空間向量及空間位置關(guān)系講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義立體幾何與空間

向量之空間向量及空間位置關(guān)系

一'知識點講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)

i.空間向量的三個定理

共線向量

'一對空間任意兩個向量a,b（bWO）,“〃族瘠在A,GR,使①a=kb.

定理

共面向若兩個向量a，5②不共線，則向量p與向量a,，共面u存在唯二的有序

量定理實數(shù)對（x,y）,使③O=xa+yb.

如果=不向量a,5，c不共面，那么對任意二個空間向量p,存在唯一的有

…序?qū)崝?shù)組（尤，y，z）,使得p=@xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空間的一

空間向量

個基底.

基本定理

注意（1）空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.

（2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.

規(guī)律總結(jié)

應(yīng)用共線（面）向量定理證明點共線（面）的方法

2.空間向量的坐標運算

設(shè)。=（ai，ai，々3），b=（bi，bi,63），則

（1）〃土）=（防±仇，〃2±岳，。3±萬3）；

（2）九。=（九的，九〃2，筋3）（九￡R）；

(3)=@〃協(xié)1+。2。2+。3。3；

(4)a//b^a=Xb(8W0)〃=肪1，〃2=肪2，3=肪3(=￡R)

(5)仍=0u?+0262+4303=°；

(6)IaI=7aa=|研+境+詆;

--a

(7)cos<a,ab_a1fo1+a2^2l3^3

1allftI荷+.+吟荷+g+必

規(guī)律總結(jié)

空間兩點間的距離及中點坐標公式

設(shè)點A（xi,yi,zi）,B（X2,y2,Z2）是空間中兩點，則

、/~2~22

(1)AC=⑧J(，］一也)+("一竺)+(Z：—z?):

(2)線段A8的中點坐標為(然這，左J,夸).

3.直線的方向向量和平面的法向量

女謨表示非零向量?的曲殘段所在直gWI平行或重茶貝I標向

直線的方向向量

量。為直線/的方向向量.

直線—a,取直殯I的方詞量m項向量a叫做平面a的法向量.一個

平面的法向量

平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量.

思維拓展

確定平面法向量的方法

(1)直接法：觀察是否有垂直于平面的直線，若有，則此直線的方向向量就是平面的法向

量.

(2)待定系數(shù)法：建立空間直角坐標系，找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量，如

a—(tzi,a2,的)，b=(仇，歷，①)，設(shè)平面的法向量為"=(x,y,z),則

T?'Cl—0

-'解方程組，取其中的一組解，即得平面的一個法向量.

{nb=0,

注意n=(0,0,0)不能作為法向量.

方法技巧

向量的叉乘運算得出的是與。，方垂直的向量，所以可以利用叉乘計算平面的法向

量，運算法則如下：

i,j,4分別表示％,y,z軸正方向的單位向量，a=(xi,yi,zi),b=(忿，”，Z2),則

ijk

aXb=jqy1Zi=(yiZ2-y2Zi)i~(X1Z2—X2Z1)j+(xim—X2_yi)k=(%Z2—"zi,

%272Z?

—XIZ2+X2ZI,%1丁2一X2%).

4.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向重表示

直線/1，/2的方向向量分別為lx//h〃1〃〃2田1=九%2（入￡R,入WO）

ni，幾2./1-L/2J_〃2=l〃2=0

直線/的方向向量為"，平面I//a"?〃=（）

a的法向量為m./_Lan//m<^n=Xm（入￡R,入WO）

a//pn//（九￡R,九WO）

平面a,P的法向量分別為

a±P_L/n<=?mn=O

二'基礎(chǔ)題練習(xí)

1.下列說法正確的是(C)

A.直線的方向向量是唯一確定的

B.若直線a的方向向量和平面a的法向量平行，則。〃a

C.若兩平面的法向量平行，則兩平面平行

D.若直線a的方向向量與平面a的法向量垂直，則a〃a

2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC的一個法

向量的是(C)

A.(-1,1,1)B.(1,-1,1)

D.(-,—,

333

3.在空間直角坐標系中A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),。(尤,

y,z)(x,y,zGR)若A,B,C,。四點共面，貝I］(A)

A.2x+y+z=lB.x+y+z=0C.x—y+z=-4D.x+y—z=0

4.已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a成60。夾角的是(B)

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)

5.［教材改編］己知"=(3,a+b,a-b)(a,bGR)是直線/的方向向量，〃=(1,2,

3)是平面a的法向量.若/〃a,則。與b的關(guān)系式為5a—6+3=0；若/La,則a+6=

6.

