2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難專攻（七）-立體幾何中的綜合問題【含解析】

重難專攻(七)立體幾何中的綜合問題【原卷版】

翻折問題

【例1】圖①是由矩形AOEB,RtAABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中A8=l,BE=BF=2,ZFBC

=60。.將其沿AB,BC折起使得BE與重合，連接。G,如圖②.

(1)證明：圖②中的A,C,G,。四點共面，且平面ABC_L平面BCGE；

(2)求圖②中的二面角B-CG-A的大小.

G訓(xùn)練

圖①是直角梯形ABCD,AB//DC,ZADC=90°,AB=2,0c=3,AD=W,CE=2ED,以BE為折痕將△BCE

折起，使點C到達Ci的位置，且AG=遍，如圖②.

圖①圖②

(1)求證：平面BGE_L平面A8ED；

(2)已知點尸為線段。G上一點，且尸G=2P￡),求直線8尸與平面48cl所成角的正弦值.

探究問題

【例2】已知直三棱柱ABCAiSG中，側(cè)面A412bB為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC和CG的中點，D

為棱4S上的點，BFXAiBi.

(1)證明：BFLDE-,

(2)當(dāng)BQ為何值時，面881cle與面。FE所成的二面角的正弦值最??？

E訓(xùn)練

在三棱柱A8C-4B1G中，四邊形A415B是菱形，AB±AC,平面44出|8,平面ABC,平面45G與平面ABC

的交線為I.

A

（1）證明：AiB±BiC.

（2）已知NABBi=60。，AB=AC=2,/上是否存在點P,使AI與平面4B尸所成角為30。？若存在，求以尸的長

度；若不存在，請說明理由.

動態(tài)問題

考向7軌跡問題

【例3】（1）點尸為棱長是2代的正方體ABCDAWiGd的內(nèi)切球。球面上的動點，點M為BiCi的中點，若

滿足。則動點尸的軌跡的長度為（）

A.兀B.2兀

C.4兀D.2V5TT

（2）（多選）如圖，已知正方體ABCDAiBiGd的棱長為4,M為。。的中點，N為A8CZ）所在平面內(nèi)一動點，

則下列命題正確的是（）

A.若與平面ABC。所成的角為％則點N的軌跡為圓

B.若MN=4,則MN的中點尸的軌跡所圍成圖形的面積為2兀

C.若點N到直線221與到直線。。的距離相等，則點N的軌跡為拋物線

D.若AN與A8所成的角為成則點N的軌跡為雙曲線

考向2空間位置關(guān)系的判定

【例4】（多選）已知P,。分別是正方體ABCD-AiBiCbDi的棱221，CG上的動點（不與頂點重合）,則下列

結(jié)論正確的是（）

A.AB1PQ

B.平面8尸Q〃平面ADDiAr

C.四面體ABP。的體積為定值

D.AP〃平面CDDiCi

考向3最值（范圍）問題

【例5】（1）已知點M是棱長為2的正方體ABCD-AiSCQ］的棱的中點，點尸在平面BCGS所在的平面

內(nèi).若平面D1PM分別與平面ABC。和平面BCGS所成的銳二面角相等，則點P與點Ci的最短距離是（）

2

V5V2

-一-

5B.D2

A.C1V6

一3

(2)在直三棱柱ABC-Ai81cl中，AB=AC=V3,BC=A4i=2,點P滿足方=加方+(|一機)CQ，其中

mC[0,|]，則直線AP與平面2CG修所成角的最大值為()

A.-B.=

64

c.-D.-

312

E訓(xùn)練

1.在四棱錐P-ABCZ)中，四邊形48cZ)是邊長為2的菱形，ZDAB=60°,PA=PD,ZAPD=9Q°,平面平

面AB。，點。是APBC內(nèi)(含邊界)的一個動點，且滿足OQLAC,則點。所形成的軌跡的長度是.

2.在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1,且平面ABC。，平面ABER彈子M,N分別在正方形對

角線AC,BP上移動，則MN長度的最小值是.

