2022-2023學(xué)年北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2022北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)班級(jí)_________姓名_________學(xué)號(hào)_________成績(jī)_________1．本試卷共7頁(yè)，共五道大題，25道小題，答題卡共4頁(yè)，滿分分，考試時(shí)間120分鐘2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)班級(jí)、姓名、學(xué)號(hào)考生須知3．試卷答案一律填寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。4．在答題卡上，選擇題須用鉛筆將選中項(xiàng)涂黑涂滿，其他試題用黑色字跡簽字筆作答第I卷(共100分)一、選擇題本大題共10小題，每小題4分，共40分)1．已知空間向量a=(2,0)，b=0?，則(a+b)b=A．2?B．1C．1D2a=垂直，則2．若直線x?y?3=0與ax+2y?1=0112A．2?B．2C．D．?23．若x2+y?4x?2y+m=0表示圓的方程，則m的取值范圍是2A．(,B．(?,5(+)C．+)D．4．平行六面體ABCD?ABCD中，設(shè)ABa，=AD=b，AA1=C，若M為AC1=的中點(diǎn)，則1111111111A．a(chǎn)+b+cB．a(chǎn)+b+cC．a(chǎn)+b+cD．a(chǎn)+b+c2222220?，，則線段B(4,3,2)ABA上靠近的三等分點(diǎn)的坐標(biāo)為5．已知A．??B．0)C．(2,1)D．(4,3)6l的一個(gè)方向向量為vnm的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為的是v,n30l①若，則與所成的角為°；；所成的角為°；②若l與所成角為，則v,n30m,n=60，則平面與③若④若平面與A所成的角為°，則，n=60B．①③C．②④D．①③④7．點(diǎn)(?1.2關(guān)于直線)x+y+4=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A．(??(??)B．6(??)C．7,2(??)D．78．三棱錐SABC中，?,SB,兩兩垂直，=1，==2，則點(diǎn)到平面的距離為S23622A．B．C．D．3333()=9．已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為a,b，圓M與x軸交于,B兩點(diǎn)，與y軸交于C,D兩點(diǎn)，則“CD”是a=b“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件10P為函數(shù)y=3x圖像上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓C:xa(?)2yb+(?)2=1(其中ab=0）上的動(dòng)點(diǎn)，若最小值為，則以所有滿足條件的點(diǎn)C為頂點(diǎn)的多邊形的面積為8331633A．B．43C．D．83二、填空題本大題共5小題，每小題5分，共25分)()?．過(guò)點(diǎn)A3,0，B，2(5的直線的傾斜角為_(kāi)________．a(chǎn)=(1)，b=()，c=(2,?為共面向量，則m的值為_(kāi)________．12．若13ABCD?ABCD中，M,N分別為棱和BC和所成角的余弦值1111111為_(kāi)________．()14．平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l過(guò)點(diǎn)，與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則直線l的方程為_(kāi)________．?SCDSCD⊥15．如圖，四棱錐SABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，是等邊三角形，平面平面ABCD,M,N,PBC,CD,的中點(diǎn)，Q為SCDPQ//平面分別為棱出下列四個(gè)結(jié)論：SAABCD所成角為°；①直線與平面27S??N②二面角的余弦值為；7③點(diǎn)Q④線段到平面的距離為定值；1,1長(zhǎng)度的取值范圍是2其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________三、解答題本大題共3小題，共35分)16．(本小題滿分12分)a=(1)，b=(t,0)．已知向量(I)若t3，求a,b；=(Ⅱ)求證：對(duì)任意tR2a+b2a?b，與不垂直；(Ⅲ)若a+b與z軸平行，求，的值t17．(本小題滿分13分)P?PD⊥ABCD，底面四邊形如圖，四棱錐中，平面ABCDAB=4，BC=2，PD=23，M為PB中為矩形，為N靠近的四等分點(diǎn)．D點(diǎn)，(I)求證：PB平面⊥；(Ⅱ)求二面角MB的余弦值：??(Ⅲ)求點(diǎn)D到平面AMN的距離．18．(本小題滿分10分)用坐標(biāo)法解答以下問(wèn)題．．．．．．．．．．ABCDAB=2，BC=1，O,MAB,CD分別為的中點(diǎn)，如圖，已知矩形中，P為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，________．從①②中任選其一，補(bǔ)充在橫線中并作答，如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一．．．．個(gè)解答計(jì)分，于點(diǎn)Q，求證：QMO=PMO；①連接并延長(zhǎng)交()QMO=PMOQAQCQP,O,Q，求證：三點(diǎn)共線．②取上一點(diǎn)，使得第Ⅱ卷(共50分)四、填空題本大題共4小題，每小題4分，共16分)19．一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)。已知小島中心位于輪船正西4km處，陸上的港口位于小島中心正北危險(xiǎn)？________(填“是”或“否”)()()()=(?)20A2,1，B3,4，C0,2l:ykx1l與線段ABk的最大值為_(kāi)_______；若直線l與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍是________．k21．已知單位向量e,e,e，兩兩夾角均為，則e+e=________；e+e+e的最小值為_(kāi)_______．12312123322P?ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥ACPD=m直ABCD所成角為P??B線PB與平面，二面角的大小為．