重慶市某中學2024-2025學年九年級上學期開學考試數(shù)學自測模擬試題（解析版）

重慶市第八中學2024-2025學年九年級上學期數(shù)學開學考試自測模擬

試卷

一.選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）

1.四個有理數(shù)一1,2,0,一3,其中最小的是（）

A.-1B.2C.0D.-3

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較.根據(jù)“正數(shù)大于0,0大于負數(shù)比較，兩個負數(shù)比較大小，絕對值

越大其值越小”即可判斷.

【詳解】解：|-3|=3,|-1|=1，3>1,

-3<-1<0<2,

最小的數(shù)是—3,

故選：D.

2.隨著人們健康生活理念的提高，環(huán)保意識也不斷增強,以下是回收、綠色包裝、節(jié)水、低碳四個標志,

其中是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的

圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、是中心對稱圖形，符合題意；

C、不是中心對稱圖形，不符合題意；

D^不是中心對稱圖形，不符合題意；

故選B.

【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知定義.

3.下列調(diào)查中，最適合抽樣調(diào)查的是（）

A.調(diào)查某校七年級一班學生的課余體育運動情況

B.調(diào)查某班學生早餐是否有喝牛奶的習慣

C.調(diào)查某種面包的合格率

D.調(diào)查某校足球隊員的身高

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)調(diào)查對象的范圍選取合適的調(diào)查方法.

【詳解】解：A、七年級一班學生人數(shù)較少，適用于全面調(diào)查，不符合題意；

B、某班學生人數(shù)較少，適用于全面調(diào)查，不符合題意；

C、某種面包的合格率，宜用抽樣調(diào)查，符合題意；

D、某校足球隊員的身高，宜用全面調(diào)查，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了抽樣調(diào)查、全面調(diào)查的應(yīng)用，遵循定義和適用范圍是解決本題的關(guān)鍵.

4.估計（2后+6卜夜的值應(yīng)在（）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

【答案】C

【解析】

【分析】先進行二次根式的計算，再根據(jù)逐的取值范圍確定結(jié)果的取值范圍.

【詳解】V（2V2+V3）xV2=4+V6

V4<6<9,

2<V6<3

6<4+A/6<7,

/.（2應(yīng)+6）x0的值應(yīng)在6和7之間，

故選：C

【點睛】此題考查了估算無理數(shù)的大小，以及二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

5.如圖，一ABC與ADEF位似,點。為位似中心，已知AO:OD=2:1,一ABC周長為8,則ADEF

的周長是（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】利用位似的性質(zhì)得AC:DF=AO:OD=2A,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

即可解答.

【詳解】解：：ABC與4DEF位似，點0為位似中心，

:.AABCsaDEF,AC:DF=AO:OD=2:1,

:一ABC周長為8,

，ABC周長：△DEF的周長=2:1,

△/）￡口的周長為4，

故選：C.

【點睛】題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互

相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.位似圖形必須是相似形，對應(yīng)點的連

線都經(jīng)過同一點；對應(yīng)邊平行或共線.

6.若點4（1,%）,3（—2,%），。（一3,%）都在反比例函數(shù)>的圖象上，則%,為，%的大小關(guān)

X

系為（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%<%<必D.%<%<為

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，把三個點的坐標分別代入解析式計算出%,為，%的

值，然后比較大小即可.

【詳解】解：???點4(1，X),5(—2,%)，c(—3,%)都在反比例函數(shù)y=￡的圖象上，

%=6,%=一3，%=一2，

?'-%<%<%?

故選：B.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，理解題意，求出％,為，內(nèi)的值是解題關(guān)鍵，本題

也可以利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求解.

7.流行性感冒傳染迅速，若有一人感染，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患病，設(shè)每輪傳染中平均一人傳染了

x人，可列出的方程是()

A.(x+l)2=100B.1+(%+1)2=100

C.x+x(l+x)=100D.1+%+%2=100

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用(傳播問題)，先設(shè)每輪傳染中平均一人傳染了x人，再根據(jù)

“經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患病”，進行列式(x+1)?=100,即可作答.

【詳解】解：???設(shè)每輪傳染中平均一人傳染了尤人，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患病，

.,.(x+1)2=100,

故選：A.

8.用一樣長的小木棒按下圖的方式搭建圖形，圖①需要6根小木棒，圖②需要11根小木棒，圖③需要16根

小木棒，……，按照這個規(guī)律，圖8需要小木棒的根數(shù)是()

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖中規(guī)律，后面一個圖形都比前面一個圖形多5根小棒，即可求解,

【詳解】解：由規(guī)律可知，后面一個圖形都比前面一個圖形多5根小棒，

因為圖①一共6根小棒,

所以圖⑧需要小木棒的根數(shù)是6+5義（8—1）=41（根），

故選B.

