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湖南省古丈縣一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、,左、右焦點(diǎn)分別為、,以為直徑的圓與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為若以為直徑的圓與直線相切,則的面積為()A. B.C. D.2.如圖在平行六面體中,與的交點(diǎn)記為.設(shè),,,則下列向量中與相等的向量是()A. B.C. D.3.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零,則該直線方程為()A. B.C.或 D.或4.若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A B.C. D.5.五行學(xué)說是中華民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.古代先民認(rèn)為,天下萬(wàn)物皆由五種元素組成,分別是金、木、水、火、土,彼此之間存在如圖所示的相生相克關(guān)系.若從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種,則這兩種元素恰是相生關(guān)系的概率是()A. B.C. D.6.在平行六面體中,點(diǎn)P在上,若,則()A. B.C. D.7.命題:“x>0,都有x2-x+1≤0”的否定是()A.x>0,使得x2-x+1≤0 B.x>0,使得x2-x+1>0C.x>0,都有x2-x+1>0 D.x≤0,都有x2-x+1>08.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可能是()A. B.C. D.9.已知不等式解集為,下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.10.?dāng)?shù)列滿足,則數(shù)列的前n項(xiàng)和為()A. B.C. D.11.已知等比數(shù)列的公比為,則“是遞增數(shù)列”的一個(gè)充分條件是()A. B.C. D.12.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人,被譽(yù)為“七絕圣手”,其《從軍行》傳誦至今“青海長(zhǎng)云暗雪山,孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲,不破樓蘭終不還”,由此推斷,最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的()A.必要條件 B.充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足,,則使得成立的n的最小值為__________.14.經(jīng)過點(diǎn)作直線,直線與連接兩點(diǎn)線段總有公共點(diǎn),則直線的斜率的取值范圍是________15.已知向量、滿足,,且,則與的夾角為___________.16.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,,,成等比數(shù)列,第1,2項(xiàng)與第10,11項(xiàng)的和為68,則數(shù)列的通項(xiàng)公式是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和,求數(shù)列的前n項(xiàng)和18.(12分)已知圓心為的圓經(jīng)過,兩點(diǎn),且圓心在直線上,求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0,若x=時(shí),y=f(x)有極值(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在區(qū)間[-3,1]上最大值和最小值20.(12分)已知等差數(shù)列中,,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求的前項(xiàng)和的最大值.21.(12分)圓心在軸正半軸上、半徑為2的圓與直線相交于兩點(diǎn)且.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線,圓上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,求直線的方程.22.(10分)已知內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且B,A,C成等差數(shù)列.(1)求A的大小;(2)若,且的面積為,求的周長(zhǎng).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】據(jù)三角形中位線可得;再由雙曲線的定義求出,進(jìn)而求出的面積【詳解】雙曲線的方程為:,,設(shè)以為直徑的圓與直線相切與點(diǎn),則,且,,∥.又為的中點(diǎn),,又,,的面積為:.故選:C2、B【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】故選:B.3、D【解析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),滿足題意,方程為,即2x-y=0;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)方程為,∵直線過(1,2),∴,∴,∴方程為,故選:D﹒4、A【解析】求得圓心到直線的距離,根據(jù)題意列出的不等關(guān)系式,即可求得的范圍.【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離,故要滿足題意,只需,解得.故選:A.5、C【解析】先計(jì)算從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種的所有基本事件數(shù),再計(jì)算其中兩種元素恰是相生關(guān)系的基本事件數(shù),利用古典概型概率公式,即得解【詳解】由題意,從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種,共有(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木土),(水,火),(水,土),(火,土),共10個(gè)基本事件,其中兩種元素恰是相生關(guān)系包含(金,木),(木,土),(土,水),(水,火)(火,金)共5個(gè)基本事件,所以所求概率.故選:C6、C【解析】利用空間向量基本定理,結(jié)合空間向量加法的法則進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?,,所以有,因此,故選:C7、B【解析】全稱命題的否定是特稱命題,把任意改為存在,把結(jié)論否定.【詳解】“x>0,都有x2-x+1≤0”的否定是“x>0,使得x2-x+1>0”.