機(jī)械工程測試技術(shù)課后習(xí)題

第二章習(xí)題解答

2-1.什么是信號？信號處理的目的是什么？

2-2.信號分類的方法有哪些？

2-3.求正弦信號x(f)=Asin(yf的均方值〃：。

解：

」［x2(t)dt=—^A2sin2cotdt

2f%.,2r%\-cos2cot

=—A2sin2a}tdf=—A2--------------dt

7"JoTJo2

_2.2仔sin.T)/

~T17--4M~)^2

1fcoA?

也可先求概率密度函數(shù)：pQ)=—/貝iJ："；0=，x20p(x)dx-——。

^A2-X2J"2

2-4.求正弦信號無。)=Asin?t+3)的概率密度函數(shù)可幻。

行.xdtIA1

解：cot=arcsin---一=--------1=——/

A公①x尸(0y1A2-x2

代入概率密度函數(shù)公式得：

,、「1I￡△，［12dt2

p(x)=lim—lim--------------------.r

■TOAt30TdxTcoT^A2-x1

21

2-5.求如下圖所示周期性方波的復(fù)指數(shù)形式的幅值譜和相位譜

解在x(t)的一個周期中可表示為

1

x(f)=<

0(<M<T/2

該信號基本周期為T，基頻疑尸2加7,對信號進(jìn)行傅里葉復(fù)指數(shù)展開。由于x⑺關(guān)于仁0對稱，我

們可以方便地選取-772WrW772作為計算區(qū)間。計算各傅里葉序列系數(shù)金

當(dāng)"=0時，常值分量co：

力=苧

當(dāng)“M時，

c=-f'e-jnM°'dt=——i—e-"叫"

"THjncoQT?/

最后可得

。加秋）

乙C—Cr.

C=-------------------------

ncooT\_2jJ

注意上式中的括號中的項即sin（〃@7D的歐拉公式展開，因此，傅里葉序列系數(shù)&可表示為

2sin（〃例）入）2Tl.

%=-------=—smc（no）0rJ,"。0

n甌TT

其幅值譜為：卜/=%sinc（"（yR）,相位譜為：＜p,,=0,兀，-兀。頻譜圖如下：

III

0

—71-

2-6.設(shè)c“為周期信號x（f）的傳里葉級數(shù)序列系數(shù)，證明傅里葉級數(shù)的時移特性。

即：若有

±j（ao，＜＞

貝Ux（t±t0）＜r-^ecn

證明：若x⑺發(fā)生時移力（周期T保持不變），即信號x（fTo），則其對應(yīng)的傅立葉系數(shù)為

%=3卜壯"'力

令T=f—fo,代入上式可得

g=（卜（7上—,〃

=6-拉咤卜（“初"

—〃一初04八

一ec〃

因此有

%）―^e-胸'。%

FS+j<a，o+j(2>r/T)t

同理可證x(t+ta)<-->e°cne0

證畢！

2-7.求周期性方波的(題圖2-5)的幅值譜密度

解：周期矩形脈沖信號的傅里葉系數(shù)

C.=.J；e>n^'dt=牛sinc(〃叩)

則根據(jù)式，周期矩形脈沖信號的傅里葉變換，有

002Tl

X(⑼=24Zsinc(Hft；T-neo

~T~0l

M=-<0

此式表明，周期矩形脈沖信號的傅里葉變換是一個離散脈沖序列，集中于基頻以及所有諧頻

處，其脈沖強度為4萬(/〃被sinc(f)的函數(shù)所加權(quán)。與傅里葉級數(shù)展開得到的幅值譜之區(qū)別在

于，各諧頻點不是有限值，而是無窮大的脈沖，這正表明了傅里葉變換所得到的是幅值譜密度。

2-8.求符號函數(shù)的頻譜。

1f>0

解：符號函數(shù)為x(，)=?—l/<0

0"0

可將符號函數(shù)看為下列指數(shù)函數(shù)當(dāng)aTO時的極限情況

r-ea,r<0

解x(t)=sgn(r)=<

ec"t>0

X⑺=對16-52型力_e“J2項力

rriiI

+j2冗fa+j2兀f\

j__1

兀fj兀f

2-9.求單位階躍函數(shù)的頻譜：

解：單位階躍函數(shù)可分解為常數(shù)1與符號函數(shù)的疊加，即

1f>0

(/)=<1/2f=0

0t<0

)=g[1+sgn(川

所以：

1

-^(/)+—

2詞

2-10.求指數(shù)衰減振蕩信號x(r)=e"'sin?/的頻譜。

1

XM萬aliM

(=e~sincoat-e~dt

1

解：=萬singfd

2〃(a+ja＞『+a)l

2-11.設(shè)X(/)為周期信號x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的頻移特性

即：若

則x(ty^'^^x(f+f0)