L如圖，斜線段AB與平面a所成的角為%8為斜足.平面a上的動點P滿足/""會則點P的軌跡為()

A.圓

B.橢圓

C.雙曲線的一部分

D.拋物線的一部分

2.設(shè)動點尸在正方體ABCDAiBCbDi上(含內(nèi)部)運動，且瓦？=入臣，當(dāng)NAPC為銳角時，實數(shù)九的取值范圍

為()

A.(-,1)B.(1,+8)

3

C.(0,i)D.(0,-)u(1,+8)

33

3.已知正四棱錐尸-ABC。的側(cè)棱長為2,底面邊長為巡，點E在射線尸。上，F(xiàn),G分別是BC,PC的中點，則異

面直線AE與FG所成角的余弦值的最大值為()

4.(多選)在正三棱柱ABC-AiBiG中，AB=A4i=l,點尸滿足前=入阮十日兩，其中入e[0,1],pG[0,1],

則()

A.當(dāng)正=1時，AABiP的周長為定值

B.當(dāng)口=1時，三棱錐P-48C的體積為定值

C.當(dāng)九=，寸，有且僅有一個點P,使得

D.當(dāng)尸況寸，有且僅有一個點P,使得48,平面A5P

5.（多選）如圖，在棱長為1的正方體ABCDAiBCbDi中，M,N分別為BA，81cl的中點，點尸在正方體的表面

上運動，且滿足MPLCN.下列說法中正確的是

A.點尸可以是棱881的中點

B.線段MP的最大值為:

C.點尸的軌跡是正方形

D.點P的軌跡長度為2+逐

6.（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有

（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

7.已知動點P在棱長為1的正方體ABCDA向GA的表面上運動，且PA=r（0<r<V3）,記點尸的軌跡長度為了

（r）,則7（1）+/（V2）=.

8.在直四棱柱中，底面ABC。為正方形，441=248=2.點尸在側(cè)面2。。181內(nèi)，若AC平面

BDP,則點尸到CD的距離的最小值為.

9.如圖，在四棱錐S-ABC。中，已知四邊形4BCD為菱形，ZBAD=60°,ASA。為正三角形，平面SAO_L平面

ABCD.

（1）求平面SBC與平面A8C夾角的大?。?/p>

（2）在線段SC（端點S,C除外）上是否存在一點使得若存在，指出點M的位置；若不存在,

請說明理由.

10.如圖①，在RtAABC中，AB±BC,AC=2AB=12,E,尸都在AC上，SLAE：EF'.FC=3：4：5,EB//FG,

將AAEB,ACFG分別沿EB,FG折起，使得點A,C在點P處重合，得到四棱錐P-EFGB,如圖②.

圖①圖②

（1）證明：EFLPB；

(2)若加為尸2的中點，求平面與平面EFW夾角的余弦值.

11.已知一圓形紙片的圓心為。，直徑A8=2,圓周上有C,。兩點.如圖，OC_LAB,/4。。=匕點P是揚上的

6

動點.沿將紙片折為直二面角，并連接P。，PD,PC,CD.

(1)當(dāng)AB〃平面尸CD時，求尸。的長;

(2)當(dāng)三棱錐P-CO。的體積最大時，求二面角O-PO-C的余弦值.

12.如圖，在四棱錐E-A8CD中，平面A8CD_L平面ABE,AB//DC,AB1BC,AB=2BC=2CD=2,AE=BE=

V3,M為BE的中點.

(1)求證：CM〃平面AOE；

(2)求平面與平面8AC夾角的正弦值；

(3)在線段上是否存在一點M使直線與平面BEN所成角的正弦值為呼？若存在，求出AN的長；若不

存在，請說明理由.

重難專攻(七)立體幾何中的綜合問題【解析版】

翻折問題

【例1】圖①是由矩形AOEB,RtAABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中A8=l,BE=BF=2,ZFBC

=60。.將其沿AB,BC折起使得BE與8尸重合，連接。G,如圖②.

(1)證明：圖②中的A,C,G,。四點共面，且平面ABC,平面BCGE；

(2)求圖②中的二面角B-CG-A的大小.

解：(1)證明：由已知得AO〃BE,CG//BE,所以4￡>〃CG,

所以AD,CG確定一個平面，從而A,C,G,。四點共面.

