兩個(gè)計(jì)數(shù)原理講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義計(jì)數(shù)原理、概

率、隨機(jī)變量及其分布之兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

一'知識(shí)點(diǎn)講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)

i.分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有相種不同的方法，在第2類方案中有〃種

不同的方法，那么完成這件事共有成二①種不同的方法.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有機(jī)種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，那

么完成這件事共有N=②mXn種不同的方法.

辨析比較

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別

原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

聯(lián)系都是對(duì)完成一件事的方法種數(shù)而言.

每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完各個(gè)步驟都完成才算完成這件事（每步中

區(qū)別一

成這件事.的每一種方法都不能獨(dú)立完成這件事）.

各類方法之間是相互獨(dú)立的，既不能

區(qū)別二各步之間是相互依存的，缺一不可.

重復(fù)也不能遺漏.

二'基礎(chǔ)題練習(xí)

1.［多選］下列說法正確的是（BD）

A.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同

B.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事

C.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件

事

D.從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題

2.［教材改編］已知某公園有4個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，則不同的進(jìn)出公園的方式

有12種.

解析將4個(gè)門分別編號(hào)為1,2,3,4,從1號(hào)門進(jìn)入后，有3種出門的方式，同理，從

2,3,4號(hào)門進(jìn)入，也各有3種出門的方式，故不同的進(jìn)出公園的方式共有3X4=12

（種）.

3.［易錯(cuò)題］某人有3個(gè)電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有243

種.

解析因?yàn)槊糠怆娮余]件有3種不同的發(fā)送方法，所以要發(fā)5封電子郵件，不同的發(fā)送方

法有3X3X3X3X3=243(種).

4.［教材改編］書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3

層放有2本不同的體育書.從書架中任取1本書，則不同的取法種數(shù)為9.

解析分三類：第一類，從第1層取一本書，有4種取法；第二類，從第2層取一本書，

有3種取法；第三類，從第3層取一本書，有2種取法.共有取法4+3+2=9(種).

三'知識(shí)點(diǎn)例題講解及方法技巧總結(jié)

命題點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理

例1(1)我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2022是“六合數(shù)”)，

則首位為2的“六合數(shù)”共有(B)

A.18個(gè)B.15個(gè)C.12個(gè)D.9個(gè)

解析依題意，這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為4.由4,0,0組成3個(gè)數(shù)分

別為400,040,004;由3,1,0組成6個(gè)數(shù)分別為310,301,130,103,013,031;由

2,2,0組成3個(gè)數(shù)分別為220,202,022;由2,1,1組成3個(gè)數(shù)分別為211,121,112.

共計(jì)3+6+3+3=15(個(gè)).

(2)滿足a,6G{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程加+2%+6=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)

(a,6)的個(gè)數(shù)為13.

解析當(dāng)a=0時(shí)，b的值可以是一1,0,1,2,(a,b)的個(gè)數(shù)為4.當(dāng)aWO時(shí)，要使方

程依2+2x+6=0有實(shí)數(shù)解，需使A=4—4浦20,即若a=—1,則6的值可以是一

1,0,1,2,(a,b)的個(gè)數(shù)為4;若。=1,則6的值可以是一1,0,1,(a,b)的個(gè)數(shù)

為3;若a=2,則%的值可以是一1,0,(a,b)的個(gè)數(shù)為2.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，

(a,b)的個(gè)數(shù)為4+4+3+2=13.

方法技巧

分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用思路

(1)根據(jù)題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置等確定恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要明

確、統(tǒng)一；

(2)分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).

訓(xùn)練1集合尸={x,1},Q={y,1,2},其中x,yd{l,2,3,9),且尸C。.把滿足

上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(尤，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(B)

A.9B.14C.15D.21

解析當(dāng)尤=2時(shí)，xWy,y可從3,4,5,6,7,8,9中取，有7種方法.當(dāng)x#2時(shí)，由

PNQ,得尤=y,x可從3,4,5,6,7,8,9中取，有7種方法.綜上，滿足條件的點(diǎn)共有

7+7=14(個(gè)).

