2024年上海市中考數(shù)學一輪復習：特殊的四邊形綜合檢測過關(guān)卷（解析版）

專題13特殊的四邊形綜合過關(guān)檢測

（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一、單選題（本題共10小題，每題3分，共30分）

1.如圖，菱形A3CD中，AC交BD于O,OELBC于E,連接OE,若/ABC=120。，則NOED=

（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】C

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到點。為8。的中點，ZCBD=60°,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半得到OE=OD,再由三角形內(nèi)角和定理得到NODE=30。，則/函）=NODE=30。.

【詳解】解：：四邊形43co是菱形，AC交8。于。，ZABC=120°,

.,?點。為3。的中點，/CBD=|ZABC=60°,

,?DEA.BC,

：.NDEB=90。,

：.OE=OD=-BD,ZODE=180°-ZDBE-ZBED=30°

2

NOED=NODE=30。,

故選C.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，直角三角形斜邊上的中線的性

質(zhì)，熟知菱形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，平面直角坐標系中，菱形Q4BC的邊Q4在x軸的正半軸上，點8,C在第一象限，若

ZAOC=60°,04=4右，則對角線交點。的坐標為（）

A.（3A/3,3）B.(3,373)C.（3向D.(A/3,3)

【答案】A

【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及圖形與坐標，熟練掌握菱形

的性質(zhì)、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及圖形與坐標是解題的關(guān)鍵；過點。作于點E,

由題意易得NAOD=g/AOC=30。，AO=；OA=2若，然后根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可

進行求解.

【詳解】解：過點。作DELQ4于點E,

,四邊形Q45c是菱形，ZAOC=60°,

：.ZAOD=-ZAOC^30°,

2

,/（9A=4A/3,

Z.AO=‘OA=2后

2

?*-OD=ylo^-AD2=6>

/.DE=-DO=3,

2

?*-OE=yJoif-DE2=373，

/.D（3V3,3）,

故選：A.

3.如圖，四邊形ABCD為菱形，ZABC=70°,延長3C到E,在NDCE內(nèi)作射線CM,使

NECM=15°,過點。作。尸，CM,垂足為點/，若DF=3,則3。的長為（）

A.4A/2B.373C.6D.7

【答案】c

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形對角線互相垂直平分，三角形對

應邊相等，是解題的關(guān)鍵.連接AC,交3。于點。，通過證明..8叱..C"(AAS),得出

DF=DO=3,結(jié)合菱形的性質(zhì)，即可解答.

【詳解】解：連接AC,交BD于點、O,

???四邊形A3CD為菱形，

AC.LBD,AB//CD,

ZABC=70°,

ZZ)CE=70°,ZADC=70°,

/.ZCDO=-ZADC=35°,

2

ZECM=15°,

：.ZDCM=70°-15°=55°,

???DFLCM,

：./CFD=/COD=90。,

：.ZCDM=90°-55°=35°,

在/CDO和VCDM中，

"CDF=NCDO

<ZCFD=ZCOD,

CD=CD

：.CDgCDF(AAS),

DF=DO=3,

：.BD=2DO=6,

4.如圖，在平面直角坐標系中，。4=3,將Q4沿y軸向上平移3個單位長度至CB,連接A5,若反比例

函數(shù)＞=^（尤＞0）的圖象恰好經(jīng)過點A及BC的中點。，則左值等于（）

X

A.6B.2A/5C.3D.V5

【答案】B

【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，延長54,交x軸于點E,有軸，根據(jù)平移的特點證明

四邊形Q4BC為菱形，得到AB=Q4=3,設A?。），則3（。乃+3）,土笞），由A與。都在反比例

函數(shù)圖象上，建立等式，求得。值，再利用勾股定理求得。值，即可解題.

【詳解】解：延長B4,交無軸于點石，由題意知，軸，

Q4沿y軸向上平移3個單位長度至C5,且OA=3,

..BC=OA=3=OCfBC//OA,

二?四邊形Q4BC為菱形，

AB=OA=3,

設A（a,b）,貝！|8（4,匕+3）,

C（0,3）,且點。為BC的中點，

.?叱竽,

A與。都在反比例函數(shù)圖象上，

巴義"=ab,解得人=2,即鉉=2,

22

0A=3,

,,,OE=VOA2—AE2=飛寸-2,=布>即a=A/5>

（有,2）即左=2右.