解析由題意可知，若/〃a,則“?〃=(),即3+2(a+6)+3(a—b)=0,整理得5a—b

+3=0.

若/_La,則存在實數(shù)九，使得"=坂，即(3,a+b,a~b)=九(1,2,3),則

3=4,僅=3,

15

a+b=2A,解得彳。=萬，則a+Z?=6.

a~b=3A,\b=—|,

三'知識點例題講解及方法技巧總結(jié)

命題點1空間向量的基本定理

例1(1)已知空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,且有存=x6<+y礪+z而

(x,y,zGR),則x=2,y=—3,z=2是P,A,B,C四點共面的(A)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

解析由題可知，要使尸，A,B,C四點共面，則需x+y+z=l.當(dāng)尤=2,y——3,z=2時

滿足條件，所以x=2,>=—3,z=2是尸，A,B,C四點共面的充分條件；反之，當(dāng)四點

共面時，只要x+y+z=l即可，不一定要取x=2,y=~3,z=2,所以x=2,y=~3,z

=2不是尸，A,B,C四點共面的必要條件.故x=2,y=—3,z=2是尸，A,B,C四點共

面的充分不必要條件.

（2）在平行六面體ABC。一AiBiCid中，M為AiG與BA的交點，若荏=eAD=b,

AA［=c,則下列向量中與兩相等的向量是（B）

A.-a+-ft+cB.——-a-\--b-\-c

2222

C.--a--/>+cD.-a--Z>+c

2222

解析如圖，在平行六面體ABC。一AiSCid中，〃為4G與Bid的交nc

A

點，故不而=之（4血+&。;）=1+|瓦故麗=瓦?+珂+可標='u\r

—ABAA1-\--a-\--b=-a+c+工a+~=--a+-Z>+c,故選B.'

方法技巧

1.證明空間四點共面的方法

（1）利用共線向量定理；（2）利用共面向量定理.

2.空間基底的要求是不共面的三個向量.

訓(xùn)練1［多選］如圖，在四面體E48c中，以下說法正確的有（ABC）人

A.若而=:照+|同，則阮=3而/\

B.若。為△ABC的重心，則而三通+上麗+2玩\

C.若PZ麗=0,PC-AB^O,則麗.衣=0"

D.若四面體PA2C各棱長都為2,M,N分別為PA,8C的中點，則I而I=1

角星析對于A,<而=］而+|荏，：.3AD=AC+2AB,：.2AD~2AB=AC-AD,：.2BD

=~DC,則3麗=麗+反=阮，即3麗=就，故A正確；

對于B,:。為AABC的重心，則而+設(shè)=0,：.3PQ+QA+QB+QC=3PQ,

：.(.PQ+QA')+(PQ+QB)+(,PQ+QC)=3而，則或+而+麗=3而，即而=

-~PA+-PB+-~PC,故B正確；

333

對于C,若P1就=0,PCAB=0f則瓦1就+而?樂=0,：?前前+同.(AC+CB)=

0,：.PA-BC+PC-AC+PC-CB=O,即.尻+而米—玩麗=0,；.(.PA~PC')-BC+

PC-AC^O,：.CA-BC+PCAC^0,則前?方+而?前=0,：.AC-(,PC+CB)=0,即

ACPB=0,故C正確；

對于D,連接PN,VM/V=P]V-PM=|(PB+PC)(.PB+PC-PA'),

INBPCPAI=-IPAPBPCI,

:.\J\=-2\J+2---

又IPA-PB-PCI2=PA2+7B2+PC2~2PA-'PB-2PA-PC+2PC-'PB=22+22-+22-

2X2X2X|-2X2X2X|+2X2X2X|=8,IMWI=V2,故D錯誤.故選ABC.

命題點2空間向量的坐標運算

例2(1)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且(c—a)?

(2b)=~2,則x=2,

解析c—a=(0,0,1—x),(c—a)?(2b)=(0,0,1—x)-2(1,2,1)=2(1—

x)=-2,解得了=2.

(2)如圖，已知直三棱柱ABC—AiSG中，CA=CB=1,N5c4=90。，棱c

AAi=2,N是4A的中點，貝II麗I=V3,cos<西，西>=_

瓢N園

解析如圖，以C為原點，CA,CB,的方向分別為尤，y,Z軸正方向建

立空間直角坐標系Cxyz.依題意得8(0,1,0),TV(1,0,1).