證明：因為±i2

F[e^]=3(f+f0)

又因為.小±7%x(/o)*F[產(chǎn)咖]

x(+/0)=X(/+/0)

證畢!

2-12.設(shè)X(/)為周期信號X")的頻譜，證明傅里葉變換的共軌和共扼對稱特性

即：若X(t)<FT〉X(/)

則7)

式中x"⑺為x(f)的共輒。

證明：x(f)=X(/)>2項4

Xt(f)=[f+Xx(t)e-^df

由于Lj」

=Cx^e^'dt

J—00

上式兩端用?替代，得

x*(7)=匚x*(f)er物力

上式右端即為x*⑺的傅里葉變換，證畢！

特別地，當(dāng)x(f)為實信號時，代入/⑺=x(r),可得X(/)共輒對稱，即

X(-/)=X*(/)

2-13.設(shè)x(y)為周期信號x(f)的頻譜，證明傅里葉變換的互易性

即：若x(f)y~>X(/)

則x(r)Q^M-/)

證明：

由于x?)=rX^e^'df

J-00

以-r替換，得

x(T)=j1二X(7)e-，2琬4

上式f與/互換即可得

%(-/)=CX")/2切由

即x(f)?x(-/)

證畢。

特殊情況，當(dāng)x(f)為偶函數(shù)時，

2-14.用傅里葉變換的互易特性求信號gQ)的傅里葉變換G(/),g⑺定義如下:

g小告

且已知

2a

x(t)="小

?2+(2#)2

解：當(dāng)。=2萬，不難看出g⑺與X⑺非常相似。代入a=2為根據(jù)傅里葉變逆換有

e-2叩=r—巫幺—/于/=_L.22小

-L(2—+(2療/-2萬跖+/2

等式兩端同時乘以2萬，并用Y替代變量f得

2加-2昨?=r^_-j^

1U1+/2edt

交換變量f和渭

2癥=「二^-J2加力

+廣

上式正是g⑺的傅立葉變換式，所以

g(f)=J<->G(f)=2

1+r

2-15.所示信號的頻譜

x(f)=—X[(f—2.5)+%2(/—2.5)

式中看⑺，必⑺是如圖2-31b),圖2-31c)所示矩形脈沖。

解：根據(jù)前面例2-15求得x6),X2⑺的頻譜分別為

X")=^^和乂2(/)=濁粵

7JJ7g

根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)和時移性質(zhì)可得：

4sin/+sin3〃

X(f)=e"

圖2-31

2-16.求信號x(r)的傅里葉變換

x(f)=e~u''a>Q

解：由例2-16已知e-a,?(r)<-FT->——J——

a+j27tf

注意到x(f)為實偶函數(shù)，t>0時x(f)=,<0時x(f)=e"'〃(T),所以

x(O=e-alu(t)+,根據(jù)線性疊加特性

X(/)=F[e%Q)]+F[e，(T)]

又根據(jù)時間比例特性有x(-fX(-7),所以

最后得

X(/)=---+---=,2：

a+j2ma-jlnfa-+(2力

在實際應(yīng)用中，一般。為>0的實數(shù)

則工]

aJ

2-17.已知信號試求信號x(0.5r),x(2。的傅里葉變換

工卜|<(

X。)=<[0,卜]>(

解：由例可知X")的傅里葉變換為

X(/)=27；sinc2加

根據(jù)傅里葉變換的比例特性可得

如圖2-32所示,由圖可看出，時間尺度展寬(a<1.0)將導(dǎo)致其頻譜頻帶變窄，且向低頻端移動,

F[x(0.5/)]=—2T,sinc[=44sinc(4萬4)

