2025屆湖北省孝感一中高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆湖北省孝感一中高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A. B.C. D.2．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A.5 B.10C.4 D.3．已知離散型隨機變量X的分布列如下：X123P則數(shù)學期望（）A. B.C.1 D.24．定義在區(qū)間上的函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論不正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)在處取得極小值5．在棱長為1的正方體中，點，分別是，的中點，點是棱上的點且滿足，則兩異面直線，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.6．等比數(shù)列的第4項與第6項分別為12和48，則公比的值為（）A. B.2C.或2 D.或7．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件8．如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.9．給出下列判斷，其中正確的是（）A.三點唯一確定一個平面B.一條直線和一個點唯一確定一個平面C.兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內(nèi)D.空間兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)10．已知{an}是以10為首項，－3為公差的等差數(shù)列，則當{an}的前n項和Sn，取得最大值時，n=（）A.3 B.4C.5 D.611．已知滿約束條件，則的最大值為（）A.0 B.1C.2 D.312．若，在直線l上，則直線l一個方向向量為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________14．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，M的準線為l且與x軸相交于點B，A為M上的一點，直線AO與直線l相交于C點，若，，則M的標準方程為______________.15．若直線與平行，則實數(shù)________.16．在平面直角坐標系中，直線與的交點為，以為圓心作圓，圓上的點到軸的最小距離為（Ⅰ）求圓的標準方程；（Ⅱ）過點作圓的切線，求切線的方程三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某學校高一、高二、高三的三個年級學生人數(shù)如下表，按年級分層抽樣的方法評選優(yōu)秀學生50人，其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一學生中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機抽樣的方法從高二女生中抽取8人，經(jīng)檢測她們的得分如圖所示，把這8人的得分看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5分的概率.18．（12分）直線經(jīng)過點，且與圓相交與兩點，截得的弦長為，求的方程.19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和.20．（12分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}的前4項和為15，且.（1）求{}的通項公式；（2）若，記數(shù)列{}前n項和為，求.21．（12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，直線與平面ABCD所成角的正弦值為.E，F(xiàn)分別為、的中點.（1）求證：平面BED；（2）求直線與平面FAC所成角的正弦值.22．（10分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，證明：當時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由已知可設，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結合思想、轉化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)2、A【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對數(shù)的運算性質(zhì)求解.【詳解】由題有，則=5.故選：A3、D【解析】利用已知條件，結合期望公式求解即可【詳解】解：由題意可知：故選：D4、C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的導數(shù)的值的正負的關系，可判斷A,B的結論;根據(jù)函數(shù)的極值點和函數(shù)的導數(shù)的關系可判斷、的結論【詳解】函數(shù)在上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；根據(jù)函數(shù)的導數(shù)圖象，函數(shù)在時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確；由A的分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點，故錯誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)處取得極小值，故正確，故選：5、A【解析】建立空間直角坐標系，寫出點、、、和向量的、坐標，運用求異面直線余弦值的公式即可求出.【詳解】解：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標第,則，，，，故,,，故兩異面直線，所成角的余弦值是.故選：A.【點睛】本題考查求異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得；詳解】解：依題意、，所以，即，所以；故選：C7、A【解析】根據(jù)直線垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.8、C【解析】作出輔助線，找到異面直線所成的角，利用幾何性質(zhì)進行求解.【詳解】連接與，因為，則為所求，又是正三角形，.故選：C.9、C【解析】根據(jù)確定平面的條件可對每一個選項進行判斷.