第13章立體幾何初步過(guò)關(guān)練習(xí)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)

第13章立體幾何初步過(guò)關(guān)練習(xí)20232024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下學(xué)期蘇教版（2019）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在正方體中，二面角的大小是（

）A． B． C． D．2．設(shè)α是空間中的一個(gè)平面，是三條不同的直線(xiàn)，則（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．在正方體中，下列四對(duì)截面中，彼此平行的一對(duì)截面是（）．A．截面與截面 B．截面與截面C．截面與截面 D．截面與截面4．已知棱長(zhǎng)為1的正方體分別是AB和BC的中點(diǎn)，則MN到平面的距離為（

）A． B． C． D．5．的直觀(guān)圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（

）A． B．1 C．8 D．6．如圖，在四面體中作截面，若，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)則下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的個(gè)數(shù)是（

）（1），，三點(diǎn)共線(xiàn)；（2），，，四點(diǎn)共面；（3）.A． B． C． D．7．故宮角樓的屋頂是我國(guó)十字脊頂?shù)牡湫痛恚鐖D1，它是由兩個(gè)完全相同的直三棱柱垂直交叉構(gòu)成，將其抽象成幾何體如圖2所示.已知三樓柱和是兩個(gè)完全相同的直三棱柱，側(cè)棱與互相垂直平分，交于點(diǎn)I，，，則點(diǎn)到平面的距離是（

）

A． B． C． D．8．某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的.如圖所示，已知正方體邊長(zhǎng)為6，則該石凳的體積為（

）A．180 B．36 C．72 D．216二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線(xiàn)，，平面，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．，，則B．，，，，則C．，，，則D．，，，，，則10．如圖所示的是水平放置的三角形直觀(guān)圖，D'是中B'C'邊上的一點(diǎn)，且D'C'＜D'B'，A'D'∥y'軸，那么原的AB、AD、AC三條線(xiàn)段中（）

A．最長(zhǎng)的是AB B．最長(zhǎng)的是AC C．最短的是AC D．最短的是AD11．正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為，則下列敘述正確的是（）A．正三棱錐高為3 B．正三棱錐的斜高為C．正三棱錐的體積為 D．正三棱錐側(cè)面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．定義兩個(gè)相交平面夾角為兩個(gè)平面所組成的四個(gè)二面角的最小值．已知平面與所成的角為，為外一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的一條直線(xiàn)與所成的角都是，則這樣的直線(xiàn)有.13．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，其各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若該球的體積為，則該正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的正弦值為.14．已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．如圖所示，是四邊形所在平面外的一點(diǎn)，G為邊中點(diǎn)，四邊形是且邊長(zhǎng)為的菱形．為正三角形，且平面⊥平面.求證：(1)⊥平面；(2).16．如圖，已知四棱錐中，底面是平行四邊形，為側(cè)棱的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，求證：平面；(3)設(shè)平面平面，求證：.17．如圖所示，底面邊長(zhǎng)為的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，高為4的正四棱錐.(1)求棱臺(tái)的體積；(2)求棱臺(tái)的表面積.18．在直四棱柱中，底面為平行四邊形，，分別為線(xiàn)段的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)證明：平面//平面；(3)若，當(dāng)與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求四棱錐的體積．19．如圖，四棱錐為正四棱錐，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四棱錐的高為1，點(diǎn)E在棱AB上，且．(1)若點(diǎn)F在棱PC上，是否存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，使得平面PDE？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)在第（1）問(wèn)的條件下，當(dāng)平面PDE時(shí)，求三棱錐的體積．參考答案：1．B【分析】作出圖形，根據(jù)二面角的定義，結(jié)合正方體的線(xiàn)面關(guān)系判斷出待求二面角的平面角即可求解.【詳解】如圖，由正方體的性質(zhì)易知平面，平面，平面，則，而平面平面，則為二面角的平面角，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，即二面角的大小?故選：B.2．B【分析】選項(xiàng)A和D，通過(guò)舉出例子判斷正誤；選項(xiàng)B，由線(xiàn)面垂直的判定定理得結(jié)果正確；選項(xiàng)C，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，可得，從而判斷出結(jié)果的正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖1，當(dāng)，滿(mǎn)足時(shí)，與可以斜交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，因?yàn)?，則由線(xiàn)面垂直的判定定理得，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，若，則與可以相交、平行或異面，如圖2，滿(mǎn)足，而與異面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：B.3．B【分析】根據(jù)面面平行的判定并結(jié)合圖形判斷各選項(xiàng)．【詳解】如圖，選項(xiàng)A、B、C、D分別對(duì)應(yīng)圖1、圖2、圖3、圖4．對(duì)于A(yíng)，與相交，截面與相交，A不是；對(duì)于B，截面與平行．由，得四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面，同理可證平面，，平面，所以平面平面，B是；對(duì)于C，截面與有公共點(diǎn)D，截面與相交，C不是；對(duì)于D，與相交，截面與相交，D不是.故選：B4．C【分析】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，由幾何關(guān)系證明MN到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，再由等體積法求出結(jié)果即可；【詳解】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，，因?yàn)榉謩e是AB和BC的中點(diǎn)，則，由正方體的性質(zhì)可得，所以，又平面，平面，所以平面，所以MN到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，則，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以，，，所以，即，故選：C.5．B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則將圖還原，平面圖是一個(gè)直角三角形，從而可求出其面積.【詳解】由直觀(guān)圖還原平面圖形可知，在中，，，,所以故選：B．6．B【分析】證明，，三點(diǎn)都在平面與平面的交線(xiàn)上，可判斷（1）；由平面，可判斷（2）；由，可判斷（3）.【詳解】因?yàn)?，直線(xiàn)平面，，直線(xiàn)平面，所以是平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，所以在平面與平面的交線(xiàn)上，同理可證，也在平面與平面的交線(xiàn)上，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，所以（1）正確；平面，所以（2）錯(cuò)誤；由于，所以（3）錯(cuò)誤.故選：B.7．B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間總直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，先確定點(diǎn)到平面的垂線(xiàn)段，在根據(jù)已知條件得，解方程求出即可.【詳解】取中點(diǎn)，連接，過(guò)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