F[X(2/)]-sinc(2萬，()=7]sinc(7tfTl)

這種情況為我們提高設(shè)備的頻率分析范圍創(chuàng)造了條件，但是以延長分析時間為代價的;反之，時間

尺度壓縮(Q1.0)會導(dǎo)致其頻譜頻帶變寬，且向高頻端擴(kuò)展，這種情況為我們提高信號分析速度提

供了可能。

A2T

-----------t---------11

Tv

(t/2)l\

1a=i0L'T

_________

2-20.下面的信號是周期的嗎？若是，請指明其周期。

.71,71

(1)f(t)=二。sin—f+bcos—f(30)

53

.t71

(2)/?)=-tzsin—r+/?cos—r（12萬）

63

二osin(￡+()8)

(3)/(f)=(f—7T)

3

(4)/(f)=acos(j+1)(8)

45

2-21.如圖所示，有N=2〃+1個脈寬為7的單位矩形脈沖等間隔（間隔為7〉T）地分

布在原點兩側(cè)，設(shè)這個信號為x?）,求其FT。

解：由題意，

x（f）=汽/?-〃?7）

其中Xo（f）=Gr（f），其FT為Xo（?o）=Tsinc（岸）。根據(jù)FT的時移特性，可以求得

jintoT-j(n+\)o)T

X(0)=X°⑼X°3)?一『L

m=-n

eja,T/2^ejN(oT/2

x0(M?加r/2(,&r/2_0-"4/2)

(評M12_e-jNcoT/2^

(〃s/2—/W/2)

.「NafT、

sin(一)

X0(M?一會

如(一)

下面分析一下所求的結(jié)果。

sin（^

9）

當(dāng)3=3竺時，由羅彼塔法則可以求得------2_-=N，因此X（0）=NX0（①），是單

./(dT、

2

個矩形脈沖頻譜（⑼的倍，這是個矩形脈沖的譜相互疊加的結(jié)果；而當(dāng)絲

X.NN0=2（加不

°NT

.,N（yT、

sin（---）

是N的倍數(shù)）時，------2=o,這是N個譜相互抵消的結(jié)果。見圖（b）。

..CDT.

sm\）

可以看出，如果N不斷增大，這些等間隔分布的矩形脈沖的頻譜能量逐漸向離散點

0=網(wǎng)生處集中，而且幅度也越來越大。特別地，當(dāng)N.8時，時域信號變成了周期矩形脈

T

沖信號，而頻域則變成了只在離散點切=二竺處有值的離散譜，在這些點處的頻譜幅度變成

T

了沖激信號（因為能量趨于無窮大）。這也應(yīng)驗了：借助于沖激信號，周期信號也存在FT。

2-22.“時域相關(guān)性定理”可描述如下

F[Rxy(r)]=X(f)-Y(f)

試證明。

下面給出兩種證明方法。

證明1：

FK,(T)]=「[[x(t)-y\t-T)dty-^dr

'JJ-00LJ-8

=fxQ)[[—工)e"4rd匯dt

J-00LJ-co

=j：x(f){[j：y*Q—r)e-J2次IH?T)力卜2加

=fXx(t)e-j21frdt]「/(-(r-Ok-72￥(r-,)</(r-/)

J-SLJ-O0

=x(/)?y*(/)

這里利用式：F[y\-t)]=Y\fy是FT的“反褶共知”性質(zhì)。

證明2：

根據(jù)相關(guān)運算與卷積運算之間的關(guān)系

&、,⑺=x(T)*y(t)

利用FT的“反褶共筑”性質(zhì)，可以直接得到結(jié)論。

在式中，令x=y，則可得

自相關(guān)的傅里葉變換

F[Rx(r)]=X(f)-X\f)=\X(f)f

式中說明，“函數(shù)相關(guān)的FT是其幅度譜的平方“，換句話說，“函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)與其幅度譜的

平方是一對傅里葉變換對”。

利用FT的奇偶虛實性，若y(f)是實偶函數(shù)，那么丫(/)也是實偶函數(shù)。這樣我們就得到了

一個特例結(jié)論，

F&⑺]=x(/).丫*⑺=x⑺?y(f)

