2024-2025學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：正方形中的幾何綜合（壓軸題）解析版

正方形中的幾何綜合

?思維方法

正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從

可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。

逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)

進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采

用間接證明。

分類討論思想：當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進(jìn)行分類，然后對每

一類分別進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并

非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：

1.不重（互斥性）不漏（完備性）；

2.按同一標(biāo)準(zhǔn)劃分（同一性）；

3.逐級分類（逐級性）。

?知識點總結(jié)

一、正方形的定義

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

二、正方形的性質(zhì)

1.正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

2.正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

3.正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；

4.兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸.

三、正方形的判定

1.先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；

2.先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角；

3.還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定.

?典例分析

【典例1】問題背景：如圖1,在正方形48CD中，點E、F分別在邊BC、CD上，N比1F=45。,

(1)求證：EF=BE+DF；

(2)遷移應(yīng)用：如圖2,在正方形48C。中，Q4Q8交CD于點G、H,若NAQB=45。，CH=3,GH=1,

求4G的長；

(3)聯(lián)系拓展：如圖3,在矩形2BCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，^EAF=45°,若

DF-.AD-.AB=1:2:4,探究8E與EC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

【思路點撥】

(1)先判斷出RtAABE三RtAADP(SAS),得出4E=2P,NB力E=ZZMP,再判斷出三△APF(AAS),

即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出A4BM三△BCH(ASA),得出CH=3=BM,設(shè)DG=a,則GM=a+3,CM=a+1,再根據(jù)

勾股定理得出(a+3/=42+(a+1尸，求出a=l,即可得出結(jié)論；

(3)先判斷出四邊形2MND是正方形，設(shè)=得出AD=2m=DN,再設(shè)BE=2x,則fT=x+m,

4

利用勾股定理得出2刀=髀，即可得出結(jié)論.

【解題過程】

(1)證明：延長FD至IJ點P使DP=BE,連接4P,

圖1

???正方形ABC。，

??.AB=AD,"DP=AABE=90°,

在Rt△ABE和Rt△ADP中，

(AB=AD

]/-ABE=4ADP,

(BE=DP

??.Rt△ABE=Rt△尸(SAS),

??.AE=AP,/-BAE=Z.DAP,

vZ-DAE+Z-BAE=90°,

￡.DAE+/LDAP=90°,

vAEAF=45°,

??.LEAF=L.FAP=45°,

在△AEF和AAPF中，

(AE=AP

]^EAF=Z.FAP,

IAF=AF

???△AEFw△4PF(SAS),

??.EF=PF,

DP=BE,

???EF=BE+DF；

(2)如圖2,過點A作交BC于M,交BH于I,連接GM,

Q

圖2

A^LBAM+/.ABI=90°,

???/-ABI+乙CBH=90°,

Z.BAM=乙CBH,

v/-ABM==90°,AB=BC,

??.△ABM=△BCH(ASA),

CH=3=BM,

???4Q=45°,

/.Z.QAM=45°,

由(1)知，GM=BM+DG,

設(shè)。G=a,

*'.GM=BM+DG=a+3,

BC=CD=a+4,

*'.CM=a+4—3=a+l,

在山△MCG中,GM2=GC2+CM2,

(a+3)2=42+(a+l)2,

?*,CL—2,

DG=2,

在Rta/lDG中，根據(jù)勾股定理得，AG=V62+22=2V10；

(3)BE=2EC,

證明：如圖3,分別取48,4E的中點M,T,連接MT并延長MT交CD于N,連接TF,

圖3

MT||BE,MT=^BE,

???乙AMN=90°=乙DAM=乙D,

???四邊形ZMND是正方形，

DF\AD\AB=1:2:4,

設(shè)。F=m,

AD=2m=DN,

??.矩形AMNO是正方形，

vAEAF=45°,

.?.由(1)知,FT=DF+TM,

■■■MT=^BE,

設(shè)BE=lx,

??.FT=DF+TM=%+m,

在Rt△FTN中,FT2=FN2+T/V2,

???(%+m)2=m2+(2m—%)2,

c4

2x=-m,

4

???BE=-m,

2

EC=BC—BE=-m,

??.BE=2EC.