取中點(diǎn)，連接，由已知，、分別為、中點(diǎn)，因?yàn)槭侵比庵?，且，所以其，所以四邊形為平行四邊形，又，所以為矩形，所以，又，平面，平面，，所以平面，平面，所以，又因?yàn)椋矫?，平面，，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于線(xiàn)段的長(zhǎng)度，設(shè)為；，在中，，所以，設(shè)角，則有，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又因?yàn)橐驗(yàn)槭侵比庵?，所以，且，所以，，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離是，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，確定點(diǎn)到平面的垂線(xiàn)段.8．A【分析】利用多面體的體積公式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意可知該石凳的體積為.故選：A9．ABC【分析】結(jié)合空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系與面面平行的判定定理逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】選項(xiàng)A中，若，，則可能在內(nèi)，也可能與平行，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，若，，，，則與也可能相交，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，若，，，則與也可能相交，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，若，，，，，依據(jù)面面平行的判定定理可知，故D正確．故選：ABC．10．AD【分析】根據(jù)題意，作出原的平面圖，結(jié)合勾股定理分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，原的平面圖如圖，其中，，，則有，故的AB、AD、AC三條線(xiàn)段中最長(zhǎng)的是AB，最短的是AD；故選：AD

11．AB【分析】先求出正三棱錐的高和斜高，從而可判斷AB的正誤，再計(jì)算出體積和側(cè)面積，從而可判斷CD的正誤.【詳解】設(shè)為等邊三角形的中心，為的中點(diǎn)，連接，則為正三棱錐的高，為斜高，又，，，，故，故AB正確.而正三棱錐的體積為，側(cè)面積，故CD錯(cuò)誤.故選：AB.

12．4【分析】過(guò)點(diǎn)作平面垂直于平面的交線(xiàn)，并且交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，則，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作的平分線(xiàn)，以為軸在的角平分面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)題意可得出有兩條直線(xiàn)滿(mǎn)足題意；以為軸在平面內(nèi)前后轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)題意可得出有兩條直線(xiàn)滿(mǎn)足題意，綜合可得結(jié)果.【詳解】解：首先給出下面兩個(gè)結(jié)論：①兩條平行線(xiàn)與同一個(gè)平面所成的角相等；②與二面角的兩個(gè)面成等角的直線(xiàn)在二面角的平分面內(nèi)或平行于角平分面.（1）如圖1，過(guò)二面角內(nèi)任一點(diǎn)作棱的垂面，交棱于點(diǎn)，與兩半平面交于，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則為二面角的平面角，則，設(shè)為的平分線(xiàn)，則，與平面所成的角都是，此時(shí)過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)符合要求，當(dāng)以為定點(diǎn)，在二面角的平分面上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與兩平面的夾角會(huì)變小，會(huì)對(duì)稱(chēng)地出現(xiàn)兩條符合成的情形；此時(shí)過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)符合條件，有2條，