/.IBNI=J(1-0)+(0-1)+(1-0)=V3.

依題意得Ai(1,0,2),C(0,0,0),Bi(0,1,2).

.,.西=(1,-1,2),鬲=(0,1,2),

.?.瓦;西=3,I西I=V6,I函I二遮

V30

cos<Fi4,CB>=

1rIBAIII西I10’

方法技巧

空間向量的概念以及空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運算及其坐標表示是平面向量的類

比推廣.

訓(xùn)練2(1)［多選］已知空間向量a=(2,-2,1),b=(3,0,4),則下列說法正確

的是(BC)

A.向量c=(-8,5,6)與a,分垂直

B.向量d=(1,—4,—2)與a,6共面

C.若。與方分別是異面直線"與/2的方向向量，則A與/2所成的角的余弦值為:

D.向量。在向量入上的投影向量為(6,0,8)

解析對于A選項，ac=-16—10+6W0,bc=124+24=0,故c與〃不垂直，A錯;

對于B選項，設(shè)〃=機。+〃瓦則加(2,-2,1)+n(3,0,4)=(1,-4,—2),

2m+3n=1,，

I272,=2

—2m——4,解得，即2〃一b=d,B對；

(m+4n=-2,

對于C選項，因為cos<a,b>=—^—=~=l，

所以異面直線/1與/2所成的角的余弦值為I，C對；

對于D選項，向量〃在向量力上的投影向量IaIcosVa,b>--^—=3X-X-(3,0,4)

IbI35

=與P，D錯.

故選BC.

(2)已知ei，&是空間單位向量，幻《=》.若空間向量力滿足方0=2，萬氏=|，且對于任

意x,y￡R，Ib~(xei+y?2)I2Ib-(%oei+yoe2)I=1(沏，yo￡R)，貝!Ixo=—

1__,yp~2?IbI-2V2

解析由題意可令)=x()ei+yoe2+e3,其中I5I=1,e3±ez,Z=l,2.

(%。+也=2,(_i

由"ei=2得xo+也=2,由Zre2=§得包+yo=9,由2弓解得一'

222,2修+%=|，Uo=2,

2

貝4/>=61+2^+?3,IbI=J(et+2e2+e3)=2y/2.

命題點3利用向量法證明平行與垂直問題

例3[2021浙江高考]如圖，已知正方體如iCiDi，M,N分別

是A。，的中點，則(A)

A.直線A。與直線垂直，直線MN〃平面48C。

B.直線4。與直線平行，直線MN_L平面BDABi

C.直線與直線DI相交，直線〃平面ABC。

D.直線4。與直線異面，直線MN_L平面

解析解法一以點。為坐標原點，DA,DC,?？谒谥本€分別為無軸、y軸、z軸，

DA,DC,西的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.設(shè)AB=2,則4

(2,0,2),。(0,0,0),Di(0,0,2),B(2,2,0),所以/(1,0,1),N

(1,1,1),所以布=(-2,0,-2),取=(2,2,-2),MN=(0,1,0),

所以碩?瓦豆=-4+0+4=0,所以4￡>_L￡)iA又由題圖易知直線4。與是異面直

線，所以4。與瓦)1異面且垂直，故B,C不正確.因為平面ABCD的一個法向量為"=

(0,0,1),所以而?〃=(),所以MN〃平面ABCD,故A正確.設(shè)直線與平面

BDABi所成的角為0,因為平面瓦)。出1的一個法向量為a=(-1,1,0),所以sin?

=Icos<麗，a>I=,-^W'al,=^==—,所以直線MN與平面BDD向不垂直，故D

IMNI-IaIV22

不正確.故選A.

解法二連接AOi,則易得點M■在AOi上，且因為AB_L平面AAi。。，所以

AB±AiD,又A8nAZ)i=A,所以AiD_L平面A8D1,所以4。與8。異面且垂直，故B,

C不正確.在△ABDi中，由中位線定理可得MN〃AB,又MNC平面ABC。，ABU平面

ABCD,所以MN〃平面A8CD,故A正確.易知直線與平面臺田口。成45°角，所以A/N

與平面不垂直，故D不正確.故選A.

方法技巧

1.利用空間向量證明平行問題的方法

線線平行證明兩條直線的方向向量共線.

(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；

線面平行(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；

(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示.

_(1)證明兩個平面的法向量平行;

面面平行

(2)轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行問題.

2.利用空間向量證明垂直問題的方法

線線垂直證明兩直線的方向向量垂直，即證它們的數(shù)量積為零.