命題點(diǎn)2分步乘法計(jì)數(shù)原理

例2（1）［2023全國卷乙］甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選

讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（C）

A.30種B.60種C.120種D.240種

解析甲、乙二人先選1種相同的課外讀物，有6種情況，再從剩下的5種課外讀物中各

自選1本不同的讀物，有5X4=20（種）情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有6X20=

120（種）選法，故選C.

（2）［多選］有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是（AC）

A.每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有34種

B.每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有43種

C.每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種

D.每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有33種

解析對(duì)于A選項(xiàng)，第1個(gè)同學(xué)有3種報(bào)名方法，第2個(gè)同學(xué)有3種報(bào)名方法，后面的2

個(gè)同學(xué)也有3種報(bào)名方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有34種報(bào)名方法，A正確，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第2個(gè)社團(tuán)有3種選擇，

第3個(gè)社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4X3X2=24（種）選擇，C正確，

D錯(cuò)誤.故選AC.

方法技巧

分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用思路

根據(jù)事件發(fā)生的過程合理分步，分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；

二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.

訓(xùn)練2［多選］某校高二年級(jí)安排甲、乙、丙三名同學(xué)到A,B,C,D,E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑

期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，且多名同學(xué)可以選擇同一個(gè)

社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，則下列說法正確的有（AC）

A.如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種

B.如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A,則不同的安排方法有50種

C.如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種

D.如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種

解析對(duì)于A,如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有53-43=61（種），故

A正確；對(duì)于B,如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A,則不同的安排方法有52=25（種），故B

錯(cuò)誤；對(duì)于C,如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有5義4義3=60

（種），故C正確；對(duì)于D,甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，第一步，將甲、乙視作

一個(gè)整體，第二步，兩個(gè)整體挑選社區(qū)，則不同的安排方法共有52=25（種），故D錯(cuò)誤.

故選AC.

命題點(diǎn)3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

例3（1）《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其中記載了

“勾股圓方圖”（如圖），用以證明勾股定理.現(xiàn)提供4種不同顏色給圖中

5個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同

的涂色方法種數(shù)為（C）

A.36B.48C.72D.96

解析解法一根據(jù)題意得，涂色分2步進(jìn)行：

①對(duì)于區(qū)域A,B,E,三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有4寵=24（種）涂色方法；（區(qū)域￡位于中心

位置，其他4個(gè)區(qū)域均與區(qū)域E相鄰，故先考慮兩兩相鄰的區(qū)域A,B,E的涂色方法，再

研究余下2個(gè)區(qū)域的涂色方法）

②對(duì)于區(qū)域C,D,若區(qū)域C與區(qū)域A顏色相同，則區(qū)域。有2種涂色方法，若區(qū)域C與

區(qū)域A顏色不同，當(dāng)A,B,E涂色確定時(shí)，則區(qū)域C和區(qū)域。涂色方法確定，只有1

種，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知區(qū)域C,。有2+1=3（種）涂色方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有24X3=72（種）不同的涂色方法.故選C.

解法二可分兩種情況：①區(qū)域A,C不同色，先涂區(qū)域A有4種，區(qū)域C有3種，區(qū)域

E有2種，區(qū)域8,。各有1種，有4X3X2=24（種）涂法.②區(qū)域A,C同色，先涂區(qū)域

A有4種，區(qū)域E有3種，區(qū)域C有1種，區(qū)域8,。各有2種，有4X3X2X2=48

（種）涂法.故共有24+48=72（種）涂色方法.

（2）由0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字可以組成420個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).

解析要完成的一件事為“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為0,個(gè)位

數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中的四個(gè)數(shù)字不重復(fù).因此應(yīng)先分類，再分步.第1類，當(dāng)

千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1,3,5中的任意一個(gè)時(shí)，個(gè)位數(shù)字可取0,2,4,6中的任意一

個(gè)，百位數(shù)字不能取與個(gè)位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與個(gè)位、百位、千位

數(shù)字重復(fù)的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為3X4X5X4=240.第2類，當(dāng)

千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2,4,6中的任意一個(gè)時(shí)，個(gè)位數(shù)字可以取除千位數(shù)字外的任意一

個(gè)偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與個(gè)位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與個(gè)位、百

位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為3X3X5X4=180.根

據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為240+180=420.

