人教版九年級數(shù)學上冊專項復習：圓的證明綜合（解析版）

專題24.3圓的證明綜合

【例題精講】

【例1】如圖，四邊形ABCD為菱形，以題為直徑作。交至于點尸，連接交CO于

點、H,E是BC上的一點，且BE=BF,連接DE.

（1）求證：DE是O的切線.

⑵若BF=2,DH=逐,求_O的半徑.

【解答】（1）證明：如圖1,連接DF,

四邊形ABCD為菱形，

:.AB=BC^CD=DA,AD!IBC,ZDAB=ZC,

圖1

BF=BE,

:.AB—BF=BC—BE，

即AF=CE,

ADAF=ADCE(SAS),

:.ZDFA=ZDEC,

AD是。的直徑，

:.ZDFA=90°,

.-.ZDEC=90°

AD!IBC,

:.ZADE=ZDEC=90°,

:.ODVDE,

OD是。的半徑，

:.DE是。的切線；

(2)解：如圖2,連接

AD是.O的直徑，

.-.ZAHD=ZDFA=90°,

.-.ZDFB=90°,

AD=AB,DH=5

DB=2DH=2行，

在RtAADF和RtABDF中，

DF2^AD2-AF2,DF2=BDr-BF2,

:.AEr-AF2=DB2-BF2,

AD2-(AD-BF)2=DB2-BF2,

AD2-(AD-2)2=(262-22,

:.AD=5.

o的半徑為9.

2

【例2】如圖，已知P是。外一點，PO交P于點C,OC=CP=4,弦ABLOC,劣

弧AB的度數(shù)為120°,連接

(1)求8c的長；

(2)求證：PB是。的切線.

A

【解答】（1）解：連接05,

弦AB_LOC,劣弧AB的度數(shù)為120。，

.?.弧5。與弧AC的度數(shù)為：60°,

...ZBOC=60。，

OB=OC,

AOBC是等邊三角形,

,-.BC=OC=4；

(2)證明：OC=CP,BC=OC,

.?.BC=CP,

:.ZCBP=ZCPBf

△OBC是等邊三角形，

..ZOBC=ZOCB=60°,

/.ZCBP=30°,

Z.OBP=ZCBP+ZOBC=90°,

.\OB.LBP,

,點6在,：。上，

..PB是。的切線.

【題組訓練】

1.如圖，PA為。的切線，A為切點，過點A作AB_LOP,垂足為點C,交。于點3,

延長30與上4的延長線交于點。.

(1)求證：PB是一O的切線；

(2)若03=3,OD=5,求。尸的長.

AB±OP,OB=OA,

:.Z￡OP=ZAOP,

是。的切線，

:.ZOAP=90°,

在AOB尸與AOAP中，

OB=OA

-ZBOP=ZAOP,

OP=OP

:.AOBP=AOAP(SAS),

ZOBP=ZOAP=90°,

:.OB±PB,

03是半徑，

:.PB是。的切線；

⑵解：8=5,04=03=3,

在RtAAOD中，AD=-JOD2-OA2=4,

PA.PB為O的切線,

:.PA=PB,

在RtADBP中，PD2=PB2+BD2,即（PB+4）2=PB~+82,

:.PB=6,

在RtAOBP中，0P=ylOB2+PB2=^62+32=34.

2.如圖，在。中，他是。的直徑，CD是一O的弦，CD±AB,垂足為P.過點。作

O的切線與鉆的延長線交于點E.若N54c=35。，求NE的度數(shù).

【解答】解：連接OD,AC,

AB±CD,AS是1O的直徑,

/.BD=BC,

.?.ZBCD=NBAC=35。,

ZEOD=2ZDCB=70°,

DE是O的切線，

.〔NODE=90。，

.-.ZE=90°-70°=20°,

故NE的度數(shù)為70。.

6.如圖，鹿是O的直徑，點A和點。是一。上的兩點，過點A作。的切線交防延長

線于點C.

(1)若ZADE=25。,求/C的度數(shù)；

(2)若AB=AC,CE=2,求。半徑的長.

A

【解答】解：（1）連接Q4,

AC是。的切線，。4是（O的半徑,

.\OA±AC,

.\ZOAC=90°,

AE=AE,ZADE=25°,

ZAOE=2ZADE=50°,

ZC=900-ZAOE=90°-50°=40°；

(2)AB=AC,

:.ZB=NC,

AE=AE,

:.ZAOC=2ZB,

.\ZAOC=2ZC,

ZOAC=90°f

/.ZAOC+ZC=90°,

/.3ZC=90°,

/.ZC=30°,

:.OA=-OC,

2

設：O的半徑為r,

CE=2,

1/

r——(r+2),

解得：丫=2,

。的半徑為2.