（2）如圖2，設(shè)為的補(bǔ)角的平分線(xiàn)，

則，與平面所成的角都是，當(dāng)以為定點(diǎn)，在二面角的平分面上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與兩平面夾角變小，對(duì)稱(chēng)地在圖2中的兩側(cè)會(huì)出現(xiàn)的情形，有兩條，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)符合要求，有兩條.綜上所述，符合條件的直線(xiàn)有4條.故答案為：4.13．【分析】根據(jù)已知條件求得正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高，結(jié)合線(xiàn)面角的知識(shí)求得正確答案.【詳解】如圖所示正四棱錐，，則平面.設(shè)正四棱錐外接球的半徑為，則R=2，設(shè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，則①，由整理得②，由①②解得，由于平面，所以正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，.故答案為：14．【分析】取中點(diǎn)，先由平面，得在線(xiàn)段上，再把沿翻折到平面上，得到取得最小值時(shí)，由此求出結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接，

由正四面體性質(zhì)可得，，因?yàn)?，所以平面因?yàn)?，所以平面，?dāng)取得最小值時(shí)，平面，所以在線(xiàn)段上，由平面，得，，，所以，將沿翻折到平面上，如圖

由題意知，，，則，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，即，所以故答案為：15．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理證明即可；（2）由線(xiàn)面垂直判定定理和性質(zhì)定理證明即可.【詳解】（1）如圖，連接，∵四邊形是菱形且，∴△是正三角形，∵G為的中點(diǎn)，∴.又平面⊥平面，且平面∩平面，平面，∴平面.（2）由（1）可知，∵△為正三角形，為的中點(diǎn)，∴，又平面，∴平面，又平面，∴.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，再證明即可；（2）根據(jù)線(xiàn)面平行與面面平行的判定證明平面平面即可；（3）根據(jù)線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)證明即可.【詳解】（1）設(shè)，連接，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，故，又為?cè)棱的中點(diǎn)，故.又平面，平面，故平面.（2）若為側(cè)棱的中點(diǎn)，，則，又平面，平面，故平面.又，平面，平面，故平面.又，平面，故平面平面.又平面，故平面.（3）因?yàn)椋矫?，平面，故平?又平面平面，平面，故

17．(1)(2)【分析】（1）借助正四棱錐于棱臺(tái)的性質(zhì)可得棱臺(tái)的高，結(jié)合棱臺(tái)體積公式計(jì)算即可得；（2）求出棱臺(tái)各個(gè)面的面積后相加即可得.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作底面于點(diǎn)，交平面于點(diǎn)，由正四棱錐及棱臺(tái)的性質(zhì)可知，為底面的中心，則，即棱臺(tái)的高，，（2）連接，則，則，作于點(diǎn)，則，故.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接，設(shè)，連接，通過(guò)證明以及得到為等腰三角形，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）結(jié)交于，連結(jié)，通過(guò)證明平面以及平面可得面面平行；（3）利用體積法求點(diǎn)到平面的距離，設(shè)與平面所成的角為，表示出，求其最值，進(jìn)而可得體積.【詳解】（1）如圖，連接，設(shè)，連接.

因?yàn)?，平面，平面，故，而，，平面，故平面，而平面，故，由四邊形為平行四邊形可得，故為等腰三角形，即；?）延長(zhǎng)交于，連結(jié)，由中位線(xiàn)性質(zhì)可得，且，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，可得為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?/平面；.

（3）設(shè)，，由（1）可得平面，而平面，故，故四邊形為菱形，而，故.因?yàn)槠矫?，平面，故，故，同?而，故.設(shè)為點(diǎn)到平面的距離，與平面所成的角為，故.又，而，故，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故此時(shí).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線(xiàn)面角可以通過(guò)體積法求出點(diǎn)到面的距離后，利用（為斜線(xiàn)段的長(zhǎng)度）來(lái)表示，可以避免建系產(chǎn)生的復(fù)雜計(jì)算.19．(1)存在；(2)【分析】（1）先由線(xiàn)面平行的判定定理證明平面PDE，得到