由已知得ABLBC,SLBE^BC=B,

所以AB_L平面BCGE.

又因為A2U平面ABC,所以平面ABC_L平面BCGE.

(2)作EHLBC,垂足為H.

因為EHU平面BCGE,平面BCGE_L平面ABC,

平面BCGED平面ABC=BC,

所以EH_L平面ABC.

由已知，菱形BCGE的邊長為2,Z￡BC=60°,可求得BH=1,EH=^3.

以”為坐標原點，~HC,近的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系H-孫z,

則A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,V3),

CG=(1,0,V3),AC=(2,-1,0).

設(shè)平面ACGO的法向量為〃=(x,y,z),

gn=0,fx+V3z=0,

即

?n=0,\2x~y=0.

所以可取〃=(3,6,—V3).

又平面BCGE的法向量可取帆=(0,1,0),

所以cosV",m>=

In\\mI2

因此二面角B-CG-A的大小為30°.

0訓(xùn)練

圖①是直角梯形ABC。，AB//DC,ZADC=90°,AB=2,0c=3,AD=遮,CE=2ED,以BE為折痕將△BCE

折起，使點C到達Ci的位置，且4。1=遍，如圖②.

(1)求證：平面8GE_L平面ABEZ)；

(2)已知點尸為線段。G上一點，且PCi=2P。，求直線BP與平面A8G所成角的正弦值.

解：(1)證明：如圖所示，連接AC與BE相交于點O,過點8作即LLEC交EC于點廳

由DC=3,CE^2ED,得￡>E=1,CE=2.四邊形ABFD為矩形，可得2F=A￡>=遮，F(xiàn)C=1.

所以BC='叱+⑦:2,所以/BCF=60。，所以△BCE是等邊三角形，所以O(shè)C=百,

由EC〃AB,EC=AB=2,OCLEB,可得OA=OC=g,OALEB.

所以。42+OC/=6=AC￡,所以。4J_OCI.

XOBHOCi=O,OB,OGU平面BGE

所以O(shè)A_L平面BCiE.又OAU平面ABED,所以平面BG￡_L平面ABED.

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，則O(0,0,0),A(V3,0,0),B(0,1,0),D(y,-|,0),

Cl(0,0,V3),所以說=(-V3,1,0),宿=(-V3,0,V3),西=(一苧，|,V3),BD=(y,一

設(shè)平面A8Ci的法向量為〃=(x,y,z),所以(竺TV3x+y0,令尤=1，則>=百，z=l,所以"=

J

\.AC1-n——\3xr\3z=0,

(1,V3,1),

因為點尸為線段DG上一點，且PG=2P￡>,所以加桔西，所以麗=麗+麗=前+]西=(y,-|,0)

+-(—如，三，V3)=(漁，-2,隹).

32233

設(shè)直線2尸與平面A2Q所成角為0,則sin9==單一=誓.

I?BP胃I--InI2^x7535

所以直線BP與平面所成角的正弦值為噤.

探究問題

【例2】已知直三棱柱A2C-4SG中，側(cè)面A41BB為正方形，AB=3C=2,E,尸分別為AC和CG的中點，D

為棱43上的點，BFXAjBi.

(1)證明：BFLDE-,

(2)當(dāng)8。為何值時，面881cle與面OFE所成的二面角的正弦值最??？

解：(1)證明：因為E,斤分別是AC和CG的中點，且AB=8C=2,

所以Cb=l,BF=亞.

22

如圖，連接AF,由8F_L4i5,AB//AiB[,#BF±AB,則AF=^BF+AB=3,所以AC=工AFZ-CF2=26.由

AB2+BC2=AC2,得BALBC,故以8為坐標原點，以AS,BC,BBi所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標

系B-xyz.

則8(0,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1),BF=(0,2,1).

設(shè)310=w(0W%W2),則。(.m,0,2),

于是反=(l—m,1,-2).

所以所:?壺=0,所以B/tLDE

(2)易知面BB1GC的一個法向量為"i=(1,0,0).

設(shè)面。尸E的法向量為〃2=(x,y,z).

