山西省陽(yáng)泉市2025屆數(shù)學(xué)高三上期末考試模擬試題含解析

山西省陽(yáng)泉市2025屆數(shù)學(xué)高三上期末考試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．2．設(shè)集合則（）A． B． C． D．3．第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在中國(guó)武漢舉行，中國(guó)隊(duì)以133金64銀42銅位居金牌榜和獎(jiǎng)牌榜的首位.運(yùn)動(dòng)會(huì)期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地提供服務(wù)，要求每個(gè)人都要被派出去提供服務(wù)，且每個(gè)場(chǎng)地都要有志愿者服務(wù)，則甲和乙恰好在同一組的概率是（）A． B． C． D．4．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足任意，有，且當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．6．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（）A． B． C． D．7．定義，已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．8．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，則a3=（）A．2 B．4 C． D．89．已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為（）A．2 B． C．1 D．010．已知命題p:直線a∥b，且b?平面α，則a∥α；命題q:直線l⊥平面α，任意直線m?α，則l⊥m.下列命題為真命題的是（）A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q）11．已知展開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，，若，則的值為()A．1 B．－1 C．8l D．－8112．已知函數(shù)的零點(diǎn)為m，若存在實(shí)數(shù)n使且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，記與的軌跡構(gòu)成的平面為．①，使得；②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是；③與平面所成銳二面角的正切值為；④正方體的各個(gè)側(cè)面中，與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個(gè)．其中正確命題的序號(hào)是________．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）14．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的焦距為，若過(guò)右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為_(kāi)___________.15．角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是．16．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1．,點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn),則取值的集合為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓O經(jīng)過(guò)橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)以及兩個(gè)頂點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓C上．求橢圓C的方程；若直線l與圓O相切，與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線l的傾斜角．18．（12分）已知拋物線:，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)到直線的距離為，焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，且.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若軸上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).19．（12分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長(zhǎng).20．（12分）如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．21．（12分）設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，若，，成等比數(shù)列．（1）求及；（2）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．22．（10分）如圖，D是在△ABC邊AC上的一點(diǎn)，△BCD面積是△ABD面積的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．（Ⅰ）若θ=，求的值；（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求邊AC的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號(hào)零點(diǎn).由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)，要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，令，則，令，則問(wèn)題即在上有零點(diǎn)，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.2、C【解析】

直接求交集得到答案.【詳解】集合，則.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.3、A【解析】

根據(jù)題意，五人分成四組，先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù)，再將甲乙組成一組的情況，即可求出概率.【詳解】五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，所有可能的分組共有種，甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場(chǎng)地?zé)o關(guān)，故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用和概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由題意可得的周期為，當(dāng)時(shí)，，令，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，求得的取值范圍.【詳解】是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿足任意，，令，又，為周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)，作出圖像，如下圖所示：函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，，若，的圖像和的圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，則有，即，.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過(guò)程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考常考的熱點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.5、A【解析】

首先找出與面所成角，根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設(shè)中點(diǎn)為，連接，，可知，，同時(shí)易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由，可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而可知的最小值為，求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意得，，得，解得，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.7、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得，，則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立.此時(shí),，，的最小值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.8、B【解析】

根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，，解得或（舍去）.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、B【解析】

作出可行域，平移目標(biāo)直線即可求解.【詳解】解：作出可行域：由得，由圖形知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，其截距最大，此時(shí)最大得，當(dāng)時(shí)，故選：B【點(diǎn)睛】考查線性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題.10、C【解析】

首先判斷出為假命題、為真命題，然后結(jié)合含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線面平行的判定，我們易得命題若直線，直線平面，則直線平面或直線在平面內(nèi)，命題為假命題；根據(jù)線面垂直的定義，我們易得命題若直線平面，則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直，命題為真命題.故:A命題“”為假命題；B命題“”為假命題；C命題“”為真命題；D命題“”為假命題.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷，考查含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可求得，再通過(guò)賦值求得以及結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，故可得，令，故可得，又因?yàn)?，令，則，解得令，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，以及通過(guò)賦值法求系數(shù)之和，屬綜合基礎(chǔ)題.12、D【解析】