?學(xué)霸必刷

1.（23-24九年級上?河南鄭州?階段練習(xí)）如圖，在△4BC中,AC=6,BC=8,AB=10.分別以4B、

AC,BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACPQ,BCMN,四塊陰影部分的面積分別為Si、S2、S3、S4.則

C.24D.12

【思路點撥】

此題重點考查正方形的性質(zhì)、同角的余角相等、勾股定理、根據(jù)面積等式列方程求線段的長度、運用轉(zhuǎn)化

思想求圖形面積等知識與方法，正確地作出所所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵，設(shè)2尸交BP于點/,EF交CM于

點。，作CGq/于點G,CHJ.AB于點H,求出=再根據(jù)勾股定理求得CG=AH=費，由"爭/=

1cq27

"6G=求得4/=fC/,再根據(jù)勾股定理列方程求得G=I，即可求得5△"/=彳，則Si=S正方形"PQ

—S&4c/=募，再證明△凡4。三△48/，則S2=S△尸—S&4C/=S443/—S&4C/=萬x6x8=24,然后證

77

明△ErBN=△ABC,則S4=S公ABC=24,S四邊形=S正方形幺招尸一$2-S^ACI-S^ABC=彳,所以S3=

S正方形BCMN一S四邊形BCDE一54=萬，取后求得Si-2S2—3S3+4S4=66；

【解題過程】

解：如圖，設(shè)4尸交BP于點/,EF交CM于點、D,作CGL4于點G,CHLAB于點H,

■,■AC=6,BC=8,AB=10,

.-.AC2+BC2=極=100,

aaBC是直角三角形，且乙4cB=90°,

???|x10CH=|X6X8=SAABC,

24

???CH，，

?.?四邊形4BEF、四邊形4CPQ、四邊形BCMN都是正方形,

：.^CHA=4HAG=^AGC=AACP=乙BCM=90°,

二.四邊形AHCG是矩形，

；.CG=AH=VAC2—CH2=J62—償)=竽，

X?/=jx6CI=SAAC/f

-.AI=|C/,

.?.(|C/)2=C/2+62,

9

-,-rCjI=

1Q27

=5X6X5=3，

2745

'Si=S正方形/CPQ—S^ACi=6x6——=~,

+Z.ACP=180°,乙ACB+乙BCM=180°,

：,B、C、尸三點在同一條直線上，A,C、河三點在同一條直線上，

-FA=AB,Z.F=Z.BAI=90°,

：.Z-FAD=乙ABi=90°-4BAD,

.\AFAD=AABI(ASA)f

???S"/Z)=SA4B/，

1

???S2=S△尸4。—SAAC/=S^ABi—SMCI—S/UBC=-x6x8=24,

設(shè)射線BE交MN于E',

..ZN=乙ACB=/.ABE=乙CBN=90°,BN=BC,

"E，BN=AABC=90°一乙CBE,

??.△ENN三△ZBC(ASA),

:.E'B=AB=EB,

???點E在MN上，

???^4=S^ABC=24,

2777

???S四邊形BCOE=S正方形4BEF一$2一/^ACl-^ABC=102~24-彳-24=3，

773

2

???S3=S正方形BCMN-S四邊形BCDE—S4=8——--24=

453

??S\—2s2—3s3+4S4—~—2x24—3x—+4x24—66,

故選：A.

2.(23-24九年級下?湖南邵陽?階段練習(xí))如圖，在正方形4BCD中，E是對角線BD上一點，且滿足

BE=BC.連接CE,并延長交4。于點R連接4E,過8點作BG14E于點G,延長BG交4。于點在下列

結(jié)論中：①垂直平分AE；@AH=DF；③DF=DE；④乙4EF=45°；⑤S四邊形EFHG=SADEF+

SAAGH，其中正確的結(jié)論有()個.

A.2B.3C.4D.5

【思路點撥】

先根據(jù)正方形的性質(zhì)和BE=8C得到48=BE,進(jìn)而判斷垂直平分4E,故①正確，然后判斷出

乙DAE=乙ABH,再判斷△ADE^△CDE得出AD4E=乙DCE=22.5°,UBH=乙DCF,再判斷出Rt

△48”三口△DCF從而得到②正確，根據(jù)三角形的外角求出=45。，得出④正確；結(jié)合②④可得

DF=DE即可得③正確；連接HE,判斷出S^EFH力S^EFD得出⑤錯誤.

