廣西桂林、賀州、崇左三市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題含解析

廣西桂林、賀州、崇左三市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．與直線平行，且經(jīng)過點（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.2．若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為，如.如圖所示的程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的“中國剩余定理”.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.163．已知圓的方程為，直線：恒過定點，若一條光線從點射出，經(jīng)直線上一點反射后到達(dá)圓上的一點，則的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.64．若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，則點P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是()A. B.C. D.5．已知橢圓，則它的短軸長為（）A.2 B.4C.6 D.86．已知集合A=（）A. B.C.或 D.7．在一個正方體中，為正方形四邊上的動點，為底面正方形的中心，分別為中點，點為平面內(nèi)一點，線段與互相平分，則滿足的實數(shù)的值有A.0個 B.1個C.2個 D.3個8．已知圓與圓沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.9．如果橢圓上一點到焦點的距離等于6，則線段的中點到坐標(biāo)原點的距離等于（）A.7 B.10C.12 D.1410．設(shè)為拋物線焦點，直線，點為上任意一點，過點作于，則（）A.3 B.4C.2 D.不能確定11．已知直線在兩個坐標(biāo)軸上的截距之和為7，則實數(shù)m的值為（）A.2 B.3C.4 D.512．直線的傾斜角為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點作圓的切線，則切線的方程為________14．已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點在橢圓的內(nèi)部，過點的直線交橢圓于、兩點，為線段的中點，且.①求直線的方程；②求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.15．若函數(shù)在[1，3]單調(diào)遞增，則a的取值范圍___16．在等比數(shù)列中，已知，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一款小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需拋擲骰子三次，出現(xiàn)一次或兩次“6點”獲得15分，出現(xiàn)三次“6點”獲得120分，沒有出現(xiàn)“6點”則扣除12分(即獲得－12分)（Ⅰ）設(shè)每盤游戲中出現(xiàn)“6點”的次數(shù)為X，求X的分布列；（Ⅱ）玩兩盤游戲，求兩盤中至少有一盤獲得15分概率；（Ⅲ）玩過這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了．請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析解釋上述現(xiàn)象18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為圓心的圓與直線相切.（1）求圓O的方程；（2）設(shè)圓O交x軸于A，B兩點，點P在圓O內(nèi)，且是、的等比中項，求的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的長軸長是6，離心率是.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點的直線l與橢圓E交于A，B兩點，判斷是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.20．（12分）某高校在今年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名考生的筆試成績，分為5組制出頻率分布表如圖所示.組號分組頻數(shù)頻率150052350.35330b4cd5100.1（1）求b，c，d的值；（2）該校決定在成績較好的3、4、5組用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)行面試，則每組應(yīng)各抽多少名學(xué)生？（3）在（2）的前提下，從抽到6名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名被甲考官面試，求這2名學(xué)生來自同一組的概率.21．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）當(dāng)為何值時，最大，并求的最大值.22．（10分）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點是軸上的定點，直線與橢圓交于不同的兩點，已知A關(guān)于軸的對稱點為，點關(guān)于原點的對稱點為，已知三點共線，試探究直線是否過定點.若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由直線平行及直線所過的點，應(yīng)用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】與直線平行，且經(jīng)過點（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C2、C【解析】根據(jù)“中國剩余定理”，進(jìn)而依次執(zhí)行循環(huán)體，最后求得答案.【詳解】由題意，第一步：，余數(shù)不為1；第二步：，余數(shù)不為1；第三步：，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個判斷框，余數(shù)不為2；第四步：，執(zhí)行第一個判斷框，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個判斷框，余數(shù)為2.輸出的i值為13.故選：C.3、B【解析】求得定點，然后得到關(guān)于直線對稱點為，然后可得，計算即可.【詳解】直線可化為，令解得所以點的坐標(biāo)為.設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則由,解得,所以點坐標(biāo)為.由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點共線時等號成立），所以的最小值為4.故選:B.4、D【解析】利用分布計數(shù)原理求出所有的基本事件個數(shù)，在求出點落在直線x+y=4上包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率個數(shù)求出.解：連續(xù)拋擲兩次骰子出現(xiàn)的結(jié)果共有6×6=36，其中每個結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會都是等可能的，點P（m，n）在直線x+y=4上包含的結(jié)果有（1，3），（2，2），（3，1）共三個，所以點P（m，n）在直線x+y=4上的概率是3:36=1:12,故選D考點：古典概型點評:本題考查先判斷出各個結(jié)果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】根據(jù)橢圓短軸長的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，所以該橢圓的短軸長為，故選：B6、A【解析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為集合，所以.