人教版八年級數(shù)學(xué)上冊重難考點微專題04等腰直角三角形常見模型通關(guān)專練特訓(xùn)(原卷版+解析)

微專題04等腰直角三角形常見模型通關(guān)專練一、單選題1．（2023春·山東濟(jì)南·九年級專題練習(xí)）如圖，將一副直角三角尺重疊擺放，使得60°角的頂點與等腰直角三角形的直角頂點重合，且DE⊥AB于點D，與BC交于點F，則∠DCF的度數(shù)為（

）A．20° B．15° C．30° D．45°2．（2023春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=45°，AB=AC，點D為BC中點，直角∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F(xiàn)兩點，下列結(jié)論：①ΔDEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC邊上的一點，過點B作BE⊥AD于E，過點C作CF⊥AD交AD延長線于點F．若BE=5，EF=2，則CF的長為（

）A．2 B．2.5 C．3 D．54．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知a、b、c是△ABC三條邊的長，且滿足條件a2+2b2+A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2023秋·安徽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，點F是AB邊的中點，點D，E分別在AC，BC上運(yùn)動，且∠DFE=90°，連接DE，CF，在此運(yùn)動變化過程中，下列結(jié)論：①圖形全等的三角形只有兩對；②△ABC的面積是四邊形CDFE面積的2倍；③△DFEA．0 B．1 C．2 D．36．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，a//b，等腰直角三角形ABC的直角頂點C在直線a上，若∠1=12°，則∠2等于（

）A．24° B．30° C．33° D．35°7．（2023秋·山東日照·八年級日照港中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知△ABC與△ADE都是以A為直角頂點的等腰直角三角形，△ADE繞頂點A旋轉(zhuǎn)，連接BD,CE．以下三個結(jié)論：①BD=CE；②∠AEC+∠DBC=45°；③BD⊥CE；其中結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．08．（2023秋·廣西桂林·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A，B重合），以下五個結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四邊形AEPF=A．2 B．3 C．4 D．59．（2017秋·八年級單元測試）如圖，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD＝17，BE＝5，那么AC的長為(

)A．13 B．12 C．7 D．510．（2023春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，分別以AC，BC為直角邊作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．若△ACD的面積為S1，△BCE的面積為S2，則S

A．25 B．10 C．252 D．二、填空題11．（2023秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD是等腰直角三角形ABC的底邊上的中線，以AD為邊向右作等邊三角形ADE，則∠EAC的度數(shù)為．12．（2023秋·重慶·八年級重慶十八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC邊上的一點，過點B，C作BE⊥AD，CF⊥AD分別交AD于E，F(xiàn)，若BE=5，CF=3，則EF=．13．（2023秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）△ABC為等腰直角三角形，若A（?4，0），C（0，2），則點B的坐標(biāo)為.14．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，ABC的高AD、BE交于點F，△ABD是等腰直角三角形，F(xiàn)B=AC，連結(jié)CF，則∠CFD=．15．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD的周長為12，面積為4．以DC為直角邊向外作等腰直角三角形DCE（∠DCE=90°），以BC為直角邊向外作等腰直角三角形BCF（∠BCF=90°），連接EF，則五邊形ABFED的面積為．

