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向量的加法運算(分層作業(yè))(必做題+選做題)【必做題】一、單選題1.(2022秋·廣東揭陽·高一??茧A段練習(xí))(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】由向量的加法法則求解【詳解】故選:A2.(2022·高一課時練習(xí))若在△ABC中,,,且,,則△ABC的形狀是()A.正三角形 B.銳角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形【答案】D【分析】直接求出,即可判斷.【詳解】由于,|,,所以△ABC為等腰直角三角形.故選:D.3.(2022·高一課時練習(xí))在四邊形中,若,則(
)A.四邊形是矩形 B.四邊形是菱形C.四邊形是正方形 D.四邊形是平行四邊形【答案】D【分析】根據(jù)平面向量加法的運算法則及向量相等的充要條件判斷即可;【詳解】解:,,,且,四邊形是平行四邊形.故選:D.4.(2022·全國·高一假期作業(yè))向量化簡后等于(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)向量的加法運算即可得到結(jié)果.【詳解】故選:D5.(2022·全國·高一專題練習(xí))在四邊形ABCD中,+=,則四邊形ABCD是(
)A.梯形 B.矩形C.正方形 D.平行四邊形【答案】D【分析】利用向量的加法平行四邊形法則求解出答案.【詳解】由平行四邊形法則可得,四邊形ABCD是以AB,AD為鄰邊的平行四邊形.故選:D.6.(2022秋·廣東清遠(yuǎn)·高一校考階段練習(xí))向量,互為相反向量,已知,則下列結(jié)論正確的是(
)A. B.為實數(shù)0 C.與方向相同 D.【答案】D【分析】根據(jù)相反向量的定義,即可判斷選項.【詳解】向量,互為相反向量,則,模相等、方向相反,所以,故A錯誤;,故B錯誤;與方向相反,故C錯誤;,故D正確.故選:D.7.(2022·高一課時練習(xí))在矩形中,,則向量的長度等于(
)A.4 B. C.3 D.2【答案】A【分析】根據(jù)向量的加法運算法化簡,根據(jù)矩形的特征可求對角線的長度,進而可求模長.【詳解】在矩形中,由可得,又因為,故,故,故選:A8.(2022·高一課前預(yù)習(xí))正方形的邊長為1,則為(
)A.1 B. C.3 D.【答案】B【分析】利用向量加法運算及向量的摸的定義,結(jié)合勾股定理即可求解.【詳解】在正方形中,如圖所示,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,,又因為正方形的邊長為1,所以,故選:B.9.(2022秋·重慶江北·高一字水中學(xué)??茧A段練習(xí))點P在內(nèi)部,滿足,則為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】分別取、的中點、,連接,根據(jù)平面向量的線性運算確定點的位置,由此可求得的值.【詳解】分別取、的中點、,連接,因為,,所以,,同理可得,因為,所以,,所以,,所以,點為線段上靠近點的三等分點,故,,,因此,.故選:C.二、多選題10.(2022·高一課時練習(xí))(多選)已知,向量與的夾角為30°,則以向量,為鄰邊的平行四邊形的一條對角線的長度可能是(
)A.10 B. C.2 D.22【答案】BC【分析】設(shè),過點作于點,得到,過點作于點,得到,進而求得的長.【詳解】設(shè).則,過點作于點,則,所以,可得,過點作于點,則,又由,所以,即.故選:BC.11.(2022春·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末)已知點P為所在平面內(nèi)一點,且,若E為AC的中點,F(xiàn)為BC的中點,則下列結(jié)論正確的是(
)A.向量與可能平行 B.點P在線段EF上C. D.【答案】BC【分析】根據(jù)平面向量線性運算化簡得到,即可判斷ABC選項;根據(jù)點為線段靠近點的三等分點得到,,,然后得到,即可判斷D選項.【詳解】因為,所以,即,所以點為線段靠近點的三等分點,故A錯,BC正確;設(shè)邊上的高為,因為,分別為,中點,所以,,又點為線段靠近點的三等分點,,,所以,則,,所以,故D錯.故選:BC.三、填空題12.(2022秋·江西·高一校聯(lián)考階段練習(xí))化簡:________.【答案】【分析】依據(jù)向量加法法則去求解即可.【詳解】故答案為:.13.(2022秋·上海長寧·高一??计谥校┰谶呴L為2的正方形ABCD中,______.【答案】2【分析】由向量運算可求解.【詳解】.故答案為:2.14.(2022秋·北京·高一北京市第二十五中學(xué)??计谥校┰谄叫兴倪呅蜛BCD中,______.【答案】【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則計算可得;【詳解】解:故答案為:15.(2022秋·浙江嘉興·高一??计谥校┑幕喗Y(jié)果是______.【答案】【分析】根據(jù)向量加法法則計算即可【詳解】=.故答案為:16.(2022·全國·高一專題練習(xí))如圖所示,四邊形ABCD是梯形,AD//BC,則++=________.【答案】【分析】利用向量的加法運算即得.【詳解】++.故答案為:.17.(2022·高一課時練習(xí))如圖,在平行四邊形中,O是和的交點.(1)____________;(2)________;(3)_______;(4)_________.【答案】