故選:B8、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可作答【詳解】原函數(shù)在上先減后增,再減再增,對(duì)應(yīng)到導(dǎo)函數(shù)先負(fù)再正,再負(fù)再正,且原函數(shù)在處與軸相切,故可知,導(dǎo)函數(shù)圖象為D故選:D9、C【解析】根據(jù)不等式解集為,得方程的解為或,且,利用韋達(dá)定理即可將用表示,即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】解:因?yàn)椴坏仁浇饧癁?,所以方程的解為或,且,所以,所以,所以,故ABD錯(cuò)誤;,故C正確.故選:C.10、D【解析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到,進(jìn)而得到,利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】依題意得:,,,故選:D11、D【解析】由等比數(shù)列滿足遞增數(shù)列,可進(jìn)行和兩項(xiàng)關(guān)系的比較,從而確定和的大小關(guān)系.【詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列,若,則,得;若,則,得;所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列,或,;故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個(gè)充分條件為,.故選:D.12、B【解析】由題意,“不破樓蘭”可以推出“不還”,但是反過來(lái)“不還”的原因有多種,按照充分條件、必要條件的定義即可判斷【詳解】由題意,“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件,即“不破樓蘭”可以推出“不還”,但是反過來(lái)“不還”的原因有多種,比如戰(zhàn)死沙場(chǎng);即如果已知“還”,一定是已經(jīng)“破樓蘭”,所以“還”是“破樓蘭”的充分條件故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、11【解析】由題設(shè)可得,結(jié)合等比數(shù)列的定義知從第二項(xiàng)開始是公比為2的等比數(shù)列,進(jìn)而寫出的通項(xiàng)公式,即可求使成立的最小值n.【詳解】因?yàn)?,所以,兩式相除得,整理?因?yàn)?,故從第二?xiàng)開始是等比數(shù)列,且公比為2,因?yàn)?,則,所以,則,由得:,故故答案為:11.14、【解析】求出的斜率,結(jié)合圖形可得結(jié)論【詳解】,,而,因此,故答案為:15、##【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算公式即可計(jì)算.【詳解】,,.故答案為:﹒16、【解析】利用基本量結(jié)合已知列方程組求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為由題可知即因?yàn)?,所以解得:所?故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2),.【解析】(1)根據(jù)的關(guān)系可得,根據(jù)等比數(shù)列的定義寫出的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式;(2)利用的關(guān)系求的通項(xiàng)公式,結(jié)合(1)結(jié)論可得,再應(yīng)用分組求和、錯(cuò)位相消法求的前n項(xiàng)和【小問1詳解】.①當(dāng)時(shí),,可得當(dāng)時(shí),.②①-②得,則,而a1-1=1不為零,故是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,則∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為,【小問2詳解】∵,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又也適合上式,∴,∴,令,,則,又,∴18、【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為,根據(jù)兩點(diǎn)在圓上利用兩點(diǎn)的距離公式建立關(guān)于的方程,解出值.從而求出圓的圓心和半徑,可得圓的方程【詳解】解:∵圓心在直線,∴設(shè)圓心坐標(biāo)為,根據(jù)點(diǎn)和在圓上,可得解之得.∴圓心坐標(biāo)為,半徑.因此,此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是19、(1);(2)最大值為,最小值為.【解析】(1)求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組,即可得解;(2)求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)性和極值,再和端點(diǎn)值比較即可得解.【詳解】(1)由題意,,因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0,所以,,又當(dāng)時(shí),y=f(x)有極值,所以,所以;(2)由(1)得,,所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;又,,,,所以在[-3,1]上的最大值為,最小值為.20、(1);(2)30.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差,由已知列式求得公差,進(jìn)一步求出首項(xiàng),代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)利用等差數(shù)列求和公式求和,再利用二次函數(shù)求得最值即可.【詳解】解:(1)由題意得,數(shù)列公差為,則解得:,∴(2)由(1)可得,∴∵,∴當(dāng)或時(shí),取得最大值【點(diǎn)睛】本題考查利用基本量求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及前n項(xiàng)和及最值,屬基礎(chǔ)題21、(1);(2)或.【解析】(1)根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)平行線的性質(zhì),結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.小問1詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸正半軸上、半徑為2,所以設(shè)方程為:,圓心,設(shè)圓心到直線的距離為,因?yàn)?,所以有,或舍去,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;【小問2詳解】由(1)可知:,圓的半徑為,因?yàn)橹本€,所以設(shè)直線的方程為,因?yàn)閳A上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,所以直線與該圓相離,當(dāng)兩平行線間的距離為,于是有:,當(dāng)時(shí),圓心到直線的距離為:,符合題意;當(dāng)時(shí),圓心到直線的距離為::,不符合題意,此時(shí)直線的方程為.當(dāng)兩平行線間的距離為,于是
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