【點睛】本題考查了圖形規(guī)律題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)圖形變化規(guī)律.

9.如圖，在正方形ABCD中，點E為AD邊的中點，尸為AD上一點，連接BE,BF,

DF+CD=BF,若NABE=a,則NAB尸的大小為（）

A.2a-15°B.a—10°C.3a—45°D.90°-2tz

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，延長AD到

使得DH=AD,連接BH交CD與G.,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CD=AD=BC,

ZADC=ZHDC=ZC=90°,根據(jù)BCG，HDGABE2,CBG全等三角形的判定和性質(zhì)定理得出

ZABE=ZCBG,結(jié)合已知條件進一步得出M=，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出

ZABE=ZCBG=ZFBH=a,然后根據(jù)角得和差關(guān)系得出結(jié)論.

【詳解】解：延長AD到“，使得=連接5H交CD與G.

..?四邊形A3CD是正方形.

CD=AD=BC,

ZADC=ZHDC=ZC=90°,

在，BCG和△HOG中，

ZBCG=ZHDG

<ZBGC=ZHGD

BC=HD

/.BCG^HDG（AAS）,

：.DG=CG=-CD,

2

:點￡為AD邊的中點

/.AE=-AD,

2

：.AE=CG,

在，ABE和<CBG中，

AB=CB

<ZA=ZC,

AE=CG

：.ABE咨CBG（SAS）,

ZABE=ZCBG,

VDF+CD=BF,FH=DF+DH=DF+CD

:?BF=FH，

ZFBH=ZH=CBG,

：.ZABE=ZCBG=ZFBH=a,

：.ZABF=ZABC-ZFBH-ZCBG=90°-2a,

故選：D.

10.a-b,a+b,a-b,a+b,,是由a—+b交替排列的〃個多項式，其中a#。，將這幾個多項式中的

任意加個多項式中的每一項都改變符號，其余不變，稱為第1次操作（l<m<w,且772，"均為整數(shù)）；在

第1次操作的基礎(chǔ)之上再將任意m個多項式中的每一項都改變符號，其余不變，稱為第2次操作；按此方

式操作下去.…例如：當"=3,m=2時，第1次操作后可能得到：—a+b,—a—4a—b或

—a+b,a+b,—a+b或ci—b,—ci—b,—ci+b.

下列說法：

①當及為奇數(shù)時，無論進行多少次操作，都不可能使得到的〃個多項式的和為0；

②當〃=6,m=5時，至少需要進行3次操作，才能使得到的6個多項式的和中不合。；

③當“=6,m=3時，3次操作后得到的6個多項式求和，共有8種可能出現(xiàn)的結(jié)果.

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了多項式的加減和添去括號性質(zhì)等知識點，依據(jù)題意，讀懂題目然后根據(jù)添去括號法則進

行化簡判定即可得解，解題時注意結(jié)合分類討論是關(guān)鍵.

【詳解】①〃為奇數(shù)時，無論經(jīng)過多少次操作后，得到的〃個多項式中。的個數(shù)與一。的個數(shù)不會相同，

①正確，符合題意；

②3次操作后，只需6個多項式中有3個含。，3個含一。，不用考慮6：

原多項式：aaaaaa

第一*次操作：-CL_a_ci_a-cia

第二次操作：aaaa-a-a

第三次操作：-a—a—aaaa,此時它們的和為零，

故②正確，符合題意；

③〃=6,機=3時

如果對6個。進行3次操作，其結(jié)果可能出現(xiàn)：1負5正或3負3正或5負1正.

因為是從6個多項式中任意選出3個添加負號，由任意性可知：6個多項式進行3次操作后可能出現(xiàn)的結(jié)

果：其中1個或3個或5個多項式整體添加了負號：

1.若其中1個添加了負號：整體添加負號，其余不變，則和為4a-2）;a-Z?整體添加負號，其余不

變，貝U和為4a+2Z?；

2.若其中3個添加了負號：3個整體添加負號，其余不變，則和為-6b；3個a—〃整體添加負號，

其余不變，則和為6Z?;2個。一〃和1個整體添加負號，其余不變，則和為26；2個和1個

a—〃整體添加負號，其余不變，則和為-2。；

3.若其中5個添加了負號：若不變，其余均整體添加了負號，則和為-4a+2Z?；a—〃不變其余均

整體添加了負號，則和為-4a—2》；

所以有8種可能出現(xiàn)的結(jié)果，

故③正確，符合題意；

故選：D.

