浙江省協(xié)作體2024-2025學年高三年級上冊開學考試數(shù)學試題（含答案）

高三年級數(shù)學學科

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學校、班級、姓名、試場號、座位號及準考證號;

3,所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；

4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.

選擇題部分

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

2

1.已知集合4=,B=1x|2x-5x-3<0j,則NU5=(▲)

B.{x|x>-1)3

A.{%|x>1}C.{x11<x<-}D.1x|l<x<31

2.已知復數(shù)z滿足5z+3z=8-22,則|z|=(▲)

A.1B.2C.A/2D.2yf2

3.已知等比數(shù)列｛%｝的前2項和為12，-a3=6,則公比q的值為(▲)

A1

B.2cD.3

2-l

已知平面向量n滿足：|冽|=|〃|=2,且加在次上的投影向量為g九,

4.則向量前與向量G-藍的夾角為

(▲)

A.30°B.60°C.120°D.150°

已知函數(shù)/（x）=sin（0x+0）（0>O）滿足/仔）=1,最小正周期為兀，函數(shù)g（x）=sin2x.則將f（x）的

圖象向左平移（▲）個單位長度后可以得到g（x）的圖象

117C

A.—D.

1212

6.已知圓錐的底面半徑為1,高為3,則其內(nèi)接圓柱的表面積的最大值為（▲：

A.乂97c5兀

B.27cC?—D.

44T

第6題圖

7.已知42是橢圓%與雙曲線

=1的公共頂點，M是雙曲線上一點，直線初4,板分別交

橢圓于C,0兩點，若直線CQ過橢圓的焦點b，則線段CD的長度為（▲）

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3r—Q

A.-B.3C.273D.-A/3

22

8.正三棱臺44G中，AB=24B\=2其他=2,點。為棱4B中點，直線/為平面4用G內(nèi)的一條

動直線.記二面角C-/-。的平面角為。，則cos?的最小值為(▲)

A.0B.-C.—D.-

8147

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要

求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是(▲)

A.已知隨機變量X服從正態(tài)分布b越小，表示隨機變量X分布越集中

B.數(shù)據(jù)1,9,4,5,16,7,11,3的第75百分位數(shù)為9

C.線性回歸分析中，若線性相關(guān)系數(shù)|r|越大，則兩個變量的線性相關(guān)性越弱

17

D.已知隨機變量X~8(7,5),貝!JE(X)=]

10.設函數(shù)/(x)與其導函數(shù)/(x)的定義域均為R,且r(x+2)為偶函數(shù)，/(1+乃一/(1一x)=0,貝！1(▲)

A.力(l+x)=/(l—x)B.尸(3)=0

C./'(2025)=0D./(2+x)+/(2-x)=2/(2)

11.已知正項數(shù)列｛?！埃凉M足。1=1,。“+2(4+1-4)=%(見+2一%+JG?M)，記看=生的+電生+…+，

%=4.則(上)

n6

A.｛3｝是遞減數(shù)列B.-4=-----------

20242029

4100

C.存在〃使得[=]D.￡%>10

i=l

非選擇題部分

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.的展開式中，常數(shù)項為▲.

13.已知正實數(shù)。滿足(折)"<a而，則』的取值范圍是▲.

14.將12張完全相同的卡牌分成3組，每組4張.第1組的卡牌左上角都標1,右下角分別標上1,2,

3,4；第2組的卡牌左上角都標2,右下角分別標上2,3,4,5；第3組的卡牌左上角都標3,右下角分別

標上3,4,5,6.將這12張卡牌打亂放在一起，從中隨機依次不放回選取3張，則左上角數(shù)字依次不減小且

右下角數(shù)字便次構(gòu)成等差數(shù)列的概率為▲.

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四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知在A4SC中，角所對的邊分別為a,b,c,且滿足a=J%,a>c,

sin4+cos(B+Q=cos(5一Q?

(1)求角C的值；

(2)若A45c的面積為?，求A45C的周長.

16.（15分）已知三棱錐P-/BC滿足4B_L4C,/B，PB,4CJ_PC,且AP=3,BP=?BC=2yfi?

(1)求證：AP1BC；

(2)求直線BC與平面口所成角的正弦值.

第16題圖

17.(15分)已知函數(shù)/(%)=/+2*+4,g(x)=21nx+2x+5.

(O判斷函數(shù)g(x)的零點個數(shù)，并說明理由；

(2)求曲線y=/(力與>=8@)的所有公切線方程.

第3頁共4頁

18.（17分）如圖，已知拋物線/=4x的焦點為尸，過點尸（-1,2）作一條不經(jīng)過戶的直線/,若直線/與

拋物線交于異于原點的48兩點，點B在X軸下方，且/在線段P3上.

（1）試判斷：直線工4,尸8的斜率之積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

（2）過點5作PF的垂線交直線〃t于點C,若AFBC的面積為4,求點3的坐標.

第18題圖

19.（17分）對于一個四元整數(shù)集A=｛a,b,c,d｝,如果它能劃分成兩個不相交的二元子集｛a,b\和｛c,d｝,

滿足。6-4=1,則稱這個四元整數(shù)集為“有趣的”.

（1）寫出集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝的一個“有趣的”四元子集；

（2）證明：集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝不能劃分成兩個不相交的“有趣的”四元子集；

（3）證明：對任意正整數(shù)"（"22），集合｛1,2,3,…,4〃｝不能劃分成切個兩兩不相交的“有趣的”四元子集.

