新高考數(shù)學一輪復習講義：能力拓展之函數(shù)的綜合應用（原卷版+解析）

能力拓展02函數(shù)的綜合應用

【命題方向目錄】

命題方向一：函數(shù)與數(shù)列的綜合

命題方向二：函數(shù)與不等式的綜合

命題方向三：函數(shù)中的創(chuàng)新題

命題方向四：最大值的最小值問題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）

命題方向五：倍值函數(shù)

命題方向六：函數(shù)不動點問題

命題方向七：函數(shù)的旋轉問題

命題方向八：函數(shù)的伸縮變換問題

命題方向九：v型函數(shù)和平底函數(shù)

【典例例題】

命題方向一：函數(shù)與數(shù)列的綜合

例1.（2023?全國?高三專題練習）己知數(shù)列｛與｝滿足：4+1=/（%），aeN*,工。。是數(shù)列｛%｝的

前100項和，且滿足<100,則不可能是（）

1

A./（x）=x9B.f（x）=x+——2

x

C.f（x）=ex-x-lD./（x）=lnx+%+l

例2.（2023?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛〃“｝滿足：0<弓<；,a"+i=%+ln（2-a“）.則下列說法正確

的是（）

C11,

A.0<。2019<2B.2<%019<1

33

C.1<%019<5D.5<々2019<2

例3.（2023?北京?高三校考強基計劃）已知數(shù)列｛q｝滿足q=gM"M=e""T（"eN*）,其中e=2.71828…，

記T,表示數(shù)列｛4｝的前w項乘積，貝U（）

1

A."wo<5B."loo>1

變式1.（2023?全國?高三專題練習）歐拉函數(shù)。（編（〃eN*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)"，且與"互

素（也稱互質(zhì)）的正整數(shù)的個數(shù)，例如°（1）=1,°（4）=2,夕（9）=6.則（）

A.數(shù)列｛。㈤｝單調(diào)B.。（5）＜°（6）

C.數(shù)歹（]｛°（2"）｝是等比數(shù)列D.0⑹=°（2）+以3）

變式2.（2023?北京?高三強基計劃）已知實數(shù)％e[0,1）.數(shù)列｛%｝滿足對任意的N*,有

*c1

2xn_1,xn_1＜~,

%=1現(xiàn)知%=%⑼，則可能的看的個數(shù)為（）

2x?_1-1,＞—.

A.2021個B.2血_1個C.2202i個口.以上答案都不對

命題方向二：函數(shù)與不等式的綜合

例4.（多選題）（2023?山東濰坊?三模）已知函數(shù)"x）=ei-廣工一sine,實數(shù)。滿足不等式

n

〃2a）+〃a—l）＞0,貝壯的取值可以是（）

A.0B.1C.2D.3

例5.（多選題）（2023?全國?模擬預測）已知了（。=?！?）e,，若正數(shù)滿足/（x）＜y則下列不

等式可能成立的是（）

A.xy<y<lB.l<y<xy

C.y<xy<lD.xy<l<y

例6.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）已知正數(shù)明夕滿足一丁＞馬荔一^,則下

列不等式正確的是（）

114

A.—+—<-----

a/3a+(]

1111

C.Incr+a<In/7+/?D.一e+一a<二+一p

變式3.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）下列不等式成立的是（）

smlIn兀1

A.2<log2(sinl)B.-----<——

兀2.7

「20224+120225+l

D.log43<log65

20223+120224+1

變式4.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（力=尤3+x—sinr,實數(shù)小，〃滿足不等式

/（2m-3n）+/（w-2）>0,則（）

nn+1

A.ra>e"B.—>-------

emm+1

C.In(m-zi)>0D.用2。21<〃2。21

變式5.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）若〃>6>1,則下列不等式中成立的是（）

A.aa>bbB.ab>ba

C.產(chǎn)修>。+6D.Inq<e"

命題方向三：函數(shù)中的創(chuàng)新題

例7.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）取名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲?布勞威爾不動點定理是拓撲學里

一個非常重要的不動點定理.該定理表明：對于滿足一定條件的圖象連續(xù)不間斷的函數(shù)f（x）,在其定義域內(nèi)

存在一點馬，使得/（%）=%,則稱不為函數(shù)/'（力的一個不動點，那么下列函數(shù)具有“不動點”的是（）

A./（x）=|lnx|B.f^x）=JC+2x+\

“f|2x+l|,x<0,、，.

