北京四中2025屆高二數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題含解析

北京四中2025屆高二數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線a，b是異面直線，點O是空間中不在直線a，b上的任意一點，則（）A.不存在過點O且與直線a，b都相交的直線B.過點O一定可以作一條直線與直線a，b都相交C.過點O可以作無數(shù)多條直線與直線a，b都相交D.過點O至多可以作一條直線與直線a，b都相交2．如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，，是雙曲線右支上的一點，，直線與軸交于點，的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.3．已知命題:，命題:則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要4．已知點到直線的距離為1，則m的值為（）A.或 B.或15C.5或 D.5或155．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.6．函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為（）A. B.0C. D.17．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.68．若雙曲線與橢圓有公共焦點，且離心率，則雙曲線的標準方程為（）A. B.C. D.9．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.10．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點P在線段EF上.給出下列命題：①存在點P，使得直線平面ACF；②存在點P，使得直線平面ACF；③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是.其中所有真命題的序號（）A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④11．若兩條直線與互相垂直，則的值為（）A.4 B.-4C.1 D.-112．若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層抽樣的方法調查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為______.類別老年教師中年教師青年教師合計人數(shù)90018001600430014．已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為________15．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的實軸長為____16．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直線l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，則5a+b＝__三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在長方體中，，，是棱的中點（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由18．（12分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且雙曲線C過點.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）過點M的直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點，是否存在直線AB，使得成立，若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調遞減區(qū)間；（2）在銳角中，，，分別為角，，的對邊，且滿足，求的取值范圍.20．（12分）如圖，點О是正四棱錐的底面中心，四邊形PQDO矩形，（1）點B到平面APQ的距離：（2）設E為棱PC上的點，且，若直線DE與平面APQ所成角的正弦值為，試求實數(shù)的值21．（12分）已知命題p：方程的曲線是焦點在y軸上的雙曲線；命題q：方程無實根.若p或q為真，￢q為真，求實數(shù)m的取值范圍.22．（10分）如圖，正方體的棱長為2，點，分別在棱，上運動，且.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值：（3）當，分別是棱，的中點時，求平面與平面的夾角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設直線與點確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫圖說明即可.【詳解】點是空間中不在直線，上的任意一點，設直線與點確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.(1)若直線與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過點且與直線，都相交的直線；②若與不平行，則直線即為過點且與直線，都相交的直線.（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過點且與直線，都相交的直線.綜上所述，過點至多有一條直線與直線，都相交.故選：D.2、D【解析】根據(jù)給定條件結合直角三角形內(nèi)切圓半徑與邊長的關系求出雙曲線實半軸長a，再利用離心率公式計算作答.【詳解】依題意，，的內(nèi)切圓半徑，由直角三角形內(nèi)切圓性質知：，由雙曲線對稱性知，，于是得，即，又雙曲線半焦距c=2，所以雙曲線的離心率.故選：D【點睛】結論點睛：二直角邊長為a，b，斜邊長為c的直角三角形內(nèi)切圓半徑.3、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：若，則或，即或，所以是的必要不充分條件故選：B4、D【解析】利用點到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點到直線的距離為1，解得：m=15或5故選：D.5、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結合雙曲線的定義得到，設，進而作，得出，由此求出結果【詳解】因為，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B6、A【解析】求出導函數(shù)，計算得切線斜率，由斜率求得傾斜角【詳解】，設傾斜角為，則，，故選：A7、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D8、A【解析】首先求出橢圓的焦點坐標，然后根據(jù)可得雙曲線方程中的的值，然后可得答案.