【解題過程】

解:???8D是正方形4BCD的對角線，

???^ABE=乙ADE=乙CDE=45°,4F=BC,

???BE=BC,

AB=BEf

,:BG1AE,

???是線段ZE的垂直平分線，乙ABH=乙DBH=22.5°,

故①正確；

在RtZkZBH中，AAHB=90°-￡.ABH=67.5°,

???UGH=90°,

Z.DAE=Z.ABH=22.5°,

(DE=DE

在△ADE^△COE中，｛乙ADE=乙CDE=45°,

IAD=CD

???△/OEwZkCDE(SAS),

ZP^E=ZDCE=22.5°,

???乙ABH=2DCF,

qBAH=乙CDF

在Rt△ZB”和Rt△DCF中，［AB=CD,

JABH=乙DCF

Rt△ABH=Rt△DCF(ASA),

???AH=OF,Z.CFD=乙AHB=67.5°,

故②正確；

vZ.CFD=Z.EAF+Z.AEF,

???67.5°=22.5°+Z.AEF,

???AAEF=45°,

故④正確；

???"DE=4$o/DFE=Z.FAE+Z.AEF=22.5°+45°=67.5°,

“DEF=180°-45°-67.5°=67.5°,

DF=DE,

故③正確；

如圖，連接

???是4E垂直平分線，

AG—EG,

???^AAGH=S/\HEG，

??,AH=HE,

???Z.AHG=Z-EHG=67.5°,

???乙DHE=45°,

???Z.ADE=45°,

???乙DEH=9O°ZDHE=乙HDE=45°,

：?EH=ED,

??.△DEH是等腰直角三角形，

vEF不垂直D”，

??.FH手FD,

???S^EFHWS^EFD，

???S四邊形EFHG=S^HEG+S&EFH=^AAHG+^AEFH。^/\DEF+SAAGH，故⑤錯誤，

???正確的是①②③④，

故選：C.

3.（23-24九年級下?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖，在正方形4BCD中，AB=4,對角線AC上的有一動點尸，

以DP為邊作正方形DPFG.下列結(jié)論：①在尸點運動過程中，尸點始終在射線BC上；②在尸點運動過程中,

NCPD可能為135。；③若E是DC的中點，連接EG,則EG的最小值為魚；④△CDP為等腰三角形時，4P的

值為2魚或4V^-4.其中結(jié)論正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①③D.②④

【思路點撥】

由“SAS”可證三可得/PHD=々PCF=135°,可證點8,點C,點尸三點共線，故①正確;

由三角形的外角可得NCPD不可能為135。，故②錯誤；由三△DGE（SAS）,可得EG=PN,當(dāng)NP14C

時，NP有最小值為五，即EG有最小值為五，故③正確；由等腰三角形的性質(zhì)可得2P的值為2包或4立

-4,故④正確，即可求解.

【解題過程】

解：連接CF,過點P作PH1PC交C。于〃，如圖所示:

?.?四邊形4BCD和四邊形DPFG是正方形,

.-.PD=PF/DPF=4HPC=90°,AACB=AACD=45°,

：/DPH=乙CPF,乙PCH=4PHC=45°,

：.PH=PC,/.PHD=135°,

△DPH三△FPC(SAS),

;/PHD=乙PCF=135°,

:.Z.ACB+Z.PCF=180°,

.?點B,點C,點尸三點共線，

???在尸點運動過程中，尸點始終在射線BC上，故①正確;

假設(shè)NCPD=135°,

???ZCPD=^CAD+^ADP^CAD=45°,

：./.ADP=90°,

則點尸與點C重合，

此時/CPD不存在，故②錯誤；

取4。的中點N,連接PN,如圖所示：

AND

BCF

???點N是/O的中點，點￡是。0中點，

；.AN=DE=DN=2,

-/.ADC=乙PDG=90°,

：.Z-ADP=乙GDE,

又,:DP=DG,

△DPN=△OGE(SAS),

-.EG=PN,

???點尸是線段AC上一點，

.?.當(dāng)NP14C時，NP有最小值，

■■^CAN=45°,

止匕時4P=NP=爭IN=V2，

???EG有最小值為VL故③正確；

'.'AD=CD=4,

：.AC=y/2AD=4V2,

當(dāng)點尸是ac中點時，HP=PD=PC=2魚，則△PCD是等腰三角形,

當(dāng)CP=CD=4時，△PCD是等腰三角形，

止匕時力P=4V2-4,

.?.△CDP為等腰三角形時，AP的值為2五或4五—4；故④正確；

綜上分析可知，①③④正確，

故選：B.