C./（%）=SD./（x）=e+2x

lsinx,x>0'）

例8.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）高斯是德國著名數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有"數(shù)學

王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用印表示不超過尤的最大整數(shù)，則丁=[幻稱為

高斯函數(shù)，例如[-2.1]=-3,[2.1]=2.則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)>=尤-[處在區(qū)間[匕左+1）（AreZ）上單調(diào)遞增

B.若函數(shù)則>="（刈的值域為{0}

e-e

C.若函數(shù)/（x）=|Jl+sin2x—Jl—sin2x|,則y="（創(chuàng)的值域為。1}

D.xeR,x>[x]+l

例9.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）意大利畫家列奧納多?達?芬奇的畫作《抱銀鼠的女子》中,

女士脖頸上黑色珍珠項鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，達?芬奇提出：固定項鏈的兩端，使

其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題后人給出了懸鏈線的

函數(shù)解析式：/（尤）="cosh|jj,其中。為曲線頂點到橫坐標軸的距離，coshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其函

數(shù)表達式為coshx=相應地，雙曲正弦函數(shù)的表達式為sinhx=三匚.若直線x="與雙曲余弦

22

函數(shù)G雙曲正弦函數(shù)G的圖象分別相交于點A,B,曲線G在點A處的切線《與曲線G在點B處的切線/2相

交于點P,則下列結論正確的為（）

A.cosh（x-y）=coshxcoshy-sinhxsinhy

B.y=sinhxcosh尤是偶函數(shù)

C.（coshx）'=sinhx

D.若一R4B是以A為直角頂點的直角三角形，則實數(shù)％=0

變式6.（多選題）（2023?重慶永川?高三重慶市永川北山中學校?？奸_學考試）中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容

體現(xiàn)了數(shù)學的"對稱美"，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一

種相互轉化，相對統(tǒng)一的和諧美，定義：圓。的圓心在原點，若函數(shù)的圖像將圓。的周長和面積同時等分

成兩部分，則這個函數(shù)稱為圓O的一個"太極函數(shù)"，則（）

A.對于圓O,其"太極函數(shù)”有1個

B.函數(shù)/'（"=I"丁（："°入是圓0的一個"太極函數(shù)"

-x-x（x<0）

C.函數(shù)/（力=丁-3彳不是圓。的"太極函數(shù)"

D.函數(shù)〃尤）=ln（77W+x）是圓O的一個"太極函數(shù)"

變式7.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)概念最早是在17世紀由德國數(shù)學家萊布尼茨提出的，

后又經(jīng)歷了貝努利、歐拉等人的改譯.1821年法國數(shù)學家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著一定的

關系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他的變

數(shù)叫做函數(shù).德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴謹.后人在此基礎上構建了高中教材中

的函數(shù)定義："一般地，設A3是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應法則了,對于集合A中的每一個元素X,

在集合8中都有唯一的元素y和它對應，那么這樣的對應叫做從A到8的一個函數(shù)下列對應法則了滿足

函數(shù)定義的有()

A./(卜_2|)=尤B./(x+l)=x2+2x

D./(/+2%)=|%+1]

c-

變式8.(多選題)(2023?福建三明?高三三明一中校考階段練習)若存在直線丁=履+3使得函數(shù)尸(力和

G(力對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足歹(%)>kx+b>G(x),則稱此直線工丘+匕為尸(%)和G(x)

的“隔離直線〃，已知函數(shù)/(X)=X2(X￡R),g(x)=-(x<0),"(%)=2elnx,下列命題為真命題的是()

x

F(x)=〃x)_g⑺在L，o]

A.內(nèi)單調(diào)遞增

B.和g(x)之間存在"隔離直線”,且6的最小值為-5

C.和g(x)之間存在"隔離直線"，且上的取值范圍是[T0]