二.填空題（共8小題，滿分32分，每小題4分）

11.計算：-（71-3.14）°=.

【答案】3

【解析】

【分析】此題考查了負整數(shù)指數(shù)嘉和零指數(shù)幕，

首先計算負整數(shù)指數(shù)幕和零指數(shù)幕，然后計算加減.

【詳解】-(71-3.14)°

=4-1

=3.

故答案為：3.

12.已知關(guān)于龍的一元二次方程機/-4X+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則根的取值范圍是.

【答案】m<2且*0

【解析】

【分析】由二次項系數(shù)非零結(jié)合根的判別式A〉。，即可得出關(guān)于根的一元一次不等式組，解之即可得出

結(jié)論.

【詳解】解：：關(guān)于x的一元二次方程32一4尤+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

m^Q

A=16-8/M>0

解得：nz<2且〃/0

故答案為：m<2且”用0.

【點睛】本題主要考查根的判別式，一元二次方程依2+6x+c=0(存0)的根與A=y-4ac有如下關(guān)系：

①當△>()時，方程有兩個不相等兩個實數(shù)根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當△<()時，方程無實數(shù)根.

13.不透明的盒子中有四個形狀、大小、質(zhì)地完全相同的小球，上面分別標著數(shù)字1,2,3,4,將四個小

球放入盒中搖勻，從盒中隨機取出一個小球，記下數(shù)字后放回，搖勻后再從盒中隨機取出一個，則兩次抽

取的小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率為.

【答案】：

【解析】

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.列表可

得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次抽取的小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

【詳解】解：列表如下：

1234

1(1.1)(1，2)(1.3)(1，4)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的結(jié)果有(1,1),(1,3),(3,1),(3,

3),共4種，

41

兩次抽取的小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率為—

164

故答案為：—.

4

14.如圖，在平面直角坐標系中，點A是反比例函數(shù)y=月圖像在第一象限的一點，連結(jié)0A并延長使

x

AB=OA,過點8作軸，交反比例函數(shù)圖像交于點。，連結(jié)AD,且5AA^=3,則左的值為.

【答案】4

【解析】

【分析】畫出輔助線，根據(jù)反比例函數(shù)網(wǎng)的幾何定義以及中位線定義即可求解.

【詳解】連接0。，作AE〃0C.

OA=AB,

一S/^OAD=S&ABD=3,

S^ODC=-OCDC=-DD=-\k\,

ZAC/ZJC22%x丁v2??

反比例函數(shù)圖像在第一象限,

\kX),

一^AODC=5左，

AE〃O。且Q4=AB,

.?.4e是^。3。的中位線，

:.OC=2AE,BC=2EC,

S.nRr=2-OC2BC=--2AE-2E1C=y2AA=2k,

9

*?*SAOBC~^AABD+S4OAD/\ODC

3+3H—k2k，

2

解得：左=4,

故答案為：k=4.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、三角形面積、中位線定義等，解題的關(guān)鍵是添加輔助

線，本題也可通過證明AABE-△O5C求解.

15.如圖，已知正方形ABCD邊長為4,以C￡＞為直徑作半圓，點E是半圓的中點，則圖中陰影部分面

積為

【答案】2+兀

【解析】

【分析】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計算，圓的基本性質(zhì)，注意割補思想的應(yīng)用.連接班，設(shè)半圓圓心

為。，連接石。并延長交于B由對稱性知，陰影部分面積等于正方形面積與半圓面積和減去ABE面

積的差的一半，由此即可求解.

【詳解】解：連接班，設(shè)半圓圓心為。，連接并延長交于尸，如圖;

則OELCD,

..?四邊形A3CD是正方形，

AAB=4,ABCD,

/.EF±AB,

：.EF=OF+OE=6-,

由對稱性知，陰影部分面積=314*4+3兀*22_3義4義6)=2+兀，

故答案為：2+兀

16.若關(guān)于x的一元一次不等式組〈的解集為無<a,且關(guān)于y的分式方程

3x-l

<x+2

2

4a—3

=1有非負數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為

2y-ll-2y

【答案】8

【解析】

【分析】本題主要考查一元一次不等式組的解集，分式方程的解以及解分式方程.

由關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為xKa,可得a<5,由關(guān)于y的分式方程有非負數(shù)解，可得a2-2

且aw-1,從而滿足條件的所有整數(shù)。，再求它們的和即可得出答案.