7.如圖，AB是O的直徑，點。在AB的延長線上，。、E是。上的兩點，CE=CB,

ZBCD=NCAE,延長AE交的延長線于點尸.

(1)求證：CD是O的切線；

AB是。的直徑，

..ZACB=90°,

ZCAD-^-ZABC=90°,

CE=CB,

.\ZCAE=ZCAB,

ZBCD=ZCAE,

:.Z.CAB=ZBCD,

OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

:./OCB+ZBCD=90。,

.?.NOCD=90。，

二.CD是.O的切線；

(2)ZBAC=ZCAE,ZACB=ZACF=90°,AC=AC,

:.AABC=AAFC(ASA),

...CB=CF,

又?CB=CE,

10.如圖，在AA5c中，ZC=90°,NABC的平分線屏;交AC于點E,過點E作直線

3E的垂線交AB于點尸，。是ABER的外接圓.

(1)求證：AC是；。的切線；

(2)過點E作瓦/_LAB于點〃，求證：EF平分ZAEH；

(3)求證：CD=HF.

【解答】（1）證明：如圖，連接OE.

BE±EF,:.NBEF=90。,

.?.3-是圓。的直徑，

OB=OE,

:.ZOBE=ZOEBf

BE平分ZABC,

:.ZCBE=ZOBE,

,\ZOEB=ZCBE,

:.OE//BC,

ZAEO=ZC=90°,

是。的切線；

(2)證明：ZC=ZBHE=90°,ZEBC=NEBA,

:.BEC=ZBEH,

BF是。是直徑，

,\ZBEF=90°,

ZFEH+ZBEH=90°,ZAEF+ZBEC=90°,

:,ZFEH=ZFEA,

:.FE平分ZAEH.

(3)證明：如圖，連接DE.

fiE是NAB。的平分線，EC上BC于C,EHLAB于H,

:.EC=EH.

NCDE+ZBDE=180。,ZHFE+ZBDEW80。,

:.ZCDE=ZHFE,

ZC=ZEHF=90°,

ACDE=AHFE(AAS),

:.CD=HF,

11.如圖，AB是。的直徑，過點8作O的切線弦,CDIIBM,交AB于點方，且

DA=DC,連接AC,AD,延長4)交瀏/于點石.

(1)求證：AACD是等邊三角形；

(2)連接OE,若DE=2,求O石的長.

【解答】（1）證明：AB是；。的直徑，3M是。的切線,

:.ABLBE,

CD//BE,

,\CD±AB,

AD=AC9

DA=DC,

AD=AC=CD,

...AD=AC=CD,

AACD是等邊三角形;

(2)解：連接O石，過O作ON_LAD于N,由(1)知，AACD是等邊三角形,

/.ZZMC=60°

AD=AC,CDLAB,

:.ZDAB=30°,

:.BE=-AE,ON=-AO,

22

設1O的半徑為：r,

:.ON=-r,AN=DN=-r,

22

?G技+2

..EN—2Hv,BE——AE-----------,

222

在RtANEO與&ABEO中，

OE2=ON2+NE°=OB2+BE2,

即(，2+(2+孚了=/+(V3r+2)s

:.r=,

OE2=（回+25=28,

OE=2-/7.

12.如圖，在A4BC中，AB=AC,以AB為直徑的O交BC于點。，過點。作的切

線DE,交AC于點E,AC的反向延長線交＜O于點F.

(1)求證：DE±AC；

(2)若。E+E4=8,。的半徑為10,求AF的長度.

【解答】(1)證明：OB=OD,

:.ZABC=AODB.

AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

:.NODB=ZACB,

:.OD//AC.

DE是。的切線，OZ）是半徑,

:.DE±OD,

:.DE±AC；

(2)如圖，過點。作于點4,則NODE=NDEH=NOHE=90。,

四邊形ODE"是矩形，

:.OD=EH,OH=DE.

設AH=x.

DE+AE=8,00=10,

AE=10—x>OH=DE=8—(10—x)=x—2.

在RtAAOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=O^,即％?+(]-2)2=1()2,

解得力=8,X2=-6（不合題意，舍去）.

.\AH=8.