方法技巧

1.利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題的一般步驟

第一步H弄清“完成一件事”是什么事

I第二步H確定是先分類后分步，還是先分步后分系

■,_________________

第。H弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么

廨四步H利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解

2.涂色問題常用的兩種方法

「域的不同.以.區(qū)域?yàn)橹鞣忠挥?jì)數(shù)，

R歹/用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析___________

/sj以顏色為主分類討論，用分類加法計(jì)

J37Al數(shù)原理分析__________________

訓(xùn)練3（1）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面

對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面

對(duì)”的個(gè)數(shù)是（D）

A.48B.18C.24D.36

解析第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線

面對(duì)”有2X12=24（個(gè)）；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成

“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè).所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24+

12=36（個(gè)）.

（2）甲與其四位同事各有一輛汽車，甲的車牌尾號(hào)為9,其四位同事的車牌尾號(hào)分別是

0,2,1,5.為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定（奇數(shù)日車牌尾號(hào)為奇數(shù)的車通

行，偶數(shù)日車牌尾號(hào)為偶數(shù)的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的

車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為（B）

A.64B.80C.96D.120

解析5日至9日，有3個(gè)奇數(shù)日，2個(gè)偶數(shù)日.第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選

擇，不同的用車方案共有2義2=4（種）.第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類討論：第一

類，選1天安排甲的車，不同的用車方案共有3X2X2=12（種）；第二類，不安排甲的

車，每天都有2種選擇，不同的用車方案共有2X2X2=8（種）.綜上，不同的用車方案種

數(shù)為4X（12+8）=80,故選B.

四'命題點(diǎn)習(xí)題講解

1.［命題點(diǎn)1］設(shè)集合/={1,2,3,4},A與2是/的子集，若ACB={1,2},則稱（A,

B）為一個(gè)“理想配集”.若將（A,B）與（B,A）看成不同的“理想配集”，則符合此條

件的“理想配集”有9個(gè).

解析對(duì)子集A分類討論：

當(dāng)A是{1,2}時(shí)，8可以為{1,2,3,4},［1,2,4},{1,2,3},{1,2},共4種情

況；

當(dāng)A是{1,2,3}時(shí)，2可以為{1,2,4},{1,2},共2種情況；

當(dāng)A是{1,2,4}時(shí)，8可以為{1,2,3},{1,2},共2種情況；

當(dāng)A是{1,2,3,4}時(shí)，2為{1,2},有1種情況.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有4+2+2+1=9（種）結(jié)果，即符合此條件的“理想配

集”有9個(gè).

2.［命題點(diǎn)2］已知集合知={1,-2,3},N={-4,5,6,—7},從M,N這兩個(gè)集合中

各選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、

二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（C）

A.12B.8C.6D.4

解析分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2種情況，

因此可表示第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3X2=6.

3.［命題點(diǎn)3］如果一個(gè)三位正整數(shù)“勾02的”滿足且。2＞。3,則稱這樣的三位數(shù)為

凸數(shù)（如120,343,275等），那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為240.

解析若念=2,則百位數(shù)字只能選1,個(gè)位數(shù)字可選1

或0,凸數(shù)為120與121,共2個(gè).若改=3,則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選

擇，則凸數(shù)有2X3=6（個(gè)）.若z=4,則凸數(shù)有3義4=12（個(gè)），……，若痣=9,則凸

數(shù)有8X9=72（個(gè)）.所以凸數(shù)共有2+6+12+20+30+42+56+72=240（個(gè)）.

4.［命題點(diǎn)3A023哈爾濱六中檢測］涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種

不同的顏色：湖藍(lán)色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給圖中的小房子中的四個(gè)區(qū)域涂色，

要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有66種

不同的涂色方法.

