高中數(shù)學(xué) 1.5.3定積分的概念課時(shí)作業(yè) 新人教A版選修2-2

1.5.3課時(shí)目標(biāo)1.了解定積分的概念.2.了解定積分的幾何意義和性質(zhì).3.會(huì)用定義求定積分．1．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b將區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2，…，n)作和式________________，當(dāng)n→∞時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的__________，記作______________，即________________，區(qū)間[a，b]叫做______________，函數(shù)f(x)叫做______________．2．定積分的幾何意義：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)________且____________，那么定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx表示由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)圍成的曲邊梯形的________．3．定積分的性質(zhì)(1)?eq\o\al(b,a)kf(x)dx＝____________(k為常數(shù))．(2)?eq\o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝________________.(3)?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝________________.一、選擇題1．定積分?eq\o\al(1,0)xdx的值是()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．02．若函數(shù)f(x)的圖象在[a，b]上是一條連續(xù)曲線，用n－1個(gè)等分點(diǎn)xi(i＝1,2，…，n－1)把[a，b]分成n個(gè)小區(qū)間，記x0＝a，xn＝b，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為Δx，任取ξi∈[xi－1，xi]，則?eq\o\al(b,a)f(x)dx等于當(dāng)n→＋∞時(shí)()A.eq\i\su(i＝1,n,f)(xi)所趨近的某個(gè)值B.eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)(b－a)所趨近的某個(gè)值C.eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx所趨近的某個(gè)值D.eq\i\su(i＝1,n,f)(xi)eq\f(Δx,n)所趨近的某個(gè)值3．定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx的大小()A．與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無(wú)關(guān)B．與f(x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無(wú)關(guān)C．與f(x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無(wú)關(guān)D．與f(x)、積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān)4．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x≥0,2xx<0))，則?eq\o\al(1,－1)f(x)dx可化為()A．?eq\o\al(1,－1)x2dxB．?eq\o\al(1,－1)2xdxC．?eq\o\al(0,－1)x2dx＋?eq\o\al(1,0)2xdxD．?eq\o\al(0,－1)2xdx＋?eq\o\al(1,0)x2dx5．定積分?eq\o\al(1,－1)x3dx的值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．06．lieq\o(m,\s\do4(n→∞))lneq\r(n,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n)))2…\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n,n)))2)可化為()A．?eq\o\al(2,1)ln2xdxB．2?eq\o\al(2,1)lnxdxC．2?eq\o\al(2,1)ln(1＋x)dxD．?eq\o\al(2,1)ln2(1＋x)dx題號(hào)123456答案二、填空題7．設(shè)變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為v(t)，則在t1到t2這一時(shí)間段內(nèi)，該物體經(jīng)過(guò)的位移s＝________.8．如圖，陰影部分的面積分別以A1，A2，A3表示，則定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝________.9．?eq\o\al(1,－1)eq\r(4－x2)dx＝____________.三、解答題10．利用定積分的幾何意義求下列定積分．(1)?eq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx；(2)?eq\o\al(2π,0)cosxdx.11．彈簧在拉伸過(guò)程中，力與伸長(zhǎng)量成正比，即力F(x)＝kx(k為常數(shù)，x是伸長(zhǎng)量)，求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)b所做的功．能力提升12．設(shè)a＝?eq\o\al(1,0)xeq\f(1,3)dx，b＝?eq\o\al(1,0)x2dx，c＝?eq\o\al(1,0)x3dx，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c>a>bB．a(chǎn)>b>cC．a(chǎn)＝b>cD．a(chǎn)>c>b13．