OHLAF,

:.AH^FH=-AF,

2

13.如圖，AABC內接于c。，AB=AC,AD是。的直徑，交BC于點、E,過點。作

DF//BC,交AB的延長線于點歹，連接班）.

（1）求證：DF是_O的切線；

（2）已知AC=12,AF=15,求DF的長.

【解答】（1）證明：是:。的直徑,

:.ZABD^90°,

即NABC+NCB￡>=90°,

AB=AC,

,\ZABC=ZC,

ZADB=NC,

:.ZABC=ZADB.

BC/IDF,

.\ZCBD=ZFDB,

ZADB+ZFDB=90。,

即NAT4二90。，

.\AD±DF,

又-OD是:O的半徑，

.，DF是O的切線；

(2)解：AB=AC=12fAF=15,

:.BF=AF-AB=3,

ZF=ZF，NFBD=NFDA=90。,

..AFBD^AFDA,

:.BF:DF=DF:AF,

:.DF2=BFxAF=3x15=45,

:.DF=445=3y/5.

14.如圖，AABC內接于O,NB=60。，CD是O的直徑，點尸是CD延長線上的一點,

且AP=AC.

(1)求證：Q4是_。的切線；

(2)若A5=4+J5,3C=2百，求O的半徑.

【解答】(1)證明：連接Q4.

ZB=60°,

.\ZAOC=2ZB=120°,

又-OA=OC,

ZOAC=ZOCA^30°,

又?AP=AC,

;.NP=NACP=30。，

:.ZOAP=ZAOC-ZP=90°,

:.OA±PA,

，上4是,。的切線；

(2)解：過點C作CE_LAB于點E.

在RtABCE中，ZB=60°,BC=26,

:.BE=-BC=y/3,CE=3,

2

AB=4+A/3,

:.AE=AB-BE=4,

.?.在RtAACE中，AC=-jAE2+CE2=5,

AP=AC=5.

.,.在RtAPAO中，0A=—,

3

的半徑為歲.

15.如圖，A5是」O的直徑，點尸，C是」O上兩點，且4尸=尸。=。8,連接AC,AF,

過點C作。。，4廠交針延長線于點￡>,垂足為。.

(1)求證：CD是。的切線；

(2)若CD=2也,求O的半徑.

D

c

飛OD

【解答】（1）證明：連接oc,如圖，

FC=BC,

:.ZFAC=ZBAC,

OA=OC,

.\ZOAC=ZOCAf

.\ZFAC=ZOCA,

.'.OC//AF,

CDLAF,

:.OC±CD,

「.CD是O的切線；

（2）解：連接3C,如圖，

AB為直徑，

/.ZACS=90°,

AF=FC=CB,

.?.ZBOC=-xl80°=60°,

3

ABAC=30°,

ZZMC=30。，

在RtAADC中，8=2百，

/.AC=2CD=46,

在RtAACB中，BC=—AC=—X4A/3=4,

33

/.AB=2BC=8，

.?.?o的半徑為4.

D.

16.如圖，RtAABC中，ZABC=9Q°,以Afi為直徑作半圓：O交AC與點、D,點、E為BC

的中點，連接DE.

（1）求證：DE是半圓.O的切線.

（2）若NBAC=30。，DE=2,求AD的長.

【解答】（1）證明：連接OD,OE,BD,

AB為圓。的直徑，

:.ZADB=NBDC=90。,

在RtABDC中，E為斜邊2C的中點，

/.DE=BE,

在AQ56和AOD石中，

OB=0D

<0E=0E,

BE=DE

:.\OBE=\ODE{SSS),

ZODE=ZABC=90°,

則DE為圓。的切線；

(2)在RtAABC中，440=30。，

2

BC=2DE=4,

/.AC=8,

又-ZC=60°,DE=CE,

.?.ADEC為等邊三角形，即OC=DE=2,

貝AT>=AC—OC=6.

17.如圖，在AABC中，。是邊3c上一點，以BD為直徑的,O經(jīng)過點A,且NC4￡>=NABC.

(1)請判斷直線AC是否是O的切線，并說明理由；

(2)若CD=2,04=4,求弦AB的長.

