2,x2-y2=12,求x+y的值.2、已知a2-4a+9b2+6b+5=0,求a2+b2的值

(1)已知：a=2007，則a2+a能被2008整除嗎？

a2+a=a(a+1)=2007（2007+1）=2007×2008(2)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。

a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400(3)若a=89,b=-11,求a2-2ab+b2值a2-2ab+b2=(a-b)2=(89+11)2=10000；(4)已知a-b=2，ab=7，求a2b-ab2的值。a2b-ab2=ab(a-b)=14拓展與提高（1）能分解成則=______,=______.(2)已知關(guān)于x的二次三項式2x2+mx+n因式分解的結(jié)果是(2x-1)(x+),求m,n的值.1、a2－a

能被a－1整除么？請寫出你的理由。2、32002－32001－32000能被5整除嗎？為什么？3、993-99能被100整除嗎?你是怎樣想的？聰明的小明是這樣想的:993-99=99×992-99×1=99×(992-1)=99(99+1)(99-1)=99×100×98所以,993-99能被100整除.

解決問題的關(guān)鍵：將數(shù)式993-99化成了99、100、98三個數(shù)的積的形式！我們的收獲……我學(xué)會了……我明白了……我認(rèn)為……我會用……我想……結(jié)合本堂課內(nèi)容，請用下列句式造句。要求：１.是一種恒等變形

2.變形對象：是

;

3.變形過程：由

變成

的形式

4.變形的結(jié)果：是幾個

的積

5.分解結(jié)果中的每個因式不能再分舊知回顧多項式和積整式只有多項式才可能進(jìn)行因式分解因式分解一個多項式幾個整式積整式乘法

下列由左邊到右邊的變形，哪些是分解因式？1)（a+3)(a–3)=a2–92）x2–y2+1=(x+y)(x-y)+13）6x2y3=3xy·2xy24）a2+

a–1=a(a+1-)5)2∏R-2∏r=2∏(R-r)6)m2–81n2=(m+9n)(m-8n)因式分解3.2因式分解--提取公因式法學(xué)習(xí)指導(dǎo)：1、自學(xué)教材P59頁－P60頁的知識內(nèi)容。2、思考并回答：（1）什么是公因式？你能舉例嗎？（2）如何確定一個多項式的公因式？可以舉例說明。（3）什么是提取公因式法？分析下列計算是整式乘法中的哪一種并求出結(jié)果:(口答)溫故知新(1)(2)(3)(4)1、找出下列多項式中各項中含有的相同因式.探索新知明確新知

公因式：一個多項式中，各項都含有的相同因式，叫這個多項式的公因式。確定方法：系數(shù)：取各項系數(shù)的最大公約數(shù)。字母：取各項都含有的相同字母。相同字母的指數(shù)：取各項最低的。例:找

3x2–6x的公因式。系數(shù)：最大公約數(shù)。3字母：都有的x

指數(shù)：最低的1公因式是3x

小試牛刀下列各式有公因式嗎？分別是什么？

7x-21

8a3

b2–12ab3+ab4mb2+nb7x3y2–42x2y3a4b–2a2

b2+a2bc⑦7(x–3)–14x(3–x)

2x–3xy–y7ab2b7x2y2a2b7（X-3）用提公因式法因式分解

如果一個多項式含有公因式，那么就可以把__________提到括號外，從而將多項式化成公因式與余項

的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法。這個公因式乘積例：ma+mb+mc=m(a+b+c)注意：1）：提公因式后括號內(nèi)的余項的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同2）：某項作為公因式整體提出后，括號內(nèi)的余項用“1”補充挑戰(zhàn)自我你能用提取公因式的方法把各式分解嗎？

25x-53x3-3x2–9x8a2c+2bc-4a3b3+6a2b-2ab-2x2–12xy2+8xy3

多項式的第一項為負(fù)數(shù)時，公因式的系數(shù)取負(fù)數(shù)注意：如何確定余項？余項的確定：用原多項式除以公因式課堂練習(xí)1、填空:（1）-6x+14y=