故選：A.7、C【解析】因為線段D1Q與OP互相平分，所以四點O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線段C1D1上時，Q一定在線段ON上運動，只有當(dāng)P為C1D1的中點時，Q與點M重合，此時λ＝1，符合題意若P在線段C1B1與線段B1A1上時，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線段D1A1上時，點Q在直線OM上運動，只有當(dāng)P為線段D1A1的中點時，點Q與點M重合，此時λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個故選C.8、B【解析】求出圓、的圓心和半徑，再由兩圓沒有公共點列不等式求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，因圓、沒有公共點，則有或，即或，又，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B9、A【解析】可由橢圓方程先求出，在利用橢圓的定義求出，利用已知求解出，再取的中點，連接，利用中位線，即可求解出線段的中點到坐標(biāo)原點的距離.【詳解】因為橢圓，，所以，結(jié)合得，，取的中點，連接，所以為的中位線，所以.故選：A.10、A【解析】由拋物線方程求出準(zhǔn)線方程，由題意可得，由拋物線的定義可得，即可求解.【詳解】由可得，準(zhǔn)線為，設(shè)，由拋物線的定義可得，因為過點作于，可得，所以，故選：A.11、C【解析】求出直線方程在兩坐標(biāo)軸上的截距，列出方程，求出實數(shù)m的值.【詳解】當(dāng)時，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C12、C【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知可得點M在圓C上，則過M作圓的切線與CM所在的直線垂直，求出斜率，進(jìn)而可得直線方程.【詳解】由圓得到圓心C的坐標(biāo)為(0,

0)，圓的半徑,而所以點M在圓C上，則過M作圓的切線與CM所在的直線垂直，又，得到CM所在直線的斜率為，所以切線的斜率為，則切線方程為：即故答案為：.14、（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】（1）由可證得結(jié)論成立；（2）①設(shè)點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程；②將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得出關(guān)于的等式，可求出的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，橢圓的方程為，即，當(dāng)在橢圓的內(nèi)部時，，可得.設(shè)點、，則，所以，，由已知可得，兩式作差得，所以，所以，直線方程為，即.所以，直線的方程為；②聯(lián)立，消去可得.，由韋達(dá)定理可得，，又，而，，，解得合乎題意，故，因此，橢圓的方程為.15、【解析】由在區(qū)間上恒成立來求得的取值范圍.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，在上恒成立，所以.故答案為：16、32【解析】根據(jù)已知求出公比即可求出答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以.故答案為：32.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）分布列見解析（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】（Ⅰ）先得到可能的取值為，，，，根據(jù)每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點”的概率為，得到每種取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）計算出每盤游戲沒有獲得15分的概率，從而得到兩盤中至少有一盤獲得15分的概率；（Ⅲ）設(shè)每盤游戲得分為，得到的分布列和數(shù)學(xué)期望，從而得到結(jié)論.【詳解】解：（Ⅰ）可能的取值為，，，.每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點”的概率為.，，，，所以X的分布列為：0123（Ⅱ）設(shè)每盤游戲沒有得到15分為事件，則.設(shè)“兩盤游戲中至少有一次獲得15分”為事件，則因此，玩兩盤游戲至少有一次獲得15分的概率為.（Ⅲ）設(shè)每盤游戲得分為.由（Ⅰ）知，的分布列為：Y-1215120P的數(shù)學(xué)期望為.這表明，獲得分?jǐn)?shù)的期望為負(fù)因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大【點睛】本題考查求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，求互斥事件的概率，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓方程，結(jié)合該圓與直線相切，求得半徑，則問題得解；（2）設(shè)出點的坐標(biāo)為，根據(jù)題意，求得的等量關(guān)系，再構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求得函數(shù)值域即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，設(shè)的方程為，又該圓與直線相切，故可得，則圓的方程為.【小問2詳解】對圓：，令，則，不妨設(shè)，則，設(shè)點，因為點在圓內(nèi)，故；因為是、的等比中項，故可得：，則，整理得；由可得，解得，則.故答案為：.19、（1）；（2）存在，.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長短半軸長即可代入計算作答.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)出直線l的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、向量數(shù)量積運算，推理計算作答.【小問1詳解】依題意，，半焦距為c，則離心率，即，有，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，則，，，，，，要使為定值，必有，解得，此時，當(dāng)直線l的斜率不存在時，由對稱性不妨令，，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，過點的任意直線l與橢圓E交于A，B兩點，恒有，所以存在滿足條件.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值20、（1），，（2）第三組應(yīng)抽人，第四組應(yīng)抽人，第五組應(yīng)抽人（3）【解析】（1）根據(jù)頻率分布表的數(shù)據(jù)求出b，c，d的值；（2）三個組共有60人，從而利用分層抽樣抽樣方法抽取6名學(xué)生第三組應(yīng)抽3人，第四組應(yīng)抽2人，第五組應(yīng)抽1人；（3）記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，利用列舉法結(jié)合概率公式得出答案.【小問1詳解】由題意得，，【小問2詳解】三個組共有60人，所以第三組應(yīng)抽人，第四組應(yīng)抽人，第五組應(yīng)抽人.【小問3詳解】記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，從這6人中隨機(jī)抽取2人，基本事件包含，共15個基本事件.其中2人來自同一組的情況有，共4種.所以，2人來自同一組的概率為.21、（1）（2）n為6或7；126【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用等差數(shù)列的通項公式求解；（2）由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為.所以