故選：B.

5.如圖，在平行四邊形A3CD中以點A為圓心，A3為半徑畫弧交AO于點R連結(jié)成,

分別以點8和點尸為圓心、以適當長為半徑作圓弧交于點G,連接AG并延長交BC于點E.若

BF=12,AB=1Q,則AE的長為（）

A.18B.16C.12D.20

【答案】B

【分析】連接EB，設AE與跳'相交于點"，證明四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到

BH=FH=；BF=6,AE=2AH,AH±BF,由勾股定理求出AH=8,即可得到AE的長.

【詳解】解：連接所，設AE與的相交于點X,

由作圖可知，AB=AF=\O,AE平分4AD,

ZBAE=ZDAE,

:四邊形ABCD是平行四邊形,

BE//AD,

：.ZAEB=ZDAE,

/.ZBAE=ZAEB,

：.AB=BE=1O,

：.AF=BE,

,/BE//AF,

.??四邊形回歷是平行四邊形，

,?AB=AF=1O

四邊形卯是菱形，

/.BH=FH=-BF=6,AE=2AH,AH±BF,

2一,

?*-AH=y]AB2-BH2=V102-62=8?

，AE^2AH=16,

故選：B

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等角對等邊等知識，證明

四邊形43即是菱形是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在RtA3C中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,。為AB的中點，AE//CD,CE//AB,則

四邊形ADCE的對角線ED的長為（）

A.—B.3C.4D.5

5

【答案】B

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理根據(jù)AE〃CD,CE//AB,

可得四邊形必石為平行四邊形，根據(jù)/ACB=90。，。為A8的中點，則CO=gA8=A￡>,則平行四邊形

ADCE為菱形,由NACB=90。，AC=4,AB=5,可得3C=3,證明四邊形BCED是平行四邊形，即可

求解.

【詳解】解：AE//CD,CE//AB,

四邊形AZJCE為平行四邊形，

X-.ZACB=90°,。為AB的中點，

CD=-AB=AD,

2

平行四邊形ADCE為菱形，

?.DE1AC,

：.DE//BC

又EC//BD

四邊形3c即是平行四邊形，

ZACB=90°,AC=4,AB=5,

BC=3,

:.ED=BC=3.

7.如圖，在YA3CD中，BE平分/A3C交AD于點E,點尸，G分別是BE,C￡＞的中點.若AB=3,

BC=5,則尸G的長為()

A.2.5B.3C.3.5D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD〃3C,結(jié)合角平分線可得/ABE=NCBE,利用等角對等邊求出

AD=BC=5,DE=2,最后根據(jù)梯形的中位線定理可得結(jié)果.

【詳解】解：在YABCD中，AD//BC,

貝|JNAEB=NCBE,

BE平分NABC,

：.ZABE=ZCBE,

/.ZABE=ZAEB,

/.AB=AE=3,

*.?AD=BC=5,

：.DE=5-3=2,

??,點F,G分別是BE,CO的中點，

/.FG=^(DE+BC)=3.5,

故選C.

【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，梯形的中位線，等角對等邊，關(guān)鍵是將平行四邊形的性質(zhì)和角平分

線相結(jié)合得出=

8.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AD=BC=3cm,ZA=60°,BD平分/ABC,則梯形的周長

()cm.

Dy______C

A.12B.15C.18D.21

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)求出NABC=NA=60。，求出NCD3=NABO=NCBO=30。，根據(jù)等腰三角

形的判定得出DC=BC,求出AB=2AT>,即可求出答案.

【詳解】解：四邊形ABCD是等腰梯形，DC//ABfZA=60。，

.\ZCBA=ZA=60°,

QBD平分NCA4,

/CBD=ZABD=30。

AB//CD,

:.ZCDB=ZABD=30°

:.ZCDB=ZCBD=30°,

DC=BC=3cm

ZA=60°,ZABD=30°,

:.ZADB=90°,

AB=2AD=6cm,

?,?梯形ABCD的周長為AD+OC+3C+AZ)=3+3+3+6=15cm

故選：B.