D.和〃(力之間存在唯一的"隔離直線"y=2瘋-e

變式9.(多選題)(2023?江蘇常州?高三江蘇省前黃高級中學?？茧A段練習)意大利著名畫家列奧納多?達?芬

奇(1452.4—1519.5)的畫作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上懸掛的黑色珍珠項鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出

不一樣的美與光澤，有人曾提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是

什么？這就是著名的“懸鏈線問題"，后人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式/(x)=acosh5,其中。為懸鏈線系數(shù),

coshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其表達式為coshx==J(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，下同)，相應地，雙曲正

弦函數(shù)的表達式為sinhx=三匚.若直線％=皿機eR)與雙曲余弦函數(shù)G和雙曲正弦函數(shù)C?分別相交于

A,B,曲線G在點A處的切線與曲線C?在點B處的切線相交于點尸，則下列結論中正確的是()

A.cosh2x+sinh2x=lB.cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy

C.怛外隨機的增大而減小D.X4B的面積隨優(yōu)的增大而減小

命題方向四：最大值的最小值問題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）

4

例10.（2023?浙江?高一期中）已知函數(shù)〃X）=ax+t+6（a力eR）在區(qū)間［1,4］上的最大值為〃，當M

取到最小值時則a+b2=.

例11.（2023?上海?高一專題練習）對于實數(shù)a,beR,函數(shù)〃尤）=水+g+b在區(qū)間xe［l,2］上的最大

值記為M（a,6）,M（a,b）的最小值為.

例12.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)=-4+2K一磯,當xe［0,4］時，/（%）

的最大值為M（a,b）,則的最小值為.

變式10.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)”力=,-4+段-磯當xe［O,2］,〃x）的最大

值為M（a,b）,則M（a,b）的最小值為

變式11.（2023?全國?高三校聯(lián)考階段練習）設函數(shù)/（力=卜3-6/+6+6］,若對任意的實數(shù)。和匕，總

存在修目0,3］,使得/（不）2加，則實數(shù)機的最大值為.

變式12.（2023唉國?高三專題練習）設函數(shù)〃x）=^-+ax+b，若對任意的實數(shù)。和實數(shù)b,總存在,

使得了（不）上切，則實數(shù)機的最大值是.

變式13.（2023?山東?高三校聯(lián)考競賽）設函數(shù)/U）=x2+如+b,對于任意的a,beR,總存在々［0,4］,

使得"⑺I..加成立，則實數(shù)m的最大值是.

變式14.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（力=|/+依+”在區(qū)間［0,4］上的最大值為m，當實數(shù)a,

方變化時，/最小值為當M取到最小值時，a+b=_.

命題方向五：倍值函數(shù)

例13.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)〃x）的定義域為，若存在閉區(qū)間［?；厥沟煤瘮?shù)/（x）滿

足：①“X)在,，國內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②“X)在。句上的值域為［2a,2句,則稱區(qū)間(，目為y=/(x)的"倍

值區(qū)間”.下列函數(shù)中存在"倍值區(qū)間"的有.

①/(工)=/(轉0)；②〃x)=3工(xeR)；

③〃力=上心0)；④〃x)=W(xeR).

例14.(2023泗川綿陽高一綿陽中學實驗學校校考期中)函數(shù)“X)的定義域為。，若存在閉區(qū)間［。肉U。，

使得函數(shù)滿足：①〃x)在，，句內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在卜,句上的值域為［2。,2可，則稱區(qū)間,,可為

，="X)的"倍值區(qū)間”.下列函數(shù)中存在"倍值區(qū)間"的有

①/(x)=x2(xZ0)②〃x)=e，(xeR)③/(加手/訓

X+1

例15.(2023?寧夏?統(tǒng)考模擬預測)函數(shù)/⑴的定義域為。，若存在閉區(qū)間［凡切=。，使得函數(shù)了⑺滿

足：①,⑺在他,切內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②/⑴在團,田上的值域為3,2句，則稱區(qū)間團,切為y=/(x)的"倍值區(qū)

間"，下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間"的函數(shù)有(填序號).