即當(dāng)y?)是實偶函數(shù)時，相關(guān)性定理與卷積定理是一致的。

2-24.帕斯瓦爾定理

匚即)「力=匚區(qū)(*4

證明：

2

￡|/(0|dt=x(t)x\t)dt

=X(/)/磔/']dt("T定義)

=匚必)?(匚X*(/)e-”胡0)力

=匚X*(/)?(J：x"，2切4(交換積分次序)

=fX*(/)X(/)#(FT定義)

J-00

2

=-X⑺Idf

第三章習(xí)題及題解

1試說明二階裝置的阻尼比，多采用(=(0.6-0.7)的原因

答：二階系統(tǒng)的阻尼比，多采用，=(0.6-0.7)的原

因，可以從兩個主要方面來分析，首先，根據(jù)系統(tǒng)不

失真?zhèn)鬟f信號的條件，系統(tǒng)應(yīng)具有平直的幅頻特性和

具有負(fù)斜率的線性的相頻特性，右圖所示為二階系統(tǒng)

的幅頻特性和相頻特性曲線，嚴(yán)格說來，二階系統(tǒng)不

滿足上述條件，但在一定的范圍內(nèi)，近似有以上關(guān)系。

在特性曲線中可以看出，當(dāng)3<0.33“時，4對幅頻

特性影響較小，力(3)—3曲線接近直線。A(3)在該

范圍內(nèi)的變化不超過10%,可作為不失真的波形輸

出。在3>(2.5-3.0)3“范圍內(nèi)。(3)接近180°,且

差值甚小，如在實際測量或數(shù)據(jù)處理中用減去固定相

位差的方法，則可以接近不失真地恢復(fù)被測輸入信號

波形。若輸入信號的頻率范圍在上述兩者之間，由于系統(tǒng)的頻率特性受C的影響較大，因而需

作具體分析。分析表明，當(dāng)g=0.6?0.7時，在3=(0-0.58)3“的頻率范圍中，幅頻特性A(3)

的變化不超過5%,此時的相頻特性曲線也接近于直線，所產(chǎn)生的相位失真很小。

其次其他工作性能綜合考慮，單位階躍信號輸入二階系統(tǒng)時，其穩(wěn)態(tài)輸出的理論誤差為零。

阻尼比將影響超調(diào)量和振蕩周期。421,其階躍輸出將不會產(chǎn)生振蕩，但需要經(jīng)過較長時間才

能達(dá)到穩(wěn)態(tài)輸出。4越大，輸出接近穩(wěn)態(tài)輸出的時間越長。4<1時,系統(tǒng)的輸出將產(chǎn)生振蕩。

。越小，超調(diào)量會越大，也會因振蕩而使輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)輸出的時間加長。顯然，4存在一個比

較合理的取值，C一般取值為0.6?0.7。

另外，在斜坡輸入的情況下，4俞小，對斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差2/3.也俞小，但隨著

。的減小，超調(diào)量增大，回調(diào)時間加長，當(dāng)U=0.6?0.7時,有較好的響應(yīng)特性。

綜上所述，從系統(tǒng)不失真?zhèn)鬟f信號的條件和其他工作性能綜合考慮，只有4=0.6~0.7時,

才可以獲得最佳的綜合特性。

2試述信號的幅值譜與系統(tǒng)的幅頻特性之間的區(qū)別(1)對象不同，前者對象是信號；

后者的對象是系統(tǒng)；(2)前者反映信號的組成，后者反映系統(tǒng)對輸入信號不同頻率成分的幅值

的縮放能力(3)定義不同：處理方法各異：前者是對信號付氏變換的模，后者是輸出的付氏變

換與輸入的付氏變換之比的模

3已知信號x(t)=5sin10t+5cos(100t-7t/4)-t4sin(200t+n/6).通過傳遞函數(shù)為

H(s)=——--的測試系統(tǒng)，試確定輸出信號的頻率成分并繪出輸出信號的幅值譜。

0.0055+1

解：將輸入信號的各次諧波統(tǒng)一寫成XiSingit+cpG的形式

x(t)=5sin10t+5sin(100t+7i/4)+4sin(200t+7r/6)