【解答】解：(1)直線人(？是<。的切線,

理由如下：如圖，連接。4,

BD為的直徑，

ABAD=90°=Z.OAB+AOAD,

OA=OB,

:.ZOAB=ZABC,

又：ZCAD=ZABC,

:.ZOAB=ZCAD=ZABC,

ZOAD+ZCAD=90°=ZOAC,

:.ACrOA,

又，Q4是半徑，

,直線AC是。的切線；

(2)方法一、過點A作于E,

OC2=AC2+AO2,

二.(OA+2>=16+042,

.'.OA=3,

OC=5iBC—8,

SZ.AnCAz/lCr=2-xOAxAC=-2xOCxAE,

:.AACD^ABCA,

.CDACAD

,AC-BC-

?2_4A。

4-BC-BA'

.\BC=8,AB=2AD,

BD=6,

AB^AD^BD2,

:.5AD2=36,

2AD=^-

AB=

5

18.如圖，在AASC中，AB=AC,AD_L3C于點。，E是至上一點，以CE為直徑的O

交BC于點F,連接OO,S.ZDOC=90°.

(1)求證：鈣是,。的切線；

(2)若DF=2,DC=6,求BE的長.

A

【解答】(1)證明：AB=AC,AD±BC,

..CD=DB,又CO=OE,

:.OD//BE,

:.ZCEB=ZDOC=90°,

:.CE±AB,

二.AB是。的切線；

(2)解：連接EF、ED,

BD=CD=6,

.\BF=BD-DF=4,

CO=OE,ZDOC=90°,

DE=DC=6,

CE為。的直徑，

:.ZEFC=90°,

EF=y/DE2-DF2=4近，

BE=^BF2+EF2=473.

20.如圖，AB是.O的直徑，點P在上，5.PA^PB,點M是。外一點，MB與.O

相切于點3,連接31,過點A作AC//OM交?O于點C,連接3c交于點。.

(1)求證：OD=-AC；

2

(2)求證：是。的切線；

(3)若05=",BC=12,連接尸C,求PC的長.

【解答】(1)證明：AB是1O的直徑,

ZAC6=90°,

又?AC//OM,

ZBDO=ZACB=90°f

:.OD,LBC,

二。為的中點，O為AB的中點，

「.OD為AABC的中位線，

:.OD=-AC；

2

(2)證明：如圖所示：連接OC,

AC//OM,

:.ZOAC=ZBOM,ZACO=ZCOM,

OA=OC,

.\ZOAC=ZACO,

,\ZBOM=ZCOM,

在AOCM與AOBM中，

OC=OB

</COM=ZBOM,

OM=OM

KOCM=AOBM(SAS),

又?MS是(。的切線，

ZOCM=ZOBM=90°,

又-OC是半徑，

是二。的切線;

(3)解：是《。的直徑,

\ZACB=ZAPB=90°,

。喈

\AB=15,

..PA=PB=^^,

2

BC=12,

..AC=9,

過點A作AH_LP。于點”,

AC=2OD=9,ZACH=ZABP=45°,

—呼PH=siPA2-AH2=一（半了=6A/2,

:.PC=PH+CH*

21.如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=120。，點。在3c邊上,￡＞經(jīng)過點A和點3

且與8C邊相交于點E.

(1)求證：AC是。的切線;

(2)若CE=2道,求。的半徑.

AB=AC,ZBAC=120°,

.-.ZB=ZC=30°,

AD=BD,

.\ZBAD=ZB=30°f

ZADC=6Q0,

.-.ZZMC=180°-60°-30°=90°,

二.AC是。的切線；

(2)解：連接AE,

AD=DE,ZADE=60°,

「.AADE是等邊三角形，

:.AE=DE,ZAED=6Q°,

.\ZEAC=ZAED-ZC=30°f

:.ZEAC=ZC,

AE=CE=2。

。的半徑人。=2代.

22.如圖，AB為_O的直徑，。為二。上一點，弦鉉的延長線與過點。的切線互相垂直,

垂足為。，NC4Z）=35。，連接5C.

（1）求NB的度數(shù);

(2)若AB=2,求EC的長.

【解答】解：(1)連接OC,如圖，

CD是的切線，

s.OCrCD,

AE.LCD,

:.OC//AE,

:.ZCAD=ZOCA,

OA=OC,

:.ZOCA=ZOAC,

ZCAD=ZOAC=35°f

AB為O的直徑，

:.ZACB=9Q0,

/.ZO4C+ZB=90°,

...ZB=900—NO4c=90。-35。=55。；

(2)連接OE,

O的直徑AB=2,

.0=1,

CE=CE,

Z.COE=2ZCAE=2x35°=70°,

70417%

...EC的長為:

180

D

23.已知：如圖，AABC中，AB=AC,以AB為直徑的交5C于點P,PD_LAC于點

D.