①/(x)=f(xzo)；

②/(x)="(xeR)；

x—4x

③/(尤)=下一;(尤20)；

X+1

④/(x)=loga(a'-1)(a>0,aw1)

o

變式15.(2023?山東臨沂?高三階段練習)函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在閉區(qū)間［a,b］UD,使得函數(shù)/(x)

滿足：

(1)/(X)在［a,b］內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；

(2)fO)在［a,b］上的值域為［2a,2b］,則稱區(qū)間［a,b］為y=f(x)的“和諧區(qū)間

下列函數(shù)中存在"和諧區(qū)間"的是(只需填符合題意的函數(shù)序號).

1Jr

①/(x)=/(xN0)；②/(x)="(xwR)；③/(元)=一(》>0)；(4)/(%)=—~-(x>0).

xx+1

變式16.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)“尤)的定義域為￡>,若存在閉區(qū)間［。，句使得函數(shù)〃x)

同時滿足：⑴〃尤)在［4,以內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(2)/(尤)在心,可上的值域為［如祐］(左>0),則稱區(qū)間,,以為

“X)的"左倍值區(qū)間”.下列函數(shù)：①〃x)=lnx；②〃力=?尤>0)；③,f(x)=x2(xZ0)；④

/(X)=金(04x41).其中存在“3倍值區(qū)間"的序號為.

變式17.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?高一統(tǒng)考期末)函數(shù)的定義域為D,若存在閉區(qū)間。仁。，使得函

數(shù)〃x)滿足：①f(x)在心,句內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②f(x)在,,可上的值域為［凡句，則稱區(qū)間,,可為y=〃x)的

"等值區(qū)間"?下列函數(shù)中存在"等值區(qū)間”的有.

◎(%)=必

鈾力=2,

(ly(x)=sinx

命題方向六：函數(shù)不動點問題

例16.(2023全國高三專題練習)設。是函數(shù)y=定義域內(nèi)的一個區(qū)間，若存在x。e￡>,使〃尤°)=-%,

則稱與是的一個"次不動點"，也稱在區(qū)間D上存在"次不動點"，若函數(shù)/(尤)=a？-3x-a+1■在

區(qū)間［1,4］上存在"次不動點"，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.弓，+8)B.(-8,JC.(--0)D.(0,1)

例17.(2023?全國?高三專題練習)若存在一個實數(shù)f,使得/(二)=/成立，則稱f為函數(shù)尸(x)的一個不

動點.設函數(shù)g(x)=e*+(l-&)x-a(aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù))，定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足

/(-x)+/(x)=x2,且當x40時，廣(%)<%.若存在不€卜|/0)+；,,/(1-幻+j，且與為函數(shù)g(x)的一

個不動點，則實數(shù)。的取值范圍為()

(「八)(&廠］］&1

A.-oo,—B.一,+℃C.—"D.一,+?

2222

\JL7I」\7

例18.(2023?全國?高三專題練習)設函數(shù)f(x)=ln尤+gx-a(aeR),若存在be［l,e］(e為自然對數(shù)的底

數(shù))，使得/'(70))=心，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.B.l--,ln2-l

2

C.-g,ln2-1

D.

2

變式18.（2023?全國?高三專題練習）設函數(shù)gO）=lnx+3x-a（aeR）,定義在R上的連續(xù)函數(shù)/（x）使

得y=/（x）-x是奇函數(shù)，當x<0時，/（x）<l,若存在/w{x"（無）+2W/（2-x）+2x},使得g[g（x（））]=%,

則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.[1,+oo）B.[2,+co）C.[e,+?）D.[3,+?）

變式19.（2023?河北衡水?河北衡水中學?？级＃┰O函數(shù)g（x）=eX+3x-a（aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù)）,

定義在R上的連續(xù)函數(shù)〃x）滿足：Z（-x）+/（x）=x2,且當x<0時，f\x）<x,若存在

x0e{x|/（x）+2>/（2-x）+2x）,使得g（g（x（）））=尤0,則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.[-<?,^+-\B.（^x）,e+2]C.I-oo,e+—

命題方向七：函數(shù)的旋轉問題

例19.（2023?上海浦東新?高三上海師大附中校考階段練習）函數(shù)/（無）=的圖象繞著原

點旋轉弧度6（。<。4萬），若得到的圖象仍是函數(shù)圖象，則夕可取值的集合為.

