2023年北京市初三二模數(shù)學(xué)試題匯編：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京初三二模數(shù)學(xué)匯編二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)一、解答題1．（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上．(1)求的值（用含a的式子表示）；(2)若，試說(shuō)明：；(3)點(diǎn)，在該拋物線上，若，，中只有一個(gè)為負(fù)數(shù)，求α的取值范圍．2．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過(guò)點(diǎn)．(1)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過(guò)該拋物線與軸的交點(diǎn)作軸的垂線，將拋物線在軸右側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖形，，是圖形上的點(diǎn)，設(shè)．①當(dāng)時(shí)，求的值；②若，求的取值范圍．3．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)求該拋物線的對(duì)稱軸（用含a的式子表示）；(2)若，當(dāng)時(shí)，求y的取值范圍；(3)已知，，為該拋物線上的點(diǎn)，若，求a的取值范圍．4．（2023·北京平谷·統(tǒng)考二模）已知拋物線，若點(diǎn)，，在拋物線上．(1)該拋物線的對(duì)稱軸為______（用含的式子表示）；(2)若當(dāng)時(shí)，，則的值為______；(3)若對(duì)于時(shí)，都有，求的取值范圍．5．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上．(1)求拋物線的對(duì)稱軸；(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若對(duì)于，都有，求t的取值范圍．6．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸是直線．(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含的式子表示）；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的正數(shù)，若點(diǎn)在該拋物線上，則_________（填“>”“<”或“=”）；(3)已知點(diǎn)．若該拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．7．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，都在拋物線上，且，．(1)當(dāng)時(shí)，比較，的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若存在，，滿足，求m的取值范圍．8．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線對(duì)稱軸，并直接寫出與大小關(guān)系；(2)若對(duì)于任意的，都有，求的取值范圍．9．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸為直線．(1)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求a和n的值；(2)若拋物線上存在兩點(diǎn)和，．①判斷拋物線的開口方向，并說(shuō)明理由；②若，求a的取值范圍．

參考答案1．(1)(2)見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）直接把代入拋物線解析式中求解即可；（2）先求出，再由，即可得到；（3）先求出，然后分類討論a的取值范圍，根據(jù)，，中只有一個(gè)為負(fù)數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：把代入中得：；（2）解：由（1）得，∵，∴，∴；（3）解：∵點(diǎn)，在該拋物線上，∴；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)一定滿足對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．2．(1)頂點(diǎn)為，(2)①；②【分析】（1）將點(diǎn)代入中，得出，進(jìn)而將解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解；（2）①根據(jù)解析式得出拋物線與軸交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，進(jìn)而求得，即可求解；②與軸交于點(diǎn)，拋物線在軸右側(cè)的部分關(guān)于直線翻折可得，在對(duì)稱軸的左側(cè)，，關(guān)于對(duì)稱，分，，分別求得，，根據(jù)題意解不等式即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入中，得解得：∴拋物線解析式為∴對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，（2）①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸交點(diǎn)為，∵，是圖形上的點(diǎn)，即∴，∴；②，當(dāng)時(shí)，，∴與軸交于點(diǎn)，∴拋物線在軸右側(cè)的部分關(guān)于直線翻折可得∵對(duì)稱軸為直線∴在對(duì)稱軸的左側(cè)，∴，∵，關(guān)于對(duì)稱∴當(dāng)，即時(shí)，即∴∵∴，當(dāng)，即時(shí)，，∴，∵，∴，解得：∴

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(1)直線(2)(3)【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式即可求解；（2）根據(jù)，比距離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，分別求得時(shí)的函數(shù)值即可求解；（3）根據(jù)題意得出為拋物線的頂點(diǎn)，，在對(duì)稱軸的右側(cè)，分當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，列出不等式，解不等式即可求解．【詳解】（1）解：拋物線的對(duì)稱軸為直線；（2）解：∵，∴拋物線解析式為，對(duì)稱軸為直線，開口向上，∵，比距離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，∴時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，求y的取值范圍為；（3）解：∵，，對(duì)稱軸為直線，∴為拋物線的頂點(diǎn)，，在對(duì)稱軸的右側(cè)，當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，∴當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，∴，不合題意，舍去∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(1)(2)(3)或【分析】（1）將拋物線解析式化成頂點(diǎn)式，即可得出拋物線對(duì)稱軸；（2）把代入，得，求解即可；（3）分類討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線．（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴，把代入，得，解得：．