(1)證明直線的方向向量與平面的法向量共線；

線面垂直

(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量都垂直.

(1)其中一個平面與另一個平面的法向量平行；

面面垂直

(2)兩個平面的法向量垂直.

注意用向量法證明平行與垂直問題時，要注意解題的規(guī)范性.如證明線面平行時，需要說

明一條直線在平面內(nèi)，另一條直線在平面外.

訓(xùn)練3如圖，在矩形ABC。中，AB=2BC,P,。分別為線段AB,CD

的中點，EPmABCD.

求證：(1)4。〃平面CEP；

(2)平面AEQ_L平面。EP.

解析(1)如圖，連接P。，因為四邊形48CZ)為矩形，且P,。分別

為線段AB,的中點,則PQ±AB.

易知PA,PQ,PE兩兩垂直，以P為坐標原點，分別以PA,PQ,PE

所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

設(shè)AB=2,PE=a,則尸(0,0,0),A(1,0,0),Q(0,1,0),

(-1,1,0),D(1,1,0).

所以標=(-1,1,0),PC=(-1,1,0),所以而〃而，即AQ〃尸C.(證明平面夕卜

直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行)

又AQC平面CEP,PCU平面CEP,(注意說明前提條件)

所以AQ〃平面CEP.

(2)由(1)知麗=(1,1,0),即=(0,0,O),

因為而?麗=(-1,1,0)-(1,1,0)=-1+1=0,所以而_L而，即AQ_LPD

因為而?麗=(-1,1,0)-(0,0,a)=0,所以而_L而，即AQ_LPE(證明直線方向

向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量都垂直)

入PDCPE=P,PE,PDU平面DEP,所以平面

又AQu平面AEQ,(注意說明前提條件)

所以平面平面DEP.

四'命題點習(xí)題講解

1.［命題點1/2024北京市陳經(jīng)綸中學(xué)模擬］在正方體

中，點E為上底面4G的中心，若族=WR+x屈+y而，貝。尤=_

I,尸上］為一…口

解析如圖，在正方體ABC。一AiBiCid中，因為點E為上底面4G的

中心，所以砧=：(&B；+&￡?；)=|(荏+而)，故荏=

AAi+A^E=AAi+^AB+^AD,

因為荏=麗＞+x通+＞同，

-1

所以x=y=一.

2.［命題點1,2］已知向量。=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,九)，若

a,b,c三向量共面，則實數(shù)九=蔡.

解析因為a,b,c共面，所以設(shè)〃=H+yc,故(2,—1,3)=x(―1,4,—2)+

—X+7y=2,

4x+5y=—1,解得九=當(dāng).

{一2x+Ay=3,

3.［命題點3］如圖，在四面體A—3CQ中，AD_L平面BCD,BC±CD,A

AD=2,BD=242,M是AO的中點，P是的中點，點。在線段ACM

上，且AQ=3QC.求證：PQ〃平面BCD

解析如圖，以C為原點，CD,9的方向分別為X軸、y軸正方向，過點C作底面8。

的垂線為z軸，建立空

間直角坐標系，則AZ)〃z軸.

設(shè)C￡)=a,因為尸為的中點，AQ=30C,

所以。(67,0,0),A(,a,0,2),Af(a,0,1),B(0,

Js-a2,0),P(|,j),Q(%0,j),所以而=(一：,0).

又平面8c。的一個法向量”=(0,0,1),

所以JPQT=0,

又尸。0平面BCD,所以尸?！ㄆ矫鍮CD

五'習(xí)題實戰(zhàn)演練

1.以下各選項中的三個向量，不能構(gòu)成空間基底的是(A)

Aa=(1，0(0),b=(。，2,0),c=J,一也0)

B.a=(1,0,0),b—(0,1,0)，c—(0,0,2)

C.a=(1,0,1)b=(0,1,1),c=(2,1,2)

D.a=(1,111)b=(0,1,0)，c=(1,0,2)

解析若空間三個向量a,b,c能構(gòu)成空間的一個基底，則向量a,b,c不共面，對于選

項A,因為a=(1,0,0)b=(0,2,0),c=-V2,0),則c畛i一爭),即

向量a,b,c共面，故選項A中的三個向量不能構(gòu)成空間基底.選項B,C,D中的三個向

量均不共面，即都能構(gòu)成空間基底.

