吉林省吉林市豐滿區(qū)第五十五中學2025屆數學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

吉林省吉林市豐滿區(qū)第五十五中學2025屆數學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－92．橢圓上的點P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A. B.C. D.3．俗話說“好貨不便宜，便宜沒好貨”，依此判斷，“不便宜”是“好貨”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知點是橢圓上的一點，點，則的最小值為A. B.C. D.5．在空間直角坐標系下，點關于軸對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.6．函數在處有極小值5，則（）A. B.C.或 D.或37．設拋物線的焦點為F，過點F且垂直于x軸的直線與拋物線C交于A，B兩點，若，則（）A1 B.2C.4 D.88．已知函數，為的導數，則（）A.-1 B.1C. D.9．設等比數列的前項和為，且，則（）A. B.C. D.10．已知拋物線，過拋物線的焦點作軸的垂線，與拋物線交于、兩點，點的坐標為，且為直角三角形，則以直線為準線的拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.11．第24屆冬季奧林匹克運動會，將在2022年2月4日在中華人民共和國北京市和張家口市聯(lián)合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京成為奧運史上第一個舉辦夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市．同時中國也成為第一個實現奧運“全滿貫”（先后舉辦奧運會、殘奧會、青奧會、冬奧會、冬殘奧會）國家．根據規(guī)劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內層橢圓引切線，（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.12．已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點、滿足，，則（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某工廠年前加緊手套生產，設該工廠連續(xù)5天生產的手套數依次為，，，，（單位：萬只），若這組數據，，，，的方差為4，且，，，，的平均數為8，則該工廠這5天平均每天生產手套______萬只14．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足，則的最小值為_________.15．若正實數滿足則的最小值為________________________16．如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點在線段上，、分別為、的中點.設異面直線與所成的角為，則的最大值為____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，中國一直踐行創(chuàng)新、協(xié)調、綠色、開放、共享的發(fā)展理念，著力促進經濟實現高質量發(fā)展，決心走綠色、低碳、可持續(xù)發(fā)展之路．新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產業(yè)發(fā)展的方向工業(yè)部表示，到2025年我國新能源汽車銷量占總銷量將達20%以上.2021年，某集團以20億元收購某品牌新能源汽車制造企業(yè)，并計劃投資30億元來發(fā)展該品牌.2021年該品牌汽車的銷售量為10萬輛，每輛車的平均銷售利潤為3000元．據專家預測，以后每年銷售量比上一年增加10萬輛，每輛車的平均銷售利潤比上一年減少10%（1）若把2021年看作第一年，則第n年的銷售利潤為多少億元？（2）到2027年年底，該集團能否通過該品牌汽車實現盈利？（實現盈利即銷售利潤超過總投資，參考數據：，，）18．（12分）如圖，四棱錐中，側面是邊長為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點（1）求證：；（2）求點到平面的距離19．（12分）已知數列滿足，，且成等比數列（1）求的值和的通項公式；（2）設，求數列的前項和20．（12分）已知，2，4，6中的三個數為等差數列的前三項，且100不在數列中，102在數列中.（1）求數列的通項；（2）設，求數列的前項和.21．（12分）【2018年新課標I卷文】已知函數（1）設是的極值點．求，并求的單調區(qū)間；（2）證明：當時，22．（10分）已知函數在其定義域內有兩個不同的極值點（1）求a的取值范圍；（2）設的兩個極值點分別為，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據平行直線的性質，結合平行線間距離公式進行求解即可.【詳解】因為直線：與：平行，所以有，因為兩條平行直線：與：間距離為3，所以，或，當時，；當時，，故選：A2、A【解析】與已知直線平行，與橢圓相切的直線有二條，一條距離最短，一條距離最長，利用相切，求出直線的常數項，再計算平行線間的距離即可.【詳解】設與已知直線平行，與橢圓相切的直線為，則所以所以橢圓上點P到直線的最短距離為故選：A3、A【解析】將“好貨”與“不便宜”進行相互推理即可求得答案.【詳解】根據題意，“好貨”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好貨”，所以“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件.故選：A.4、D【解析】設，則，.所以當時，的最小值為.故選D.5、C【解析】由空間中關于坐標軸對稱點坐標的特征可直接得到結果.【詳解】關于軸對稱的點的坐標不變，坐標變?yōu)橄喾磾?，關于軸對稱的點為.故選：C.6、A【解析】由題意條件和，可建立一個關于的方程組，解出的值，然后再將帶入到中去驗證其是否滿足在處有極小值，排除增根，即可得到答案.【詳解】由題意可得，則，解得，或．當，時，．由，得；由，得．則在上單調遞增，在上單調遞減，故在處有極大值5，不符合題意．當，時，．由，得；由，得．則在上單調遞減，在上單調遞增，故在處有極小值5，符合題意，從而故選：A.7、C【解析】根據焦點弦的性質即可求出【詳解】依題可知，，所以故選：C8、B【解析】由導數的乘法法則救是導函數后可得結論【詳解】解：由題意，，所以.故選：B9、C【解析】根據給定條件求出等比數列公比q的關系，再利用前n項和公式計算得解.【詳解】設等比數列的的公比為q，由得：，解得，所以.