則怦電=。，

=0,

又屁=(1-m,1,-2),EF=(-1,1,1),

“(1—m)x+y-2z=0,.加

所以《令九=3,得y=m+l,z=2—m,

i—x+y+z=0,

于是，面。尸E的一個法向量為改=(3,m+1,2—m),

3

所以COSVMI,Q.

H*)澗

設(shè)面BBiCiC與面。FE所成的二面角為9,則sin9=11-cos2v叫，電〉，

故當(dāng)m時，面B81GC與面。FE所成的二面角的正弦值最小，為即當(dāng)時，面B81GC與面。FE所成

的二面角的正弦值最小.

0訓(xùn)練

在三棱柱ABC-AiBiG中，四邊形AAIiB是菱形，AB1AC,平面44出山_1平面ABC,平面A/Ci與平面ABC

的交線為I.

(1)證明：AiB±BiC.

(2)已知NAB8i=60。，AB=AC=2,/上是否存在點P,使AiB與平面A8P所成角為30。？若存在，求生尸的長

度；若不存在，請說明理由.

解：(1)證明：因為四邊形A41S8為菱形，所以ALB_LABI.

因為平面AAI2I2_L平面ABC,平面AAW/n平面ACu平面4BC,ACLAB,

所以AC_L平面44/18.

又A/U平面AAiSB,所以ACL41R

又因為ABinAC=A,

所以4B_L平面ABC.

又&CU平面ABiC,所以AiBLBiC.

(2)/上不存在點尸，使AiB與平面ABP所成角為30。.理由如下：

取AiS的中點。，連接AD

因為乙4881=60。，所以/441歷=60。.

又441=481,

所以△4AS為等邊三角形，

所以A￡)_LAiBi.

因為所以A￡)_LAR

又平面A4iB山，平面ABC,平面AAiSBA平面ABC=AB,A￡>u平面44//,

所以AZ)_L平面ABC.

以A為原點，以荏，AC,詬的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系4盯z,

則A(0,0,0)B(2,0,0),C(0,2,0),Ai(-1,0,V3),Bi(1,0,V3)

則前=(0,2,0),荏=(2,0,0),彳瓦>=(1,0,V3).

因為AC〃AiG,ACC平面AiSG,

4Gu平面AiBiCi,

所以AC〃平面AiBCi,

又ACU平面A8C,平面AiBiGCl平面ABC=/,

所以AC〃/.

假設(shè)/上存在一點尸，使48與平面A8P所成角為30。.

設(shè)瓦（XER）,則瓦戶=（0,2X,0）,

所以?=福（+瓦F=（1,2九，V3）.

設(shè)”=（尤，y,z）為平面的一個法向量，

n-%=°，即2%=0,

則

Tl-AP=0,x+2Ay+V3z=0.

令》=一百，貝Iz=23可取〃=(0,—V3,2X).

又砧=(3,0,-V3),

所以sin30。=Icos<?,硒〉I=g^=毋焉，

即3+4/=4入2,此方程無解，

因此/上不存在點尸，使A/與平面A5P所成角為30。.

動態(tài)問題

考向7軌跡問題

【例3】（1）點P為棱長是2曲的正方體ABCD-AiBiGA的內(nèi)切球。球面上的動點，點M為8G的中點，若

滿足。尸，則動點尸的軌跡的長度為（）

A.兀B.2兀

C.4兀D.2V5n

（2）（多選）如圖，已知正方體ABCDAiBiGDi的棱長為4,〃為的中點，N為A8C。所在平面內(nèi)一動點,

則下列命題正確的是（）

A.若與平面A8CD所成的角為%則點N的軌跡為圓

B.若MN=4,則MN的中點尸的軌跡所圍成圖形的面積為2兀

C.若點N到直線881與到直線0c的距離相等，則點N的軌跡為拋物線

D.若AN與所成的角為熱則點N的軌跡為雙曲線

答案：(1)C(2)ACD

解析：(1)根據(jù)題意知，該正方體的內(nèi)切球半徑為廠=遮，如圖.取8B1的中點N,連接CN,則CNLBM,；.CN

為。P在平面8cle8中的射影，.?.點尸的軌跡為過Q,C,N的平面與內(nèi)切球的交線，：正方體ABCD-A1B1C01

的棱長為2通，.二。到過。，C,N的平面的距離為當(dāng)=1,.?.截面圓的半徑為2,.?.點P的軌跡的長度為27tx2=

V5

4兀.

