4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式（第一課時）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

4.2.2等差數(shù)列的前n項和第一課時1.等差數(shù)列的性質(zhì)：若已知am,an,求ap,(1)可以直接利用等差數(shù)列的通項公式列方程組,求出首項a1和公差d后再求ap;(2)也可以利用等差數(shù)列通項公式的推廣公式求解,即用d=直接求解;課前回顧2、下標(biāo)和公式：

1、若等差數(shù)列{an}的公差為2,則數(shù)列{3an-2}的公差為(

)A.3 B.4

C.5

D.6解析:(1)∵數(shù)列{an}的公差為2,∴數(shù)列{3an-2}的公差為3×2=6.答案:D

2、在等差數(shù)列{an}中,若a2+a8=10,則(a4+a6)2-2a5=(

)A.100 B.90

C.95

D.20解析:在等差數(shù)列{an}中,∵a2+a8=10,∴a2+a8=2a5=10,解得a5=5.∴(a4+a6)2-2a5=(2a5)2-2a5=100-10=90.答案:B學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程.2.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其應(yīng)用.前面我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念和通項公式，下面我們將利用這些知識解決等差數(shù)列的求和問題．據(jù)說，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：自學(xué)指導(dǎo)你能說說高斯在求和過程中利用了數(shù)列①的什么性質(zhì)嗎？你能從中得到求數(shù)列①的前n項和的方法嗎？

倒序相加法公式與梯形面積：補成平形四邊形分割成一個平行四邊形和一個三角形兩個公式的共同已量是a1和n,不同的已知量是:公式（1）已知an;公式（2）已知d.已知三個量就可以求出Sn，我們要根據(jù)具體題目，靈活采用這兩個公式。an=a1+(n-1)d(n-1)d梯形的面積等于中位線乘以高.知三求二例1例1

反思感悟a1,n,d稱為等差數(shù)列的三個基本量,an和Sn都可以用這三個基本量來表示,五個量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,一般是通過通項公式和前n項和公式列出關(guān)于基本量a1和d的方程(組)求解,這種方法是解決數(shù)列問題的基本方法.在具體求解過程中應(yīng)注意整體代換思想的運用,以便簡化計算.【變式訓(xùn)練1】

根據(jù)下列條件求等差數(shù)列的前n項和.(1)a1=1,a10=21,n=10;(2)a1=100,d=-2,n=50;(3)a1=2,an=32,d=2.所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項和公差．一般地，對于等差數(shù)列，只要給定兩個相互獨立的條件，這個數(shù)列就完全確定．例2【變式訓(xùn)練2】

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,(1)若a1=1,an=-512,Sn=-1022,求公差d;(2)若a2+a5=19,S5=40,求a10;(3)若a4=9,a9=-6,Sn=63,求n的值.(2)(方法一)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,所以a10=a1+9d=29.(方法二)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由S5=5a3=40,得a3=8.所以a2+a5=a3-d+a3+2d=2a3+d=16+d=19,得d=3.所以a10=a3+7d=8+3×7=29.解得n=6或n=7.圖4.2-3中的電子表格A列中A1，A2，A3分別表示p，q，r的值，B列、C列中分別是相應(yīng)的Sn和an的值.判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：（4）前n項和法當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=-3n+104,由n=1也適合上式,得數(shù)列{an}的通項公式為an=-3n+104(n∈N*).當(dāng)n≥35時,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn反思感悟求數(shù)列{|an|}的前n項和需注意以下問題(1)給出數(shù)列{an},要求數(shù)列{|an|}的前n項和,關(guān)鍵是分清n取什么值時an≥0或an<0.(2)當(dāng){an}的各項都為非負數(shù)時,{|an|}的前n項和等于{an}的前n項和;當(dāng){an}的各項都為非正數(shù)時,{|an|}的前n項和等于{an}的前n項和的相反數(shù);當(dāng){an}的某些項為正,某些項為負時,要對n進行分類討論,轉(zhuǎn)化為{an}的前n項和求解,其結(jié)果用分段函數(shù)表示.【變式訓(xùn)練3】

在等差數(shù)列{an}中,a1=-60,a17=-12,求數(shù)列{|an|}的前n項和.故an=a1+(n-1)d=-60+3(n-1)=3n-63.令an<0,即3n-63<0,n<21,得等差數(shù)列{an}的前20項是負數(shù),第20項以后的項是非負數(shù).設(shè)Sn和S'n分別表示數(shù)列{an}和{|an|}的前n項和.1.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=3,d=2,則S10等于(

)A.120 B.240

C.180

D.280答案:A2.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,已知a2=3,a6=11,則S7等于(

)A.13 B.35

C.49

D.63解析:∵a2+a6=a1+a7=14,答案:C當(dāng)堂檢測（優(yōu)化）3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a5=12,則S9=

.

解析:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a9=2a5.答案:1084.已知{an}是等差數(shù)列,a1+a3+a5=9,a6=9,求此數(shù)列前10項的和.解:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.∵a1+a3+a5=3a3=9,課堂小結(jié)1、等差數(shù)列前n項和公式2、a1,n,d稱為等差數(shù)列的三個基本量,an和Sn都可以用這三個基本量來表示,五個量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,一般是通過通項公式和前n項和公式列出關(guān)于基本量a1和d的方程(組)求解.3、求數(shù)列{|an|}的前n項和需注意給出數(shù)列{an},要求數(shù)列{|an|}的前n項和,關(guān)鍵是分清n取什么值時an≥0或an<0.第22頁課后作業(yè)（課本）6．已知一個等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項的和為290，所有偶數(shù)項的和為261．求此數(shù)列中間一項的值以及項數(shù)．∴此數(shù)列中間一項的值為29，項數(shù)為19．7．（1）求從小到大排列的前n個正偶數(shù)的和．（2）求從小到大排列的前n個正奇數(shù)的和．（3）在三位正整數(shù)的集合中有多少個數(shù)是5的倍數(shù)？求這些數(shù)的和．（4）在小