16．（2023秋·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中校考周測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(?3，0)，B(1，0)，以AB為斜邊畫等腰直角三角形△ABC三、解答題17．（2023春·四川內(nèi)江·九年級四川省隆昌市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三點在同一直線上，連接BD，AE，并延長AE交BD于F．求證：(1)△ACE?△BCD；(2)AE⊥BD．18．（2023秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC,△ADE都是等腰直角三角形，連接BD,CE．(1)求證：△BAD≌△CAE；(2)若延長BD交CE于點F，試判斷BF與CE的位置關(guān)系，并說明理由．19．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．(1)求證：AD=BE；(2)求∠AEB的度數(shù)；(3)探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM⊥DE于點M，連接BE．①∠AEB的度數(shù)為°；②線段DM，AE，20．（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，連接BD交AC于點F，連接CE交AD于點G，BD與CE交于點P．求∠BPC的度數(shù)．21．（2023秋·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△DBC是等腰直角三角形，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，與CD交于點F，延長BD到點A，使DA=DF，延長BF交AC于點(1)求證：BF=AC；(2)求證：CE=122．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為邊向外作等腰直角三角形△ABD和△ACE，∠BAD＝90°，∠CAE＝90°．(1)如圖①，連接BE、CD，求證：BE＝CD；(2)如圖②，連接DE，求證：S△ABC＝S△ADE．23．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一條直線上，連接BE．（1）求證：AD＝BE；（2）求∠AEB的度數(shù)．24．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、CA的延長線于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）求證：△EPF是等腰直角三角形；（3）求證：∠FEA＋∠PFC＝45°；（4）求證：S△PFC－S△PBE＝12S△ABC25．（2023秋·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期中）關(guān)于等腰直角三角形兩腰的運(yùn)用：可以把兩腰分散到兩個三角形中用全等去思考，通常尋找或構(gòu)造兩腰為斜邊的兩個直角三角形全等，再由全等性質(zhì)讀出結(jié)論解決問題．（1）已知：如圖（1），等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ADC＝∠E＝90°，則△ACD≌△CBE，全等的依據(jù)是．（2）已知：如圖（2），梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，△EDC為等腰直角三角形，∠EDC＝90°，若AD＝2，BC＝5，求△AED的面積．這道題，我們可構(gòu)造DE，DC為斜邊的兩個直角三角形；具體構(gòu)造如下：作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，根據(jù)提示，通過思考運(yùn)算，請直接寫出S△AED＝．（3）已知：如圖（3），等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BC，AD交于點E，若BD＝2，求AE的長．

微專題04等腰直角三角形常見模型通關(guān)專練一、單選題1．（2023春·山東濟(jì)南·九年級專題練習(xí)）如圖，將一副直角三角尺重疊擺放，使得60°角的頂點與等腰直角三角形的直角頂點重合，且DE⊥AB于點D，與BC交于點F，則∠DCF的度數(shù)為（

）A．20° B．15° C．30° D．45°【答案】B【分析】根據(jù)一副直角三角板可知∠A=90°，∠ACB=60°，∠CDE=45°，根據(jù)DE⊥AB可知AC//DE，進(jìn)一步可知∠ACD=∠CDE=45°，即可求出【詳解】解：在等腰ΔCDE中，∠CDE=45°在直角ΔABC中，∠A=90°，∠ACB=60°∵DE⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠A=∠BDF，∴AC//∴∠ACD=∠CDE=45°，∴∠DCF=60°?45°=15°，故選：B．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等，熟練掌握三角板各內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=45°，AB=AC，點D為BC中點，直角∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F(xiàn)兩點，下列結(jié)論：①ΔDEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAD=45°，根據(jù)同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角邊角”證明△BDE≌△ADF，判斷出③正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF、BE=AF，從而得到△DEF是等腰直角三角形，判斷出①正確；再求出AE=CF，判斷出②正確；根據(jù)BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得BE+CF>EF，判斷出④錯誤．【詳解】解：∵∠B=45°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵點D為BC中點，∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，∴∠CAD=∠B，∵∠MDN是直角，∴∠ADF+∠ADE=90°，∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，∴∠ADF=∠BDE，在△BDE和△ADF中，∠CAD=∠BAD=BD∴△BDE≌△ADFASA∴DE=DF、BE=AF，又∵∠MDN是直角，∴△DEF是等腰直角三角形，故①正確；∵AE=AB?BE，CF=AC?AF，∴AE=CF，故②正確；∵BE+CF=AF+AE>EF，∴BE+CF>EF，故④錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論有①②③；故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等的性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC邊上的一點，過點B作BE⊥AD于E，過點C作CF⊥AD交AD延長線于點F．若BE=5，EF=2，則CF的長為（