【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和

定理的應用，能求出=和。C=3C是解此題的關(guān)鍵.

9.如圖，ABC中，E,F分別是AB,AC的中點，點。在E廠上，延長A￡>交3C于N,BD1AN,

AB=6,BC=8,貝1］。歹=()

【答案】C

【分析】本題主要考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識點，掌握三角形中

位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到跖=：BC=4,然后根據(jù)直角三角形

的性質(zhì)得到。石=342=3,進而求解即可.

【詳解】；E,尸分別是A3,AC的中點，BC=8,

：.EF=-BC=4,

2

VBD1AN,AB=6,

：.DE=-AB=3,

2

DF=EF-DE=4-3=1.

故選：C.

10.如圖，在Rt^ABC中，?B90?,AB=BC,AC=4,D,尸分別是AB,BC邊的中點，DE/AC于

點、E.連接￡F,則的長為（）

A.2B.3C.2A/2D.75

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，先根據(jù)等邊對等角得

至IJ/A=NC=45。，再由勾股定理得到A3=2近，由線段中點的定義和三角形中位線定理得到=血，

DF=2,AC//DF,再由￡>￡'/4。得到/">￡=45。=/4,DE1DF，由此求出DE=1,即可利用勾

股定理求出EF的長，證明。尸是RtaABC的中位線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：在RCABC中，?B90?,AB=BC,

：.ZA=ZC=45°,

AC=4,

：.AB=BC=—AC=2y/2,

2

D,/分別是AB3c邊的中點，

DR是Rt^ABC的中位線，AD=-AB=y/2,

2

ADF^-AC^2,AC//DF,

2

,?DEJ.AC,

：.ZADE=45°=ZA,DEIDF，

AE=DE=—AD=l,

2

EF=^DE2+DF2=逐，

故選：D.

二、填空題（本題共10小題，每題3分，共30分）

11.如圖，長方形A3C。中，AB=3,3c=4,點E是3C邊上一點，連接AE,把Z3沿折疊，使點

B落在點E處.當a笈為直角三角形時，BE的長為.

【分析】解：①如圖，當NCB'E=9O。時，由勾股定理得4。="1笈+%2=5,設BE=x,由折疊的性

質(zhì)可得：AB，=AB=3,B'E=BE=x,由勾股定理夕爐十臺它=CE?,即可求解；②如圖，當

NCEB，=90。時，由折疊性質(zhì)可得：ZAB'E=ZABE=90°,

B'E=BE,從而可證四邊形為正方形，即可求解.

【詳解】解：①如圖，當NCB，E=9O。時，

四邊形A3CD是矩形,

.-.ZB=90°,

:.AC=yjAB2+BC2

=A/32+42

=5

設3E=x,

由折疊可得：AB'=AB=3,

B'E=BE=x,

:.B'C=AC-AB',

=5—3=2,

CE=4-x,

在RtB'CE中，

B'E2+B'C2=CE2,

22

X+2=(4一元

3

解得：x=；,

:.NBEB'=9U°,

由折疊性質(zhì)可得：

ZAB'E=ZABE=90°,

B'E=BE,

/.四邊形ABEB'為正方形,

:.BE=BE=AB=3,

3

故物的長為二或3；

2

...3

故答案：?或3.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)直角三角形的不同

直角頂點進行分類討論是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，矩形AO3C的兩邊。8分別在平面直角坐標系的坐標軸上，點C的坐標為(-6,4),點。

為中點，反比例函數(shù)(左)的圖象經(jīng)過點。，交于點、連接、、則

ACy=5#0BCE,OEODOE,。。石的

面積為.

【答案】9

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到

A(-6,0),B(0,4),則AC=O8=4,BC=OA=6,再由點。為AC中點，得到8=2,￡>(-6,2),由此求

出反比例函數(shù)解析式，進而求出現(xiàn)-3,4),則CE=3E=3,再根據(jù)顯ODE=S梯形OBC。一^/\CDE—^AOBJ進行求

解即可.

