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文檔簡(jiǎn)介
浙教版八年級(jí)上第3招等腰三角形“三線合一”六種常見(jiàn)題型01分類(lèi)訓(xùn)練目
錄CONTENTS教你一招
等腰三角形中的“頂角平分線、底邊上的高、底邊上的
中線”，只要知道其中“一線”，就可以說(shuō)明這條線同時(shí)也
是其他“兩線”.運(yùn)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證明
角相等、線段相等或垂直，可減少證全等的次數(shù)，簡(jiǎn)化解題
過(guò)程.
利用“三線合一”求角的度數(shù)
A.50°B.72°C.62°D.82°C123456789102.
[2024·金華永康市月考]如圖，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
AD
⊥
BC
，∠
BAD
＝26°，且
AD
＝
AE
，求∠
AED
的
度數(shù).12345678910
123456789103.
[新視角過(guò)程探究題]【數(shù)學(xué)知識(shí)】等腰三角形的“三線合
一”性質(zhì)非常重要，如圖①，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
AD
是中線，若∠
C
＝58°，則∠
BAD
的度數(shù)
為
?；32°
12345678910【數(shù)學(xué)應(yīng)用】如圖②，在△
ABC
和∠
AEF
中，
AB
＝
AC
，
AE
＝
AF
，
AD
，
AG
分別為△
ABC
和△
AEF
的中線，若∠
BAF
＝110°，∠
CAE
＝24°，求∠
DAG
的度數(shù)；12345678910
∴∠
DAG
＝∠
DAC
＋∠
EAG
＋∠
CAE
＝43°＋24°＝67°.12345678910【拓展】如圖③，在△
ABC
和△
ABE
中，
AB
＝
AC
，
AB
＝
AE
，
AD
，
AF
分別為△
ABC
和△
ABE
的中線，
AD
與
BE
交于點(diǎn)
O
，若∠
AOF
＝69°，則∠
CAE
的度數(shù)
為
?.42°
12345678910【點(diǎn)撥】∵
AB
＝
AC
，
AB
＝
AE
，
AD
，
AF
分別為△
ABC
和△
ABE
的中線，∴∠
BAD
＝∠
CAD
，∠
BAF
＝∠
EAF
，∠
ABE
＝∠
E
，
∠
ABC
＝∠
C
，∠
BDA
＝∠
BFA
＝90°.∵∠
BOD
＝∠
AOF
＝69°，∴∠
OBD
＝90°－69°＝21°.又∵∠
BAE
＝180°－2∠
ABE
，∠
BAC
＝180°－2∠
ABC
，∴∠
CAE
＝∠
BAE
－∠
BAC
＝180°－2∠
ABE
－(180°－
2∠
ABC
)＝2(∠
ABC
－∠
ABE
)＝2∠
OBD
＝2×21°＝42°.12345678910
利用“三線合一”求線段長(zhǎng)
BA.
2B.3C.
4
D.5123456789105.
如圖，在△
ABC
中，
BD
，
CE
分別是邊
AC
，
AB
上的高，點(diǎn)
M
是
BC
的中點(diǎn)，且
MN
⊥
DE
，垂足為
點(diǎn)
N
，連結(jié)
ME
，
MD
，若
BC
＝20
cm，
ED
＝12
cm，求
MN
的長(zhǎng).12345678910
12345678910
利用“三線合一”證線段相等6.
如圖，在△
ABC
中，點(diǎn)
D
，
E
，
F
分別在
BC
，
AB
，
AC
上，
BD
＝
CF
，
BE
＝
CD
，
AB
＝
AC
，
DG
⊥
EF
于點(diǎn)
G
.
求證：
EG
＝
FG
.
12345678910
12345678910
利用等腰三角形“三線合一”判斷三角形的形狀7.
[2024·臺(tái)州期末]如圖，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
＞
BC
，
作高線
CE
，角平分線
BF
，中線
AD
，三者兩兩相于點(diǎn)
G
，
H
，
I
.
則下列三角形一定是等腰三角形的是(
D
)A.
△
ACE
B.
△
ABF
C.
△
CFG
D.