利用定積分的幾何意義，求?eq\o\al(2,－2)f(x)dx＋sinx·cosxdx，其中f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≥0,3x－1x<0)).1．利用定積分的定義求定積分，分四步：分割、近似代替、求和、取極限．2．利用幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識(shí)求面積，不規(guī)則的圖形常用分割法求面積，注意分割點(diǎn)的準(zhǔn)確確定．答案知識(shí)梳理1.eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)積分區(qū)間被積函數(shù)2．連續(xù)恒有f(x)≥0面積3．(1)k?eq\o\al(b,a)f(x)dx(2)?eq\o\al(b,a)f1(x)dx±?eq\o\al(b,a)f2(x)dx(3)?eq\o\al(c,a)f(x)dx＋?eq\o\al(b,c)f(x)dx(a<c<b)作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[即計(jì)算由直線y＝x，x＝1及x軸所圍成的三角形的面積．]2．C[f(ξi)Δx為第i個(gè)小曲邊梯形的面積，和式f(ξ1)Δx＋f(ξ2)Δx＋…＋f(ξn)Δx表示x＝a，x＝b，y＝0及函數(shù)f(x)的圖象所圍成圖形的面積的近似值，當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)，即n趨向于＋∞時(shí)，eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx所趨近的值就是曲邊梯形的面積，即?eq\o\al(b,a)f(x)dx，故選C.]3．A4．D[?eq\o\al(1,－1)f(x)dx＝?eq\o\al(0,－1)f(x)dx＋?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝?eq\o\al(0,－1)2xdx＋?eq\o\al(1,0)x2dx.故選D.]5．D[畫草圖，f(x)＝x3的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在區(qū)間[－1,1]上，x軸上方f(x)所圍面積與x軸下方f(x)所圍面積相等，故由幾何意義知?eq\o\al(1,－1)x3dx＝0.]6．B[lieq\o(m,\s\do4(n→∞))lneq\r(n,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n)))2…\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n,n)))2)＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,l)neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))2＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,2)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))＝2?eq\o\al(2,1)lnxdx.]7．v(t)dt8．A1＋A3－A2解析利用定積分的幾何意義，在區(qū)間[a，b]上，用x軸上方f(x)所圍面積減去x軸下方f(x)所圍面積．9.eq\f(2π,3)＋eq\r(3)解析由y＝eq\r(4－x2)可知x2＋y2＝4(y≥0)，其圖象如圖．?eq\o\al(1,－1)eq\r(4－x2)dx等于圓心角為60°的弓形CED的面積與矩形ABCD的面積之和S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22－eq\f(1,2)×2×2sineq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3)，S矩形＝|AB|·|BC|＝2eq\r(3)，∴?eq\o\al(1,－1)eq\r(4－x2)dx＝2eq\r(3)＋eq\f(2π,3)－eq\r(3)＝eq\f(2π,3)＋eq\r(3).10．解(1)由y＝eq\r(1－x2)得x2＋y2＝1(y≥0)，其圖象是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓的eq\f(1,4)部分．∴?eq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(1,4)π·12＝eq\f(1,4)π.(2)由函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象的對(duì)稱性(如圖)知，?eq\o\al(2π,0)cosxdx＝0.11．解將物體用常力F沿著力的方向移動(dòng)距離x，則所做的功為W＝Fx，本題F是克服彈簧拉力的變力，是移動(dòng)距離x的函數(shù)F(x)＝kx.將[0，b]n等分，記Δx＝eq\f(b,n)，分點(diǎn)依次為：x0＝0，x1＝eq\f(b,n)，x2＝eq\f(2b,n)，…，xn－1＝eq\f(n－1b,n)，xn＝b.當(dāng)n很大時(shí)，在分段[xi，xi＋1]所用的力約為kxi，所做的功ΔWi≈kxi·Δx＝kxieq\f(b,n).則從0到b所做的總功W近似地等于eq\i\su(i＝0,n－1,Δ)Wi＝eq\i\su(i＝0,n－1,k)xi·Δx＝eq\i\su(i＝0,n－1,k)·eq\f(ib,n)·eq\f(b,n)＝eq\f(kb2,n2)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝eq\f(kb2,n2)eq\f(nn－1,2)＝eq\f(kb2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n))).于是得到彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)b所做的功為W＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝0,n－1,Δ)Wi＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(kb2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＝eq\f(1,2)kb2.12．B13．解?eq\o\al(2,－2)f(x)dx＋sinxco