第1講集合的概念及運(yùn)算(教師版)

第1講集合的概念及運(yùn)算【課前測(cè)試】1、已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈Z，且\f(3,2－x)∈Z))，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為()A.2 B.3C.4 D.5答案C解析∵eq\f(3,2－x)∈Z，∴2－x的取值有－3，－1，1，3，又∵x∈Z，∴x值分別為5，3，1，－1，故集合A中的元素個(gè)數(shù)為4，故選C.2、設(shè)全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，則A∩(?UB)＝()A.{－3，3} B.{0，2}C.{－1，1} D.{－3，－2，－1，1，3}答案C解析?UB＝{－2，－1，1}，∴A∩(?UB)＝{－1，1}.故選C.【知識(shí)梳理】1．集合的相關(guān)概念(1)集合元素的三個(gè)特性：確定性、無(wú)序性、互異性．(2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為∈；不屬于，記為?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．(4)五個(gè)特定的集合：集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N＋ZQR2.集合間的基本關(guān)系(1)子集：若對(duì)任意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A，則A?B或B?A.(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言記法交集屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B補(bǔ)集全集U中不屬于集合A的元素組成的集合{x|x∈U，且x?A}?UA【常用結(jié)論】=1\*GB3①若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè).=2\*GB3②子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.=3\*GB3③A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.=4\*GB3④?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).【課堂講解】考點(diǎn)一集合的基本概念例1、(1)已知集合A＝{2a－1，a2，0}，B＝{1－a，a－5，9}，且A∩B＝{9}，則a＝()A.±3，5 B.3，5C.－3 D.5答案C解析易知a2＝9或2a－1＝9，∴a＝±3或a＝5.當(dāng)a＝3時(shí)，則1－a＝a－5＝－2，不滿足集合中元素的互異性，舍去.當(dāng)a＝5時(shí)，則A∩B＝{9，0}，與題設(shè)條件A∩B＝{9}矛盾，舍去.當(dāng)a＝－3時(shí)，A＝{－7，9，0}，B＝{4，－8，9}，滿足A∩B＝{9}，故a＝－3.(2)已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x)>0))))，若集合C＝{x|x∈A且x?B}，則C＝()A．{0,1} B．{－1,1}C．{0} D．?答案A解析A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1,0,1,2,3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x)>0))))＝{x|x<0或x>1}．因?yàn)椋?,2,3∈B，而0,1?B，所以C＝{0,1}．變式訓(xùn)練：1、設(shè)集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(2，5) B.[C.(2，5] 答案C解析∵A＝{x|3x－1<m}，1∈A且2?A，∴3×1－1<m且3×2－1≥m，解得2<m≤5.2、已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A．9 B．8C．5 D．4答案A解析由題意可知A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，集合A中共有9個(gè)元素，故選A．考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系例2、(1)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A?C?B，則符合條件的集合C的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．4D．8答案C解析由題意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1，1}，即符合條件的集合C共有4個(gè)．故選C．(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______.答案(－∞，－2)∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))解析A＝{x|－1≤x≤6}.∵B?A，∴B＝?或B≠?.當(dāng)B＝?時(shí)，m－1>2m＋1，即m<－2.符合題意.當(dāng)B≠?時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6.))解得0≤m≤eq\f(5,2).得m<－2或0≤m≤eq\f(5,2).變式訓(xùn)練：1、已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，則集合A的真子集的個(gè)數(shù)為()A．7 B．8C．15 D．16答案A解析法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7個(gè)．2、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．答案(解析∵B?A，∴①若B＝?，則2m－1＜m＋1，此時(shí)m＜2.②若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②可得，符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－3、已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．答案[－2,2]解析①若B＝?，則Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.