信號x(t)由三個簡諧信號疊加而成，其頻率、幅值、相位分別為

頻率幅值Xi相位9xi

(D|=10AI=5<Pxl=O

CD2=100Ao=5(Px2=r/4

A=4(PX35/6

W3=2003

設(shè)輸出信號為y(t),根據(jù)頻率保持特性，y(t)的頻率成分應(yīng)與x(t)的頻率成分相同，各頻率成分

的幅值和相位可由輸入信號的幅值和相位與測試系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性H((o)確定，根據(jù)題設(shè)條件，

可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)

1

H(co)=

0.005勾+1

系統(tǒng)的幅頻特性

1

4口)=

11+(0.0050)2

。(。)=-arctg0.005co

輸出信號y(t)的頻率、幅值、初相位分別為

頻率幅值Y=A(g)Xi相位(pyi=(p(G)i)+(pXi

C0|=10Y1=4.99(py|=-0.05

a)2=100Y2=4.47(py2=0.32

-

O>3=200Y3=2.83(py3=0.26

繪出y(t)的幅值譜如右圖。

4s在對某壓力傳感器進(jìn)行校準(zhǔn)時，得到一組輸入輸出的數(shù)據(jù)如下:

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

正行程平均值220.2480.6762.4992.31264.51532.81782.52012.42211.6

反行程平均值221.3482.5764.2993.91266.11534.11784.12013.62212.1

試計算該壓力傳感器的最小二乘線性度和靈敏度。

解由校準(zhǔn)數(shù)據(jù)得知，該壓力傳感器近似線性特性，遲滯誤差較小，可用平均校準(zhǔn)曲線來計算

根據(jù)3—14式

數(shù)據(jù)序號1234567892

陽0.10.2030.40.50.60.70.80.94.5

%220.75481.55763.3993.101265301533.45178332013.02211.8511265.6

20.010.040.090.160.250.360.490.640.812.85

22.089631228.99397.24632.65920.071248.311610.41990.667146.71

x=—Vx,==4.5=0.5

〃乙，9

-1vU265.6?

y==1251.73

22

Lxx-Z(x,-x)(x,-x)=Z》，-nx=2.85—9x0.5=0.6

Lrv=EX^<=7146.71-9x0.5x1251.73=1513.93

i=\

1513.93cccc

in===-------=2523.2

Lxx0.6

ft==1251.73-2523.2x0.5=-9.87

最小二乘擬合直線方程式為

y=2523.2x-9.87-

再將各個輸入值Xi代入上式，依次找出輸出一輸入校正值與擬合直線相應(yīng)點數(shù)值之間的最大偏

差(見表？？？？)，根據(jù)式(3T0),

AZ.4916

線性度=±―^xlOO%=---------x100%=—2.2%

A2211.85

壓力傳感器的平均靈敏度用輸出量和輸入量的測量范圍之比表示,

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

%220.75481.55763.3993.101265.301533.45178332013.02211.85

yi-y242.45494.77747.09999.411251.731504.051756.372008.692261.01

%-21.7-13.2216.21-6.3113.5729.426.934.31-49.16

?y2211.85—220.75.、_1...._

S=—=----------------mv■(kPa)=248o8o.8o8o〃?v/kPa

x0.9-0.1

也可以由擬合直線方程的斜率得到

S=k=2523.2mv/kPa

5試證明由若干個子系統(tǒng)串聯(lián)而成的測試系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為

"3)=在",3)

1=1

由若干個子系統(tǒng)并聯(lián)而成的測試系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為

”(⑼這修(⑼

1=1

證明：圖示為兩個頻率響應(yīng)函數(shù)各為修(。)和”2(。)串聯(lián)而成的測試系統(tǒng)，假設(shè)兩個子系統(tǒng)之

間沒有能量交換，系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時的輸入和輸出分別為x(t)、y(t),顯然，根據(jù)頻率響應(yīng)函數(shù)的定

義，有

〃/八、一y（⑼一y（O）z（。）

n\CD）-----------------------?-----------

X（（y）Z（（y）X（（y）

即

"（?）="］（0）?”2（⑼

對于n個子系統(tǒng)串聯(lián)而成的測試系統(tǒng)，可以將前（n-1）個子系統(tǒng)視為一個子系統(tǒng)，而把第n個子

系統(tǒng)視為另?個子系統(tǒng)，應(yīng)用兩個子系統(tǒng)串聯(lián)時頻率響應(yīng)函數(shù)的結(jié)論并遞推可得

"（⑼=口",3）

/=1

對于n個子系統(tǒng)并聯(lián)而成的測試系統(tǒng)，如圖所示，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出

y。)=%0)+為“)+???+%?)