【詳解】解：：四邊形AO3C是矩形，c(-6,4),

AA(-6,0),3(0,4),

AC=OB=4,BC=OA=6,

:點。為AC中點，

ACD=AD=|AC=2,0(-6,2),

把。(一6,2)代入y=幺化W0)中得：2=—(k豐0),

x—6

k=—12,

12

反比例函數(shù)解析式為＞=-一，

X

12

在＞=----中，當y=4時，%=-3,

x

???E(-3,4),

JCE=BE=3,

??S/\ODE=S梯形OBC￡)-S4CDE~~S^OBE

2+4,1八c1」

------x6—x2x3—x4x3

222

=9,

故答案為：9.

13.如圖，矩形ABCD的頂點A和對稱中心恰好在反比例函數(shù)y=8（%/0,尤<0）上，若矩形ABCD的面

X

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)，設矩形ABCD的對稱中心的坐標為

km2k

m,—，根據(jù)矩形對稱中心為對角線的中點可得點A的坐標為,則點C的坐標為據(jù)此

m2m

求出A￡=二，BC=-m,再根據(jù)矩形的面積為8得到t〃?二=8,解方程即可得到答案.

mm

【詳解】解：設矩形ABCD的對稱中心的坐標為［加；）,則點A的坐標為m2k

2m

點c的坐標為［■|科。］,

2k

AB=—,BC=—m,

m

...矩形ABCD的面積為8,

ABBC=8,

.一“生=8,

m

.M=T,

故答案為：-4.

14.如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A的坐標為（-8,0）,直線經(jīng)過點3（-8,6）,

C（0,6）,將四邊形Q4BC繞點0按順時針方向旋轉(zhuǎn)?g（0<?<180°）得到四邊形OA'B'C,此時直線

OA\直線B'C'分別與直線8c相交于尸、Q.在四邊形OIBC旋轉(zhuǎn)過程中，若2尸=。。，則點P的橫坐

標為.

【答案】（-9一或（-二,6）

24

【分析】根據(jù)0<aW180。，分兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式，勾股定理，求解即可.

【詳解】解：因為0<aW180。，所以分兩種情況討論：

（1）如圖1,當點P在點3左側(cè)時，

過。作于“，連接02,則?！?OC'=OC,

：.SPOQ=^PQOC,SPOQ=^OPQH,

：.PQ=OP,

設=

BP=[BQ,

：.BQ=2x,OP=PQ=BQ+BP=3x,

在Rt△尸CO中，（8+尤>+6?=（3尤>,

解得不=1+|后，尤2=1-（不符實際，舍去）?

PC=BC+BP=9+-46,

2

.1(一9-3后,6).

(2)如圖2,當點尸在點3右側(cè)時,

:.OP=PQ-BP=PQ=xfPC=8-x.

25

在RtZXPCO中，(8-X)2+62=X2,解得x=一.

4

257

...PC=BC-BP=8——=-,

44

7

'''g(—7,6).

4

所以點P(-9-g",6)或(-7,6).

24

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程，坐標與圖形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，分類討

論和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

15.在矩形A3CD中，對角線AC、即相交于點O,AE平分NBAD交BC于點、E,ZCAE=15°,連接

0E,①△OOC是等邊三角形；②△BOE是等腰三角形；③NAOE=150。；④5AA在=5秘庭.則結(jié)論中正

確的有_______

【答案】①②/②①

【分析】判斷出ABE是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出

ZACB=30°,再判斷出ABO,△DOC是等邊三角形，可判斷①；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出

OB=AB,再求出=可判斷②，由等腰三角形性質(zhì)求出NBOE=75。，再根據(jù)

ZAOE=ZAOB+ZBOE=135°,可判斷③；由AO=C。結(jié)合面積公式可得S3=S9，由等邊三角形和等

腰三角形可知BEKCE,進而可知SABOE/SACOE,則SABOENS—OE,可判斷④；即可求解.