2.已知直線/i的一個方向向量”=(2,4,無)，直線，2的一個方向向量5=(2,?2),

若IaI=6,且/」氏貝Ux+y的值是(A)

A.-3或1B.3或一1

C.-3D.1

解析:\a\=/22+42+x2=6,/.x=±4.VZi±；2,??aLb,.\a-b=2X2+4y+2x=

0,.??丁=一1一|人..,.當(dāng)％=4時，y=-3;當(dāng)工=-4時，y=l..?.x+y=-3或x+y=l.

3.已知a=(1,2,—y),b=(x,1,2),且(〃+2萬)//(2〃一萬)，貝］(B)

AA.x=-1,y=l1B.x=1,y=~4

3J

I

C.x=2,y=—=

4D.x=l,y~l

解析由題意知，a+2》=(2x+1,4,4—y),2a—b=(2—x,3,—2y—2).;(a+

2b)//(2a—b),工存在實數(shù)九，使a+25=入(2〃一力),

(4

f2x+1=A(2~x),久=丁

?“4=34,解得

(4—y=2(—2y—2),卜=一生

4.［多選Z2024廣東佛山一中?？迹菹铝嘘P(guān)于空間向量的命題中，正確的有(BD)

A.直線/的一個方向向量是。=(0,3,0),平面a的一個法向量是"=(0,—5,0),

則l//a

B.若a,b,c可構(gòu)成空間的一個基底，則向量a+"b+c,c+a也可構(gòu)成空間的一個基底

C.若非零向量a,b,c滿足bLc,貝惰?！╟

D.若瓦5,OB,方可構(gòu)成空間的一個基底，且而=:瓦?而+］瓦，則A,B,C,。四

點共面

解析對于A,直線/的一個方向向量為a=(0,3,0),平面a的一個法向量是“=

(0,15,0),此時a=1-w,所以/_La,故A錯誤；

對于B,因為a,b,c可構(gòu)成空間的一個基底，所以對于空間中的任意一個向量機，存在

唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得ni=M+yb+zc="+；"(〃+方)+-+^(方+c)

+—|~~-(a+c),由空間向量的基本定理可知，向量a+方，b-\-c,c+a也可構(gòu)成空間的

一個基底，故B正確；

對于C,若非零向量a,b,c滿足〃_Lb,bLc,則〃與c關(guān)系不定，有可能平行，故C錯

、口

沃；

對于D，若函，OB,方可構(gòu)成空間的一個基底，且適=:市+:畫+1方，1+1+1-

1,易知A,B,C,。四點共面，故D正確.故選BD.

5.［2024浙江臺州模擬］如圖，三棱錐尸一A8C中，PA_L平面ABC,

ABYBC,且AB=BC=2,AP=a.若。是棱PC上的點，滿足尸￡)=/C,

且則a=立.

解析因為PA_L平面ABC,AB,BCU平面ABC,所以

PA±BC,又A8_LBC,故PA,AB,BC兩兩垂直，以A為坐標原點，

AB,A尸所在直線分別為y軸，z軸，平行于8C的直線為x軸，建立如

圖所示的空間直角坐標系，故A(0,0,0),8(0,2,0),C(2,

2,0),P(0,0,a),因為PD=^PC,所以。(|,|,|a),因為

AD±PB,所以詬.而=(|,|,|a)-(0,2,-a)=|-|a2=0,解得

6.［2024遼寧省部分名校聯(lián)考］已知正方體ABC。一4出CQ的棱長為2,P是空間內(nèi)的動

點，且I而+西I=2遍，則萬?麗的最大值為(B)

1

A.-8B.-4+2V6C.-D.1

3

解析如圖，連接取8。的中點M,連接PM,則而+西=

2PM,貝4I而+西I=I2PMI=2W，F(xiàn)p|PM|=舊，故動點P

的軌跡為以"為球心，遍為半徑的球.由正方體ABC。一AiSGA的棱

長為2,可知正方體A8CD—AiBiGDi外接球的半徑為百，故動點P的

軌跡為正方體ABCD-AiBiCiDi的外接球.

取AB的中點N,連接PN,MN,則衣?而=一(R/V+AM)?(西+近)

NA)■(麗一福)=福2一兩2=1_麗2.

2

由題可知，IMNI=V2,則舊一或WIPNI^V3+V2,5-2V6^I麗IW5+2逐,

貝4一4一2^—麗2.—4+2訪

所以而?麗的最大值為一4+2遇，故選B.