例20.（2023?上海靜安?高三上海市第六十中學?？茧A段練習）函數(shù)/（X）=A/§X+L（X>0）的圖象繞著坐標

X

原點旋轉。（。<6<2萬）弧度，若仍是函數(shù)圖象，則e可取值的集合為

例21.（2023?全國?高三校聯(lián)考階段練習）將函數(shù)y=lnx的圖象繞點（0,-1）逆時針旋轉。*0名后

與>軸相切，則。=.

變式20.（2023?高一課時練習汜知函數(shù)于（x）=-（%>0）,若將函數(shù)圖像繞原點逆時針旋轉a角（0<夕<"）

X

后得到的函數(shù)y=g（x）存在反函數(shù)，則。的取值集合是

變式21.（2023?全國?高三專題練習）設函數(shù)丫=；為-1+；為-2+1.

（1）該函數(shù)的最小值為；

（2）將該函數(shù)的圖象繞原點順時針方向旋轉角e（owew1）得到曲線c.若對于每一個旋轉角e,曲線c都

是一個函數(shù)的圖象，則。的取值范圍是.

變式22.（2023?全國?高三專題練習）設D是含數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在D上的函數(shù).

⑴若了（尤）的圖象繞原點逆時針旋轉]后與原圖象重合，則/⑴（填是或否）可能為1.

（2）若/（X）的圖象繞原點逆時針旋轉￡后與原圖象重合，則/（1）可能取值只能是.

6

①6②與③與④0

命題方向八：函數(shù)的伸縮變換問題

例22.（2023?天津北辰?高一天津市第四十七中學?？计谥校┒x域為R的函數(shù)“X）滿足f（x+2）=2/（尤），

x2—X,XE[0,1）

當工￡[0,2]時，/（%）=1…、八，若工￡[4,6]時，2-4恒成立，則實數(shù)/的取值范圍是

—（%—2）,x￡[1,2]

sinTLX,0<x<2

例23.（2023?全國?高三專題練習）對于函數(shù)〃x）=<下列5個結論正確的是

①任取Q[0,+co），都有|〃%）-f（x2）\<2.

②函數(shù)>=AM在區(qū)間[4,5]上單調(diào)遞增；

③/（x）=2Ex+2k）也6N*）對一切尤e[0,+8）恒成立；

④函數(shù)y=/（x）Tn（x-l）有3個零點；

⑤若關于x的方程f（x）=m（m<0）有且只有兩個不同實根占,三，則%+3=3.

cos27tx,xe[0,1）

例24.（2023?全國?高三專題練習）對于函數(shù)/（尤）=1.、，下列5個結論正確的是

⑴任取和/e[0,4w）,都有|/（陽）-/（%）歸2；

（2）函數(shù)y=〃x）在1,3上嚴格遞減；

（3）〃x）=2*"x+A）（左?N*）,對一切xe[0,+oo）恒成立；

（4）函數(shù)y=/（x）+ln（x-l）有3個零點；

（5）若關于x的方程=m有且只有兩個不同的實根毛，巧，則玉+々=1.

sinroc,xe[0,2]

變式23.(2023?北京?高三北京二中校考開學考試)對于函數(shù)/(尤)=1...、，下列4個結

5〃X-2)”(2,+8)

、乙

論正確的是.

①任取為,/e[0,+oo),都有|〃西)-〃龍2)歸2；

②/(x)=2妙(x+2口(々eN*),對一切XW[0,~H?)恒成立;

③若關于尤的方程/(X)=m(m<0)有且只有兩個不同的實根外,三,則%+9=3；

④函數(shù)>=/(x)-ln(x-l)有5個零點

sin7TX,0W尤W2

變式24.(2023?全國?高三專題練習)對于函數(shù)/(尤)=1”小、，下列五個結論中正確的是________.