）A．2 B．2.5 C．3 D．5【答案】A【分析】證明△AFC≌△BEA，得到BE=AF,CF=AE，即可得解．【詳解】解：∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠EAC=90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB=∠AFC=90°，∴∠ACF+∠EAC=90°，∴∠ACF=∠BAE，在△AFC和△BEA中：∠AEB=∠CFA∠ACF=∠BAE∴△AFC≌△BEAAAS∴AF=BE=5,AE=CF，∴AE=AF?EF=5?3=2，∴CF=2．故選：A【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知a、b、c是△ABC三條邊的長，且滿足條件a2+2b2+A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先利用分組分解法對已知等式的左邊進(jìn)行因式分解，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=b=c，從而得到答案．【詳解】解：∵a2∴a2∴a2∴a?b2∵a?b2∴a?b2∴a?b=0，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形，故選A．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的判斷，解題的關(guān)鍵在于靈活利用因式分解建立與方程之間的關(guān)系來解決問題．5．（2023秋·安徽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，點F是AB邊的中點，點D，E分別在AC，BC上運(yùn)動，且∠DFE=90°，連接DE，CF，在此運(yùn)動變化過程中，下列結(jié)論：①圖形全等的三角形只有兩對；②△ABC的面積是四邊形CDFE面積的2倍；③△DFEA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】可證△ACF≌△BCFSAS，△CEF≌△ADFASA，【詳解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，點F是AB∴AF=BF=CF，∴∠ACF=∠A=∠B=∠BCF=45°，∴△ACF≌△BCFSAS∵∠DFE=90°，∴∠AFD+∠CFD=90°=∠CFE+∠CFD，∴∠ACF=∠CFE，又∵CF=AF，∴△CEF≌△ADFASA同理可證△CDF≌△BEF，故①錯誤；∴S△CEF=S∴△DFE是等腰直角三角形，S四邊形∴錯誤的只有1個，故選B．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．6．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，a//b，等腰直角三角形ABC的直角頂點C在直線a上，若∠1=12°，則∠2等于（

）A．24° B．30° C．33° D．35°【答案】C【分析】過點B作BD//a，由平行線的性質(zhì)可得∠CBD=∠1=12°，由a//b，可得BD//b，繼而可得∠2=∠ABD，然后根據(jù)三角形ABC是等腰直角三角形和角的和差關(guān)系即可求得答案．【詳解】解：如圖，過點B作BD//a，∴∠CBD=∠1=12°，∵a//b，∴BD//b，∴∠2=∠ABD，∵∠ABD=∠ABC?∠CBD=45°?12°=33°，∴∠2=33°．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)和輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·山東日照·八年級日照港中學(xué)校考期末）如圖，已知△ABC與△ADE都是以A為直角頂點的等腰直角三角形，△ADE繞頂點A旋轉(zhuǎn)，連接BD,CE．以下三個結(jié)論：①BD=CE；②∠AEC+∠DBC=45°；③BD⊥CE；其中結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】證明△BAD≌△CAE，由此判斷①正確；由全等的性質(zhì)得到∠ABD=∠ACE，求出∠ACE+∠DBC=45°，依據(jù)AE≠AC，推出∠AEC≠∠ACE，故判斷②錯誤；設(shè)BD交CE于M，根據(jù)∠ACE+∠DBC=45°，∠ACB=45°，求出∠BMC=90°，即可判斷③正確．【詳解】解：∵△ABC與△ADE都是以A為直角頂點的等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，故①正確；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∵AE≠AC，∴∠AEC≠∠ACE，∴∠AEC+∠DBC=45°不成立，故②錯誤；設(shè)BD交CE于M，∵∠ACE+∠DBC=45°，∠ACB=45°，∴∠BMC=90°，∴BD⊥CE，故③正確，故選：B．【點睛】此題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記三角形全等的判定定理及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·廣西桂林·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A，B重合），以下五個結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四邊形AEPF=A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】證明△AEP≌△CFP（ASA）即可判斷①②③；EF不一定是中位線，所以EF≠AP；由S△APE=S△PFC，推出S四邊形AFPE=S△APC，即可判斷⑤；【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，∴AP=CP，∠BAP=∠C=45°，∵∠EPF=90°，∴∠EPA+∠APF=90°，∠APF+∠CPF=90°，∴∠APE=∠CPF，∴△AEP≌△CFP（ASA），∴AE=CF；故①②正確；由△AEP≌△CFP（ASA），∴EP=PF，∴△EPF是等腰直角三角形，故③正確；∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，∴AP=12BC又∵EF不一定是△ABC的中位線，∴EF≠AP；故④錯誤；∵△AEP≌△CFP，∴S△APE=S△PFC，∴S四邊形AFPE=S△APC，∵P是BC中點，∴S△APC=12S△ABC∴S四邊形AFPE=12S△ABC綜上，①②③⑤正確，共4個，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵．9．（2017秋·八年級單元測試）如圖，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD＝17，BE＝5，那么AC的長為(