【詳解】《

3x-l

<x+2②

2

解不等式①，得

解不等式②，得x<5,

%-—（4tz-2）<—

°t2的解集為小

11,關(guān)于尤的一元一次不等式組〈

3x-l-

------<x+2

2

??a<5,

4a—31

解分式方程^一7一丁丁=1，得y=—，+1,

2y-ll-2y2

??,該分式方程有非負數(shù)解，

.?.當y=；a+l時，2y—1/0且ga+120

aN-2且a工一1,

—2<a<5JELa豐—1,

滿足條件的所有整數(shù)。為：—2,0，1,2,3,4，

它們的和為：-2+O+l+2+3+4=8.

故答案為：8

17.如圖，在等腰直角VA3C中，AC=2,“為邊3c上任意一點，連接40,將沿40翻折

得到△ACM,連接5C'并延長交AC于點N,若點N為AC的中點，則CM的長為.

【答案】-

3

【解析】

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，翻折變換，解一元二次方程，

過C作于。，作。，七人AC于E,利用勾股定理和相似三角形，即可得到C'M的長，進而得

出C0的長，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖所示，過C'作C'QLBC于。，作。藝人4。于E,

A

又：ZC=90°,

，四邊形DCEC'是矩形，

設(shè)C'D=x,則CE=x,AE=2-x,

?/CD//CN,

,BDCs、BCN,

CD=2—2x=C'E,

R3ACE中，AE2+CE2=，§P（2-x）2+（2-2x）2=22,

2

解得玉=2（不合題意），x2=j,

/.C'D=~,C'E=-,

55

VZDC'E=ZMC'A=90°,

：.ZDC'M=ZEC'A,

又ZCDM=ZCEA=90°,

DCMs△EC'A,

2

,CDCM5_；CM

"C'EC'A'62

5

CM=-,

3

由折疊可得，CM=C'M=-,

3

2

故答案為：一.

3

18.若一個四位自然數(shù)加的千位數(shù)字與個位數(shù)字之和恰好是"的百位數(shù)字與十位數(shù)字之和的2倍，則稱

這個四位數(shù)"為“好數(shù)”.一個“好數(shù)”〃的千位數(shù)字為〃，百位數(shù)字為6,十位數(shù)字為。，個位數(shù)字為

Q—4b+4c—dP(M)

d,記P(M)=a+b+c+d,G(M)=f---------若一^為整數(shù)，G(M)是4的倍數(shù)，貝ij

2c-515

b+c=;所有滿足條件的”的最大值和最小值的差為

【答案】①.5②.8082

【解析】

【分析】根據(jù)定義得到尸(M)=33+c),進一步得到b+c=5；a+d=lQ,

G(M)=^^+4,則2a—10是4的倍數(shù)，a=1,59,進一步即可得到答案，此題考查了數(shù)字類規(guī)

2c-5

律、分式的運算等知識，讀懂題意，求出8+c=5；a+d=10是解題的關(guān)鍵.

【詳解】a+d=2(b+c),

尸(A/)=a+Z?+c+d=3(b+c),

P(M)hA-c

為整數(shù)

15

..Z?+c=5；ct~\~d—10f

a-4b+4c-d_a-4(5-c)+4c-(10-6z)_8c-30+2a_4(2c-5)+2a-10

2c-52c-52c-52c-5

2a-10

+4,

2c—5

.?.2a—10是4的倍數(shù),

a=1,5或9

a=l時，M取到最小值，d=9,2a—10=—8

2c-5=±l,c=3或2,

的最小值為1239

a=9時，"取到最大值，d=l,2a—10=8

2c—5=+1,c=3或2,

的最大值為9321；

差為8082,

故答案：5,8082

三.解答題(共8小題，滿分78分)

19.計算:

(1)4a(a+-(a+.

m2、2m2+4m

(2)m----------------2--------------------

Im-2)m—4m+4

【答案】(1)3a2.4/

m+2

【解析】

【分析】本題考查了單項式乘以多項式，完全平方公式，分式的化簡.熟練掌握單項式乘以多項式，完全平

方公式，分式的化簡是解題的關(guān)鍵.

(1)先分別計算單項式乘以多項式，完全平方公式，然后合并同類項即可；

(2)先通分，進行因式分解，然后進行除法運算即可.

【小問1詳解】

解：4a(a+A)-(a+2A)2

=4a2+4-ab-a2-4ab-4b2

=3a2-Arb1;

【小問2詳解】

2m+4m

m—2.m2-4-m+4

m-2)-m22m(m+2)

m-2(〃z-2)2

_-2m(m-2)2

m-22〃z(nz+2)

m-2

m+2

20.在學習了角平分線的性質(zhì)后，小紅進行了拓展性探究.她發(fā)現(xiàn)在直角梯形中，如果兩內(nèi)角(非直角內(nèi)角)

的角平分線相交于腰上同一點，那么兩底邊的長度之和等于這兩內(nèi)角夾邊的長度.她的解決思路是：將問題

轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等使問題得到解決，請根據(jù)她的思路完成以下作

圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，過點E作AD的垂線，垂足為點尸(只保留作圖痕跡).