一j(x—2),x>2

、2

3

(1)任取占,尤2e[l,+8),都有|/(占)-/(無2)區(qū)5;

⑵/出+U+/&+2力=2-，其中丘N；

(3)f(x)=2kf(x+2()(>eN*)對一切xe[0,+8)恒成立；

(4)函數(shù)y=/(x)-In(x-l)有3個零點；

(5)若關于x的方程/(x)=m(m<0),有且只有兩個不同的實根毛、了2，則無i+%=3.

變式25.(2023?北京東城?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=2'

W(2)=.

(〃)若方程/(尤)=：%+。有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是.

變式26.(2023?北京東城?北京市第五中學?？寄M預測)設函數(shù)/(x)的定義域為R,滿足/(尤+1)=

Q

2f(x),且當(0,1]時，/(x)=2N-2x.若對任意(-8,m],都有/(%)N-“則相的取值范

圍是.

變式27.(2023?安徽黃山?高一屯溪一中?？计谥?設函數(shù)/(力的定義域為R,滿足/(x+l)=2/(x),

且當xe(O/]時，/(x)=x(l-x).若對任意xe(ro,間,都有了⑺二，則機的取值范圍是.

O

變式28.（2023?高一單元測試）已知函數(shù)/（x）定義域為R,對于任意的x都有/（尤+4）=3/（x）,當無注-2,2]

-flt+11

——x￡r—20]

時，/（尤）=⑴’，則f（4）=；若當—2,6]時，/⑺2〃一書恒成立，貝Ijt的取值范

|lgx|,xe（0,2]

圍是.

命題方向九：V型函數(shù)和平底函數(shù)

例25.（上海市金山區(qū)2023屆高三上學期一模（期末教學質(zhì)量檢測）數(shù)學試題）若

/（x）=|x+l|+|x+2|++\x+2020|+|-X—l|+|x—2|++\x—20201,xeR,且/（。?―3a+2）=f｛a—V）,

則滿足條件的所有整數(shù)〃的和是.

例26.（上海市建平中學2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試題）已知等差數(shù)列｛%｝滿足：

\al\+\a214-----卜||=|4+11+14+11T-----卜|4+11=|%—11+1a2-1H----1|a”-11=2021,則正整數(shù)〃的最大值為

例27.（上海市上海中學2022-2023學年高三上學期期中數(shù)學試題）｛%｝為等差數(shù)列，則使等式

|%|+|%|+,+|。0|=1%+i|+|%+1|++1+1|

=|%+2|+&+2|+.+腐+2|=何+3|+&+3|++同+3|=2018能成立的數(shù)列｛4｝的項數(shù)〃的最大值為

變式29.（浙江省溫州市蒼南縣樹人中學2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題）等差數(shù)列｛4｝滿足：

|。1|+同+圖+?+1a2O2o|=|%-1|+|4-1|+…+1a2020-1|=|4+R+|%+1|+|%+,++|%02（）+1|，則其公

差d的取值范圍為.

變式30.（2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學（浙江卷精編版））已知。eR,函數(shù)

4

f（x）=x+---a+a在區(qū)間[1,4]上的最大值是5,則a的取值范圍是

變式31.（上海市控江中學2022-2023學年高三上學期12月月考數(shù)學試題）｛4｝為等差數(shù)列，則使等式

|++|%J=+1]=+3]+3|+.+

\an+31=1^+51+1^+51++|??+5|=2019能成立的數(shù)列｛%｝的項數(shù)〃的最大值是.

能力拓展02函數(shù)的綜合應用

【命題方向目錄】

命題方向一：函數(shù)與數(shù)列的綜合

命題方向二：函數(shù)與不等式的綜合

命題方向三：函數(shù)中的創(chuàng)新題

命題方向四：最大值的最小值問題(平口單峰函數(shù)、鉛錘距離)

命題方向五：倍值函數(shù)

命題方向六：函數(shù)不動點問題

命題方向七：函數(shù)的旋轉問題

命題方向八：函數(shù)的伸縮變換問題

命題方向九：v型函數(shù)和平底函數(shù)

【典例例題】

命題方向一：函數(shù)與數(shù)列的綜合

例1.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列｛?！埃凉M足：ai=~>%+i=/(4)，?eN,,九。

是數(shù)列｛凡｝的前100項和，且滿足則不可能是()