【詳解】解：TAE1平分NB4O,

???ZBAE=ZDAE=45°,

：.ZAEB=45°,

???一?￡是等腰直角三角形，

***AB=BE,

ZC4E=15°,

ZACE=ZAEB-ZCAE=45°-15°=30°,

440=90?！?0。=60。，

???矩形ABC。中：OA=OB=OC=OD,

???_ABO是等邊三角形，△COD是等邊三角形，故①正確；

：.OB=AB,ZABO=ZAOB=60°f

OB=BE,

△BOE是等腰三角形，故②正確；

?/Z.OBE=ZABC-ZABO=90°-60°=30°=ZACB,

：.ZBOE=1(180°-30°)=75°,

ZAOE=ZAOB+ZBOE=60°+75°=135°,故③錯誤；

,/AO=CO,

??0AOE-0COE，

???ABO是等邊三角形，ABO石是等腰三角形，設。4=1,

AC=2fAB=BO=BE=1,BC=6，則。石=3。一區(qū)石=6—1,

；?BEwCE,但△BOE,CO上分別以班，CE為底的三角形，高相等，

,,S△RCE。S^COE，則S/^BOE。S—OE，故④不正確；

故答案為：①②.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性

質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.把兩個長為4,寬為2的全等矩形ABCD和矩形CEFG拼成如圖所示的圖案，則AF=.

G

【答案】2屈

【分析】根據(jù)全等的矩形的對角線相等得出AC=CF,根據(jù)勾股定理得出AC,進而證明△4ZF是等腰直

角三角形，根據(jù)勾股定理進行計算即可求解.

【詳解】解：在RtZkABC中，AB=2,BC=4,ZABC=9Q°,

AC=Y/AB2+BC2=2y[5>

四邊形A3CD,E/GC為全等的矩形，

:.AB=CE,ZB=ZE=90°,BC=EF,

在一ABC和中，

AB=CE

,NB=NE=90°,

BC=EF

(SAS),

:.ZACB=ZCFE,AC=CF=2卡,

.點B、C、E共線，

ZACB+ZACF+ZECF=180°,

ZACF=180°-(ZACB+NECF)=180°-(ZECF+NCFE)=90°,

△ACF是等腰直角三角形，

AF=>JAC2+CF2=2710，

故答案為：2回.

【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全

等三角形的判定.

17.如圖，在矩形A3CD中，AB=4,AD=4日將AD邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到

AD',連接班>',CD'.若BD'=CD,則班>'的長為

D'

【答案】4s

【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形三線合一.過點OC作Z/F，3c交AD于點E,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AE=2?,結(jié)合勾股定理即可求解.

【詳解】解：過點M作。'尸J_3C交AD于點E,

?*.DFLAD,

VBD'=CD',AD=4yf3,

：.AE=BF=LBC=LAD=2也,

22

,/AD邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<?<90°)得到AD',

：.AD'=AD=4A/3,

**?D'E=J(4廚-僅/丁=$,

D-F=4+6=10,

?*.BD'=加+(2@?=4近,

故答案為：4幣.

18.如圖，矩形ABCD中，AB=5,BC=3,將矩形ABCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形CEFG,當AB的對

應邊EF恰好經(jīng)過點。時，連接BE,則5E=.

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，作于H,EQL3C于

Q,利用勾股定理求出即可解決問題.

【詳解】解：如圖，作EHLCD于H,EQJ_8C于。，

:四邊形ABCD是矩形，

ACD=AB=5,ZBCD=90°,

由旋轉(zhuǎn)得，CE=BC=3,

在RtAECD中，

VZCED=90°,CD=5.CE=3,

?*-DE=ylCD2-CE2=752-32=4，

-CEDE=-CDHE,

22

,/ZEQC=ZQCH=ACHE=90°,

四邊形EQCH是矩形，

123

???BQ=3--=-,

223M

在Rt—BE。中,BE=^BQ+EQ=

5

故答案為：^A/10.

19.如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E為CO邊的中點，點尸、。為BC邊上兩個動點，且

PQ=2,當BP=—時，四邊形APQE的周長最小.

【答案】4

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題的應用，要使四邊形APQE的周長最小，由于AE

與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可.為此，先在3C邊上確定點P、。的位置，可在AD上截取線

^AF=DE=2,作/點關(guān)于3c的對稱點G,連接EG與BC交于一點即為。點，過A點作尸。的平行線

交3c于一點，即為尸點，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點作BC的平行線交。C的延長線于X

點，那么先證明/GEH=45。，再由CQ=EC即可求出BP的長度.