己知：在四邊形ABCD中，AB//CD,?B90?,AE平分/BAD，DE平分/ADC.

求證：AB+CD=AD.

?/EF，AD，

：.ZAFE=9Q°,

：.?B90?,

/.ZB=ZAFE,

在，ABE和AAFE中，

ZB=ZAFE,ZBAE=ZFAE,

：.^ABE^AFE(AAS),

同理可得：CD=DF,

：.AB+CD=AF+DF=AD.

小紅再進一步研究發(fā)現(xiàn)，只要梯形滿足夾同一條腰的兩個內(nèi)角的角平分線相交于另一條腰上同一點，均有

此結(jié)論.請你依照題意完成下面命題：

如果一個梯形滿足夾同一條腰的兩個內(nèi)角的角平分線相交于另一條腰上同一點，那么.

【答案】ZBAE=ZFAE,AE，AE，AB=AF-,兩底邊的長度之和等于這兩內(nèi)角夾邊的長度.

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，作圖一基本作圖，直角梯形，角平分線的定義，利用尺規(guī)

作石產(chǎn)1AO，即可完成作圖，由AAS證明，ABE空.AFE,得到A3=A尸，同理可得CD=￡)/，即

可證明問題，根據(jù)證明可得如果一個梯形滿足夾同一條腰的兩個內(nèi)角的角平分線相交于另一條腰上同一

點，那么兩底邊的長度之和等于這兩內(nèi)角夾邊的長度，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形.

【詳解】證明：如圖，過點后作4。的垂線，垂足為點尸，

：AE平分-540，

/.ZBAE=ZFAE,

?/EF±AD，

：.ZAFE=90°,

：.?B90?)

/.ZB=ZAFE,

在，ABE和AAFE中，

ZB=ZAFE,ZBAE=ZFAE,AE=AE,

ABE注AFE(AAS),

AB=AF,

同理可得：CD=DF,

：.AB+CD=AF+DF=AD；

如果一個梯形滿足夾同一條腰的兩個內(nèi)角的角平分線相交于另一條腰上同一點，那么兩底邊的長度之和等

于這兩內(nèi)角夾邊的長度；

故答案為：ZBAE=ZFAE，AE，AE,AB=AF-,兩底邊的長度之和等于這兩內(nèi)角夾邊的長度.

21.學校在七、八年級開展了主題為“以藝潤心，向暖而行”的藝術(shù)節(jié)文藝匯演，為了解兩個年級學生對

文藝匯演的喜歡程度，學生處發(fā)放問卷并讓學生評分，現(xiàn)從該校七、八年級中各隨機抽取了20名學生的

評分進行整理和分析（評分均為整數(shù)，滿分為12分，9分以上為非常喜歡），相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計、整理如下：

抽取的七年級學生的評分：5,5,6,7,1,8,8,8,9,9,9,9,9,10,10,10,11,11,12,12.

抽取的八年級學生的評分扇形統(tǒng)計圖

A:7分以下

B:7分和8分

C:9分

D:10分

E:10分以上

抽取的七、八年級學生的評分統(tǒng)計表

七年八年

年級

級級

平均

8.758.75

數(shù)

中位

9a

數(shù)

眾數(shù)9b

滿分

C%15%

率

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)直接寫出上述表中。、b、c值：

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪個年級的學生更喜歡此次文藝匯演?請說明理由.

(3)該校七年級有1500名學生參加評分，八年級有1800名學生參加評分，請估計兩個年級本次評分為非

常喜歡的學生共有多少人？

【答案】(1)。=9.5,&=10,c=10

(2)八年級更喜歡此次文藝匯演，理由見解析

(3)估計兩個年級非常喜歡的學生人數(shù)為1425人

【解析】

【分析】本題考查的是統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，樣本估計總體，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖，統(tǒng)

計表中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)扇形統(tǒng)計圖以及中位數(shù)的定義可知，八年級的中間兩個數(shù)為9和10,眾數(shù)在。組，根據(jù)七年級的

成績數(shù)據(jù)，9分以上有7人，進而即可求得優(yōu)秀率；

(2)根據(jù)眾數(shù)與優(yōu)秀率進行判斷即可求解；

(3)根據(jù)兩個年級的優(yōu)秀率乘以人數(shù)即可求解.