A./(x)=x2B./(x)=x+--2

X

C.f(x)=ex-x-lD.f(x)=lnx+x+l

【答案】D

O1

【解析】對于A,因為/(x)=Y,所以4包=(%)一，又q=5,所以數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，

因此有品>0<1004=50<100,故符合題意；

對于B,f(x)=x+~-2,可得a“+i=”“+^■—2,

xan

因為4=；，所以%=；+2-2=；,以此類推得a“=g,所以%。=50,故符合題意；

對于C,f(x)=ex-x-1,貝!J/(幻二?尢—1,Ovxvl時，/(x)=ex-l>0,

函數(shù)〃尤)在(0,1)單調(diào)遞增，所以0=/(0)</(x)=e'-x-l<AD=e-2<l,

又q=g,—=/(%),〃eN*,所以所以有工皿<100,故符合題意；

對于D,因為/(x)=lnx+x+l,所以尸(無)=工+1,所以尤>0時，y,(x)=-+l>0,

XX

函數(shù)〃尤)在(0,+8)上的遞增函數(shù)，又%=Tn2+；+le(0.8,0.9),

a3=lna2+a2+l>a2+2-->1.55,以此類推得幾。>100,不符合題意，

故選：D

例2.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列｛%｝滿足：。"+1=%+ln(2—a“).

則下列說法正確的是()

C11,

A.0<a2019<—B.—<<22oi9<1

,33c

C.1<“2019<]D.5<°2019<2

【答案】B

【解析】設f(x)=x+ln(2-x)(0<x<2),

11_V-

回尸(幻=1一。=。(0(尤<2)，

當用勾>。時,#0<%<1；則〃x)在(0,1)單調(diào)遞增，

當((無)<0時，l<x<2,則函數(shù)在(1,2)上單調(diào)遞減，

>/(x)</(l)=l,可得%<1,

^an+l-a?=ln(2-a?)>0,即數(shù)列｛。"｝為單調(diào)遞增數(shù)列，

X/(O)=ln2=lnV4>lnVe=1,a2=/(^)>/(0)>1,

根據(jù)數(shù)列｛%｝單調(diào)性可得：0<q<：<的</<…<氏<<1，吟<。2019VL

故選:B.

fl1

例3.(2023?北京?高三?？紡娀媱?已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,G?+I=e"-(?eN*),其

中e=2.71828…，記[表示數(shù)列｛4｝的前”項乘積，貝U()

1,

A."io。<—B.4oo>1

【答案】C

11-1/、

【解析】因為％=巳40,1),g=62e(0,l),依次有

而an+i~an=e%~-%,設g(X)=e*T-x,xe(0,1),

則g，(x)=e1-1<0,故g(x)為(0,1)上的減函數(shù),

故g（X）>g（l）=。即e、i>x,故見+i>%.

又因為e~”>1+1-%=2-g，故4+i=占<一一1,1

進而1--------<1+--,

e/一%1-an+l1_an

故"一一\<1，所以』<2+("l)xl="+l,所以a〈二.

1一%+11一%!-??M+1

112991

XXX=

因此石-=?1<0100<1,0<7^9<23^'JOO100，

故選：C.

變式1.（2023?全國?高三專題練習）歐拉函數(shù)。（?。ā╡N*）的函數(shù)值等于所有不超過正

整數(shù)”，且與幾互素（也稱互質(zhì)）的正整數(shù)的個數(shù)，例如0（1）=1,。（4）=2,0（9）=6.則

（）

A.數(shù)列｛0⑺｝單調(diào)B.0（5）<。⑹

C.數(shù)歹?。?"）｝是等比數(shù)列D.必6）=°（2）+。⑶

【答案】C

【解析】以3）=2,以4）=2,9（"）不單調(diào)，A錯;

0（5）=4,0（6）=2片0（2）+°（3）=3,B錯誤；D錯誤；

易知所有偶數(shù)與2"不互素,所有奇數(shù)與2■互素,O（2"）=2"T,火2向）=2",

所以=即數(shù)列加（2"）｝是等比數(shù)列,C正確.

故選：C.