4.(22-23八年級下?遼寧鐵嶺?階段練習(xí))如圖，￡是正方形力BCD外一點，連接AE、BE、DE,AF1AE交

DE于點,F,若4E=4F=2,BF=2V5.下列結(jié)論：(1)AAFD=AAEB-,@BE1DE：③四邊形4EBF的

面積是2+4茄：④點8到直線4E的距離為巡；⑤4/=16+4e.其中結(jié)論正確的個數(shù)是()

AD

A.4個B.3個C.2個D.1個

【思路點撥】

可證△AFD三/XAEB(SAS),可判斷①；可得N4GD+N4DF=90。，從而可證乙4BE+NBGE=90。，可

判斷②；EF-V2XE=2V2,可求BE=2U，由S四邊形AEBF=SAIEF+SABEF即可求解，可判斷③；過點B

作BH14E延長線于點H,可證△BE"是等腰直角三角形，由BE=&BH,可判斷④；可求4"=2+連,

由ZB?=BH2+4”2即可求解，可判斷⑤.

【解題過程】

解：???四邊形2BCD是正方形，

???Z_B4D=90°,AD=AB,

vAF1AE,

???Z-DAF+Z.BAF=Z.BAE+乙BAF,

???Z-DAF=Z.BAE,

在△4FD和aAEB中

(AF=AE

{/.DAF=/-BAE,

(AD=AB

?t.AAFD=AAEB(SAS),

故結(jié)論①正確；

如圖，

AD

由①得：^ADF=^.ABE,

^AGD+^ADF=90°,

Z-AGD=乙BGE,

^LABE+^LBGE=90°,

???Z.BEF=90°,

???BE1DE,

故結(jié)論②正確；

AE=AF=2,

EF=y[2AE=2V2,

???BF=2V5,

???BE=7BF2-EF2

=J(2㈣2_q回2=2V3,

S四邊形/EBF=^AAEF+S^BEF

11

=-T4E-AF-V-BE?EF

11

=—x2x2+—x2V3x2V2

=2+2V6；

故結(jié)論③錯誤；

如圖，

過點B作BH14E延長線于點H,

由①得：AAEF=45°,

???乙BEF=90°,

:.乙BEH=45°,

是等腰直角三角形，

BE=y/2BH,

2>/3=V2BH,

???BH=EH=V6,

點B到直線力E的距離為歷，

故結(jié)論④錯誤；

???AH=AE+EH

—2+V6,

AB2=BH2+AH2

22

=(V6)+(2+V6)

=16+4-\/6,

故結(jié)論⑤正確；

二結(jié)論正確的是①②⑤，個數(shù)是3個.

故選：B.

5.(2023?江蘇南通?二模)如圖，在邊長為4的正方形A8CD中，點E為邊BC的中點，點F為邊4B上的動點,

以EF為一邊在EF的右上方作等邊三角形FEG,當(dāng)CG最小時，^ECG的周長為.

【思路點撥】

以CE為一邊在正方形力BCD內(nèi)作等邊△CEH,連接FH,過點H作HP1BC于點P,過點F作尸T1HP于點7,

先證四邊形8FTP為矩形，再證和aEGC全等得FH=CG,再由NFEH=90。得FH2FT,由此可得

出當(dāng)點T與點H重合時，F(xiàn)H=BP=3為最小，即CG為最小，最小值為3,然后再求出FB,EF即可得出當(dāng)CG

最小時，△ECG的周長.