【小問1詳解】

解：根據(jù)扇形統(tǒng)計圖以可得E和。兩組人數(shù)和20x(20%+30%)=10人，八年級的中間兩數(shù)為9和10,

9+10…

a=--------=9.5,

2

八年級的眾數(shù)在。組,

/?=10,

七年級的成績數(shù)據(jù)，9分以上有7人，

7

%=—xl00%=35%,

c20

故答案為：9.5,10,35

【小問2詳解】

八年級更喜歡此次文藝匯演，理由如下：

八年級評分中位數(shù)9.5大于七年級評分中位數(shù)9.

【小問3詳解】

7

樣本中七年級學生非常喜歡的占比為一，

20

樣本中八年級學生非常喜歡的占比為1.

2

710

1500x—+1800x—=1425（人），

2020

答：估計兩個年級非常喜歡學生人數(shù)為1425人.

22.如圖1,在中，ZACB=9Q°,AC=4,BC=8,。為AB中點，動點P以每秒1個單位

長度的速度沿折線AfC-5方向運動，當點尸運動到點3時停止運動.設(shè)運動時間為x秒，的

面積為力.

（1）請直接寫出%關(guān)于%的函數(shù)表達式并注明自變量x的取值范圍；

（2）在給出的平面直角坐標系中畫出》的圖象，并寫出力的一條性質(zhì)；

（3）如圖2,%=9（》〉0）的圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出口?為時，%的取值范圍.（結(jié)

X

果保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2)

2%,0<%<4

【答案】⑴乂=<

-尤+12,4<x<12

(2)見解析；(3)1.7<x<11.5.

【解析】

【分析】本題考查三角形的面積，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，

(1)分兩種情況，當點P在線段AC上時和點尸在線段3C上，分別過點尸作AC邊和5c邊上的垂

線，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出的長，運用三角形的面積公式即可解答;

(2)根據(jù)函數(shù)解析式畫圖，結(jié)合圖象寫出一條性質(zhì)即可；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時，x的取值范圍..

【小問1詳解】

解：過點。作■工AC于點〃，如圖1,

則DM//BC,

：.^ADMsABC,

.DMAD

AB'

???。為A6的中點，

.AD_1

AB-2

.DM_1

/.DM=-BC=4,

2

當0<xW4時，AP=x,DM=4,

S=—AP'DM=—xx4=2x；

APpDn22

當4〈尤〈12時，過點。作。N_L3C于點N,如圖2,

同理可得，DN=2,

又CP=x—4,BP=12—%,

???2qAPD=SABC-SACP-SPDB

=^x4x8-^x4x(x-4)-^-x2x(12-x)

=12—x；

2x,0<x<4

???切關(guān)于x的函數(shù)表達式為:<

-x+12,4<%<12

【小問2詳解】

解：如圖所示：

性質(zhì)：當0<xW4時，y隨X的增大而增大；當4<x<12時，y隨X的增大而減小

【小問3詳解】

解：當%2%時，X的取值范圍為：L7WXWH.5

23.“賣花擔上，買得一枝春欲放”，用鮮花裝點生活，既能在裝飾家居時收獲審美體驗，也能在觀賞養(yǎng)

護中熨帖心靈，是一種避入日常又跳出日常的美好.某花店抓住市場需求，計劃第一次購進玫瑰和郁金香

共300支，每支玫瑰的進價為2元，售價定為5元，每支郁金香的進價為4元，售價定為10元.

(1)若花店在無損耗的情況下將玫瑰和郁金香全部售完，要求總獲利不低于1500元，求花店最多購進玫

瑰多少支？

(2)花店在第二次購進玫瑰和郁金香時，兩種花的進價不變.由于銷量火爆，花店決定購進玫瑰和郁金

香共360支，其中玫瑰的進貨量在(1)的最多進貨量的基礎(chǔ)上增加10根支，售價比第一次提高加元，郁

金香售價不變，但郁金香在運輸過程中有10%己經(jīng)損壞，無法進行銷售，最終第二批花全部售完后銷售利

潤為1800元，求機的值.

【答案】(1)100支

(2)2

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)各數(shù)量之

間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；(2)找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程.

(1)設(shè)花店購進玫瑰工支，則購進郁金香(300-X)支，利用總利潤=每支玫瑰的銷售利潤x購進玫瑰的

支數(shù)+每支郁金香的銷售利潤x購進郁金香的支數(shù)，結(jié)合總利潤不低于1500元，可列出關(guān)于1的一元一次

不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論；

(2)利用總利潤=銷售單價x銷售數(shù)量-進貨單價x進貨數(shù)量，可列出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其

符合題意的值，即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：設(shè)花店購進玫瑰》支，則購進郁金香(300-X)支，

根據(jù)題意得：(5-2)x+(10-4)(300-x)>1500,

解得：x<100，

???X的最大值為100.