②若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時(shí)B＝{1}，符合題意；③若2∈B，則22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此時(shí)B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2,2)．4、已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(1，3) B.[1，3]C.[1，＋∞) D.(－答案B解析由log2(x－1)<1，得0<x－1<2，所以A＝(1，3).由|x－a|<2得a－2<x<a＋2，所以B＝(a－2，a＋2).因?yàn)锳?B，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≤1，,a＋2≥3，))解得1≤a≤3.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，3].考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算命題點(diǎn)1集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算例3、(1)已知集合A＝{x|0<x<eq\r(2)}，B＝{x|log12x<2}，則A∪B＝()A．R B．{x|0<x<eq\r(2)}C．{x|x>0} D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)<x<\r(2)))))答案C解析因?yàn)锳＝{x|0<x<eq\r(2)}，B＝{x|log12x<2}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,4)))))，所以A∪B＝{x|x>0}．故選C．(2)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，則M∩N＝()A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}答案C解析∵N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故選C．(3)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，則?U(A∪B)＝()A．{－2,3} B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}答案A解析∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，∴A∪B＝{－1,0,1,2}，又∵集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，∴?U(A∪B)＝{－2,3}．故選A．變式訓(xùn)練：1、已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，則P∩Q＝()A.x|1＜x≤C.x|3≤x答案B解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＜x＜4，,2＜x＜3，))可得2＜x＜3，即P∩Q＝{x|2＜x＜3}.故選B.2、若集合A＝{x|x2－5x－6>0}，B＝{x|2x>1}，則(?RA)∩B＝()A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤6}C．{x|－2≤x<0} D．{x|0<x≤3}答案B解析因?yàn)锳＝{x|x2－5x－6>0}＝{x|x>6或x<－1}，所以?RA＝{x|－1≤x≤6}．又B＝{x|2x>1}＝{x|x>0}，所以(?RA)∩B＝{x|0<x≤6}．3、已知集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1≥0}，全集U＝R，則A∩(?UB)＝()A.(－∞，1) B.(－2，1)C.(－3，－1) D.(3，＋∞)答案A解析由題意A＝{x|x<2或x>3}.又B＝{x|x≥1}，知?UB＝{x|x<1}，∴A∩(?UB)＝{x|x<1}.命題點(diǎn)2已知集合運(yùn)算求參數(shù)例4、已知集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(－∞，－3)∪[2，＋∞) B.[－C.[－2，1] D.[2答案C解析集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，則B?A.又B≠?，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤2，))所以－2≤a≤1.變式訓(xùn)練：1、已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}．若A∩B＝{4}，則a＝()A．3B．2C．2或3 D．3或1答案A解析因?yàn)锳∩B＝{4}，所以a＋1＝4或2a＝4，若a＋1＝4，則a＝3，此時(shí)B＝{4,6}，符合題意；若2a＝4，則a＝2，此時(shí)B＝{3,4}，不符合題意．綜上，a＝3.2、已知集合A＝{0,1,2m}，B＝{x|1＜22－x＜4}．若A∩B＝{1,2m}，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．(0,1)答案C解析因?yàn)锽＝{x|1＜22－x＜4}，所以B＝{x|0＜2－x＜2}，所以B＝{x|0＜x＜2}．由2m∈B?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜2m＜2，,2m≠1，))解得0＜m＜1且m≠eq\f(1,2).3、集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(?UN)＝?，則a的取值范圍是()A.(1，＋∞) B.[1，＋∞]C.(－∞，1) D.(－∞，1)答案B解析易得M＝{x|2x2－x－1<0}＝{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<1))}.∵N＝{x|2x＋a>0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>－\f(a,2)))))，∴?UN＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2))))).由M∩(?UN)＝?，則－eq\f(a,2)≤－eq\f(1,2)，得a≥1.4、已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<－2 B．a(chǎn)≤－2C．a(chǎn)>－4 D．a(chǎn)≤－4答案D解析集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2)))))，由A∪B＝B可得A?B，作出數(shù)軸如圖．