【解題過程】

解：以CE為一邊在正方形48CD內(nèi)作等邊連接FH,

過點H作HP1BC于點P,過點F作尸T1HP于點T,

?.?四邊形力BCD為正方形，且邊長為4,

：.BC=4,NB=90°,

???點E為BC的中點，

BE=CE=2,

???△EFG和△CEH均為等邊三角形，HP1BC,

：.EF=EG,EH=EC,^FEG=ACEH=60°,EP=PC=1,

vHPIBC,FTVHP,NB=90。，

???四邊形BFTP為矩形，

???FB=TP,BP=FT=BE+EP=3,

???乙FEG=ACEH=60°,

???乙FEG+乙HEG=乙CEH+乙HEG,

BP：乙FEH=^CEG,

(EF=EG

在和△EGC中，］/-FEH=Z.CEG,

IEH=EC

AEGC(SAS),

???FH=CG,

v^FTH=90°,

??.FH>FT,

???當(dāng)點T與點“重合時，F(xiàn)H=BP=3為最小,

即CG為最小，最小值為3,

在RtZXHEP中，EP=1,AEHP=30°,

■■.EH=2EP=2,

由勾股定理得：HP=7EH2一EP2=VJ,

???FB=HP=W

在Rt2XBEF中，BE=2,FB=曲,

由勾股定理的EF=7BE2+BF2=V7,

?1?EG=EF=V7,

??.AECG的周長為：EG+EC+CG=V7+2+3=5+V7.

即當(dāng)CG最小時，AECG的周長為5+V7.

故答案為：5+V7.

6.（23-24九年級上?遼寧丹東?期末）如圖，正方形4BCD,點E是射線A8上的動點，過點E作EFII08,交

直線力。于點F,連接DE,取DE中點G,連接FG并延長交直線DB于點H,若AB=4,EB=3,則FH的長為.

【思路點撥】

當(dāng)點E在線段4B上時，作HM_L/W于M,由正方形的性質(zhì)可得乙4=90°,AD=AB=4,^ADB=^ABD=45°,

證明△4EF是等腰直角三角形，AE=AF=AB-AE=1,EF=V2,證明△EFG三△DHG得出

DH=EF=V2,證明是等腰直角三角形得出D"=HM=LMF=AD-AF-DM=2,最后由勾

股定理FH=VMF2+M//2,計算即可得出答案；當(dāng)點E在射線4B上時，同樣的方法即可求解.

【解題過程】

解：點E在線段4B上時，如圖，作HM14D于M,

ZX=90°,AD=AB=4,乙ADB=^ABD=45°,

???EF||BD,

???^AEF=/LABD=45°,^AFE=^ADB=45°,

???/LAFE=Z.AEF=45°,

???△/EF是等腰直角三角形，

：.AE=AF=AB-AE=4-3=1,

???EF=y/AF2+AE2=Vl2+l2=V2,

???EF||BD,

???乙FEG=乙HDG,

???G為DE的中點，

:.DG=EG,

(AFEG=乙HDG

在△EFG和△D"G中，｛/-FGE=2LHGD,

IDG=EG

*'?△EFG=△DHG(ASA),

???DH=EF=V2,

■.■HMLAD,^HDM=45°,

?.ADMH是等腰直角三角形，

DM=HM,

DM2+HM2=DH2=2,

■■.DM=HM=1,

MF=AD-AF-DM=4-1-1=2,

...FH=7MF2+MH2=722+12=Vs-

當(dāng)點E在射線48上時，如圖，作HN14D于N,

F

~~|C

"四邊形4BCD是正方形，AB=4,

???乙DAB=90°,AD=AB=4,乙ADB=乙ABD=45°,

???EF||BD,

???^AEF=乙ABD=45°,Z.AFE=2ADB=45°,

???^AFE=^AEF=45°,

??.△ZEF是等腰直角三角形，

：.AE=AF=AB+AE=4+3=7f

???EF=yjAF2+AE2=V72+72=7VL

???EF||BD,

???乙FEG=乙HDG,

???G為OE的中點，

DG=EG,

（^FEG=乙HDG

在△EFG和△DUG中，］Z-FGE=/LHGD,

IDG=EG

EFG=△DHG（ASA）,

???DH=EF=7vL

HNLAD,AHDN=45°,

??.△DNH是等腰直角三角形，

：.DN=HN,

■：DN2+HN2=DH2=98,

：.DN=HN=7,

NF=DF+DN=7+3=10,

...FH=7NF2+NH2=V1024-72=V149；

故答案為：石或V149.

7.（2024?山東臨沂?二模）如圖，已知四邊形ABC。為正方形，E為對角線AC上一點，連接DE,過點E作

EF1DE,交BC的延長線于點尸，以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.下列結(jié)論：①矩形DEFG是正方

形；@CE+CG=V2AD；③CG平分NDCF；@CE=CF.其中正確的是（填序號）.