(2)如圖所示，對于A,根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，平面A5CD,所以NMND為MN與平面A8CZ)所成的

角，所以NAfND=E,所以。N=DW=2)r)i=L><4=2,所以點N的軌跡為以。為圓心，2為半徑的圓，故A正

422

確；對于B,在R3MDN中，DN=JMN2~MD2=J42-22=2V3,取的中點E,連接PE,因為「為MN的

中點，所以PE〃DN,且PE=*N=W,因為。MLEO,所以尸E_LE。，即點尸在過點E且與。。垂直的平面

內(nèi)，又尸E=W,所以點尸的軌跡為以值為半徑的圓，其面積為花(舊)2=3兀，故B不正確；對于C,連接

NB,因為33,平面ABC。，所以BBiLNB,所以點N到直線8囪的距離為NB的長度，所以點N到點8的距離

等于點N到定直線CD的距離，又8不在直線C。上，所以點N的軌跡為以8為焦點，CD為準線的拋物線，故C

正確；對于D,以。為坐標原點，DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則A(4,0,

0),B(4,4,0),Di(0,0,4),設(shè)N(x,y,0),則福=(0,4,0),甲=(x,y,-4),因為。iN

與AB所成的角為g所以1cos<荏，O>I=cos=所以「切?=；,整理得莖一1=i,所以點N的

334卜+y2+1621616

軌跡為雙曲線，故D正確.

考向2空間位置關(guān)系的判定

【例4】(多選)已知P,。分別是正方體ABCD-AiSCiA的棱B81，CG上的動點(不與頂點重合),則下列

結(jié)論正確的是()

A.AB1PQ

B.平面8尸Q〃平面ADDiAi

C.四面體ABP。的體積為定值

D.AP〃平面CDDiCi

解析：ABD對于A,'：AB±BC,AB±BBi,BCCBBi=B,BC,BCCiB,,BCC\B1,

平面BCGBi,C.ABLPQ,故A正確；對于B,,平面AO￡>i4〃平面BCCiB,平面8尸。與平面BCGS

重合，平面8尸。〃平面A￡>￡>14,故B正確；對于C,到平面3PQ的距離A2為定值，。到3尸的距離為定

值，2尸的長不是定值，...四面體A2P。的體積不為定值，故C錯誤；對于D,?.?平面AB214〃平面CDAG,

APU平面ABB14,〃平面CODiCi,故D正確.

'C

1

AB

考向3最值（范圍）問題

【例5】（1）已知點M是棱長為2的正方體ABCD-AiBiCQi的棱的中點，點P在平面BCQS所在的平面

內(nèi).若平面。1PM分別與平面A3C。和平面BCCiS所成的銳二面角相等，則點尸與點G的最短距離是（）

A里

52

C.lD.y

（2）在直三棱柱ABC-AiBCi中，AB=AC=V3,BC=AAi=2,點尸滿足而=%屈+G一機）CQ.其中

加e[0,|],則直線AP與平面BCCLBI所成角的最大值為（）

A：B：

64

C.-D.—

312

答案：（1）A（2）B

解析：（1）設(shè)尸在平面ABC。上的射影為尸，M在平面B6GC上的射影為4r（圖略），平面GPM與平面

ABCD和平面BCCiB所成的銳二面角分別為a,P，貝！Icosa=2■絲絲，cos[3=紅也魚.因為cosa=cos0,所以

SDrPMSD±PM

SA。尸M=S^pMq,設(shè)P到CM距離為d,貝嚀XbXd=]lX2,d=W，即點P到Ci的最短距離為雪.