答：花店最多購進玫瑰100支；

【小問2詳解】

根據(jù)題意得：

(5+機)(100+10/n)-2(100+10附+10[360-(100+10/7?)]x(1-10%)-4[360-(100+10/7?)]=1800,

整理得：m2+8m—20=0>

解得：叫=2,/%=-10(不符合題意，舍去).

答：機的值為2.

24.金秋十一月，陽光大草坪A3CD正處于草坪養(yǎng)護階段，如圖為草坪的平面示意圖.經(jīng)勘測，入口8在

入口A的正西方向，入口C在入口2的正北方向，入口。在入口C的北偏東60°方向400m處，入口。

在入口A的北偏西45。方向1000m處.(參考數(shù)據(jù)點士1.41,百1.73)

北

西4*東

：60°南

457

BMA\

(1)求AB的長度；(結(jié)果精確到1米)

(2)小明從入口。處進入前往M處賞花，點M在AB上，距離入口8的500m處.小明可以選擇鵝卵石

步道①D—C—5—",步行速度為50m/min,也可以選擇人工步道②D—A—M,步行速度為

60m/min,請計算說明他選擇哪一條步道時間更快？(結(jié)果精確到Qlmin)

【答案】(1)1051

(2)選擇人工步道時間更快

【解析】

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題；

(1)過點。作DESAB于點E,過點。作后于點尸，在RtZXCDE中，根據(jù)CE=CD-sin60°

可求出CE的長，進而可得助的長，在Rt_AZ汨中，根據(jù)AE=AZ>cos45?？汕蟪鯝E的長，最后由

AB=AE+5E可得答案.

(2)分別求出兩種步道的路程，進而可得求出所需時間，即可得出答案.

【小問1詳解】

過點。作。ESAB于點E，過點C作后于點尸，

則CF=BE,ZCDF=60°,ZZME=45°,CD=400,AD=1000,

在RtACDF中，CF=CD-sin60°=400x二=20073X346，

2

.-.BE=346,

L

在RtADE中，AE^ADcos45°=lOOOx—=50072工705，

2

AB=AE+BE=1051m.

的長度為1051m.

【小問2詳解】

由(1)知，AB=1051,

BM=500,

:.AM^AB-BM=551,

在Rt_ADE中，DE=AE=705,

在RtACDF中，DF=CDcos60°=400x-=200,

2

EF=BC=DE-DF=505.

鵝卵石步道的路程為DC+CB+=400+505+500=1405,

所需時間為1405+50=28.l(min).

人工步道的路程為DA+AM=1000+551=1551,

所需時間為1551+60=25.85a25.9(min).

28.1>25.9,

他選擇人工步道時間更快.

25.如圖1,在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點A(66,4),與x軸交于點8(2石,0),點C為AB中

點，反比例函數(shù)y=與剛好經(jīng)過點C將直線繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得直線AD，

直線AD與天

X

(1)求反比例函數(shù)解析式；

(2)如圖2,點Q為射線以上一動點，當。。取最小值時，求DCQ的面積;

2

（3）將沿射線AB方向進行平移，得到△D'C'A且C'剛好落在y軸上，已知點M為反比例函數(shù)

y=&上一點，點N為y軸上一點，若以M,N,B,為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出所有滿

X

足條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程.

【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為丁=述

（2）一DCQ的面積為8囪

（3）N點坐標為（0,—5）,（0,6）或（0,—6）,過程見解析

【解析】

【分析】（1）過點A作于點E,過點C作CFLBD于點F,根據(jù)平行線分線段定理可得

—=—=—=2,從而求得C卜百,2）,再利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；

CFBFBC'）

（2）由銳角三角函數(shù)求得NASD=30。，再由三角形內(nèi)角和求得/BAD=120。，從而求得NAD5=30。，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得3E=DE=46，從而求得。（106,0）,作直線「：y=氐-6,可得

Z1=30°,過點。作Q"■!/'于點H,則。。+18。=。。+,可得當￡>,Q,H三點共線時，。。+工8。

22

取最小值，此時。與A重合，再利用Seo=SADCA=-S-求解即可；

（3）由平移的性質(zhì)可知玖6"-4）,設(shè)“附等）N（o,"）,分類討論：當為對角線、BM為

對角線或5N為對角線時，利用中點坐標公式求解即可.