命題：溫州中學嘉興一中（審校）審核：春暉中學

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高三數(shù)學參考答案

1-5BCACA6-8CBD

9AD10BCD11ABD

123

13(1,4)

14—

132

四、解答題：本大題共5小題，共77分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【解析】(1)由題意得：sinZ+cos3cosc-sin5sinC=cos3cosc+sin5sinC?

即：sinZ=2sin8sinC...................2分

a=sin4=應sin8

因此，sinC=—...................5分

2

因為“〉c,因此4>C,C為銳角，因此C=巳..................6分

4

(2)由余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC=2b2+b2-2-y/2b2--=b2,得:b=c...................8分

2

可得：B=C=-,A=-,因此，A4BC為等腰直角三角形..................10分

42

由S得；h=c=--,a=1

242

因此，"8C的周長為1+返..................13分

16.【解析】(1)VAP=3,BP=y/5,AB1PB,:.AB=2

VBC=2>f2,ABYAC,:.AC=2

vAC1PC,PC=y/5

即：AB=AC=2,PB=PC=y[5...................2分

取BC中點O,連接4O,P。，貝lj40J_8C,P0_LBC,且4。0尸。=。

BCA.l^AOP，5分

vAP^AOPBC1AP6分

(2)解法一：由(1)知，8C_L面40尸，.?.面4BC_L面4。尸

作垂足為〃

?.?面/BCD面片。尸=40，且尸，u面40P

尸”，面Z3C

A/IOP中，cosZAOP=S,PH=PO-sin(7t-ZAOP)=1

9分

記點C到平面/BP的距離為d,8C與平面力80所成角為6,則sin。三色

由〃“棺=得：d=S，"；PH=空=當...................12分

因此，sin8=2-="^...................[5分

BC10

解法二：如圖，以O為坐標原點，。4,。8所在百線分別為軸建立空間直角坐標系.....7分

由(1)可知，zl(>/2,0,0),5(0,>/2,0),C(0,-x/2,0)

以0P中，COSNP40=￥，"=3,/.P(-V2,0,l)...................9分

AB=(-V2,V2,0),AP=(-272,0,1),BC=(0,-2加,0)

設MBP的法向量m=(K，Mz)

,\AB-JTI=0\—s[2x+\/2y=0—r-..

由<_____得：<L，取m=(l,l,2及).........12分

[AP-m=0[-2v2x+z=0

....-57；—?IBC?mI2V25/10

記8c與平面初?所成角為6ni貝lnjsin0=|cos<BC,m>=—="=—--^==---15分

\BC\-\m\2日瓦10

(如有其它解法，酌情給分)

7

17.【解析】(1)?:g，(x)=、+2>0,.,.g(x)在(0,+?)單調(diào)遞增......

3分

又gW)=1-l<0，g(l)=7>0，二8門)存在唯一,零點，在(el)之間..........6分

（2）???/‘a(chǎn)）=2x+2,

?,.以/（x）上的點（X]J（xJ）為切點的切線方程為歹-儲+2演+4）=（2$+2）（x-xJ.

以8（\）上的點（工2記（工2））為切點的切線方程為歹-（21"2+2々+5）=12+2卜-*2）-..........8分

2玉+2=—+2.........................................................................（1）

令1一/\

石+2工1+4—（2玉+2）X]=2Inx＞+2x2+5—I1-2Jx,......（2）

則為='-,代入⑵，得1=年一2111玉，BP1=x,2-Inxf...................10分

%

設x：=z,函數(shù)旅）="2,貝以r（/）=1一；.

當Ov/＜1時，1。）＜0,力（，）單調(diào)遞減，當/＞1時，〃（/）＞0,攸）單調(diào)遞增，口力⑴=1,

1=x：-Inx：的解為為=±1,又占＞0,工玉＞0,玉=1?..................13分

???/（X）和g（x）存在唯一一條公切線為，=4x+3.15分

18.【解析】⑴若"的斜率不存在，則點8不存隹或與原點重合；若8b的斜率不存在，則點力與

原點重合.因此，直線/尸與8斤的斜率均存在.

設I直線/:x=〃z（y-2）-l,F（l,0）

代入拋物線方程得：y2-Amy+8〃?+4=0

設2（和力18（%口），則乂+必=4"，

yxy2=8〃i+4..................3分

必.%=4必4乃____________16yly2

1,6分

為一112一】yi-4y?~4（凹72）2-4（必+夕2『+8必必+16

（2）由題意可知，m的斜率為-1,方程為y=-x+l,

設點以/2）（，＜（）,l_]）,所以直線BC:y-Z=x-/,

kT+I，，得丁-2，+1

解方程組

y-2（=x-t~.2

微

因此直線BC與PF的交點坐標為M-j+1,+]],...................9分

因為原『=々一，由(1)得及”.=￡且，

r-12t

/_]

所以直線XF:y=4(x-l),解方程組y=~^~(xT)，得x=2f+51]=1_?,

y-2t=x-r.

因此可得(7(1-21,172),..........12分

所以〃為8C的中點，從而S^=2S^IIM=\BM\-\FM\,

s皿c=應產(chǎn)-號11.&/11_1=步_3)2一,=4,..........15分

所以（?-3）2-8=±8,因為，<0,解得，=-C或/=-，，

因此，所求的點B的坐標為8卜,-2>/^與（7,-26）...........17分

19.【解析】（1）｛1,2,3,5｝（符合要求即可）：.........3分

（2）證明：假設可以劃分，,rab-cd=1,.1a%和cd一定是一個奇數(shù)一個偶數(shù)，

.,.a,4c,d中至多兩個偶數(shù).