(3x-7y)(2)3xy+6xz=3x()(3)7m3-49m2=

(m-7)(4)3x+6xy-12=3()

-2y+2z7m2X+2xy-42、將下列各式分解因式：（1）mx-my-m（2）9x3-6x2-18x（3）-32m5n4-16m3n5+24m2n7

(4)-5a2+15(5)-21m3n+14mn3-7mn(6)-2x2y5

–12xy2

+8xy3拓展與應(yīng)用1、若4x3-6x2=2x2(2x+k)，則k＝

；2、若a2+a+1=0，則ma2+ma+m-7=

;3、已知：a+b=3,ab=2,求a3b+2a2

b2

+ab3的值。4、已知：a-b-c=16,求a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)的值1、a2－a

能被a－1整除么？請寫出你的理由。2、32002－32001－32000能被5整除嗎？為什么？3、993-99能被100整除嗎?你是怎樣想的？聰明的小明是這樣想的:993-99=99×992-99×1=99×(992-1)=99(99+1)(99-1)=99×100×98所以,993-99能被100整除.

解決問題的關(guān)鍵：將數(shù)式993-99化成了99、100、98三個數(shù)的積的形式！9.2提取公因式法(2)課前回顧1、什么是公因式？如何確定？2、什么是提取公因式法進(jìn)行因式分解？3、如何確定余項？其依據(jù)是什么？4、用提取公因式法進(jìn)行因式分解時需注意哪些問題？（1）余項與原多項式的項數(shù)相同；（2）第一項為負(fù)時，令公因式為負(fù)，保證分解后的多項式第一項為正；（3）公因式要提徹底。學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、靈活運用提取公因式法進(jìn)行分解因式2、能將公因式中的多項式作為整體提出來3、掌握“先分組，再分解”的因式分解的方法4、能用提公因式法解決相關(guān)問題溫故熱身1、確定下列各式的公因式，并分解因式(1)－2x+4y-6z(2)8m3n2-12mn3p(3)ax-ay+a(4)yn+2+yn-yn+1再闖難關(guān)將下列各式分解因式：3ax+2bx

3a(x+y)+2b(x+y)

3a(2x2+3y)+2b(2x2+3y)(4)3a(x+y)2-2b(y+x)(5)3a(x-y)-2b(y-x)(6)3a(x-y)2-2b(y-x)3想一想！分別有怎樣的關(guān)系？＝＝＝－超越自我1、將下列各式分解因式a(x+y)+x+ya2+ab－c(a+b)2、利用因式分解計算：

(1)32×0.42+86×0.42-18×0.42(2)9×10100-10101用簡便方法計算拓展與應(yīng)用1、若4x3-6x2=2x2(2x+k)，則k＝

；2、若a2+a+1=0，則ma2+ma+m-7=

;3、已知：a+b=3,ab=2,求a2b+2a2

b2

+ab2的值。4、已知：a-b-c=16,求a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)的值閱讀解答題目：分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2

=(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)本題用提公因式法多少次？(2)若將本題改為1+x+x(x+1)+…x(x+1)n

需要用提公因式多少次？結(jié)果是多少？我們的收獲……我學(xué)會了……我明白了……我認(rèn)為……我會用……我想……結(jié)合本堂課內(nèi)容，請用下列句式造句。9.3運用公式法（1）平方差學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握平方差公式的特點2、能運用平方差公式進(jìn)行因式分解3、初步認(rèn)識因式分解的一般步驟回顧&

思考?±5x±6a2±0.7b±8xy

填空①25x2

＝(_____)2②36a4

＝(

)2③0.49b2

＝(

)2④64x2y2

＝(____)2⑤＝(_____)2你的依據(jù)是？回顧&

思考?1）（整式乘法）（分解因式）2）3)______1－9a2口算(1)下列多項式中，他們有什么共同特征?(2)能將它們分別寫成兩個因式的乘積嗎？①x2－25②9x2－y2

