2024-2025學年湖南省長沙市岳麓區(qū)某中學九年級（上）開學數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年湖南省長沙市岳麓區(qū)周南梅溪湖中學九年級(上)開

學數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列方程中，是一元二次方程的是()

-1

A.4(%+2)=25B,2x2+3x-1=0C.2x+y=22D,"十2=4

2.一元二次方程/-4x=5的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是()

A.1,4,5B.0,—4,—5C.1,—4,5D.1,—4,—5

3.用配方法解方程/-6%-1=0時，配方結(jié)果正確的是()

A.(x-3)2=10B.(x-3)2=8C.(%-6)2=10D.(x-3)2=1

4.對于二次函數(shù)y=2。-1)2-8,下列說法正確的是()

A.圖象開口向下B,當x>1時，y隨式的增大而減小

C.當x<1時，y隨x的增大而減小D.圖象的對稱軸是直線久=-1

5.如圖，在長為54米、寬為38米的矩形草地上修同樣寬的路，余下部分種植草坪.要使草坪的面積為1800

平方米，設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為()-------------------■-----

A.(54—x)(38—x)=1800----

B.(54-x)(38-x)+x2=1800

C.54x38-54x-38x=1800

D.54%+38%=1800

6.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干，支干、小分支的總數(shù)

是91.設(shè)每個支干長出x個分支，則可列方程為()

A,x2+x+1=91B.(x+I)2=91C,x2+x=91D,x2+1=91

7.若a是方程N-x-l=0的一個根，貝+2a+2021的值為()

A.2021B,-2021C,2020D.-2020

8.在同一直角坐標系中，函數(shù)y=mx和函數(shù)y=mx2+2x+2(m是常數(shù)，且ni40)的圖象可能是

()

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A.yi<y2<>3B.y2<yi<為C.y2<y3<7iD.y3<72<yi

10.為了使居住環(huán)境更加美觀，某小區(qū)建造了一個小型噴泉，水流從地面上的點。噴出，在各個方向上沿形

狀相同的拋物線落到地面，某方向上拋物線的形狀如圖所示，落點a到點。的距離為4,水流噴出的高度

火?。┡c水平距離雙?。┲g近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=這2+群，則水流噴出的最大高度為（）

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.將一元二次方程3萬（久-1）=2化成a久2+6%+c=0（a>0）的形式為.

12.把二次函數(shù)y=2"的圖象先向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)表

達式是.

13.當m=時，關(guān)于x的方程（m+2）xm+3+6x-9=0是一元二次方程.

14.已知方程久2-2久一4=0的兩根分別為巧和％2，則％1久2=.

15.關(guān)于久的一元二次方程（k-1）久2—2%+1=0有兩個實數(shù)根，貝收的取值范圍是—

16.二次函數(shù)y=a/+版+c（a力0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：（T）bc>0；

@x>0時，y隨x的增大而增大；③a+b+c>0；④不等式a/久+c<0

的解集是-l<x<3,其中正確的是.（填序號）

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題20分）

解方程：

（I）%2+3%=0；

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(2)3x(x-1)=2(1—x)；

(3)x2-6x+12=0；

(4)x2-5x-2=0.

18.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程/+2(m+l)x+m2-l=0.

(1)若方程有實數(shù)根，求實數(shù)小的取值范圍；

(2)若方程兩實數(shù)根分別為X1，%2,且滿足(亞-比2>=16-X/2,求實數(shù)m的值.

19.(本小題14分)

已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3.

(1)函數(shù)的開口方向是，對稱軸是直線;

(2)函數(shù)的頂點式為,與x軸的交點坐標是；

(3)當x時，函數(shù)y隨支的增大而增大；當______時，y的值小于0；

(4)該二次函數(shù)與一次函數(shù)y=x+1的交點坐標為.

20.(本小題10分)

2024年是農(nóng)歷甲辰龍年，含有“龍”元素的飾品深受大眾喜愛.商場購進一批單價為70元的“吉祥龍”公

仔，并以每個80元售出,由于銷售火爆，公仔的銷售單價經(jīng)過兩次調(diào)整后，上漲到每個125元，此時每天可

售出75個.

(1)若銷售單價每次上漲的百分率相同，求該百分率；

(2)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每降低1元，其銷售量相應(yīng)增加5個.那么銷售單價應(yīng)降低多少，才能使每天所

獲銷售利潤最大？最大利潤是多少？

21.(本小題10分)

在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過4(-4,0),5(0-4),C(2,0)三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為小，的面積為S.

求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、。為頂

點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標.

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22.(本小題10分)

已知y是關(guān)于X的函數(shù)，若其圖象經(jīng)過點P(t,2t),則稱點P為函數(shù)圖象上的“周梅點”,例如：直線丫=久-3

上存在“周梅點”P(—3,—6).

(1)在直線y=-尤+1上是否存在“周梅點”？若存在，請求出“周梅點”的坐標；若不存在，請說明理

由；

(2)若拋物線y=-1x2+(|a+2)x-^a2-a+1上有“周梅點”，且“周梅點”為4(＞切)和B(久2而，求

w=xl+成的最小值；

(3)若函數(shù)y=yx2+(m-t+2)x+n+t-2的圖象上存在唯一的一個"周梅點”，且當一2WmW3時，n

q

的最小值為t,求t的值.