)A．13 B．12 C．7 D．5【答案】A【詳解】試題分析：根據(jù)已知條件可得：BC=BE=5，則AB=DB=17－5=12，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：12－5＜AC＜12+5即7＜AC＜17，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得：AC＞AB=12，即12＜AC＜17.考點：(1)、三角形三邊關(guān)系；(2)、等腰三角形的性質(zhì)10．（2023春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，分別以AC，BC為直角邊作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．若△ACD的面積為S1，△BCE的面積為S2，則S

A．25 B．10 C．252 D．【答案】C【分析】由勾股定理求出BC2+A【詳解】解：∵∠ACB=90°，AB=5，∴BC∵△BEC和△ADC是等腰直角三角形，∴BE=BC，AD=AC，∴S1故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計算方法；熟練掌握勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD是等腰直角三角形ABC的底邊上的中線，以AD為邊向右作等邊三角形ADE，則∠EAC的度數(shù)為．【答案】15°/15度【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAD=45°，再由等邊三角形的性質(zhì)可得∠DAE=60°，即可求解．【詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=45°，∵AD是△ABC的底邊上的中線，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴∠CAD=45°，∵以AD為邊向右作等邊三角形ADE，∴∠DAE=60°，∴∠CAE=∠DAE?∠CAD=15°．故答案為：15°【點睛】本題主要考查了等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·重慶·八年級重慶十八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC邊上的一點，過點B，C作BE⊥AD，CF⊥AD分別交AD于E，F(xiàn)，若BE=5，CF=3，則EF=．【答案】2【分析】證明△AFC≌△BEA，得到BE=AF,CF=AE，即可得解．【詳解】解：∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠EAC=90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB=∠AFC=90°，∴∠ACF+∠EAC=90°，∴∠ACF=∠BAE，在△AFC和△BEA中：∠AEB=∠CFA∠ACF=∠BAE∴△AFC≌△BEA（AAS），∴AF=BE=5,AE=CF=3，∴EF=AF?AE=5?3=2；故答案為：2．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）△ABC為等腰直角三角形，若A（?4，0），C（0，2），則點B的坐標(biāo)為.【答案】（2，?2）【分析】過點B作BT⊥y軸于點T．證明△AOC?△CTB，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖中，過點B作BT⊥y軸于點T．∵A（?4，0），C（0，2），∴OA=4，OC=2，∵∠AOC=∠ACB=∠CTB=90°，∴∠ACO+∠BCT=90°，∠BCT+∠CBT=90°，∴∠ACO=∠CBT，在△AOC和△CTB中，∠AOC∴△AOC?△CTB（AAS），∴AO=CT=4，BT=CO=2，∴OT=CT?CO=2，∴B（2，?2），故答案為：（2，?2）．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．14．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，ABC的高AD、BE交于點F，△ABD是等腰直角三角形，F(xiàn)B=AC，連結(jié)CF，則∠CFD=．【答案】45°【分析】根據(jù)已知得出AD=BD，再利用HL判定△ACD≌△BFD，進(jìn)而可得CD＝FD，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵AD、BE是△ABC的高，∴AD⊥BC，BE⊥AC,∴∠ADB＝∠ADC＝90°∵△ABD是等腰直角三角形∴AD=BD在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC∴Rt△ACD≌Rt△BFD，∴CD＝FD，又∵∠CDF＝90°∴△CDF是等腰直角三角形∴∠CFD＝45°故答案為45°【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定和性質(zhì)證得CD＝FD．15．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD的周長為12，面積為4．以DC為直角邊向外作等腰直角三角形DCE（∠DCE=90°），以BC為直角邊向外作等腰直角三角形BCF（∠BCF=90°），連接EF，則五邊形ABFED的面積為．