（2）分別取BC,BCi中點。，Di,則。即。平面ABC,連接AD,因為A2=AC,所以

ADLBC,分別以ZM,DB,所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,由已知AD=&,

A（V2,0,0）,B（0,1,0）,C（0,-1,0）,Ci（0,-1,2）,則荏=（0,2,0）,宿=（0,0,

2）,因為前=根赤+（|-m）鬲=（0,2m,3—2〃力，AC=（一夜，-1,0）,AP=AC+CP=（一a，2m

-1,3-2m）,易知平面BCGS的一個法向量是〃=（1,0,0）,設(shè)直線AP與平面BCGS所成角為。，則

0G[0,-],sin0=Icos<n,AP>\=]7t竺]=[四=、?所以〃z=l時，（sin

2|n\\API222

J2+（2m—1）+（3—2m）J8（m-1）+4

0）max=V-即0的最大值是:.故選B.

24

y

?訓(xùn)練

1.在四棱錐尸XBC。中，四邊形A3CD是邊長為2的菱形，ZDAB=60°,PA=PD,ZAP￡>=90°,平面尸4。_1平

面ABCD點。是APBC內(nèi)（含邊界）的一個動點，且滿足DQLAC,則點。所形成的軌跡的長度是.

竺享.迪

解析：如圖，連接2D,交AC于點。，因為四邊形ABCO為菱形，所以AC,2D取PC上一點M,連接ATO,

MB,使得。M_LAC,又AC_LBO,BDCDM=D,所以AC_L平面則點。的軌跡是線段8M.以。為原點，

04所在直線為x軸，。2所在直線為y軸，過點0且垂直于平面A2CD的直線為z軸，建立空間直角坐標系.則。

（0,0,0）,A（V3,0,0）,B（0,1,0）,D（0,-1,0）,P（y,-|,1）,C（一百，0,0）,0A=

（V3,0,0）,前=（當(dāng)，1），玩=（一手，-1），前=（0,-2,0）.設(shè)麗=加+兩=無+瘋

=（苧，1）+一（一手，-1）,0W入W1,則麗=（苧-爭|+|X,1-X）OAVDM,

所以市?麗=0,解得入=%所以詢=(o,|,|),JM=JD+UM=(0,-2,0)+(0,|,|)=(o,-p

I),所以I前I=J(l)2+(I)2=誓，即點。所形成的軌跡的長度為苧.

2.在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1,且平面ABC。，平面ABER彈子M,N分別在正方形對

角線AC,8尸上移動，則MN長度的最小值是.

”索?立

口木?3

解析：N是異面直線AC,8月上兩點，的最小值即為兩條異面直線間距離d：平面ABCOJ_平面

ABEF,ABLBC,平面ABCDCI平面ABEF=A2,平面ABEP,又AB_LBE,則以8為坐標原點可建立如圖

所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0),B(0,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1),：.AC=(-1,0,

1),(1,1,0),通=(-1,0,0),設(shè)異面直線AC,2尸的公垂向量〃=(x,y,z),貝1

(AC-n=~x+z=0,令x=l,則y=—1,z=l,.'.n=(1,—1,1),d=145"1=^=—,即A/N的最小值為

lBF-n=x+y=0,IniV33

1.如圖，斜線段與平面a所成的角為%8為斜足.平面a上的動點尸滿足則點尸的軌跡為()

6

A.圓

B.橢圓

C.雙曲線的一部分

D.拋物線的一部分

解析：B建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)08=04=1,則5(0,1,0),A(0,0,1),P(x,y,0),

y+1

則詬=(0,1,—1),AP=(x,y,-1),所以cosV彳瓦AP>=——=—9即用+公=1,所以

V2-lx2+y2+l23

點尸的軌跡是橢圓.

2.設(shè)動點尸在正方體ABCZKAiBiCQi上（含內(nèi)部）運動，且瓦?=入用，當(dāng)NAPC為銳角時，實數(shù)九的取值范圍

為（）

A.1)B.(1,+8)