變式2.（2023?北京?高三強基計劃）已知實數(shù)/e2,1）.數(shù)列｛七｝滿足對任意的〃eN*,

2X?_PVI

有%=］現(xiàn)知%=%⑼，則可能的％的個數(shù)為（）

2X,T>—.

A.2021個B.a?。'—1個C.22°21個D.以上答案都不對

【答案】B

二1

2x,x<—,

【解析】考慮函數(shù)/（尤）=21的迭代函數(shù)工（X）的圖象與直線y=x的公共點，則所

2x—1,x之一

12

求％的個數(shù)即力⑼（X）的圖象與直線y=x的公共點個數(shù).

遞推可得所求％的個數(shù)為2?必-1個.

故選：B.

命題方向二：函數(shù)與不等式的綜合

例4.(多選題)(2023?山東濰坊?三模)已知函數(shù)/(x)=e'T-ei+—sin萬龍，實數(shù)。滿

71

足不等式/(2a)+/(a-1)>0,則〃的取值可以是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】CD

【解析】因為/(無)=17-小，+女sinitr,

71

???、

所以/(2—x)=-e"T+—sin兀(2-x)=eKx-e^1——sinTLX=-/(x),

7171

所以〃尤)關于(1,0)對稱，

-⑺=e^1+e1-x+2cos7tx>2ve^1-e1-x+2COSTLX=2+2COSTLX，

當且僅當e'T=ex-x,即x=1時等號成立，

又因-2W2cos7ctV2,所以廣(x)20恒成立，則了⑺是增函數(shù)，

因為〃2a)+/(a-l)>0,所以/eaA-ySTn/G—a),

則2a>3-a=a>1.

故選：CD.

例5.(多選題)(2023峻國?模擬預測)已知2)e,，若正數(shù)蒼y滿足

則下列不等式可能成立的是()

A.xy<y<lB.l<y<xy

C.y<xy<\D.xy<l<y

【答案】ABC

【解析】/(r)=(r-2)e\.-.r(z)=(r-l)et,

當心(0,1)時,r⑺<0；當te(i,+8)時，r(?)>o；

.??/⑺在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；

對于A,若孫<y<l,由％>0,y>0可得：0<x<l<—,

y

H1131i

右x=2y二萬，貝<o

y

即A可能成立，A正確;

對于B,若l<y<孫，由］>0,丁>?？傻茫骸?lt;一<1<%,

y

114fO5-9-

若7="xg則比卜『<0,“尤）=一聲<0,

./W

15,.?./（x）</l-l,即B可能成立，B正確;

對于C,若y<w<l,則又〃。在（L+s）上單調(diào)遞增,

即C可能成立，C正確;

對于D,若孫<l<y,則0<X<"<1,又廣?）在（0,1）上單調(diào)遞減,

.-./（x）>/Qy即D不可能成立，D錯誤.

故選：ABC.

例6.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）已知正數(shù)。，￡滿足

,則下列不等式正確的是（)

2a+sina2/?+sin/?

114

A.—+—<-----B.2?+i>2

apa+/3

1111

C.Ina+a<In乃+尸D.一+—一

a<Ur+§

【答案】BD

【解析】因為正數(shù)。，A滿足—>右京一而而，

]

所以e“一構造函數(shù)/(%)=ex--———,%>0,

2a+sina2月+sin力2x+sinx

令g（%）=2x+sinx,g'（x）=2+cosx>0恒成立，所以g（x）在（0,+⑹上單調(diào)遞增，

由復合函數(shù)的單調(diào)性可知g（%）=-「一在（。,+8）上單調(diào)遞增,

所以〃x）=e=1.在（0,+s）上單調(diào)遞增,由〃。）>〃?），可得￡>#>0,

對于A,(工+1](々+￡)=2+3+2>2+2、居花=4,所以，+故A錯誤;

(a0)'7{3a\/3aa/3a+13

對于B,由a>，>0,可得a-￡+1>1,所以2ss乜>2，故B正確；

對于C,由a>，>0,可得lna>ln￡,則lna+c>ln，+，，故c錯誤；

對于D,由e>”。，可得e“>e”。，”所以/</，所以/+%</+］故

D正確.

故選：BD.

變式3.（多選題）