【答案】20【分析】根據(jù)長方形的周長和面積得出CD+BC=6，CD×BC=4，再結(jié)合等腰直角三角形，表示出五邊形ABFED的面積為SABCD+S【詳解】解：∵長方形ABCD的周長為12，面積為4，∴CD+BC=12×12=6∵三角形DCE和三角形BCF是等腰直角三角形，∴五邊形ABFED的面積為：S=4+=4+=4+=4+=20；故答案為：20．【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握整體思想，靈活運(yùn)用完全平方公式．16．（2023秋·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中校考周測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(?3，0)，B(1，0)，以AB為斜邊畫等腰直角三角形△ABC【答案】(?1，2)【分析】取AB的中點D，推出△ADC，△BDC都是等腰直角三角形，求得CD=AD=BD=2，據(jù)此求解即可．【詳解】解，取AB的中點D，連接CD，∵點A(?3，0)，B∴AB=4，AD=BD=2，點D的坐標(biāo)為(?1∵△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，∴CD⊥AB，∠CAB=∠CBA=45°，∴△ADC，△BDC都是等腰直角三角形，∴CD=AD=BD=2，∴點C的坐標(biāo)為(?1，2)或故答案為：(?1，2)或【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△ADC，△BDC都是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2023春·四川內(nèi)江·九年級四川省隆昌市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三點在同一直線上，連接BD，AE，并延長AE交BD于F．求證：(1)△ACE?△BCD；(2)AE⊥BD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】先根據(jù)SAS判定△ACE?△ECD即可，從而得到∠EAC=∠DBC，根據(jù)角之間的關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理可證得AE⊥BD．【詳解】（1）證明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠ECD=90°，在△ACE和△BCD，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE?△BCDSAS（2）∵△ACE?△BCD，∴∠EAC=∠DBC，又∵∠DBC+∠CDB=90°，∴∠EAC+∠CDB=90°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥BD，即AE⊥BD．【點睛】此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定以及直角三角形的判定的掌握情況．解題時注意：兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．18．（2023秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC,△ADE都是等腰直角三角形，連接BD,CE．(1)求證：△BAD≌△CAE；(2)若延長BD交CE于點F，試判斷BF與CE的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)BF⊥CE，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC,∠BAC=∠DAE=90°,AD=AE，從而得到∠BAD=∠CAE，再利用SAS證明△BAD≌△CAE，即可；（2）設(shè)AC與BF交于點G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠ACE，再由三角形內(nèi)角和定理，即可．【詳解】（1）證明：∵△ABC,△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC,∠BAC=∠DAE=90°,AD=AE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE，∴△BAD≌△CAESAS（2）解：BF⊥CE，理由如下：如圖，設(shè)AC與BF交于點G，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠AGB=∠CGF∴∠BFC=∠BAC=90°，∴BF⊥CE．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．(1)求證：AD=BE；(2)求∠AEB的度數(shù)；(3)探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM⊥DE于點M，連接BE．①∠AEB的度數(shù)為°；②線段DM，AE，【答案】(1)見解析(2)∠AEB=60°；(3)①90；②AE=BE+2DM【分析】（1）通過SAS證明△ACD≌△BCE，可得AD=BE；（2）由△ACD≌△BCE得∠ADC=∠CEB=120°，又由∠CED=60°，可得∠AEB=60°；（3）同（1）的方法可得△ACD≌△BCE，∠CEB=∠ADC=135°即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴AC=BC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE；（2）解：由△ACD≌△BCE得：∠ADC=∠CEB=120°，∵∠CED=60°，∴∠AEB=60°；（3）解：①∵∠ACB=∠DCE=90°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∠CDE=∠CED=1又∵AC=BC，∴△ACD≌△BCESAS∴∠BEC=∠ADC=135°，∴∠AEB=∠CEB?∠CED=135°?45°=90°；故答案為：90；②由△ACD≌△BCE知：AD=BE，∵△DCE為等腰直角三角形，CM⊥DE，∴DE=2DM，∵AE=AD+DE，∴AE=BE+2DM．故答案為：AE=BE+2DM．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，連接BD交AC于點F，連接CE交AD于點G，BD與CE交于點P．求∠BPC的度數(shù)．