解析可分四類：第一類，當(dāng)選擇兩種顏色時(shí)，因?yàn)殚蠙炀G與薄荷綠不涂在相鄰的區(qū)域

內(nèi)，所以共有C%—1=5（種）選法，因此不同的涂色方法有5X2=10（種）；第二類，當(dāng)

選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠都被選中時(shí)，有2種選法，因此不同的涂色方法有

2乂2X2=8（種）；第三類，當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠只有一個(gè)被選中時(shí)，有2

種選法，因此不同的涂色方法有2X3X2X（2+1）=36（種）；第四類，當(dāng)選擇四種顏

色時(shí)，不同的涂色方法有2X2X2+2X2=12（種）.所以共有10+8+36+12=66（種）

不同的涂色方法.

五'習(xí)題實(shí)戰(zhàn)演練

1.［2024四川成都模擬］“數(shù)獨(dú)九宮格”的游戲規(guī)則為：將1到9這9個(gè)自然數(shù)填到如圖所

示的九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填1個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同.若中間空格已

填數(shù)字5,且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字

都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為（C）

5

A.72B.108C.144D.196

解析按題意，5的上方和左邊只能從1,2,3,4中選取，5的下方和右邊只能從6,7,

8,9中選取.第一步，填上方空格，有4種填法；第二步，填左方空格，有3種填法；第三

步，填下方空格，有4種填法；第四步，填右方空格，有3種填法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理

得，不同的填法種數(shù)為4X3X4X3=144.故選C.

2.[2023全國卷甲]現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩

天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式

共有（B）

A.120種B.60種C.30種D.20種

解析先從5人中選擇1人兩天均參加公益活動(dòng)，有5種方式；再從余下的4人中選2人

分別安排到星期六、星期日，有4X3=12（種）安排方式.所以不同的安排方式共有5X12

=60（種）.故選B.

3.[2024北京市順義區(qū)聯(lián)考]某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課.現(xiàn)要安排該班一天中語

文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育、藝術(shù)6門課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在

下午，則不同的排法有（D）

A.48種B.96種C.144種D.192種

解析由題意，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，先考慮這兩門課程，有4X2=8

（種）排法，再排其余4節(jié)課，有4X3X2X1=24（種）排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，

共有8X24=192（種）排法，故選D.

4.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴的吉祥物，乙同學(xué)喜歡牛、

狗和羊的吉祥物，丙同學(xué)對(duì)所有的吉祥物都喜歡.讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從中選一個(gè)珍

藏，若每個(gè)人所選取的吉祥物都是自己喜歡的，則不同的選法共有（C）

A.50種B.60種C.80種D.90種

解析根據(jù)題意，按甲的選擇分兩類討論：第一類，若甲選擇牛的吉祥物，則乙的選法有

2種，丙的選法有10種，此時(shí)不同的選法有2X10=20（種）；第二類，若甲選擇馬或猴

的吉祥物，則甲的選法有2種，乙的選法有3種，丙的選法有10種，此時(shí)不同的選法有

2X3X10=60（種）.所以不同的選法共有20+60=80（種）.故選C.

5.[2023南京六校聯(lián)考]如圖，用4種不同的顏色把圖中A,B,C,。四塊區(qū)域區(qū)分開，若

相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（C）

A.144種B.73種—巳

C.48種D.32種

解析由于A,B,C三塊區(qū)域兩兩相鄰，因此需填涂3種不同的顏色.①當(dāng)。區(qū)域與A區(qū)

域顏色相同時(shí)，只需從4種不同的顏色中選取3種分別填涂到A,B,C三塊區(qū)域，有

4X3X2=24（種）涂法；②當(dāng)。區(qū)域與A區(qū)域顏色不同時(shí)，只需將4種不同的顏色分別

填涂到A,B,C,。四塊區(qū)域，有4X3X2X1=24（種）涂法.所以不同的涂法共有24+

24=48（種），故選C.

6.如圖所示，從正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)中任選三個(gè)構(gòu)成三角形，則與正八邊形

有公共邊的三角形有40個(gè)（用數(shù)字作答）.

解析把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的

三角形，此類三角形由正八邊形中兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)和一個(gè)與所選頂點(diǎn)均不相鄰的頂點(diǎn)構(gòu)

成，共有8義4=32（個(gè)）；第二類，有兩條公共邊的三角形，此類三角形由正八邊形中三

個(gè)相鄰的頂點(diǎn)構(gòu)成，共有8個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有32+8=40（個(gè)）.