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則m1；②若m1，則；22③RBA；④其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．五、解答題本大題共3小題，共34分)23．(本小題滿分10分)()?+=A(?1,0)，點(diǎn)．平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心是，半徑是1，直線l的方程為x2ym0(I)若l與圓C相切，求m的值；(Ⅱ)若l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求直線l與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)；3，求l的斜率的取值范圍．(Ⅲ)若過(guò)點(diǎn)A的直線l截得圓C的弦長(zhǎng)24．(本小題滿分14分)?ABC中，==5AB=AA1=2，M，111ABNAC是的中點(diǎn)．1為棱的中點(diǎn)，(I)證明：MN//平面BCCB；11(Ⅱ)求直線AC與平面BMN所成角的正弦值；11(III)棱上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P在平面1內(nèi)？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由。25．(本小題滿分10分)a,,mbaxc，其中表示x,y,mm=x,y,z這三個(gè)數(shù)的最大值。對(duì)于空間向量，定義111(I)已知a=,1，b=x,x,?x．22①寫(xiě)出a，寫(xiě)出b(用含的式子表示；x)②當(dāng)0x4，寫(xiě)出a?b的最小值及此時(shí)x的值；(Ⅱ)設(shè)a=(x,y,z)，b(xyz)，求證：=a+ba+b；,,111222(Ⅲ)在空間直角坐標(biāo)系O?xyzA(0)，(B4,0)，，點(diǎn)C(6)為球心，1為半徑的P是以O(shè)球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是△ABC內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．P參考答案第I卷（共100分）一、選擇題（每小題4分，共40分）題號(hào)答案12345678910DDBACBAACB二、填空題（每小題5分，共25分）題號(hào)答案122131415②③④32511y=x+1或y=?x+1444三、解答題（共分）16）當(dāng)t=3時(shí)，a,b=ab|a||b|31==.2322a,b因?yàn)閍,b[0,]，所以．3（Ⅱ）因?yàn)?2a+b)(2a?b)=4|a|2?|b|2()=8?t因此，對(duì)任意tR，2a+b與2a?b不垂直+2+9=?t2?10()（Ⅲ）由題意知，ab//0,1即存在kR，使得abk00,1+=(，)(+t,?)=(0,k)則+3=0即t=0，解得=?3，t=0?=k17PD平面⊥ABCDABCDPD,AD,CDD為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,,的方向?yàn)閤,y,zD?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．P23)，B(2,0)，(2,0)，M3)，N0)AN=(0)，=(1,2,23)，PB=(2,?23)．因?yàn)镻B=2(?+42+(?23)23=0，所以PB⊥AM，即PB⊥AN因?yàn)镻B=2(2)+41+(23)0=0所以PB⊥AN，即PB⊥AN又因?yàn)锳MIAN=A，因此PB⊥平面AMN（IIPD⊥平面ABCDn=(0,1)為平面ANB的一個(gè)法向量()由（IPB=2,4,23為平面AMN的一個(gè)法向量。PBn(2,23)(0,6PB,n==?n422+42+(?23)26設(shè)所求角為，由圖知為銳角，因此cos4DAPB(2,0)(2,23)2（Ⅲ）點(diǎn)D到平面AMN的距離d===PH222+42+(23)218．解：以O(shè)為原點(diǎn)，，OM的方向?yàn)閤,y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系．1212圖中直線AC的方程為y=x+．()，P,k選擇①：設(shè)POQy=，則直線的方程為11y=x+聯(lián)立22，y=1k得Q,．2k?12k?1k?12k?1所以k==1?k12k?1k?1又k==k?1，所以k=?k．1=所以．t+1選擇②：設(shè)Qt,，2t+1?1t?1t2k==則t1?tt因?yàn)?，所以k=?k=1?t所以直線PM的方程為yt+1=x+1tP所以tt+1t所以kk==，所以P,O,Q三點(diǎn)共線．第Ⅱ卷（共50分）四、填空題（每小題4分，共16分）題號(hào)答案192021222；(?,+)否3；2①五、解答題（共分）23．解：圓C的方程為x2+(y?)=1．2|0?21+m||m?2|（I）由題意知，圓心C到直線l的距離d===112+(2)25解得m=2+5或2?5（Ⅱ）若直線l過(guò)點(diǎn)A，則m=1，直線l的方程為x?2y+1=0x?2y+1=0．聯(lián)立直線l與圓C的方程，，x2+(y?2=13515?解得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（，）y=k(x+)?y+k=0，即．（Ⅲ）設(shè)直線l斜率為k，則直線l的方程為2||(d')2+=1設(shè)圓心C到直線l的距離為d'，有21因?yàn)镸N3，所以d|0?1+k||k?1|．2124?74+7解d==，得k．+k2k2+1331224）證明：連接AC,BC，由于AM,==1，故//111又因?yàn)锽C平面BCCB，MN平面BCC1B，所以1MN//平面BCC11111ABQ于⊥平面ABC,MQ//AA⊥平面ABCAC=BC，1111所以⊥MB,MC,MMB,MC,的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系M?12A(2),C(0,0),B2),M0),N?則．111AC=2)，MB=2)，=?112設(shè)平面1MN的法向量為n（x,y,，n1=0x+2z0=x=2=，取y2，即1?x+y+z=02z=?1n=0n2,21=(?)則設(shè)所求角為，則sin=,CnC(2,2)89==22+22+(212+22+(2)2（Ⅲ）設(shè)AP=AC0，則=+AP=(?0)+0)=(?2,0)若點(diǎn)P在平面1MN內(nèi)，則垂直于平面BMN1的法向量n1因此M