【詳解】解：如圖，在AD上截取線段尸。=2,作/點關(guān)于BC的對稱點G,連接EG與BC交于一

點即為。點，過A點作尸。的平行線交8C于一點，即為尸點，過G點作3C的平行線交OC的延長線于反

點.

?：GH=DF=6,E〃=2+4=6,ZH=90°,

/GEH=45。,

：.ZCEQ=45°,

設=則CQ=5C_BP_PQ=8_x_2=6_x,

在△CQE中，VZQCE=90°,ZCEQ=45°,

:.CQ=EC,

6—x=2,

解得x=4.

故答案為：4.

20.如圖，點A是反比例函數(shù)y='(x>o)的圖象上任意一點，AB〃x軸交反比例函數(shù)y=—(無<0)的圖象

xX

于點5,以為邊作平行四邊形ABCD,其中C、。在X軸上，若平行四邊形ABCD的面積為H,則女的

【分析】過點3作風軸，過點A作軸，可證得3cM空ADN(AAS),得出S=S矩疇皿,=11,

然后根據(jù)左的幾何意義求解.

【詳解】解：過點3作軸，過點A作4V_Lx軸，則ZBMC=Z4M)=90。，

：.BC//AD,BC=AD,

:.ZBCM=ZADN,

在二5。0和△A￡)N中

ZBMC=ZAND

</BCM=ZADN,

BC=AD

BCM"AZW(AAS),

??S,ABCD=S矩形A&W2V=11,

又S短彩ABMN="+5，

:.k+5=ll,

:.k=6.

故答案為：6.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)%的幾何含義，平行四邊形的性質(zhì).需要我們熟練掌握把已知圖形轉(zhuǎn)化為

模型圖形（與左相關(guān)的矩形或三角形）的能力.

三、解答題（本題共3題，共40分）

21（12分）.已知梯形ABCD中，AD^BC,AB^AD=DC,點、E、尸分別是對角線AC、3。的中

點.求證：四邊形ADEF為等腰梯形.

【答案】證明見解析

【分析】由題意得到四邊形ABCD為等腰梯形，得到對角線相等，再由點E、P分別是對角線AC、BD

的中點，等量代換得到叱=AE,利用三線合一得到AF垂直于8。，DE垂直于AC,利用HL得到

Rt_ADF與RNDAE全等,利用全等三角形對應角、對應邊相等得到/。鉆=NAZ*,AF=DE,再利用

SSS得到/MFE與DEF全等，利用全等三角形對應角相等得到Z4￡F=NDFE,進而得到AD與EF平

行，AF與OE不平行，即四邊形&回為梯形，再利用對角線相等的梯形為等腰梯形即可得證.

【詳解】證明：：梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,

四邊形ABCD是等腰梯形，

AC=BD,

二,點E、F分別是對角線AC、3。的中點，

11

/.DF=-BD,AE=-AC,

22

；?DF=AE,

???AB=AO=OC,點E、尸分別是對角線AC、的中點，

/.AF±BD,DE.LAC,

在&.ADF和RtVDAE中,

DF=AE

AD=DA

：.△ADFdDAE(HL),

/?ZADF=ZDAE,AF=DE,

在△AFE和_DEF中,

AF=DE

?/\AE=DF,

FE=EF

：.AAFE^ADEF(SSS),

：.ZAEF=ZDFE,

設對角線交于點O,

：.ZAOD=180°-ZDAE-ZADF=180°-2ZDAE,

ZEOF=180°~ZAEF-ZDFE=180°-2ZAEF,

*.?ZAOD=ZEOF,

：■ZDAE=ZAEF,

：.EF//AD,

?/AF±BD,DEJ.AC,

：.ZDAF和/ADE都是銳角，

AF與DE不平行，

二四邊形ADEF為梯形，

又?:DF=AE,

.??四邊形ADEF為等腰梯形.

FE

【點睛】本題考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，梯形的判

定以及平行線的判定等知識.熟練掌握等腰梯形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.

22（14分）.綜合與實踐

問題情境:

在數(shù)學活動課上，李老師給同學們提供了一個矩形ABCD(如圖1),其中AB=2,連接對角線AC,且

ZZMC=30°,要求各小組以圖形的旋轉(zhuǎn)為主題開展數(shù)學活動.