7.[2023北京通州區(qū)質(zhì)檢]一個(gè)三位數(shù)，如果滿足個(gè)位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都大于十位

上的數(shù)字，那么我們稱該三位數(shù)為三位數(shù)“凹數(shù)”，則沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)“凹數(shù)”的

個(gè)數(shù)為240.（用數(shù)字作答）

解析依題意，無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)“凹數(shù)”，十位數(shù)字只可能為0,1,2,3,4,5,

6,7之一，個(gè)位和百位上的數(shù)字從比對(duì)應(yīng)十位數(shù)字大的數(shù)字中任取兩個(gè)進(jìn)行排列，所以沒

有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為9X8+8X7+7X6+6X5+5X4+4X3+3X2+

2X1=72+56+42+30+20+12+6+2=240.

8.[2024北京市景山學(xué)校期末]在0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)中任取4個(gè)數(shù)，將其組成

無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除且比4351大的數(shù)共有（C）

A.54個(gè)B.62個(gè)C.74個(gè)D.82個(gè)

解析根據(jù)被5整除的數(shù)特點(diǎn)，分成兩類.第一類：個(gè)位為0,則千位為5或6時(shí)，有

2X5X4=40（個(gè)）四位數(shù)大于4351;千位為4,百位為5或6時(shí)，有2X4=8（個(gè)）四位

數(shù)大于4351;千位為4,百位為3時(shí)，十位為6,有1個(gè)四位數(shù)大于4351.

第二類：個(gè)位為5,則千位為6時(shí)，有5X4=20（個(gè)）四位數(shù)大于4351;千位為4,百位

是6時(shí)，有4個(gè)四位數(shù)大于4351;千位為4,百位為3時(shí)，有1個(gè)四位數(shù)大于4351.

綜上，滿足條件的數(shù)共有40+8+1+20+4+1=74（個(gè)）.故選C.

9.算盤是中國古代的一項(xiàng)重要發(fā)明.現(xiàn)有一種算盤（如圖1）,共兩檔，自右向左分別表示

個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5,梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1

（如圖2中算盤表示整數(shù)51）.若撥動(dòng)圖1算盤中的三枚算珠，則可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)

為（

十位個(gè)位十位個(gè)位

圖2

解析由題意，撥動(dòng)三枚算珠，有4種撥法：

①個(gè)位撥動(dòng)三枚，有2種結(jié)果：3,7;

②十位撥動(dòng)一枚，個(gè)位撥動(dòng)兩枚，有4種結(jié)果：12,16,52,56;

③十位撥動(dòng)兩枚，個(gè)位撥動(dòng)一枚，有4種結(jié)果：21,25,61,65;

④十位撥動(dòng)三枚，有2種結(jié)果：30,70.

綜上，撥動(dòng)題圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為2+4+4+2=12,故選

C.

10.［2023青島檢測］據(jù)史書記載，古代的算籌由一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍制成，如圖

所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千

僵，千十相望，萬百相當(dāng).即在算籌記數(shù)法中，表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，

百位用縱式，千位用橫式，以此類推例如II表示62,=T表示26,現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此

方式表示一個(gè)兩位數(shù)（算籌不剩余且個(gè)位不為0）,則可以表示不同的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為一

縱式：IIIIIIIlliHillTT￥>

橫式：—===^j_±X

19^45678Q

解析當(dāng)十位為1時(shí)，個(gè)位可以是4,8,共2種；當(dāng)十位為2時(shí)，個(gè)位可以是3,7,共2

種；當(dāng)十位為3時(shí)，個(gè)位可以是2,6,共2種；當(dāng)十位為4時(shí)，個(gè)位為1,共1種；當(dāng)十

位為6時(shí)，個(gè)位可以是3,7,共2種；當(dāng)十位為7時(shí)，個(gè)位可以是2,6,共2種；當(dāng)十位

為8時(shí)，個(gè)位為1,共1種.所以