【思路點撥】

過E作EM18C,過E作ENLCD于N,如圖所示，根據(jù)正方形性質(zhì)得NBCD=90。，/.ECN=45°,推出四邊

形EMCN是正方形，由矩形性質(zhì)得EM=EN,4DEN+乙NEF=4MEF+乙NEF=90°,根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)得ED=EF,推出矩形DEFG是正方形，故①正確；根據(jù)正方形性質(zhì)得2D=DC,^ADE+^EDC=90°

推出△>!￡>￡'三△CDG,得到4E=CG,/.DAE=^DCG=45°,由此推出CG平分NDCF,故③正確；進(jìn)而求

得4C=4E+CE=CE+CG=?a。，故②正確；當(dāng)DEIAC時，點C與點F重合，得到CE不一定等于CF,

故④錯誤.

【解題過程】

解：過E作EMLBC,過E作EN1CD于N,如圖所示，

?.?四邊形4BCD是正方形，

:/BCD=90°,乙ECN=45°,

:.乙EMC=4ENC=4BCD=90°,

.-.NE=NC,

.??四邊形EMCN是正方形，

：.EM=EN,

?.?四邊形DEFG是矩形，

:ZDEN+乙NEF=乙MEF+乙NEF=90°,

.-.ADEN=Z.MEF,

(LDNE=/-FME

在△OEN和△FEM中，(EN=EM

JDEN=Z.FEM

：.△DEN=△FEM(ASA),

??.EO=EF,

??.矩形OEFG是正方形，故①正確；

-.DE=DG,乙EDC+Z-CDG=90°

???四邊形48CD是正方形

.-.AD=DC,/LADE+乙EDC=90°

：.Z-ADE=Z.CDG

(AD=CD

在△AOE和△COG中，l^ADE=Z.CDG

IDE=DG

A71￡)E=ACDG(SAS)

：.AE=CG,Z.DAE=乙DCG=45°

MDCF=90°

r.CG平分NDCF,故③正確；

■.AC=AE+CE=CE+CG=y/2AD,故②正確；

當(dāng)DEIAC時，點C與點F重合，

???CE不一定等于CF,故④錯誤.

故答案為：①②③.

8.（2024八年級下?山東?專題練習(xí)）如圖，現(xiàn)有邊長為4的正方形紙片力BCD,點P為4。邊上的一點（不與

點/點。重合）將正方形紙片沿EF折疊，使點8落在尸處，點C落在G處，PG交DC于H,連結(jié)BP、BH,

下列結(jié)論：

①BP=EF；②當(dāng)尸為4。中點時，△P2E三邊之比為3:4:5；③4APB=4BPH；④△「￡）//周長等于8.其

中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【思路點撥】

過點尸作于點M,易得MF=BC=4B,由折疊可知EF18P,于是利用同角的余角相等可得

乙MEF=LAPB,以此可通過AAS證明aaBP三△MFE,即可判斷①；由折疊可知8P=PE,設(shè)

BP=PE=x,則4E=4—x,在Rt^PAE中，利用勾股定理建立方程，求解即可判斷②；利用等角的余角

相等即可判斷③；過點8作BNLPH于點M易通過AAS證明△力BP三△N8P,得到ZB=BN,AP=PN,

以此再通過HL證明RtzXBNH三得到NH=CH,貝IJCAPDH=24。，即可判斷④.

【解題過程】

解：如圖，過點尸作FM14B于點

"四邊形28CD為正方形，

ZX=4ABe=90°,AB=BC,

FM148,

二四邊形MBCF為矩形，MF=BC=AB,Z.FME=90°,

由折疊可知，EFLBP,

???乙PBE+乙BEF=90°,

???乙PBE+^APB=90°,

:,乙BEF=^APB,BPZMEF=/.APB,

(Z.APB=Z.MEF

在△/BP和△MFE中，｛/-BAP=Z.FME,

IAB=MF

.-.△^P=AMFE(AAS),

???BP=EF,故①正確;

由折疊可知，BP=PE,

設(shè)BE=PE=x,貝ME=4—x,

?；P為4。中點，

■■.AP=2,

在RtZ\P4E中，AP2+AE2=PE2,

???22+(4—%)2=x2,

解得X=I，

???/E=4—%=卞3PE=j5,

3S

???ZE:ZP:PE=宗2:|=3:4:5,

即△PAE三邊之比為3:4:5,故②正確；

由折疊可知，BE=PE,^EBC=^EPG=90°,

??.Z.PBE=乙BPE,Z.BPE+(BPH=90°,

,:乙PBE+Z.APB=90°,

???Z.APB=^BPH,故③正確；

如圖，過點2作BN，PH于點N,

Q

(Z.BAP=乙BNP

在和△NBP中，］Z-APB=^NPB,

IPB=PB

???△4BP三△NBP(AAS),

AB=BN,AP=PN,

???BC=BN,

在RtZXBN”和中，借［：工工，

???Rt△BNH=Rt△^CH(HL),

???NH=CH,

???CAPDH=PD+PN+NH+DH=PD+AP+CH+DH=2AD=8,

故④正確.