（3）解：當(dāng)時(shí)，∵，∴在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小，∵，，，∴，即點(diǎn)P和點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)，∴，不符合題意；當(dāng)時(shí)，∵，又∵，，，∴，∴點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)，點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離比點(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離近，∴，不符合題意；當(dāng)時(shí)，∵，，，，若，則點(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離，小于點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離，∴，∵，∴；當(dāng)時(shí)，∵，，，，若，則點(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離，∴，∵，∴，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的圖象性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)拋物線的函數(shù)值大小和增減性求參數(shù)取值范圍是解題的關(guān)鍵．5．(1)(2)【分析】（1）將點(diǎn)代入，得到，即可求得拋物線的對(duì)稱軸；（2）根據(jù)拋物線對(duì)稱性可得點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得，即可求得．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得：整理得：∴對(duì)稱軸為：∴拋物線的對(duì)稱軸為直線．（2）解：∵∴點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，∵∴拋物線開口向上，∵點(diǎn)，在拋物線上，且∴，∵∴解得．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求值，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．6．(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是直線，可得出：，再計(jì)算當(dāng)時(shí)，的值即可得出答案；（2）根據(jù)，拋物線開口向上，即可得出拋物線上的點(diǎn)距離拋物線對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，分別算出點(diǎn)和點(diǎn)距離對(duì)稱軸的距離即可比較的大??；（3）由可以得出，再分、，進(jìn)行討論即可得出答案．【詳解】（1）∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；（2）∵，∴拋物線開口向上，∴距離拋物線對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，點(diǎn)距離對(duì)稱軸的距離為：，點(diǎn)距離對(duì)稱軸的距離為:，∵，∴，∴距離對(duì)稱軸比距離對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，∴，故填：；（3）∵，∴，當(dāng)時(shí)，∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，且該拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，故頂點(diǎn)為，把代入得：，∴；當(dāng)時(shí)，∵當(dāng)時(shí)，，∴拋物線過(guò)，∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴拋物線過(guò)，∴拋物線與的交點(diǎn)一個(gè)在軸的左側(cè)，一個(gè)在的右側(cè)，∵該拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴；綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線綜合，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與線段的公共交點(diǎn)問(wèn)題，掌握拋物線綜合，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與線段的公共交點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．(1)，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，得到對(duì)稱軸，根據(jù)，的大小判斷與對(duì)稱軸的距離，結(jié)合，即可得出答案；（2）根據(jù)題意可知滿足，即與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，則的最小值要比時(shí)的對(duì)稱點(diǎn)0小，的最大值要比時(shí)的對(duì)稱點(diǎn)3大，解不等式組即可．【詳解】（1）；理由：∵，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線當(dāng)時(shí)，∵，，對(duì)稱軸是直線∴比離對(duì)稱軸近∵，拋物線開口向下∴（2）∵∴與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱∵∴即解得【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性找的取值范圍．8．(1)拋物線的對(duì)稱軸為，(2)或【分析】（1）當(dāng)時(shí)，拋物線，拋物線過(guò)點(diǎn)，，根據(jù)對(duì)稱軸公式即可得到對(duì)稱軸，再根據(jù)點(diǎn)比點(diǎn)離對(duì)稱軸水平距離遠(yuǎn)，且拋物線開口向上，即可得到與大小關(guān)系；（2）分三種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)，，分別討論即可得到答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，拋物線，拋物線過(guò)點(diǎn)，，拋物線的對(duì)稱軸為，點(diǎn)比點(diǎn)離對(duì)稱軸水平距離遠(yuǎn)，且拋物線開口向上，；（2）解：①當(dāng)時(shí)，，，恒成立，，，，；②當(dāng)時(shí)，，，恒不成立，舍去；③當(dāng)時(shí)，，，，恒成立，，，，，，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．9．(1)，(2)①開口向上，理由見(jiàn)解析；②【分析】（1）把代入，求得，從而得拋物線解析式為，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線，即可求得．（2）①根據(jù)當(dāng)，又對(duì)稱軸為，得是拋物線的頂點(diǎn)，再根據(jù)，且，所以點(diǎn)B在頂點(diǎn)A的上方，即可得出拋物線開口向上；②設(shè)，根據(jù)所以或，將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)平移a的值不變，平移后拋物線表達(dá)式為，此時(shí)，則或，將或代入得，即可得出．【詳解】（1