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參考答案

l.B

2.D

3.4

4.C

5.A

6.A

7.C

8.D

9.C

1Q.A

ll.3x2-3x-2=0

12.y=2(x+3)2—1

13.-1

14.—4

15.k<2且k*1

16.①④

17.W：⑴%2+3%=o；

x(x+3)=0,

???=0,%2=-3；

(2)3x(x-l)=2(1一%)；

3%(x-l)+2(久—1)=0,

(%—1)(3%+2)=0,

42

???%i=1,X2=一§；

(3)X2-6X+12=0；

/=36-48=-12<0,

*-*原方程無實數(shù)根；

(4)x2—5x—2=0,

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?；/=(-5)2+4x1x(-2)=33,

.r_5土庫

...X1=5+產(chǎn),%2=_5ZJ33_

18.解：(1)由題意有△=[2(m+l)]2-4(m2-l)>0,

整理得8nl+8>0,

解得m>-1,

???實數(shù)租的取值范圍是相>-1;

(2)由兩根關(guān)系，得第1+%2=-2(m+1),x1-X2=m2—1,

(%1-％2)2=16-%62

⑸+%2)2—3%1%2—16=0,

[-2(m+l)]2-3(m2-l)-16=0,

?m2+8772—9=0,

解得772=—9或=1

???m>—1

.?.m=1.

19.解：二次函數(shù)y=-/+2%+3,

(1)a=—1,b=2,c=3,

a<0,對稱軸％=—=—2x(-1)=1，

二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為直線％=1,

(2)y=—x2+2%+3,

y——(7—2%+1)+4=—(%—I)2+4,

頂點式：y=-(%-1)2+4；

當y=0時，-%2+2%+3=0,

BP%2—2x—3=0,

??.(%+l)(x-3)=0,

*,,%]——1,%2=3,

???與久軸的交點坐標為(—1,0)(3,0),

(3)???二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為直線久=1,

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?1?當x<1時，函數(shù)y隨比的增大而增大，

???二次函數(shù)的開口向下，與X軸的交點坐標為(一1,0)(3,0),

.,.當％<-1或^>3時，y的值小于0,

(4必二[產(chǎn)+5

解得｛二/或修；專，

???交點坐標為(-1,0),(2,3).

20.解：(1)由題意，設(shè)每次上漲的百分率為小，

依題意，得：80(1+m)2=125,

解得：m1=0.25=25%,=-2.25(不合題意，舍去).

答：每次上漲的百分率為25%.

(2)由題意，設(shè)每個售價為萬元，

每天的利潤w=(x-70)[75+5(125-%)]

=(久一70)(700-5%)

=-5x2+1050%—49000

=-5(x-105)2+6125.

二當久=105時，每天的最大利潤為6125.

.-.每個應(yīng)降價(125-105)元，即每個應(yīng)降價20元.

答：每個應(yīng)降價20元，才能使每天利潤達到最大，最大利潤為6125元.

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21.解：（1）設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為:

y=ax2+bx+c（a。0）,

將4（一4,0）,8（0,-4）,C（2,0）三點代入函數(shù)解析式得:

,16a—4b+c=0

c=-4

4a+2b+c=0

1

%--

2

解-1e.

(b-4

lc-

所以此函數(shù)解析式為：y=/2+%-4；

（2）?.?M點的橫坐標為根，且點M在這條拋物線上,

M點的坐標為：（犯加2+S一4）,

S+sAOBM-S△AOB

1111

=—x4x(-—m2-m+4)+—x4x(-m)--x4x4

=—m2—2m+8—2m—8

=—m2—4m,

=—(m+2)2+4,

???—4<m<0,

當租=一2時，S有最大值為：S=—4+8=4.

答：m=一2時S有最大值S=4.

-1

(3)設(shè)+久一4).

當08為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ〃。&且PQ=OB,

?e?Q的橫坐標等于尸的橫坐標,

又???直線的解析式為y=-x,

則Q(%,-%).

1

由PQ=OB,M|-x-(|x2+x-4)|=4,

解得％=0,-4,-2±2^/5.

%=0不合題意，舍去.

如圖，當8。為對角線時，知/與P應(yīng)該重合，。尸=4.

四邊形P80Q為平行四邊形則8。=PQ=4,Q縱坐標為4,代入y=-%得出Q為（一4,4）；

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四邊形PBQ。為平行四邊形則8Q=0P=4,(?橫坐標為4,代入丫=一%得出(2為(4,—4)；

由此可得Q(—4,4)或(—2+22—2或(—2—25^,2+2^/5)或(4,—4).

22.解：(1)在直線y=—x+1上存在“周梅點”；理由如下：

設(shè)點尸(t,2t)是直線y=—x+l上的“周梅點”，

—t+1=2t,

.-1

-ft-3

??.直線y=x+1上的“周梅點”為(靜)；

(2)設(shè)拋物線“周梅點”的坐標為尸

將點P的坐標代入拋物線y=+(|a+2)%一|。2-。+1中得:

2.x———x2+(—d+2)%——a+1，

122

一萬%2+—CIX——(Z2—CL+1=0,

??,“周梅點”為和8(%2)2)，

-1o7

???%1>刀2是方程一5爐+-ax--a2-a+1=。的兩個根，

14a一工。2一。+1A

貝|J11+%2=-三=11?%2=_-----=5a2+2Q-2,

~2-2

4=(|a)2-4X(-1)(-1a2-a+1)>0,

—2a+2之0,

解得：a<1,

.?.w=%，+若=(%]+久2)2—2%I%2

=(竽)2-2&2+2a—2)

=5a2—4a+4

對稱軸為直線a=%

???當a=1