Y(ty)匕(①)+%(。)+…+工(。)

H(①)

X(。)X(o)Z=1

證畢。

6某一階溫度傳感器，其時間常數(shù)T=3.5（s）,試求：（1）將其快速放入某液體中測得溫度誤差

在2%范圍內(nèi)所需的近似時間。2）如果液體的溫度每分鐘升高5℃,測溫時傳感器的穩(wěn)態(tài)誤

差是多少？

解：（1）將溫度傳感器快速放入某液體中測量溫度，屬于其實質(zhì)是階躍輸入

根據(jù)階躍輸入狀態(tài)下，一階系統(tǒng)的響應(yīng)特征，當(dāng)t約為4T時，其輸出值為輸入值的98.2%,

（2）如果液體的溫度每分鐘升高5℃,傳感器的輸入信號為斜坡輸入

x（t）=5t/60其拉氏變換為X（s）=5/60s2

一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

H〃(,s、)=-丫---⑸--=----1---

X(s)TS+1

y(s)=H(s).X(s)端]

52(?+1)

60

測溫時傳感器的穩(wěn)態(tài)誤差

e=5T/60=0.29

7試述線性系統(tǒng)最主要的特性及其應(yīng)用

線性系統(tǒng)最主要的特性是線性特性頻率保持特性。

根據(jù)式3-2,線性特性表明，對于線性系統(tǒng)，如果輸入放大，則輸出將成比例放大；同時作

用于線性系統(tǒng)的兩個輸入所引起的輸出，等于兩個輸入分別作用于該系統(tǒng)所引起的輸出的和，

當(dāng)多個輸入作用于線性系統(tǒng)時，也有類似的關(guān)系。據(jù)此，在分析線性系統(tǒng)多輸入同時作用下的

總輸出時，人們常常將多輸入分解成許多單獨的輸入分量，先分析各分量單獨作用于系統(tǒng)所引

起的輸出，然后將各分量單獨作用的輸出疊加起來便可得到系統(tǒng)總輸出。

頻率保持特性指線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出y（t）,將只有和輸入頻率相同的頻率成份，既

若x?)=￡x,.網(wǎng)

/=1

則y⑺=丑匕?/即4)

f=l

也就是說，輸出y(t)與輸入x(t)保持相同的頻率成分，由線性系統(tǒng)的疊加特性可知，多個

簡諧信號疊加的輸入，其輸出必然有也只能有有與輸入頻率相同的頻率成分。在測試工作中，

人們常利用該性質(zhì)，判斷輸出信號的信源，分析系統(tǒng)的傳遞特性，改善系統(tǒng)的信噪比，例如，

一個系統(tǒng)如果處于線性工作范圍內(nèi)，當(dāng)其輸入是正弦信號時，它的穩(wěn)態(tài)輸出一定是與輸入信號

同頻率的正弦信號，只是幅值和相位有所變化。若系統(tǒng)的輸出信號中含有其他頻率成份時，可

以認(rèn)為是外界干擾的影響或系統(tǒng)內(nèi)部的噪聲等原因所至，應(yīng)采用濾波等方法進(jìn)行處理，予以排

除。

8試求由兩個傳遞函數(shù)分別為———和工~生色-----r的兩個子系統(tǒng)串聯(lián)而成的測

2

3.6s+0.4s+1.3?！癝+con~

試系統(tǒng)的總靈敏度(不考慮負(fù)載效應(yīng))

解：在不考慮負(fù)載效應(yīng)的條件下，由題給傳遞函數(shù)的兩個子系統(tǒng)串聯(lián)而成的測試系統(tǒng)的頻率響

應(yīng)函數(shù)為

2.428。；

//(?)=22

3.60+0.4-GJ+1.3仍〃可+公〃

系統(tǒng)的總靈敏度為

2啊

S="(⑼|=———4二22.4

降°0.4

9對某靜態(tài)增益為3.0的二階系統(tǒng)輸入一單位階躍信號后，測得其響應(yīng)的第一個峰值的超調(diào)量

為1.35,同時測得其振蕩周期為6.28s,試求該測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和系統(tǒng)在無阻尼固有頻