③a2－b2探索與交流?a2?b2=(a+b)(a?b)22□－△＝(□＋△)(□－△)22☆－○＝(☆＋○)(☆－○)議一議平方差公式有什么特點？形象地表示為1、是

項式2、每項都可寫成

的形式；3、兩項符號

。左端：右端：是兩個

次

項式的積，一因式為兩數(shù)

，另一因式為兩數(shù)

。二平方相反一二和差典型例題例1、把下列各式分解因式：（1）25－16x2（3）－16x2＋81y2解(1)原式=52－(4x)2=(5+4x)(5-4x)□－△22先化為牛刀小試1、填空：(1)9－y2=

;(2)4x2－9y2=

；

－b2=(4)(-2x-y)(

)=4x2-y2(5)若-9m2+4n2=a2-b2，其中

a=2n，則b=

.(3+y)(3-y)(2x+3y)(2x-3y)-2x+y3m2、因式分解：(1)x2-4=(2)-1+16x2=(3)1-25a2b2=(4)x4-y2=(5)0.25a2-b2=挑戰(zhàn)自我例2:你能把下列各式分解因式嗎？首先提取公因式然后考慮用公式最終必是連乘式(1)1-(x-2)2(2)(x+y)2-(x-y)2(3)9(x+y)2-4(x-y)2(4)(x-1)+b2(1-x)(5)x3-x(6)3ax2-3ay2應(yīng)如何進(jìn)行因式分解？想一想：再鑄輝煌例3:分解因式，希望你是最棒的！x2-x-y2-y(2)x2-a2-2x+2a(3)x3+3x2-4x-12(4)3x2-3y2+x+y一般情況下，遇到四項式都要考慮分組分解，可能是兩兩結(jié)合；結(jié)合后要考慮提公因式或用公式。議一議：分解9m2-6m+2n-n2，你有哪些方法？回顧與小結(jié)平方差公式的特點是……進(jìn)行因式分解的一般步驟是……關(guān)于分組分解……關(guān)于因式分解……隨堂練習(xí)(1)x2+y2=(x+y)(x+y)()(2)x2-y2=(x+y)(x-y)()(3)-x2+y2=(-x+y)(-x-y)()(4)-x2-y2=-(x+y)(x-y)()1、判斷正誤1、分解因式的結(jié)果是－（2x－y）（2x＋y）的是（）A、4x2－y2B、4x2＋y2C、－4x2－y2D、－4x2＋y22、小明在抄分解因式的題目時，不小心漏抄了x的指數(shù)，他只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作業(yè)本上的式子是□－（“□”表示漏抄的指數(shù)），則這個指數(shù)可能的結(jié)果共有（）A、2種B、3種C、4種D、5種選擇DD4、把多項式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（）(A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1)5、下列多項式中不能用平方差公式分解的是（）(A)-a2+b2(B)-x2-y2

(C)49x2y2-z2(D)16m4-25n2p26、在多項式x2+y2,x2-y2,-x2+y2,-x2-y2中,能利用平方差公式分解的有()A1個B2個C3個D4個BCB3、把下列各式分解因式：

(1)a2b2－m2（2）16x2－4y2(3)(m－a)2－(n＋b)2（4）16（a－1）2－（a＋2）2（5）m2（x－y）＋n2（y－x）（6）2－8（a－b）2(7)x2－(a＋b－c)24、如圖，在一塊邊長為acm

的正方形的四角，各剪去一個邊長為bcm的正方形，求剩余部分的面積。如果a=3.6，b=0.8呢?aba2?4b25、下列分解因式是否正確？為什么？如果不正確，請給出正確的結(jié)果。分解到不能再分解為止2、已知,x+y=7,x-y=5,求x2-y2-2y+2x的值.思維拓展①

x5

－x3②

x6

－4x4③(x－1)＋b2(1－x)④(a2

＋b2)2－(b2＋

c2)23、若x+mx3可分解為x(1+2x)(1-2x)，則m=？結(jié)束寄語一個人只要堅持不懈地追求,他就能達(dá)到目的.