故選：C10、B【解析】設點位于第一象限，求得直線的方程，可得出點的坐標，由拋物線的對稱性可得出，進而可得出直線的斜率為，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直線為準線的拋物線的標準方程.【詳解】設點位于第一象限，直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以，點.為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性可得出，則直線的斜率為，即，解得.因此，以直線為準線的拋物線的標準方程為.故選：B.【點睛】本題考查拋物線標準方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.11、B【解析】分別設內外層橢圓方程為、，進而設切線、分別為、，聯(lián)立方程組整理并結合求、關于a、b、m的關系式，再結合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【詳解】若內層橢圓方程為，由離心率相同，可設外層橢圓方程為，∴，設切線為，切線為，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：根據內外橢圓的離心率相同設橢圓方程，并寫出切線方程，聯(lián)立方程結合及已知條件，得到橢圓參數的齊次方程求離心率.12、D【解析】以向量為基底向量，則，根據條件由向量的數量積的運算性質，兩邊平方可得答案.【詳解】以向量為基底向量，所以所以故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】結合方差、平均數的公式列方程，化簡求得正確答案.【詳解】依題意設，則，.故答案為：14、【解析】建立直角坐標系，設出P的坐標，求出軌跡方程，然后推出的表達式，轉化求解最小值即可.【詳解】以經過A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系.則設，由，則，所以兩邊平方并整理得，所以P點的軌跡是以(3，0)為圓心，為半徑的圓，所以，，則有，則的最小值為.故答案為：.15、【解析】利用基本不等式即可求解.【詳解】，，又，，，當且僅當即，等號成立，.故答案為：【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.16、【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系，設，，，，，由向量法可得，令，，，利用導數研究函數的單調性即可求得的最大值，從而可得答案【詳解】解：由題意，根據已知條件，直線AB，AD，AQ兩兩互相垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標系不妨設，則，0，，，0，，，1，，設，，，，，，，，，，，令，，則，函數在上單調遞減，時，函數取得最大值，的最大值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）億元（2）該集團能通過該品牌汽車實現盈利【解析】（1）由題意可求得第n年的銷售量，第n年每輛車的平均銷售利潤，從而可求出第n年的銷售利潤，（2）利用錯位相減法求出到2027年年底銷售利潤總和，再與總投資額比較即可【小問1詳解】設第n年的銷售量為萬輛，則該汽車的年銷售量構成首項為10，公差為10的等差數列，所以，設第n年每輛車的平均銷售利潤為元，則每輛汽車的平均銷售利潤構成首項為3000，公比為0.9的等比數列，所以，記第n年的銷售利潤為，則萬元；即第n年的銷售利潤為億元【小問2詳解】到2027年年底，設銷售利潤總和為S億元，則①，②，①﹣②得億元，而總投資為億元，因為，則到2027年年底，該集團能通過該品牌汽車實現盈利18、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)取的中點，連接，，，先證明平面，再由平面得，(2)等體積法求解.根據題目條件，先證明為三棱錐的高，再求出以為頂點，為底面的三棱錐的體積和以為頂點，為底面的三棱錐的體積，根據，求點到平面的距離.【詳解】(1)證明：如圖，取的中點，連接，，依題意可知，，均為正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為三棱錐的高由題意得，∵為的中點，∴在中，，∴，，∴在中，邊上的高，∴的面積的面積點到平面的距離即點到平面的距離設點到平面的距離為，由，得，即，解得，即點到平面的距離為19、（1）；；（2）【解析】（1）由于，所以可得，再由成等比數列，列方程可求出，從而可求出的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用錯位相減法求【詳解】解：（1）數列{an}滿足，所以，所以a2+a3＝a1+a2+d，由于a1＝1，a2＝1，所以a2+a3＝2+d，a8+a9＝2+7d，且a1，a2+a3，a8+a9成等比數列，所以，整理得d＝1或2（1舍去）故an+2＝an+2，所以n奇數時，an＝n，n為偶數時，an＝n﹣1所以數列{an}的通項公式為（2）由于，所以所以T2n＝b1+b2+．．．+b2n＝﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+．．．+[﹣22n﹣2?（2n﹣1）2]+22n﹣2?（2n）2，＝20×（22﹣12）+22×（42﹣32）+．．．+22n﹣2?[（2n）2﹣（2n﹣1）2]＝20×3+22×7+．．．+22n﹣2?（4n﹣1）①，所以，②，①﹣②得：﹣3T2n＝20×3+22×4+．．．+22n﹣2×4﹣22n×（4n﹣1），＝3+4×﹣22n×（4n﹣1），＝，所以20、（1）（2）【解析】（1）確定數列為遞增數列，然后由4個數確定等差數列，得通項公式，驗證100和102是否為數列中的項得結論；（2）由裂項相消法求和【小問1詳解】首先數列是遞增數列，當2，4，6為的前三項時，易知此時，100，102都是該數列中的項，不滿足題意當，2，6為的前三項時，易知此時，100不是該數列中的項，102是該數列中的項，滿足題意所以【小問2詳解】因為所以所以.21、(1)a=；f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增．(2)證明見解析.【解析】分析：(1)先確定函數的定義域，對函數求導，利用f′（2）=0，求得a=，從而確定出函數的解析式，之后觀察導函數的解析式，結合極值點的位置，從而得到函數的增區(qū)間和減區(qū)間；(2)結合指數函數的值域，可以確定當a≥時，f（x）≥，之后構造新函數g（x）=，利用導數研究函數的單調性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結果.詳解：（1）f（x）的定義域為，f′（x）=aex–由題設知，f′（2）=0，所以a=從而f（x）=，f′（x）=當0<x<2時，f′（x）<0；當x>2時，f′（x）>0所以f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增（2）當a≥時