【分析】根據(jù)向量加法法則計算.【詳解】(1)由平行四邊形法則,;(2)由向量加法的三角形法則,;(3)由向量加法法則得,;(4)由向量加法法則得,.故答案為:;;;.18.(2022·全國·高一專題練習(xí))若C是線段AB的中點,則+=________.【答案】【分析】根據(jù)相反向量的加法可求解.【詳解】∵C是線段AB的中點,∴AC=CB.∴與方向相反,模相等.∴.故答案為:四、解答題19.(2022·高一課時練習(xí))化簡(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】(1)(2)按照向量加法的運算律直接計算即可.【詳解】(1)=(2)==.20.(2022·高一課時練習(xí))如圖,請在圖中直接標(biāo)出:(1)+.(2)+++.【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)向量加法法則進行計算.【詳解】(1),如圖所示:(2)+++,如圖所示:21.(2022·全國·高一專題練習(xí))如圖所示,∠AOB=∠BOC=120°,||=||=||,求++.【答案】【分析】根據(jù)向量加法法則的幾何意義,即可得到答案;【詳解】如圖所示,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OADB,由向量加法的平行四邊形法則知由,∠AOB=120°,知∠BOD=60°,,又∠COB=120°,且,,.22.(2022·高一課時練習(xí))如圖所示,O是平行四邊形ABCD的對角線AC,BD的交點,設(shè)=,=,=.證明:=.【答案】證明見解析【分析】由題圖,根據(jù)向量的加減法則有,,,再將進行化簡,即可證結(jié)論.【詳解】由題圖有:,,,所以,得證.23.(2022·高一課時練習(xí))在中,求.【答案】【分析】由平面向量的相等向量與相反向量的定義化簡可得.【詳解】記,則所以24.(2022·高一課時練習(xí))如圖,已知,求作.(1);(2)【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則即可求解.【詳解】(1)在平面內(nèi)任取一點,如圖所示作則.(2)在平面內(nèi)任取一點,如圖所示作則.【選做題】一、單選題1.(2022秋·新疆伊犁·高一統(tǒng)考期末)在正六邊形ABCDEF中,點G是線段DE的中點,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用向量加法的三角形法則可得答案.【詳解】作出圖形如下所示,由已知得,,所以.故選:D.2.(2022·全國·高一專題練習(xí))為非零向量,且,則(
)A.,且與方向相同 B.是共線向量且方向相反C. D.無論什么關(guān)系均可【答案】A【分析】根據(jù)向量加法的性質(zhì)及三角形邊之間的關(guān)系即可得出答案.【詳解】當(dāng)兩個非零向量不共線時,的方向與的方向都不相同,且;當(dāng)兩個非零向量同向時,的方向與的方向都相同,且;當(dāng)兩個非零向量反向時且,的方向與的方向相同,且,所以對于非零向量,且,則,且與方向相同.故選:A.3.(2022秋·高一課時練習(xí))下列說法中正確的是(
)A.;B.若、非零向量且,則;C.若且,則;D.若,則有且只有一個實數(shù),使得.【答案】B【分析】注意到零向量的符號應(yīng)當(dāng)是,可知A錯誤;對于B:利用向量的模的性質(zhì)和數(shù)量積運算可以證明,可得B正確;考慮到的情況,得到C錯誤;考慮到,,可知D錯誤.【詳解】左邊是向量的加法,結(jié)果是零向量,用表示,故A錯誤;由、非零向量且,兩邊平方可得,即,所以,故B正確;當(dāng)時也有且,故C錯誤;若,,不存在實數(shù),使得,故D錯誤.故選:B.4.(2022秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)??计谀┱诉呅卧谏钪惺呛艹R姷膶ΨQ圖形,如圖1中的正八邊形的盤,圖2中的正八邊形窗花.在圖3的正八邊形中,,則()A. B.2 C. D.【答案】D【分析】在在上取一點,使得,根據(jù)C點的位置,從而求得,找到與的關(guān)系即可求得參數(shù).【詳解】連接,,且,在上取一點,使得,則四邊形為平行四邊形,.設(shè),則,由圖可知,故.故選:D.【點睛】方法點睛:利用向量相等及平行四邊形法則,將向量的和轉(zhuǎn)化為三角形中的長度關(guān)系,從而求得參數(shù)值.5.(2021秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中??茧A段練習(xí))若是垂心,且,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用垂心的性質(zhì),連接并延長交于,得到,把已知條件中的式子化簡,得到,再兩邊同乘以,利用數(shù)量積、正弦定理進行整理化簡,得到,再把化為,整理后得到值.【詳解】在中,,由,得,連接并延長交于,因為是的垂心,所以,,所以同乘以得,因為,所以由正弦定理可得又,所以有,而,所以,所以得到,而,所以得到,故選:D.【點睛】本題考查了平面向量線性運算、數(shù)量積、正弦定理、兩角差的余弦公式、誘導(dǎo)公式、三角形垂心性質(zhì)等知識綜合運用,采用數(shù)形結(jié)合的思想方法.屬于難題.二、多選題6.(2022·高一單元測試)在中,D,E,F(xiàn)分別是邊BC,CA,AB的中點,點G為的重心,則下述結(jié)論中正確的是(