率處的頻率響應(yīng)。

解：據(jù)題意，被測二階系統(tǒng)是?個欠阻尼二階系統(tǒng)，其最大超調(diào)量Mi和阻尼比4的關(guān)系式

將Mi=1.35/3.0=0.45代入上式，可得C=0.24

其有阻尼固有頻率為0d=2工=①小Y

式中Td為振蕩周期，由題設(shè)條件Td=6.28,解出3n=1.316

該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

5.20

"(s)=2c”2

S+2Qa)nS+CDn1+o.63s+1.73

系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)

9

"3)=

(藥產(chǎn)+23M+①：

3%2

H3)|一.=6.25J

初)2+2,3,?+叫2

10試述脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)、傳遞函數(shù)之間的聯(lián)系。

當(dāng)輸入信號的作用時間小于0.1T(T為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)或二階系統(tǒng)的振蕩周期)時，

則可以近似地認(rèn)為輸入信號是單位脈沖信號5(t),其響應(yīng)則稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，又稱為權(quán)函

數(shù)，根據(jù)B(t)函數(shù)的篩選性質(zhì)：

x(M="(歸”力=1

立即有y(?y)="(⑼X(M=W(cy)

對上式兩邊求付氏逆變換：

以上推導(dǎo)可以看出在單位脈沖信號輸入的時候，系統(tǒng)輸出的頻域函數(shù)Y(s),就是系統(tǒng)的頻率響

應(yīng)函數(shù)H(G>),而其時域響應(yīng)函數(shù)y(t),就是脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t),它表示測試系統(tǒng)在時域內(nèi)的動

態(tài)傳遞特性。

第四章習(xí)題與題解

1、余弦信號被矩形脈沖調(diào)幅,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

cos2機(jī)r

加0

試求其頻譜

解:設(shè)xv(/)=cos2小1?w(r)

fl\t\<T

其中w(r)=\

[o\t\<T

"cos2磯〃=；3(/+/°)+J6(/—/o)

F[w(/)]=「w⑴=[:e_2m力二2Tsinc2^fT

“4(f)]=2Tsinc24T*[；5(/+J。)+；b(/-f())]

=Tsinc[17c{f+f0)T]+Tsinc[2萬(/-70)T]

2、已知余弦信號％”)=以為2胡/,載波)=cos2/f,求調(diào)幅信號x,“(f)=xQ)-z(f)的頻

譜。

解：

W)]=1^(/-/o)+^(/+/o)

“(6=](/-力)+](/+力

X,"(7)=[；//—/o)+；b(/+/o)]*弓3(/—1)+；//+力)]

+

=^WA+/o)+^(/+A-/o)+^(/-A-/o)+^/-/；+4)]

3、求余弦偏置調(diào)制信號x,"(f)=(1+cos2^(/)cos27tf.t

解：

X,"(/)=網(wǎng)cos2/]]+尸[cos2/cos2/7]

=如"力+演?口+E"A+/°)+W/°)

4、已知理想低通濾波器

W\f\<f.

|o其它

試求當(dāng)b函數(shù)通過此濾波器以后的時域波形。

解：根據(jù)線性系統(tǒng)的傳輸特性，將3函數(shù)通理想濾波器時.，其脈沖響應(yīng)函數(shù)力(f)應(yīng)是頻率

響應(yīng)函數(shù)”(/)的逆傅里葉變換，

由此有：

J-00

j2j21tf

=^Aoe-^°e'df1

=2Aofcsinc[2^fc(t-ro)]

第五章習(xí)題解

5-1.畫出信號數(shù)字分析流程框圖，簡述各部分的功能。

解：下圖為信號數(shù)字分析流程框圖，整個系統(tǒng)由三部分組成：模擬信號予處理，模數(shù)轉(zhuǎn)換和數(shù)

字運算分析。

模擬信號予處理模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換數(shù)字分析

抗

幅

亞

幅

采

運

頻

值

示

值

樣

算

混

量

輸

適

保

分

濾

化

出

調(diào)

持

析

波

珀）