江蘇省南京十三中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

江蘇省南京十三中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題；②“若，則”的逆否命題；③“若，則”的否命題.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.32．△ABC兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.3．設(shè)直線，．若，則的值為（）A.或 B.或C. D.4．邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，、分別為、的中點(diǎn)，是正方形的中心，則的大小為（）A. B.C. D.5．礦山爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)處炸開的礦石的運(yùn)動(dòng)軌跡可看作是不同的拋物線，根據(jù)地質(zhì)、炸藥等因素可以算出這些拋物線的范圍，這個(gè)范圍的邊界可以看作一條拋物線，叫“安全拋物線”，如圖所示．已知某次礦山爆破時(shí)的安全拋物線的焦點(diǎn)為，則這次爆破時(shí)，礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為（）A. B.2C. D.6．若直線與直線垂直，則a=（）A.-2 B.0C.0或-2 D.17．在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.8．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N兩點(diǎn)分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.9．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A. B.C. D.10．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點(diǎn)，為邊上的一列點(diǎn)，連接，交于，且，其中數(shù)列的首項(xiàng)，則（）A. B.為等比數(shù)列C. D.11．不等式的解集為（）A.或 B.C. D.12．如圖，在正方體中，，，，若為的中點(diǎn)，在上，且，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫出同時(shí)滿足以下三個(gè)條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式______．①不是等差數(shù)列，②是等比數(shù)列，③是遞增數(shù)列14．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，公比，則______15．已知直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為_____________.16．如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)到平面的距離為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性：（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍18．（12分）設(shè)函數(shù)過點(diǎn)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（要列表）；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.19．（12分）如圖，四棱錐中，平面，∥,，，為上一點(diǎn)，平面（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）若，求點(diǎn)D到平面EMC的距離20．（12分）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的大小21．（12分）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】寫出逆命題判斷①；寫出逆否命題判斷②；寫出否命題判斷③.【詳解】①:“若，則互為相反數(shù)”的逆命題為：“若互為相反數(shù)，則”，是真命題；②：“若，則”的逆否命題為：“若，則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，但不成立.故“若，則”是假命題.③：“若，則”的否命題為：“若，則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，但是，即不成立.故“若，則”是假命題..故選：B2、D【解析】根據(jù)三角形的周長(zhǎng)得出，再由橢圓的定義得頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點(diǎn)C的軌跡方程.【詳解】因?yàn)椋?，所以頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求解時(shí)，注意去掉不滿足的點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.故選：A.4、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求的大小即可解決.【詳解】由題意可得平面，，則兩兩垂直以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，又，則故選：B5、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線的頂點(diǎn)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)求出p值即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，p>0，解得，于是得拋物線的方程為，由得，，即拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，，所以礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為.故選：D6、C【解析】代入兩直線垂直的公式，即可求解.【詳解】因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得：或.故選：C7、A【解析】先得到三棱錐的每一個(gè)面都是直角三角形，然后可得與平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他們的余弦值，利用向量法計(jì)算直線與直線所成的角為的余弦值，然后比較大小.【詳解】令，由平面，且平面，又，，面三棱錐的每一個(gè)面都是直角三角形.與平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，則所以，又均為銳角，故選：A.8、C【解析】由題意可得且，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對(duì)稱性，可得，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C9、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價(jià)于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價(jià)于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A.10、A【解析】由得，為邊的中點(diǎn)得，設(shè)，所以，根據(jù)向量相等可判斷A選項(xiàng)；由得是公比為的等比數(shù)列，可判斷B選項(xiàng)；代入可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)可判斷D選項(xiàng).【詳解】由得，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，所以設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，A選項(xiàng)正確；，由得，是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，不是常數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以，由得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)為的中點(diǎn)，與重合，即，，故D錯(cuò)誤.故選：A.11、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】由不等式可得或不等式的解集為或故選：A12、B【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算推導(dǎo)即可.【詳解】.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由條件②寫出一個(gè)等比數(shù)列，再求出并確保單調(diào)遞增即可作答.【詳解】因是等比數(shù)列，令，當(dāng)時(shí)，，，是遞增數(shù)列，令是互不相等的三個(gè)正整數(shù)，且，若，，成等差數(shù)列，則，即，則有，顯然、都是正整數(shù)，，都是偶數(shù)，于是得是奇數(shù)，從而有不成立，即，，不成等差數(shù)列，數(shù)列不成等差數(shù)列，所以.故答案為：14、4【解析】根據(jù)給定條件列式求出數(shù)列的首項(xiàng)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，解得，所以.故答案為：415、或【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以有：或，故答案為：或16、【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)榈酌?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】（1）求導(dǎo)得，在分，兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)最值即可.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，得，令，得；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【小問2詳解】解：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以對(duì)恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立設(shè)函數(shù)，則，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，所以，則，所以在上單調(diào)遞減，所以；故，即的取值范圍是18、（1）增區(qū)間，，減區(qū)間，極大值，極小值（2）最大值，最小值【解析】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求得a，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定單調(diào)區(qū)間及極值；（2）分析函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性，由極值、端點(diǎn)值確定最值.【小問1詳解】∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴，∴，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值∴當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為；【小問2詳解】由（1）可得:函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.∴,又,,∴19、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）運(yùn)用線面平行的判定定理證明；（Ⅱ）借助體積相等建立方程求解即可【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫妫裕云矫?，因?yàn)槠矫?，所以∥，面，平?所以∥平面；（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，面，所以平面平面，平面平?過點(diǎn)作直線,則平面，由已知平面，∥,，可得，又，所以為的中點(diǎn)，在中，，在中，，，在中，，由等面積法知，所以，即點(diǎn)D到平面EMC的距離為.考點(diǎn)：直線與平面的位置關(guān)系及運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是空間的直線與平面平行的推證問題和點(diǎn)到直線的距離問題．解答時(shí),證明問題務(wù)必要依據(jù)判定定理,因此線面的平行問題一定要在所給的平面中找出一條直線與這個(gè)平面外的直線平行,敘述時(shí)一定要交代面外的線和面內(nèi)的線,這是許多學(xué)生容易忽視的問題,也高考閱卷時(shí)最容易扣分的地方,因此在表達(dá)時(shí)一定要引起注意20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，可得，從而可證四邊形是平行四邊形，從而證明結(jié)論.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角.【小問1詳解】如圖，連接在正方體中，且因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以且又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，，，，，，設(shè)為平面的法向量因?yàn)?，，，所以令，得設(shè)直線與平面所成角為，則因?yàn)椋灾本€與平面所成角的大小為21、（1）證明見解析，；（2）或.【解析】（1）結(jié)合與關(guān)系用即可證明為常數(shù)；求出通項(xiàng)公式后利用累加法即可求的通項(xiàng)公式；（2）裂項(xiàng)相消求，判斷單調(diào)性求其最大值即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，