【小問1詳解】

解：過點A作于點E,過點C作B，JBr）于點F,

ZAEF=Z.CFB=90°,

AEBE_AB

2,點C為AB中點,

CF~BF~BC

VA（6A/3,4）,網(wǎng)2后0）

:.CF=2,BF=20，

???。（4五2卜

?k=xy=8A/3,

反比例函數(shù)解析式為y二店;

X

k

【小問2詳解】

'WBTTD^

圖i

解：?.?4(6百,4卜B(2V3,0),

ZABD=30°,

1/將直線AB順時針旋轉(zhuǎn)60°得到直線AD,

ZfiAZ)=180o-60o=120%

/.ZADB=30°,

BE=DE=46，

。。=2用8G=106，

.1.D(IOAO),

作直線I':y=y/3x-6,

Z1=30°,

過點。作QH±/'于點H,

；?DQ+^BQ=DQ+QH,

...當O,Q,X三點共線時，取最小值，

2

此時。與A重合，

5=55XX10

?1?ADC2ADCA=1AABD=||(^-2A/3)X4=8A/3,

.?.,DCQ的面積為8囪；

【小問3詳解】

解：N點坐標為（0,—5）,（0,6）或（0,—6）,理由如下:

6A/3+2乖）=m+0

當ZXB為對角線時，＜/n8A/3

-4+0=-------Fn

、m

m=8^/3

解得：＜

n=-5

.?.N（0,—5）,

當9為對角線時，如圖,

0+6y/3-m-\-2y/3

3上

n-4A=-------F0n

m

m=4^/3

解得《

n=6

.-.TV（0,6）,

當5N為對角線時，如圖,

加+6/=2百+0

述—4=0+〃

m

m=-4A/3

解得《

n=-6

：.N（0,-6）,

綜上，N點坐標為（0,-5）,（0,6）或（0,-6）.

【點睛】本題考查平行線分線段定理、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、等腰三角形的判

定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及平移的性質(zhì)、中點坐標公式，熟練掌握相關(guān)的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)如圖1,若點。在點3的左側(cè)，連接C￡>,過點A作AE_LCD交5c于點E.若點E是5c的中

點，求證：AC=2BD-,

(2)如圖2,若點。在點3的右側(cè)，連接AD，點廠是AD的中點，連接班1并延長交AC于點G,連

接CF.過點f作5G交于點M,CN平分NACB交BG于氐N,求證：

AM=CN+顯BD；

2

(3)若點。在點3的右側(cè)，連接AD,點尸是AD的中點，且”=AC.點尸是直線AC上一動點，

連接抄，將EP繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到EQ,連接3Q,點R是直線AO上一動點，連接班，

QR.在點尸的運動過程中，當3Q取得最小值時，在平面內(nèi)將/5QR沿直線QR翻折得到△TQR,連

接尸T.在點R的運動過程中，直接寫出￡工的最大值.

CP

【答案】(1)見解析(2)見解析

(3)++2^/^

2

【解析】

【分析】(1)證明.ACE也;CB￡>(ASA)得到班>=以，再由點E是5c的中點，得到

BC=2CE=2BD,即可證明AC=25￡)；

⑵如圖所示，過點G作GHLA5于H,連接班1,先證明一AG尸烏DfiP(AAS),得到

AG=BD,BF=GF,再證明AHG是等腰直角三角形，得到AH=Y^AG=也3。；由直角三角

22

形斜邊上的中線的性質(zhì)可得===則NFBH=NFHB,NFBC=NFCB,進而可

2

證明NHFC=2NABC=90°,則N“?=NCRV；設(shè)NCBG=x,貝U

NABG=45°—x,ZCGB=90°-x,可得/印吠=/5口W+NEB朋r=135°—x由角平分線的定義

可得NGCN=g/ACB=45。，則可證明=,進而證明一印加絲一CFW(AAS),得至U

HM=CN,即可證明AM=Y^3D+CN;

2

(3)如圖所示，過點。作。AC交AC延長線與X,連接FH，則四邊形3cH。是矩形，可得

BC=DH=AC,證明歸r是等邊三角形，得到NDFH=NFDH=60°,進而得到

NBDA=NDAH=30。,ZFHA=ZFAH=30°；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

FQ=FP,ZPFQ=60°=ZDFH,證明DFQWHFP（SAS）,得到/田Q=NEffi5=30。，則

點。在直線。。上運動，設(shè)直線。。交EH于K,則

DK±FH,FK=-FH,ZFDK=-ZFDH=30°,可得/BOQ=60。，由垂線段最短可知，當

22

3。，。。時，3Q有最小值，則N￡）3Q=30。