2025屆河北省承德市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆河北省承德市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)直線，．若，則的值為（）A.或 B.或C. D.2．在中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年之際,廣安市某中學(xué)組織了“黨史知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng),已知該校共有高中學(xué)生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為25的樣本參加活動(dòng),其中高二年級(jí)抽取了8人,則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為()A.960 B.720C.640 D.3203．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列中，，，則首項(xiàng)（）A. B.C. D.05．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.不存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為90°B.存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為45°C.存在點(diǎn)使得二面角的平面角為45°D.當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為6．如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.7．已知，若對(duì)于且都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．若直線與直線垂直，則（）A6 B.4C. D.9．如圖，在直三棱柱中，且，點(diǎn)E為中點(diǎn)．若平面過(guò)點(diǎn)E，且平面與直線AB所成角和平面與平面所成銳二面角的大小均為30°，則這樣的平面有（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)10．如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上11．已知函數(shù)，則（）A.3 B.C. D.12．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.取出的球至少有1個(gè)紅球；取出的球都是紅球B.取出的球恰有1個(gè)紅球；取出的球恰有1個(gè)白球C.取出的球至少有1個(gè)紅球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1個(gè)白球；取出的球恰有2個(gè)白球二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)滿足，則的最小值是__________.14．設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，從下列四個(gè)條件：①；②；③；④中選出三個(gè)條件，能使?jié)M足所選條件的存在且唯一的所有c的值為______.15．若，則__________16．設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，，前10項(xiàng)和（1）求列通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前8項(xiàng)和18．（12分）已知在數(shù)列中，，且.（1）求，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.19．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別在棱，上運(yùn)動(dòng)，且.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值：（3）當(dāng)，分別是棱，的中點(diǎn)時(shí)，求平面與平面的夾角的正弦值.20．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，①求；②若不等式對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．（12分）已知圓，直線（1）求證：對(duì)，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)22．（10分）已知數(shù)列，，，且，其中為常數(shù)（1）證明：；（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.故選：A.2、D【解析】由分層抽樣各層成比例計(jì)算即可【詳解】設(shè)高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為,則,解得故選:D3、B【解析】根據(jù)代入計(jì)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】故選：B.4、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組，即可求得，進(jìn)而可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，解得，所以.故選：B5、D【解析】由正方體的性質(zhì)可將異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，而當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可得，可判斷A；與或重合時(shí)，直線與所成的角最小可判斷B；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，通過(guò)計(jì)算可判斷C；過(guò)作，交于，交于點(diǎn)，由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面，且四邊形是等腰梯形，然后利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可判斷D.【詳解】異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與所成的角為90°，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)與或重合時(shí)，直線與所成角最小，為60°，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)作，交于，交于點(diǎn)，因?yàn)椋浴⒎謩e是、的中點(diǎn)，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因?yàn)椋?，所以四邊形是等腰梯形，作交于點(diǎn)，所以，，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D.6、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量、平面的法向量，應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)表示，求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，，設(shè)面的法向量為，有，取，則，所以，，，則直線與平面所成角的正弦值為故選：D.7、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對(duì)于且時(shí)，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，求得的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求解.【詳解】由題意，對(duì)于且都有成立，不妨設(shè)，可得恒成立，即對(duì)于且時(shí)，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，又由，所以在上恒成立，即在上恒成立，又由，所以，即實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：D8、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.9、B【解析】構(gòu)造出長(zhǎng)方體，取中點(diǎn)連接然后利用臨界位置分情況討論即可.【詳解】如圖，構(gòu)造出長(zhǎng)方體，取中點(diǎn)，連接則所有過(guò)點(diǎn)與成角的平面，均與以為軸的圓錐相切，過(guò)點(diǎn)繞且與成角，當(dāng)與水平面垂直且在面的左側(cè)（在長(zhǎng)方體的外面）時(shí)，與面所成角為75°（與面成45°，與成30°），過(guò)點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周，90°顯然最大，到了另一個(gè)邊界（在面與之間）為15度，即與面所成角從75°→90°→15°→90°→75°變化，此過(guò)程中，有兩次角為30