△
GHI
12345678910【點(diǎn)撥】∵
CE
是高線，∴∠
AEC
＝90°.若△
ACE
為等腰三角形，則
EA
＝
EC
，即∠
EAC
＝∠
ECA
＝45°，而題設(shè)中∠
BAC
并不一定是45°，故選項(xiàng)A不符合題意；∵
AB
＝
AC
＞
BC
，∴若△
ABF
為等腰三角形，則
FA
＝
FB
，12345678910即∠
FAB
＝∠1，如圖.∵
BF
是△
ABC
的角平分線，∴∠1＝∠2，∠
ABC
＝∠
ACB
＝2∠1，∴5∠1＝180°，∴∠1＝36°＝∠
BAC
，而題設(shè)中∠
BAC
并不一定是36°，故選項(xiàng)B不符合題意；12345678910同理選項(xiàng)C不符合題意；∵
AB
＝
AC
，
AD
是△
ABC
的中線，∴
AD
⊥
BC
.
∵
BF
是∠
ABC
的平分線，
CE
是高線，∴∠
IGH
＝∠
EGB
＝90°－∠1，∠
GIH
＝90°－∠2，∴∠
IGH
＝∠
GIH
，∴
HI
＝
HG
，∴△
GHI
一定為等腰三角形，故選項(xiàng)D符合題意.D【答案】123456789108.
在△
ABC
中，已知∠
BAC
＝90°，
AB
＝
AC
，
D
為
BC
邊的中點(diǎn).(1)如圖①，
E
，
F
分別是
AB
，
AC
上的點(diǎn)，且
BE
＝
AF
，試判斷△
DEF
的形狀，并說(shuō)明理由；12345678910【解】△
DEF
為等腰直角三角形.理由如下：連結(jié)
AD
.
∵∠
BAC
＝90°，
AB
＝
AC
，∴∠
ABC
＝∠
ACB
＝45°.∵
D
為
BC
邊的中點(diǎn)，∴
AD
⊥
BC
，∠
BAD
＝∠
DAC
＝45°，
BD
＝
AD
＝
DC
.
12345678910
12345678910(2)如圖②，若
E
，
F
分別為
AB
，
CA
延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且
仍有
BE
＝
AF
，請(qǐng)判斷△
DEF
是否仍具有(1)中的形
狀，并說(shuō)明理由.12345678910
12345678910又由(1)知∠
ADB
＝90°.∴∠
BDF
＋∠
FDA
＝∠
BDF
＋∠
EDB
＝∠
EDF
＝90°.∴△
DEF
是等腰直角三角形.12345678910
利用“三線合一”證線段的倍分關(guān)系(構(gòu)造三線法)9.
如圖，在等腰直角三角形
ABC
中，已知
AB
＝
AC
，∠
BAC
＝90°，
BF
平分∠
ABC
交
AC
于點(diǎn)
F
，
CD
⊥
BD
交
BF
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
D
.
求證：
BF
＝2
CD
.
12345678910【證明】如圖，延長(zhǎng)
BA
，
CD
交于點(diǎn)
E
.
∵
BF
平分∠
ABC
，
CD
⊥
BD
，∴∠
EBD
＝∠
CBD
，∠
BDE
＝∠
BDC
＝90°.又∵
BD
＝
BD
，∴△
BDC
≌△
BDE
，∴
BC
＝
BE
.
又∵
BD
⊥
CE
，∴
CE
＝2
CD
.
∵∠
BAC
＝90°，∠
BDC
＝90°，∠
AFB
＝∠
DFC
，∴∠
ABF
＝∠
ACE
.
又∵
AB
＝
AC
，∠
BAF
＝∠
CAE
＝90°，∴△
ABF
≌△
ACE
(
ASA
)，∴
BF
＝
CE
，∴
BF
＝2
CD
.
1234567891010.
如圖，在△
ABC
中，
AD
⊥
BC
于點(diǎn)
D
，且∠
ABC
＝2∠
C
.
求證：
CD
＝
AB
＋
BD
.
利用“三線合一”證線段的和差關(guān)系(構(gòu)造三線法)12345678910【證明】如圖，以點(diǎn)
A
為圓心，
AB
長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交
CD
于點(diǎn)
E
，連結(jié)
AE
，則
AE
＝
AB
，∴∠
AEB
＝∠
ABC
.
∵
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