(1)求證：PD是。的切線；

(2)若NC4B=120。，AB=6,求5C的值.

C

【解答】(1)證明：AB=AC,

:.ZB=NC,

OP=OB,

:.ZB=NOPB,

:.ZOPB=ZC,

:.OP//AC,

PD±AC,

,\OP±PD,

..PD是_。的切線；

(2)解：連接AP,如圖，

AB為直徑，

,.ZAPB=90°,

:.BP=CP,

ZCAB=120°,

:.ZBAP^60°,

在RtABAP中，AB=6,ZB=30°,

AP=-AB=3,

2

:.BP=6AP=3』,

BC=2.BP=6y/3.

24.如圖，在AABC中，ZC=90°,NABC的平分線交AC于點E,過點E作M的垂線交

AB于點P,。是ABET的外接圓.

(1)求證：AC是匚。的切線.

(2)過點E作瓦/_LAB于點〃，求證：CD=HF.

【解答】證明：（1）如圖1,連接OE.

BE±EF,

:.NBEF=9QP,

.?.3-是圓。的直徑.

破平分NABC,

:.ZCBE=ZOBE,

OB=OE,

.-.ZOBE=ZOEB,

;.NOEB=NCBE,

:.OE//BC,

ZAEO=ZC^90°,

;.AC是；O的切線;

(2)如圖2,連接DE.

-ACBE=ZOBE,EC上BC于C,EH_LAB于H,

:.EC=EH.

ZCDE+ZBDE=180°,ZHFE+ZBDE=1SQ°,

:.NCDE=NHFE.

在ACDE與AHFE中,

'NCDE=NHFE

<ZC=ZEHF=90°,

EC=EH

\CDE=AHFE(AAS),

;.CD=HF.

圖2

圖1

25.如圖，鉆是的直徑，點C、。在_O上，且4)平分NC4B,過點。作AC的垂

線，與AC的延長線相交于E,與他的延長線相交于點P,G為Afi的下半圓弧的中點,

DG交AB于H,連接￡>3、GB.

(1)證明跖是O的切線；

(2)求證：ZDGB=ZBDF；

(3)已知圓的半徑火=5,BH=3,求GH的長.

OA=OD,

.\ZOAD=ZODA

又?AD平分々AC,

:.ZOAD=ZCAD

:.ZODA=ZCAD,

:.OD//AE,

又?EFA.AE,

.\OD±EF,

.?.￡F是O的切線；

(2)AB是二。的直徑，

:.ZADB=90°,

:.ZDAB-^-ZOBD=90°

由(1)得，EF是oO的切線,

:.ZODF=90°

.?.ZBDF+NODB=90。

OD=OB,

;.NODB=NOBD,

:.ZDAB=ZBDF,

又NDAB=NDGB

:.ZDGB=ZBDF

(3)連接OG,

G是半圓弧中點，

.-.ZBOG=90°

在RtAOGH中，OG=5,OH=OB—BH=5-3=2.

:.GH=^/OH2+OG2=V29.

26.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,以斜邊AB上的中線CD為直徑作，O,與AC、BC

分別交于點V、N,與AB的另一個交點為E.過點N作NFLAB,垂足為尸.

(1)求證：NF是i。的切線；

(2)若NF=2,DF=1,求弦即的長.

【解答】（1）證明：連接ON.如圖所示:

一在RtAACB中，CD是邊鉆的中線，

/.CD—BD,

:.ZDCB=NB,

OC=ON,

:.ZONC=ZDCB,

:.ZONC=ZB,

:.ON//AB

NF±AB

,\ZNFB=90°

ZONF=ZNFB=90°,

.\ON±NF

又，NF過半徑QV的外端

:.NF是。的切線；

(2)解：過點。作垂足為H,如圖2所示:

設1O的半徑為「

OHLED,NFLAB,ONINF,

ZOHD=ZNFH=ZONF=90°.

二.四邊形ONFH為矩形.

:.HF=ON=Y,OH=NF=2,

:.HD=HF-DF=r-1,

在RtAOHD中，ZOHD=90°

:.OH2+HD2=OD2,

即22+(r-l)2=r2,

5

:.r=—.

2

3

:.HD=—,

2

OH工ED,且OH過圓心O,

:.HE=HD,

:.ED=2HD=3.

圖1

28.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,點。在AC邊上，以AD為直徑作：O交AB于點

E,連接CE,且C