，綜上，這樣的平面α有2個(gè)，故選：B.10、A【解析】根據(jù)題意，得到兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意，得到，，再由得到，求出點(diǎn)的軌跡，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形，則，，因?yàn)闉榈酌鎯?nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)，因此，，因?yàn)槠矫?，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡在圓上.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問(wèn)題，靈活運(yùn)用空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.11、B【解析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出導(dǎo)發(fā)函數(shù)，然后可得導(dǎo)數(shù)值【詳解】由題意，所以故選：B12、D【解析】利用互斥事件、對(duì)立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】A答案中的兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件B答案中的兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件C答案中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，既是互斥事件又是對(duì)立事件D答案中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，也可以都不發(fā)生，故是互斥而不對(duì)立事件故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是互斥事件和對(duì)立事件的概念，較簡(jiǎn)單.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】利用“1”代換，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值8.故答案為：8.14、，##，【解析】由①②結(jié)合正弦定理可求出，但是角不唯一，故所選條件中不能同時(shí)有①②，只能是①③④或②③④，若選①③④，結(jié)合余弦定理可求，若選②③④，結(jié)合正弦定理即可求解【詳解】由①②結(jié)合正弦定理，所以，此時(shí)角不唯一，所以故所選條件中不能同時(shí)有①②，所以只能是①③④或②③④，若選①③④，即，，，由余弦定理可得，解得，若選②③④，即，，，因?yàn)椋?，所以，由正弦定理得，，故答案為：?5、【解析】分別令和，再將兩個(gè)等式相加可求得的值.【詳解】令，則；令，則.上述兩式相加得故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和的計(jì)算，一般令和，通過(guò)對(duì)等式相加減求得，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16、【解析】求出等邊的邊長(zhǎng)，畫出圖形，判斷D的位置，然后求解即可.【詳解】為等邊三角形且其面積為，則，如圖所示，設(shè)點(diǎn)M為的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在平面上的射影為時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，，點(diǎn)M為三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱錐體積的最大值故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，要求內(nèi)接三棱錐體積的最大值，底面是面積一定的等邊三角形，需要該三棱錐的高最大，故需要底面，再利用內(nèi)接球，求出高，即可求出體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與數(shù)形結(jié)合思想，及運(yùn)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）347.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項(xiàng)和為18、（1），，證明見解析（2），【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求出，，對(duì)遞推公式變形，即可得證；（2）結(jié)合（1）求得通項(xiàng)公式，分組求和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋宜裕?，∵，∴，∵，∴，且，∴?shù)列是等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，即，即；.19、（1）證明見解析（2）（3）【解析】(1)向量垂直的充要條件是內(nèi)積為零，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算向量?jī)?nèi)積；(2)利用一元二次函數(shù)，求解體積的最大值；(3)利用平面的法向量求二面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】如下圖所示，以原點(diǎn)，，，所在直線分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，因?yàn)?，所以，?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以故的最大值為【小?wèn)3詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)榇藭r(shí)，，所以由得取，得，，又可取平面的一個(gè)法向量，所以故平面與平面的夾角的正弦值.20、（1）證明見解析，（2）①；②【解析】（1）由得到，即可得到，從而得證，即可求出的通項(xiàng)公式，從而得到的通項(xiàng)公式；（2）①由（1）可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；②利用作差法證明的單調(diào)性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；【小問(wèn)1詳解】證明：由，，當(dāng)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得，所以，所以，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；所以，所以【小問(wèn)2詳解】解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以整理得②由①知，所以，即單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的正整數(shù)n恒成立，所以，即，解得或，即21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由直線過(guò)定點(diǎn)，只需判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)部，即可證結(jié)論.（2）由點(diǎn)線距離公式求弦心距，再利用半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的幾何關(guān)系求弦長(zhǎng)即可.【小問(wèn)1詳解】直線恒過(guò)定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓總有兩個(gè)