【詳解】對A，如果三點在同一條直線上，則不能確定一個平面，故A錯誤；對B，如果這個點在這條直線上，就不能確定一個平面，故B錯誤；對C，兩條平行直線確定一個平面，一條直線與這兩條平行直線都相交，則這條直線就在這兩條平行直線確定的一個平面內(nèi)，故這三條直線在同一平面內(nèi)，C正確；對D，空間兩兩相交的三條直線可確定一個平面，也可確定三個平面，故D錯誤.故選：C10、B【解析】由題可得當時，，當時，，即得.【詳解】∵{an}是以10為首項，－3為公差的等差數(shù)列，∴，故當時，，當時，，故時，取得最大值故選：B.11、B【解析】作出給定不等式表示的平面區(qū)域，再借助幾何意義即可求出的最大值.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，其中，，目標函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為的平行直線系，作出直線，平移直線到直線，使其過點A時，的縱截距最小，最大，則，所以的最大值為1.故選：B12、C【解析】利用直線的方向向量的定義直接求解.【詳解】因為，在直線l上，所以直線l的一個方向向量為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知可得，設，利用勾股定理結合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因為為上關于坐標原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.14、【解析】先利用相似關系計算，求得直線OA的方程，再聯(lián)立方程求得，利用拋物線定義根據(jù)即得p值，即得結果.【詳解】因為，，所以，則，如圖，，故，解得，所以，直線OA的斜率為，OA的方程，聯(lián)立直線OA與拋物線方程，解得，所以，故，則拋物線標準方程為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關于實數(shù)的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為，則，解得.故答案為：.16、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）求出點的坐標，設圓的半徑為，圓上的點到軸的最小距離為1求得的值，由此可得出圓的標準方程；（Ⅱ）對切線的斜率是否存在進行分類討論，當切線的斜率不存在時，可得切線方程為，驗證即可；當切線的斜率存在時，可設所求切線的方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑可求得的值，綜合可得出所求切線的方程.【詳解】（Ⅰ）聯(lián)立方程組，解得，即點設圓的半徑為，由于圓上的點到軸的最小距離為，則，所以，故圓的標準方程為；（Ⅱ）若切線的斜率不存在，則所求切線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意；若切線的斜率存在，可設切線的方程為，即，圓的圓心坐標為，半徑為，由題意可得，整理得，解得或故所求切線方程為或【點睛】本題考查圓的標準方程的求解，同時也考查了過圓外一點的圓的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）400（2）（3）【解析】（1）根據(jù)分層抽樣的方法，列出關系式計算即可；（2）根據(jù)分層抽樣的方法，求出抽取的女生人數(shù)，進而列舉出從樣本中抽取2人的所有情況，可根據(jù)古典概型的概率公式計算即可；（3）求出樣本平均數(shù)，進而求出與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5的數(shù)，從而利于古典概型的概率公式計算即可.【小問1詳解】設該?？側藬?shù)為n人，由題意得，所以，.【小問2詳解】設所抽樣本中有m個女生，因為用分層抽樣的方法在高一學生中抽取一個容量為5的樣本，所以，解得.所以抽取了2名女生，3名男生，分別記作，；，，，則從中任取2人的所有基本事件為：，，，，，，，，，，共10個，其中至少有1名女生的基本事件有，，，，，，，共7個，所以從中任取2人，至少有1名女生的概率為.【小問3詳解】樣本的平均數(shù)為，那么與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5的數(shù)為94，86，92，87，90，93這6個數(shù)，總的個數(shù)為8，所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5的概率為.18、或【解析】直線截圓得的弦長為，結合圓的半徑為5，利用勾股定理可得圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式列方程求出直線斜率，由點斜式可得結果.【詳解】設直線的方程為，即，因為圓的半徑為5，截得的弦長為所以圓心到直線的距離，即或，∴所求直線的方程為或.【點睛】本題主要考查點到直線距離公式以及圓的弦長的求法，求圓的弦長有兩種方法：一是利用弦長公式，結合韋達定理求解；二是利用半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，利用勾股定理求解.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)與的關系，分和兩種情況，求出，再判斷是否合并；（2）利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】，當時，，當時，，也滿足上式，數(shù)列的通項公式為：.【小問2詳解】由（1）可得，①②①②得，20、（1）（2）【解析】（1）設正項的等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由，結合乘公比錯位相減求和，即可求解.小問1詳解】解：設正項的等比數(shù)列的公比為，顯然不為1，因為等比數(shù)列前4項和為且，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】解：由，所以，可得，兩式相減得，所以.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明垂直于平面BED內(nèi)的兩條相交直線，即可得到答案；（2）分別以OB，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標系，平面FAC的一個法向量為，代入向量的夾角公式，即可得到答案；【小問1詳解】∵ABCD為菱形，∴，設AC與BD的交點為O，則OE為的中位線，∴.由題意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC平面A