9.3運用公式法（2）完全平方學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握完全平方公式的特點2、能運用完全平方公式進(jìn)行因式分解3、熟悉因式分解的一般步驟回顧&

思考?（整式乘法）（因式分解）□2±2□△+△2＝(□±△)2議一議完全平方公式有什么特點？形象地表示為1、必須是

項式2、有兩個“項”的

；且符號

；3、還有這兩“項”的

。左端：右端：是兩個“項”的和或差的

。三平方相同積的2倍或－2倍完全平方1、判斷下列各式是不是完全平方式是否是是小試牛刀下列各式是不是完全平方式是是是否是否請補上一項，使下列符合完全平方式公式小試牛刀把下列式子分解因式4x2+12xy+9y2=(首±尾)2典型例題請運用完全平方公式把下列各式分解因式：小試牛刀挑戰(zhàn)自我請運用完全平方公式把下列各式分解因式：例2、運用完全平方公式分解因式①

解:原式==六、拓展提高1、，求解:原式變形為六、拓展提高2、已知①②求的值解:由(1)+(2),得練習(xí)題：1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）A、a2+b2+ab

B、a2+2ab-b2

C、a2-ab+2b2D、-2ab+a2+b22、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（）A、x2+y2-2xy

B、x2+4xy+4y2

C、a2-ab+b2D、-2ab+a2+b2DC3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）A、x2+2xy-y2

B、x2-xy+y2

C、D、4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（）A、x4+6x2y2+9y4B、x2n-2xnyn+y2n

C、x6-4x3y3+4y6D、x4+x2y2+y4DD5、把分解因式得（）A、B、6、把分解因式得（）A、B、BA7、如果100x2+kxy+y2可以分解為（10x-y)2,那么k的值是（）A、20

B、-20C、10D、-108、如果x2+mxy+9y2是一個完全平方式，那么m的值為（）A、6

B、±6C、3D、±3BB9、把分解因式得（）A、B、C、D、10、計算的結(jié)果是（）A、1B、-1C、2D、-2CA思考題:1、多項式:(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解嗎?2、在括號內(nèi)補上一項，使多項式成為完全平方式：X4+4x2+()

1.25x4＋10x2＋1

2.－x2－4y2＋4xy3.3ax2＋6axy＋3ay2

練習(xí)：分解因式4.-2a3b3+4a2b3-2ab35.9-12(a-b)+4(a-b)26.(y2+x2)2-4x2y2思考與討論分解因式2、(a+b)2＋2(a+b)(a-b)＋(a-b)2

思考：分解因式3、(a+1)2-2(a2-1)＋(a-1)21、16x4-8x2＋1隨堂練習(xí)閱讀下列計算過程：99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=1002=104（1）．計算：999×999+1999=_____=_____=________=________；9999×9999+19999=_______=______=______=______。（2）．猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少？寫出計算過程。9.3運用公式法二次三項式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握能分解的二次三項式的特點2、能運用公式進(jìn)行分解3、熟悉因式分解的一般步驟

回顧&

思考（整式乘法）你還會算嗎？探究你能根據(jù)整式乘法與因式分解的關(guān)系,將下列各式分解嗎?(x+2)(x+3)(x-2)(x-3)(x+2)(x-3)(x-2)(x+3)分解結(jié)果中的兩個常數(shù)與原式中的一次項系數(shù)、常數(shù)項有怎樣的關(guān)系？常數(shù)項：一次項系數(shù)：兩常數(shù)之積兩常數(shù)之和數(shù)學(xué)理論關(guān)于二次三項式的分解

一般地，形如x2+px+q的二次三項式，若滿足q=ab，p=a+b，則原式可分解成x2+px+q