可知－eq\f(a,2)≥2，即a≤－4.【作業(yè)布置】1、已知集合P＝{x|1<x<4}，Q＝{x|2<x<3}，則P∩Q＝(B)A．{x|1<x≤2} B．{x|2<x<3}C．{x|3≤x<4} D．{x|1<x<4}答案B解析∵P＝{x|1<x<4}，Q＝{x|2<x<3}，∴P∩Q＝{x|2<x<3}，故選B.2、設(shè)集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，則(A∩B)∪C＝()A.{0} B.{0，1，3，5}C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}答案C解析∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，∴A∩B＝{1}，∴(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}.3、已知集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x2＋mx－12＝0}，若A∩B＝{－2}，則m＝()A.4 B.－4 C.8 D.－8答案B解析∵A∩B＝{－2}，可知－2∈B，所以(－2)2－2m－12＝0，解得m＝－4.4、已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，則(D)A．A∩B＝? B．A∪B＝RC．B?A D．A?B答案D.解析由x2－2x<0得0<x<2，即A＝{x|0<x<2}，由2x>1得x>0，即B＝{x|x>0}，所以A?B，故選D.5、設(shè)集合A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，B＝{a}，若A∪B＝A，則a的最大值為()A.－2 B.2 C.3 D.4答案C解析因?yàn)锳＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，所以A＝{x|－2≤x≤3}.又因?yàn)锽＝{a}，且A∪B＝A，所以B?A，所以a的最大值為3.6、已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B?A，則實(shí)數(shù)a＝()A.－1 B.2C.－1或2 D.1或－1或2答案C解析因?yàn)锽?A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.①若a2－a＋1＝3，則a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.當(dāng)a＝－1時(shí)，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，滿足條件；當(dāng)a＝2時(shí)，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，滿足條件.②若a2－a＋1＝a，則a2－2a＋1＝0，解得a＝1，此時(shí)集合A＝{1，3，1}，不滿足集合中元素的互異性，所以a＝1應(yīng)舍去.綜上，a＝－1或a＝2.7、已知集合A＝{x|y＝log2(x2－8x＋15)}，B＝{x|a＜x＜a＋1}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，3) B.(－∞，4)C.(3，4) D.[3，4]答案D解析易知A＝{x|x2－8x＋15＞0}＝{x|x＜3或x＞5}，由A∩B＝?，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥3，,a＋1≤5，))所以3≤a≤4.8、已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|eq\r(x)≤4，x∈Z}，則A∩B＝()A．(0，2) B．[0，2]C．{0，2} D．{0，1，2}答案D解析由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}．9、已知集合A＝{x|log2(x－2)>0}，B＝{y|y＝x2－4x＋5，x∈A}，則A∪B＝()A．[3，＋∞) B．[2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)答案C解析∵log2(x－2)>0，∴x－2>1，即x>3，∴A＝(3，＋∞)，此時(shí)y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1>2，∴B＝(2，＋∞)，∴A∪B＝(2，＋∞)．故選C.10、集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．(－∞，－1)∪[0，＋∞] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(0，1)答案A解析∵B?A，∴①當(dāng)B＝?時(shí)，即ax＋1≤0無(wú)解，此時(shí)a＝0，滿足題意．②當(dāng)B≠?時(shí)，即ax＋1≤0有解，當(dāng)a>0時(shí)，可得x≤－eq\f(1,a)，要使B?A，則需要eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,－\f(1,a)<－1，))解得0<a<1.當(dāng)a<0時(shí)，可得x≥－eq\f(1,a)，要使B?A，則需要eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,－\f(1,a)≥3，))解得－eq\f(1,3)≤a<0，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)).故選A.11、設(shè)集合A＝{x|y＝eq\r(x－3)}，B＝{x|1<x≤9}，則(?RA)∩B＝________.答案(1，3)解析因?yàn)锳＝{x|y＝eq\r(x－3)}，所以A＝{x|x≥3}，所以?RA＝{x|x<3}.又B＝{x|1<x≤9}，所以(?RA)∩B＝(1，3).12、已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A?B，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________.答案[1，＋∞)解析由題意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A?B，得c≥1.13、已知集合P＝{x|y＝eq\r(－x2＋x＋2)，x∈N}，Q＝{x|lnx<1}，則P∩Q＝.答案{1,2}解析由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因?yàn)閤∈N，所以P＝{0,1,2}．因?yàn)閘nx<1，所以0<x<e，所以Q＝(0，e)，則P∩Q＝{