7.［多選/2024浙江聯(lián)考］如圖，在正方體ABC。-45GO中，A4i=2,

點跖N分別在棱AB和上運動(不含端點)，若。則下列

命題正確的是(AD)

A.WXAiA/

B.MN_L平面DrMC

C.線段BN長度的最大值為1

D.三棱錐A—ACiM體積不變

解析如圖，以。為坐標原點，DA,DC,DA所在直線分別為無軸，y

軸，z軸，建立空間直角坐標系，則4(2,0,2),Di(0,0,2),

設(shè)M(2,。，0),N(2,2,b),a,bQ(0,2),則^^=(2,

a,-2),而=(0,2~a,b),叉DiM上MN,所以瓦行?而=a(2

—a)~2b=Q,得b=a〈2-a).

-2),所以而小麗=a(2-o)-26=0,故AJW_LMN,故A

對于A,A1M=(0,a,

正確;

對于B,C(0,2,0),MC=(-2,2~a,0),M1V-MC=(2—a)VO,所以MN與

MC不垂直，則MN不垂直于平面DiMC,故B錯誤;

對于C,B(2,2,0),IBNI=b=-~-=~|(a-1)2+|,aG(0,2),所以當(dāng)

a=l時，IBNI取得最大值點故C錯誤；

對于D,1M=%_41c也=2xs&cmXAALEXTXZXZXZM%故D正確.故選

AD.

8.［多選/2024廣東清遠模擬］如圖，正方體ABCO—AiBiGA的棱長為

2,點。為底面ABCD的中心，點尸為側(cè)面BSC1C內(nèi)(不含邊界)的

動點，則(AC)

A.DiOXAC

B.存在點P使得。1。〃5尸

C.三棱錐A—OOP的體積為1

D.若DrO±PO,則GP的最小值為:

解析以點。為坐標原點，DA,DC,。。所在直線分別為無軸，y

軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0),C(0,

2,0),。(0,0,0),Di(0,0,2),Bi(2,2,2),Q(0,2,

2),O(1,1,0),設(shè)點尸(x,2,z),其中0<x<2,0<z<2.

對于A選項，於=(-2,2,0),取=(1,1,-2),則前?帝=-2+2=0,所以

DiOLAC,故A正確;

對于B選項，帝=(x—2,0,z-2),瓦5=(1,1,-2),若3尸〃A。，則一=?

=—,解得x=z=2,不符合題意，所以不存在點P,使得&P〃/J。，故B錯誤；

~2

對于C選項，S口4DDI=：X22=2,點尸到平面AOD1的距離為2,所以匕_DDJ=/_4D%=

-X2X2=i,故C正確；

33

對于D選項，G—1,1,Z),若￡>1O_LPO,則瓦5?而=_x-l+l-2z=_r—2z=0,

可得x=2z,

,(0<z<2,

由可得OVzVl,

(0<2z<2,

所以GP=Jx2+(2~2)2+(z~2)2=J5z2—4z+4=15(z-|)，，力卓,當(dāng)且

僅當(dāng)z=|時取等號，故D錯誤.故選AC.

9.如圖，己知平行六面體ABCD—AiSGP中，底面ABC￡>是邊長為1,

)_____c,

的正方形，A4i=2,ZAiAB=ZAiAD=120°.《\3c

(1)求線段AG的長；V-AA\

(2)求異面直線AG與AQ所成角的余弦值；取::。

4k--------R

(3)求證：AAiA-BD.

解析(1)設(shè)麗=a,AD=b,AA1=c,這三個向量不共面，｛a,b,c｝構(gòu)成空間的一個

基底，貝"I〃I=I8I=1,IcI=2,ab=b,oa=cS=2XlXcos120。=—1.因為ZC；=

=

AC~\~CCi=AB-\-AD-\-AA1a~^~b~\~c9所以IAC1I=Ia+8+cI=J(a+b+c)=

222I

JIaI+I&I+IcI+2(ab+bc+ca)=ll2+l2+22+2(0—1—1)=迎.所

以線段AG的長為VI

(2)設(shè)異面直線AG與A。所成的角為。，

貝Icos0=Icos<i4C,AD>I=

1r1IACIIMMI

因為ZC；=a+1+c,A1D=b—c,

所以ACI?T4I￡)=(a+A+c)?(b—c)=ab—〃?c+廬一c2=0+l+l2—22=-2,

2222

IArDI=J(6-c)=JI&I-26-c+IcI=Jl—2x~(—1)+2=V7,所以

nI-2IV14

COS0=-F―尸=——.

V2XV77

故異面直線AC1與All)所成角的余弦值為手.

(3)因為44；=c,^D=b—a,

所以(b—a)=cb—ca