易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點(diǎn),通過(guò)已知可求得,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡(jiǎn)可得,借助對(duì)號(hào)函數(shù)即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點(diǎn)為，所以，∴，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：使方程在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，而根據(jù)“對(duì)勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?，?故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,考查了方程有解問(wèn)題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查了利用“對(duì)勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問(wèn)題,難度較難.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③④【解析】

取中點(diǎn),中點(diǎn),中點(diǎn),先利用中位線的性質(zhì)判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段,平面即為平面,畫(huà)出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,進(jìn)而求解；③由,取為中點(diǎn),則,則即為與平面所成的銳二面角,進(jìn)而求解；④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.【詳解】取中點(diǎn),連接,則,所以,所以平面即為平面,取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,則易證得,所以平面平面,所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段,平面即為平面.①取為中點(diǎn),因?yàn)槭堑妊切?所以,又因?yàn)?所以,故①正確；②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí),直線與直線所成角最小,此時(shí),；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí),直線與直線所成角最大,此時(shí),所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確；③與平面的交線為,且,取為中點(diǎn),則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確；④正方體的各個(gè)側(cè)面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確．故答案為:①②③④【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系,考查異面直線成角,二面角,考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.14、【解析】

利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，則，，由已知，，即，所以，離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式，是一道容易題.15、【解析】試題分析：由三角函數(shù)定義知，又由誘導(dǎo)公式知，所以答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：1、三角函數(shù)定義；2、誘導(dǎo)公式．16、【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點(diǎn)的坐標(biāo),依題意求出,,,的表達(dá)式,再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】解:以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,,則,,,設(shè),,,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算,是中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】

(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可求出與的值，從而得出橢圓的方程；(2)對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可求出，然后進(jìn)行檢驗(yàn)；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)，先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系，再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式并結(jié)合條件得出的值，從而求出直線的傾斜角.【詳解】（1）由題可知圓只能經(jīng)過(guò)橢圓的上下頂點(diǎn)，所以橢圓焦距等于短軸長(zhǎng)，可得，又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，即橢圓的方程為.（2）圓的方程為，當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，解得，不符合題意；當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)其方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立，得：，判別式，即，設(shè)，則，所以，解得，所以直線的傾斜角為或.【點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出，從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題．涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.18、（1）（2）【解析】

（1）先分別表示出，然后根據(jù)求解出的值，則的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）設(shè)出直線的方程并聯(lián)立拋物線方程得到韋達(dá)定理形式，然后根據(jù)距離公式表示出并代入韋達(dá)定理形式，由此判斷出為定值時(shí)的坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可得，焦點(diǎn)，，則，，∴解得.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，設(shè)點(diǎn)，，顯然直線的斜率不為0.設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程，整理可得，，∴，∴要使為定值，必有，解得，∴為定值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求解以及拋物線中的定值問(wèn)題，難度一般.（1）處理直線與拋物線相交對(duì)應(yīng)的定值問(wèn)題，聯(lián)立直線方程借助韋達(dá)定理形式是常用方法；（2）直線與圓錐曲線的問(wèn)題中，直線方程的設(shè)法有時(shí)能很大程度上起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理將目標(biāo)式邊化角，結(jié)合倍角公式，即可整理化簡(jiǎn)求得結(jié)果；（2）由面積公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，結(jié)合即可求得周長(zhǎng).【詳解】（1）由題設(shè)得.由正弦定理得∵∴，所以或.當(dāng)，（舍）故，解得.（2），從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查由余弦定理解三角形，涉及面積公式，正弦的倍角公式，應(yīng)用正弦定理將邊化角，屬綜合性基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.