【答案】90°【分析】根據(jù)∠BAC=∠DAE=90°，可得∠BAD=∠CAE，可證得△ABD≌△ACE，從而得到∠ABD=∠ACE，再由∠AFB=∠PFC，可得∠BPC=∠BAC=90°．【詳解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴∠ABD=∠ACE，∵∠AFB=∠PFC，∴∠BPC=∠BAC=90°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證得△ABD≌△ACE是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△DBC是等腰直角三角形，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，與CD交于點F，延長BD到點A，使DA=DF，延長BF交AC于點(1)求證：BF=AC；(2)求證：CE=1【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）證明△FBD≌△ACDSAS（2）利用△FBD≌△ACD，和BF平分∠DBC，證明△ABE≌△CBEASA【詳解】（1）證明：∵△DBC是等腰直角三角形，∴DB=DC,∠BDF=∠CDA=90°，在△FBD和△ACD中，BD=DC∴△FBD≌△ACDSAS∴BF=AC；（2）證明：∵△FBD≌△ACD，∴∠ACD=∠FBD,AC=BF,∵∠BDF=90°，∴∠FBD+∠DFB=90°，∵∠CFE=∠BFD，∴∠EFC+∠ACD=90°，∴∠CEF=180°?90°=90°=∠BEA，∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠CBE，在△ABE和△CBE中，∠ABE=∠CBE∴△ABE≌△CBEASA∴AE=EC，∵BF=AC，∴BF=2CE．【點睛】本題考查全等三角形判定和性質(zhì)綜合應(yīng)用．熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．同時考查了等腰三角形的性質(zhì)和角平分線．22．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為邊向外作等腰直角三角形△ABD和△ACE，∠BAD＝90°，∠CAE＝90°．(1)如圖①，連接BE、CD，求證：BE＝CD；(2)如圖②，連接DE，求證：S△ABC＝S△ADE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意得AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝CAE＝90°，∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，用SAS證得△CAD≌△EAB，即可得；（2）作DG⊥EA于G，BH⊥AC于H，則∠AGD＝∠AHB＝90°，根據(jù)角之間的關(guān)系得∠DAG＝∠BAH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD＝AB，AE＝AC，用AAS證得△ADG≌△ABH，得DG＝BH，即可得．【詳解】（1）證明：∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝CAE＝90°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD和△EAB中，AC=AE∠CAD=∠EAB∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE＝CD；（2）證明：如圖②所示，作DG⊥EA于G，BH⊥AC于H，則∠AGD＝∠AHB＝90°，∵∠CAE＝90°，∴∠CAG=∠BAD=90°，∴∠DAG＝∠BAH，∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∠BAD＝90°，∠CAE＝90°，∴AD＝AB，AE＝AC，在△ADG和△ABH中，∠AGD=∠AHB∴△ADG≌△ABH（AAS），∴DG＝BH，又∵S△ABC＝12AC×BH，S△ADE＝12AE×∴S△ABC＝S△ADE．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．23．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一條直線上，連接BE．（1）求證：AD＝BE；（2）求∠AEB的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析，（2）90°．【分析】（1）證明△ACD≌△BCE即可得AD＝BE；（2）利用（1）中結(jié)論可得∠CEB＝∠CDA＝180°﹣∠CDE＝180°﹣45°＝135°，又∠CED＝45°，從而∠AEB＝∠CEB﹣∠CED可求．【詳解】（1）證明：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACD+∠DCB＝∠BCE+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．（2）解：由（1）可知∠CDE＝∠CED＝45°，∠CEB＝∠CDA＝180°﹣∠CDE＝180°﹣45°＝135°，又∵∠CED＝45°，∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、CA的延長線于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）求證：△EPF是等腰直角三角形；（3）求證：∠FEA＋∠PFC＝45°；（4）求證：S△PFC－S△PBE＝12S△ABC【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）見解析．【分析】（1）先證明△EPB≌△FPA，得AF=BE，再由已知條件即可求證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合題意即可得證；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，進(jìn)行角的等量代換，即可求證；（4）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用全等的性質(zhì)，可得，S△PFC－S△PBE＝S△PFC－S△FPA=【詳解】（1）如圖，連接AP，P是BC中點，∵AB＝AC，∠BAC＝90°,∴AP⊥BC，AP=1∴∠APB=90°，∠BAP=∠ABP=45°,∵∠EBP=180°?∠ABP=180°?45°=135°,∠FAP=∠FAB+∠BAP=90°+45°=135°,∴∠EBP=∠FAP,∵∠EPF=90°,∴∠E