以下是部分小組的探究過程，請你參與活動并解答所提出的問題:

圖1圖2備用圖

猜想證明：

(1)如圖2,“奮勇”小組將△ADC繞點。旋轉(zhuǎn)得到ADC,當點C'落到對角線AC上時，AC'與AD交

于點F.試猜想線段CC與47的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(2)“勤學”小組在“奮勇”小組的基礎上，取AC'的中點E,連接AE,DE,試判斷四邊形AEDC'的形

狀，并說明理由；

深入探究：

(3)在△ADC繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，當OC'〃AC時，求點A與點A之間的距離，請你思考此問題，直接

寫出答案.

【答案】(1)CC'=AC,理由見解析；(2)菱形，理由見解析；(3)6或2也

【分析】(1)首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NADC=90。，然后利用ZZMC=30。得到。C=[AC,然后證明出

ZXDCC是等邊三角形，得到CC'=OC=：AC,即可證明出CC'=AC；

(2)首先由△OCC是等邊三角形得到NCDC'=60。，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC'，A。，然后證明出

DE=^A'C,然后由ACLAD得到AD與EC互相平分，證明出四邊形AEDC'是菱形；

(3)根據(jù)題意分兩種情況：當點C'在AD上方時，連接A4，，首先由DC'〃AC得到

ZC'DA=ZDAC=30°,然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/D4'A==30。，證明出點A,C,A三點共

線，然后得至ljA4'=AC'+AC'=2+4=6；當點C'在線段AD下方時，首先由AC和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

uWW是等邊三角形，然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】（1）CC'=AC,

證明：：四邊形ABCD是矩形，

ZADC=90°,

又,:ZZMC=30°,

ADC=-AC,ZACD=90°-30°=60°,

2

由旋轉(zhuǎn)可得，DC=DC,

△DCC是等邊三角形，

CC'=DC=-AC,

2

：.CC'=AC；

（2）四邊形A￡DC'是菱形.

理由：由（1）得△DCC是等邊三角形，

ZCDC=60°,

由旋轉(zhuǎn)得NA'=NA4C=30。，NA'D4=NCDC'=60。，ZA'DC=ZADC=90°,AC=AC,

：.ZAFD=1SQ0-ZA-ZADA=90°,

ACAD,

又,:AC=CC=DC,

：.AF=DF,

NA'DC'=90°，點E是線段AC'的中點，

DE=-A'C,

2

XVDC=-AC,AC=AC,DC=DC,

2

DE=DC,

又,:AC±AD,

：.FE=FC,

/.AD與EC'互相平分，

四邊形AEDC'是平行四邊形，

又：AC'_LAD,

平行四邊形AEDC'是菱形；

(3)如圖所示，當點C'在AD上方時，連接A4"

A'

'：DC'//AC,

ZCDA=ZDAC=30°,

由旋轉(zhuǎn)可得，AD=HO,ZADC=ZA'DC'=90°,ZC'AD=ZDAC=30°,

：.ZADA=ZADC+ZA!DC=120°,

：.ZDAA'=ZDA'A=1(180°-ZADA')=30°,

NCA'O=NZMC=30°,

ZDArA=ZDArC'=30°,

，點A,C,A三點共線，

ZC'AD=ZC'DA=30°,

：.C'A=C'D=2,AC=AC=4,

：.A4'=AC+AC=2+4=6；

如圖所示，當點C'在線段AO下方時，

A'

由旋轉(zhuǎn)可得，ZADC^ZADC^90°,AD^AD,

*.?DC'//AC,

ZAED=ZADC=90°,

*/ZZMC=30°,

ZADE=90°—30°=60°,

..AIM'是等邊三角形，

?*-AA=AD=AC1-DC-=V42-22=273?

綜上所述，當。C，〃AC時，點A與點A，之間的距離為6或2百.

【點睛】本題屬于四邊形旋轉(zhuǎn)綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合應用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

23（14分）.在平面內(nèi),旋轉(zhuǎn)變換是指某一圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到新位

置圖形的一種變換.

圖①圖②

圖③

【問題提出】

（1）如圖①，在Rt中，點O為斜邊AB上的一點，AD=2,BD=1,且四邊形。ECT是正方形，

小明運用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將AD所繞點。逆時針