)A. B.C. D.【答案】CD【分析】根據(jù)向量的加法運算、相反向量、中線的向量表示,重心的性質(zhì)分別計算求解.【詳解】由D,E,F(xiàn)分別是邊BC,CA,AB的中點,點G為的重心,因為,故A錯誤;由,故B錯誤;因為,故C正確;因為,故D正確.故選:CD7.(2022·高一單元測試)設(shè)是內(nèi)部(不含邊界)的一點,以下可能成立的是(
)A. B.C. D.【答案】AC【分析】作出圖示,根據(jù)向量的平行四邊形法則逐項進行判斷即可.【詳解】對于A:如下圖所示,可知在內(nèi)部,故成立;對于B:如下圖所示,可知在外部,故不成立;對于C:因為,如下圖所示,可知在內(nèi)部,故成立;對于D:因為,如下圖所示,可知在外部,故不成立;故選:AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛:解答本題的關(guān)鍵是采用圖示結(jié)合向量的平行四邊形法則進行說明,其中CD選項中的向量關(guān)系式要根據(jù)進行化簡.三、填空題8.(2022·全國·高一專題練習(xí))已知G是正方形ABCD的中心,點P為正方形ABCD所在平面外一點,若,則實數(shù)______.【答案】4【分析】先由G為正方形的中心,可知G為、的中點,再利用向量的加法,進而可求出結(jié)果.【詳解】因為G為正方形的中心,所以G為正方形、的中點,又點為正方形所在平面外一點,利用向量的加法法則知,,因此,即.故答案為:49.(2022·全國·高一專題練習(xí))是正三角形,給出下列等式:①;②;③;④.其中正確的有__________.(寫出所有正確等式的序號)【答案】①③④【分析】作出圖形,結(jié)合平面向量加法法則可判斷①②③④的正誤.【詳解】對于①,,,,①正確;對于②,,如下圖所示,以、為鄰邊作平行四邊形,由平面向量加法的平行四邊形法則可得,顯然,②錯誤;對于③,以、為鄰邊作平行四邊形,則,以、為鄰邊作平行四邊形,則.由圖可知,,即,③正確;對于④,,,因為,④正確.故答案為:①③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛:求解本題的關(guān)鍵就是化簡平面向量的運算結(jié)果,并作出圖形,結(jié)合圖形的幾何特征進行判斷.10.(2022·高一課時練習(xí))在矩形中,已知、分別是、上的點,且滿足,.若,則的值為______.【答案】【分析】本題首先可根據(jù)題意得出、,然后將轉(zhuǎn)化為,再然后根據(jù)列出算式,最后通過計算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖,結(jié)合題意繪出圖像:因為,,所以,,則,,故,因為,所以,解得,,,故答案為:.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查向量的相關(guān)運算,主要考查向量的三角形法則以及平行四邊形法則的應(yīng)用,考查計算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.11.(2022·高一課時練習(xí))如圖,已知的面積為,分別為邊,上的點,且,交于點,則的面積為_____.【答案】4【分析】以,建立一組基底向量,再利用點與點分別共線的性質(zhì)表示出,建立二元一次方程,再采用間接法,根據(jù)求出答案,屬于難題【詳解】設(shè),以,為一組基底,則.∵點與點分別共線,∴存在實數(shù)和,使.又∵,∴解得∴,∴.【點睛】復(fù)雜的三角形線段關(guān)系問題,借鑒向量法進行求解時,還是需要根據(jù)向量基底進行基礎(chǔ)運算,如本題中面積問題最終轉(zhuǎn)化成線段比例問題,在處理正面入手不好解決的問題時,可從對立面入手,采用間接法來進行求解12.(2022·高一課時練習(xí))如圖,在中,分別為上的點,且,,.設(shè)為四邊形內(nèi)一點(點不在邊界上),若,則實數(shù)的取值范圍為______【答案】【分析】取BD中點M,過M作MH//DE交DF,AC分別為G,H,則由可知,P點在線段GH上運動(不包括端點),求出端點G,H對應(yīng)的即可求解.【詳解】取BD中點M,過M作MH//DE交DF,AC分別為G,H,如圖:則由可知,P點在線段GH上運動(不包括端點)當(dāng)與重合時,根據(jù),可知,當(dāng)與重合時,由共線可知,即,結(jié)合圖形可知.【點睛】本題主要考查了向量的線性運算,加法平行四邊形法則,三點共線,數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于難題.13.(2021秋·江西宜春·高一江西省銅鼓中學(xué)校考階段練習(xí))如圖,,為內(nèi)的兩點,且,,則與的面積之比為_______.【答案】【分析】設(shè),,則,根據(jù)考查向量加法的平行四邊
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