【詳解】橢圓焦點坐標為所以雙曲線的焦點在軸上，，因為，所以，所以雙曲線的標準方程為故選：A9、B【解析】若直線與拋物線的對稱軸平行，滿足條件，此時直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當時，，命題為真，根據(jù)復合命題的真假關系，即可得出結論.【詳解】若直線與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當時，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點睛】本題考查復合命題真假的判斷，屬于基礎題.10、D【解析】當點P是線段EF中點時判斷①；假定存在點P，使得直線平面ACF，推理導出矛盾判斷②；利用線面角的定義轉化列式計算判斷③；求出外接圓面積判斷④作答.【詳解】取EF中點G，連DG，令，連FO，如圖，在正方形ABCD中，O為BD中點，而BDEF是矩形，則且，即四邊形DGFO是平行四邊形，即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，當點P與G重合時，直線平面ACF，①正確；假定存在點P，使得直線平面ACF，而平面ACF，則，又，從而有，在中，，DG是直角邊EF上中線，顯然在線段EF上不存在點與D連線垂直于DG，因此，假設是錯的，即②不正確；因平面平面，平面平面，則線段EF上的動點P在平面上的射影在直線BD上，于是得是直線DP與平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，當P與E不重合時，，，而，則，當P與E重合時，，，因此，，③正確；因平面平面，平面平面，，平面，則平面，，在中，，顯然有，，由正弦定理得外接圓直徑，，三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圓，其面積為，④正確，所以所給命題中正確命題的序號是①③④.故選：D【點睛】結論點睛：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)任意一點在另一個平面上的射影都在這兩個平面的交線上.11、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件知：，即可求的值.【詳解】由兩直線垂直，可知：，即.故選：A12、D【解析】根據(jù)不等式的性質即可判斷.【詳解】對于A，若，則不等式不成立；對于B，若，則不等式不成立；對于C，若均為負值，則不等式不成立；對于D，不等號的兩邊同乘負值，不等號的方向改變，故正確；故選：D【點睛】本題主要考查不等式的性質，需熟練掌握性質，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設樣本中老年教師的人數(shù)為x，由分層抽樣的性質可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.故答案為.考點：分層抽樣.14、9【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，結合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當且僅當時取等號.故答案為：9.15、【解析】根據(jù)已知條件求得，由此求得實軸長.【詳解】由于，雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線與軸夾角小于，由得，實軸長故答案為：16、36【解析】根據(jù)方向向量和平面法向量的定義即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，進而求出5a+b的值【詳解】∵l⊥α，∴，∴，解得，∴故答案為：36三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析（2）（3）存點，【解析】(1)先證明平面，由平面，可證明結論.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標系,分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)設，,則，則由向量法結合條件可得答案.【詳解】（1）在長方體中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標系因為，，是棱的中點則則為平面的一個法向量.設為平面的一個法向量.,所以，即取，可得所以如圖平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.(3)設，，則由（2）平面的一個法向量設與平面所成角為則解得，取所以存在點，滿足條件.18、（1）；（2）存在，直線AB的方程為：或.【解析】(1)根據(jù)給定的漸近線方程及所過的點列式計算作答.(2)假定存在符合條件的直線AB，設出其方程，借助弦長公式計算判斷作答.【小問1詳解】依題意，，解得：，所以雙曲線C的標準方程是.【小問2詳解】假定存在直線AB，使得成立，顯然不垂直于y軸，否則，設直線：，由消去x并整理得：，因直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點，設，于是得，則有，即或，因此，，解得，所以存在直線AB，使得成立，此時，直線AB的方程為：或.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)降冪公式化簡的解析式，再用整體代入法即可求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（2）由正弦定理邊化角，從而可求得，根據(jù)銳角三角形可得從而可求出答案【詳解】解：（1），由得所以的單調遞減區(qū)間為；（2）由正弦定理得，∵∴，即，，得，或，解得，或（舍），∵為銳角三角形，∴解得∴∴的取值范圍為【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡與性質，考查正弦定理的作用，屬于基礎題20、（1）（2）或【解析】（1）以三棱錐等體積法求點到面距離，思路簡單快捷.（2）由直線DE與平面APQ所成角的正弦值為，可以列關于的方程，解之即可.【小問1詳解】點О是正四棱錐底面中心，點О是BD的中點，四邊形PQDO矩形，，兩點到平面APQ的距離相等.正四棱錐中，平面，平面，，，設點B到平面APQ的距離為d，則，即解之得，即點B到平面APQ的距離為【小問2詳解】取PC中點N，連接BN、ON、DN，則.平面平面正四棱錐中，，直線平面平面，平面平面，平面平面平面中，點E到直線ON的距離即為點E到平面的距離.中，，點P到直線ON的距離為△中，，設點E到平面的距離為d，則有，則則有，整理得，解之得或21、.【解析】計算命題p：；命題；根據(jù)p或q為真，￢q為真得到真假，計算得到答案.【詳解】若方程的曲線是焦點在軸上的雙曲線，則滿足，即，即，即若方程無實根，則判別式，即，得，即，即若為真，則為假，同時若或為真，則為真命題，即，得，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了命題的