北京市海淀區(qū)北京57中2025屆數(shù)學高一上期末考試試題含解析

北京市海淀區(qū)北京57中2025屆數(shù)學高一上期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．定義在上的函數(shù)滿足，且，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.2．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上一點，則A. B.C. D.3．函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的所有零點之和是（）A.2 B.4C.6 D.84．若函數(shù)是偶函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.5．設集合，．則（）A. B.C. D.6．已知，，，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.7．下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（）A. B.C. D.8．已知點．若點在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為2的點的個數(shù)為A.4 B.3C.2 D.19．已知是第二象限角，且，則點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．不等式成立x的取值集合為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知點，，在函數(shù)的圖象上，如圖，若，則______.12．若角的終邊經(jīng)過點，則___________13．在某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計算，下列各個選項中，一定符合上述指標的是__________(填寫序號)①平均數(shù)；②標準差；③平均數(shù)且極差小于或等于2；④平均數(shù)且標準差；⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于414．若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為________15．過點且在軸，軸上截距相等的直線的方程為___________.16．若直線：與直線：互相垂直，則實數(shù)的值為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在區(qū)間上，如果函數(shù)為增函數(shù)，而函數(shù)為減函數(shù)，則稱函數(shù)為“弱增”函數(shù).試證明：函數(shù)在區(qū)間上為“弱增”函數(shù).18．某視頻設備生產(chǎn)廠商計劃引進一款新型器材用于產(chǎn)品生產(chǎn)，以提高整體效益.通過市場分析，每月需投入固定成本5000元，每月生產(chǎn)臺該設備另需投入成本元，且，若每臺設備售價1000元，且當月生產(chǎn)的視頻設備該月內(nèi)能全部售完.（1）求廠商由該設備所獲的月利潤關(guān)于月產(chǎn)量臺的函數(shù)關(guān)系式；（利潤＝銷售額－成本）（2）當月產(chǎn)量為多少臺時，制造商由該設備所獲得的月利潤最大？并求出最大月利潤.19．已知，，，為第二象限角，求和的值.20．如圖，欲在山林一側(cè)建矩形苗圃，苗圃左側(cè)為林地，三面通道各寬，苗圃與通道之間由柵欄隔開（1）若苗圃面積，求柵欄總長的最小值；（2）若苗圃帶通道占地總面積為，求苗圃面積的最大值21．（1）計算（2）已知角的終邊過點，求角的三個三角函數(shù)值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】對變形得到，構(gòu)造新函數(shù)，得到在上單調(diào)遞減，再對變形為，結(jié)合，得到，根據(jù)的單調(diào)性，得到解集.【詳解】，不妨設，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞減，，不等式兩邊同除以得：，因為，所以，即，根據(jù)在上單調(diào)遞減，故，綜上：故選：B2、A【解析】由三角函數(shù)定義得tan再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可【詳解】由三角函數(shù)定義得tan，即,得3cos解得或（舍去）故選A【點睛】本題考查三角函數(shù)定義及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，熟記公式，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題3、B【解析】根據(jù)題意可知圖象關(guān)于點中心對稱，由的解析式求出時的零點，根據(jù)對稱性即可求出時的零點，即可求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，將的圖象向右平移個單位可得的圖象，所以圖象關(guān)于點中心對稱，當時，，令解得：或，因為函數(shù)圖象關(guān)于點中心對稱，則當時，有兩解，為或，所以函數(shù)的所有零點之和是，故選：B第II卷（非選擇題4、B【解析】利用函數(shù)是偶函數(shù)，可得，解出．