C.(0,-)D.(0,-)U(1,+8

解析：C設(shè)AP=尤，D\P=t,正方體的棱長為1,則AC=&,在AAPC中，由余弦定理得COS/APC=>；：:2

22

==，若NAPC為銳角，則式丁>0,則/>1,在AADiB中，AD\=五,cosNA.由=’小一,=名,

x2x22XV2X+V二3，3

在AAQiP中，由余弦定理得/=2+產(chǎn)一2義/></><曰，于是2+於一2></乂/義曰>1,即#-4每+3>0,解得

/〉百或f〈F，由。出=百，故兒>1（舍去）或0<九<，

3.已知正四棱錐尸-ABCD的側(cè)棱長為2,底面邊長為幾，點E在射線上，F(xiàn),G分別是BC,PC的中點，則異

面直線AE與FG所成角的余弦值的最大值為（）

C再

解析：C如圖，連接AC,BD交于O,連接尸。.因為居G分別是RC,PC的中點，所以尸G〃尸2,則AE與FG

所成的角即是AE與PB所成的角，設(shè)AE與P8所成的角為0.由題意知，OA,OB,。尸兩兩互相垂直，分別以

OA,OB,O尸所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則尸（0,0,1）,Z）（0,一百，0）,B（0,V3,

0）,A（V3,0,0）,由無=九而（九20）得E（0,-V3A.,1一九）（X.20）,所以族=（一百，—g,1-

X）,~PB=（0,V3,-1）,所以cos9=I丁I=—產(chǎn)出?.令/⑴=4：\+16N0）,則/（X）

\AE\-\PB\島2_」「2M—4+2

=-3（2A+l）（2A-3）當(dāng)0?九〈三時，f（X）>0,f（X）單調(diào)遞增，當(dāng)九>三時，f（X）<0,f（X）單調(diào)遞減，所以

（2A2-A+2）22

當(dāng)九=1時，/⑴取得最大值，此時cos9也取得最大值￥，故選C.

吠C

03

4.（多選）在正三棱柱ABC-4B1C1中，AB=AAi=l,點P滿足麗=入近+（i兩，其中[0,1],[0,1],

則（）

A.當(dāng)入=1時，△AB/的周長為定值

B.當(dāng)四=1時，三棱錐P-AbBC的體積為定值

C.當(dāng)人用寸，有且僅有一個點尸，使得4尸，2尸

D.當(dāng)產(chǎn)泄，有且僅有一個點P,使得42,平面仍尸

解析：BD麗=入近+曲瓦（OWJiWl,OWpWl）.對于選項A,當(dāng)九=1時，點尸在棱CCi上運動，如圖①所

不，此時△AB1P的周長為ABi+AP+P8i=&++(1—〃)=&+J1+/+J2—2〃+〃2,不是

定值，A錯誤；

圖①

對于選項B,當(dāng)日=1時，點P在棱BiCi上運動，如圖②所示，則％!IBC=LPBC=￡APBCX曰=*AMC=

為定值，故B正確；對于選項C,取2c的中點。，2。的中點。，連接。Di,AiB,則當(dāng)為=

6212

22

涉，點尸在線段由上運動，假設(shè)4尸上2尸，則4尸+8尸=422,即(乎)+(1-)2+(|)+1=2,解得

=0或|1=1,所以點尸與點?；?。重合時，AiPLBP,故C錯誤；對于選項D,易知四邊形422的1為正方形，

所以設(shè)ABi與A出交于點K,連接PK,要使43,平面A6P,需AiB上KP,所以點尸只能是棱CG

的中點，故選項D正確.綜上，選B、D.

圖②

5.(多選)如圖，在棱長為1的正方體A8CQ-481C1O1中，M,N分別為B￡h，81cl的中點，點尸在正方體的表面

上運動，且滿足MPLCN.下列說法中正確的是

A.點尸可以是棱821的中點

B.線段MP的最大值為:

C.點P的軌跡是正方形

D.點P的軌跡長度為2+遮

解析：BD在正方體4BCZX4向GA中，以。為坐標原點，D4所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，所在

直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，：該正方體的棱長為1,M,N分別為BDi,81cl的中點，