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出單調(diào)區(qū)間【詳解】解：函數(shù)是偶函數(shù)，，，化為，對于任意實數(shù)恒成立，，解得；，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，可得其單調(diào)遞增區(qū)間為故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和對稱性的應用，熟練掌握函數(shù)的奇偶性和二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.5、A【解析】先求得，然后求得.【詳解】.故選：A6、B【解析】分別判斷與0,1等的大小關(guān)系判斷即可.【詳解】因為.故.又,故.又,故.所以.故選：B【點睛】本題主要考查了根據(jù)指對冪函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小的問題,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】判斷兩函數(shù)定義域與函數(shù)關(guān)系式是否一致即可；【詳解】解：．和的定義域都是，對應關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；的定義域為，的定義域為，，定義域不同，不是同一函數(shù)；的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù)；的定義域為，的定義域為或，定義域不同，不是同一函數(shù)故選：8、A【解析】直線方程為即．設點，點到直線的距離為，因為，由面積為可得即，解得或或．所以點的個數(shù)有4個．故A正確考點：1直線方程；2點到線的距離9、B【解析】根據(jù)所在象限可判斷出，，從而可得答案.【詳解】為第二象限角，，，則點位于第二象限.故選：B.10、B【解析】先求出時，不等式的解集，然后根據(jù)周期性即可得答案.【詳解】解：不等式，當時，由可得，又最小正周期為，所以不等式成立的x的取值集合為.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】設的中點為，連接，由條件判斷是等邊三角形，并且求出和的長度，即根據(jù)周期求.【詳解】設的中點為，連接，，，且，是等邊三角形，并且的高是,，即，，即，解得：.故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的周期求參數(shù)，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題型，本題的關(guān)鍵是利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì)判斷的等邊三角形.12、【解析】根據(jù)定義求得，再由誘導公式可求解.【詳解】角的終邊經(jīng)過點,則，所以.故答案為：.13、③⑤【解析】按照平均數(shù)、極差、方差依次分析各序號即可.【詳解】連續(xù)7天新增病例數(shù)：0，0，0，0，2，6，6，平均數(shù)是2<3，①錯；連續(xù)7天新增病例數(shù)：6，6，6，6，6，6，6，標準差是0<2，②錯；平均數(shù)且極差小于或等于2，單日最多增加4人，若有一日增加5人，其他天最少增加3人，不滿足平均數(shù)，所以單日最多增加4人，③對；連續(xù)7天新增病例數(shù)：0，3，3，3，3，3，6，平均數(shù)是3且標準差小于2，④錯；眾數(shù)等于1且極差小于或等于4，最大數(shù)不會超過5，⑤對.故答案為：③⑤.14、【解析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化二次函數(shù)單調(diào)性問題，注意真數(shù)大于0.【詳解】令，則，因為為減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增等價于在上單調(diào)遞減，且，即，解得.故答案為：15、或【解析】當直線不過原點時設截距式方程；當直線過原點時設,分別將點代入即可【詳解】由題,當直線不過原點時設,則,所以,則直線方程為,即；當直線過原點時設,則,所以,則直線方程為,即,故答案為:或【點睛】本題考查求直線方程,考查截距式方程的應用,截距相同的直線問題,需注意過原點的情況16、-2【解析】由于兩條直線垂直，故.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】根據(jù)定義，只要證明函數(shù)在是單調(diào)減函數(shù)即可，這可以通過單調(diào)減函數(shù)的定義去證明.證明：設任意，且，由于，所以在區(qū)間上，為增函數(shù).令，則有：.由于，則且，故.故在區(qū)間上，函數(shù)為減函數(shù).由“弱增”函數(shù)的定義可知，函數(shù)在區(qū)間上為“弱增”函數(shù).18、（1）（2）當時，獲得增加的利潤最大，且增加的最大利潤為4000元【解析】（1）分和時兩種情況，利用利潤＝銷售額－成本列式即可；（2）利用二次函數(shù)求時的最大值，利用基本不等式求時的最大值，取最大即可.【小問1詳解】當時，；當時，【小問2詳解】當時，，當時，當時，，當且僅當，即時，當時，獲得增加的利潤最大，且增加的最大利潤為4000元19、，【解析】由已知可求得，，根據(jù)和的余弦公式可求得，再利用二倍角公式即可求出.詳解】，，，，為第二象限角，則，解得，，，.20、（1）200米（2）4608平方米【解析】(1)設苗圃的兩邊長分別為a，b，依題意列出已知和所求，由基本不等式直接可得；(2)根據(jù)題意列出已知，利用基本不等式將條件化為不等式，然