(0,0,1),B(1,1,0),M,A?G，1,1),C(0,1,0),：.CN=0,1),設(shè)尸(尤，

y,z),貝廊=(x-pz-|),?:MPLCN,|+z-j=0,即2x+4z-3=0,當(dāng)x=l時，z=

當(dāng)尤=0時，z=2,取E(l,0,i),F(1,1,-),G(0,1,-),H(0,0,-),連接EF,FG,GH,

444444

HE,則而=而=(0,1,0),EH=FG=(一1,0,|),；.四邊形EBGH為矩形，又麗?麗=0,EH-CN=0,

EPEFLCN,EHLCN,又斯和即為平面所GH中的兩條相交直線，；.CALL平面E尸G8,又前=(一|,也

7),MG=(一；，；，；)，為EG的中點，則平面￡砥汨，為使MPLCN,必有點尸6平面瓦68,又點

P在正方體表面上運動，，點尸的軌跡為四邊形瓦'GH,...點尸不可能是棱8修的中點，故選項A錯誤；入EF=

GH=1,EH=FG=^,：.EF豐EH,則點尸的軌跡是矩形不是正方形，且矩形EPGH的周長為2+2義曰=2+

V5,故選項C錯誤，選項D正確；二?點尸的軌跡為矩形EPGX,...當(dāng)尸點在矩形的四個端點時，取得最大

值，且MP的最大值為1故B正確.

4

/：W

6.(多選)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有

()

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

解析：ABD棱長為1m的正方體的內(nèi)切球的直徑為1m,1m>0.99m,所以A符合題意；如圖①，在棱長為1

m的正方體中，正四面體4-80cl的棱長為am,V2m>1.4m,所以B符合題意；因為棱長為1m的正方體上

任意兩點間的最大距離為正方體的體對角線長6m2l.732m,而所以C不符合題意；如圖②，

假設(shè)放入最大的圓柱的上、下底面圓心為尸，Q,設(shè)圓柱底面半徑為rm,底面直徑為dm,連接AQ,如圖③，

在平面ABC。中，過。作QE_LAC,交AS于點E,貝UQE=rm,4。=魚rm,尸。=四一2企廠=(V3-V2J)

m,當(dāng)d=1.2時，P2=V3-V2X1.2?=1.732-1.414X1.2?=0.035m>0.01m,故D符合題意.故選A、B、D.

圾EB、

圖③

7.已知動點P在棱長為1的正方體ABCDA向GA的表面上運動，且PA=r(0<r<V3),記點尸的軌跡長度為了

(r),則/'(1)+/(V2)=.

答案:3兀

解析：如圖，當(dāng)廠=1時，點P在正方體表面上的軌跡分別是以A為圓心，1為半徑的三個面上的三段弧，分別為

BD,玲，砸，則/(I)=3xix27i=—,當(dāng)r=V^時，點P在正方體表面上的軌跡為在平面ABiCi。上以Ai

為圓心，1為半徑的￡6，在平面BiBCG上為以8為圓心，1為半徑的瓦2,在平面DCC1Q1上為以。為圓心，1

為半徑的㈤,則/(應(yīng))=3X；X2n=亨，所以/⑴+/(V2)=亨+岑=3兀

8.在直四棱柱ABCD-AIiGDi中，底面A8CC為正方形，A4i=2AB=2.點P在側(cè)面BCGB內(nèi)，若AiC_L平面

BDP,則點P到CD的距離的最小值為.

答案：孚

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，貝14(1,0,2),C(0,1,0),B(1,1,0),&C=(-1,1,-

2),設(shè)P(x,1,z),而=(x,0,z).由于4CJ_平面加尸，所以［竺竺—1+1+0-0,所以x+2z=

A-1C-DP=~x+1—2z=0,

1.由于沆?標=0,即。尸_LOC,P到CO的距離為IC尸I=(1—2z)+z2=5z2-4z+l,所以當(dāng)

5xX|+1=*即P到CD的距離的最小值為日

9.如圖，在四棱錐S-A8CD中，已知四邊形ABC。為菱形，ZBAD=60°,△SAO為正三角形，平面SAZ)_L平面

ABCD.

(1)求平面SBC與平面A2C夾角的大??；

(2)在線段SC(端點S,C除外)上是否存在一點使得AMLBD?若存在，指出點M的位置；若不存在,

請說明理由.

解：(1)取A￡＞中點O,連接SO,BO,

因為SA=S。，OA=OD,所以SO_LAD,

又因為平面&4。J_平面ABC。，平面SADD平面A8CD=A。，SOU平面SA，所以S。，平面ABC。，

因為0BU平面ABC。，所以S0_L08,

因為BA=BD,OA