綜上，正確的結(jié)論有①②③④.

故答案為：①②③④.

9.(2024?浙江杭州?模擬預(yù)測)正方形力BCD中，P是對角線BO所在直線上一點.若尸在對角線BD上(如圖

1),連接PC,過點P作PQ1CP交2B于點。.若PD=2近,,AB=6,貝UBQ的長為；

若尸在BD的延長線上(如圖2),連接力P,過點尸作PE1AP交BC延長線于點￡,連接DE,若CE=8,△DPE

的面積是20,貝UPE的長為.

【思路點撥】

本題考查正方形的性質(zhì)和判定，熟練運用正方形的性質(zhì)和勾股定理以及正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵,

(1)過點P作PE14B,PH1DC,PF1BC,由正方形的性質(zhì)可得NBDC=45。，根據(jù)PH1DC,可得

Z.BDC=AHPC=45°,繼而可證△PHD是等腰三角形，由勾股定理可得D"=P"=2,根據(jù)矩形的判定可

得四邊形PFCH是矩形和四邊形4DHE是矩形，繼而得到FC=PH=4E=OH=2,繼而求出QE=FC=2,

從而得到BQ；(2)過點「作2”148#尸18。，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得8。是乙48。的角平分線，由角平分線

的性質(zhì)可得PH=PF,根據(jù)三角形的判定定理可證△HP4三aFPE,繼而可得H4=FE,再由正方形的性質(zhì)

求出CF=EF=gcE=4,設(shè)小正方形的邊長為a,則大正方形的邊長為(a+4),根據(jù)S4PDE=S梯形加依+

SAPFE-S^DCE列方程求出a，最后根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算.

【解題過程】

解：過點P作PE14B,PH1D&PF18C,

???正方形4BCD中，BD是對角線,

.-.ABDC=45°,

-PH1DC,

"BDC=乙HPC=45°,

：.DH=PH,

是等腰直角三角形，

由勾股定理可得：PH2+DH2=PD2,

即2P”2=（2V2）,

解得：PH=2,

：,DH=PH=2,

MFPH=乙PFC=Z.PHC=90°,

???四邊形PFCH是矩形，

.'.FC=PH=2,

同理可證：四邊形是矩形，

：,AE=DH=2,

-PQ1CP,PFIBC,

"EPQ+（QPF=9O0ZQPF+乙CPF=90°,

：.Z.EPQ=乙CPF,

'.'PE=PF/QEP=乙PFC,

??.△EPQzAFPC,

??.QE="=2,

：.BQ=AB-AE-EQ=6-2-2=2.

故答案為：2.

過點P作PH,4如圖，

?.?正方形4BCD中，BD是對角線，點P在乙4BC的平分線BD上，PH1AB,PF1BC,

.-.PH=PF,

MHPF=90°f^APE=90°,

??ZHPA+Z-APF=90°f^APF+乙FPE=90°,

：.Z.HPA=乙FPE,

(Z,PHA=乙PFE

在和中，［PH=PF

JHPA=乙FPE

??.△HPA=△FPE,

.-.HA=FE,

???四邊形BHPF和ZBCO均為正方形，

；,BH=BF,AB=BC,

?.AH=CF,

；.CF=EF==4,

設(shè)小正方形的邊長為a,則大正方形的邊長為(a+4),

''△PDE—S梯形DCFP+S&PFE-^ADCE^

??.(a+a+4)X4x|+4(a+4)x|-|xaX8=20,

解得：a=2,

.-.PF=6,

■.PE=7PF2+EF2=V52=4V13.

故答案為：4V13.

10.（23-24八年級下?重慶開州?階段練習(xí)）如圖，四邊形力BCD是正方形，AB=6.

（1）如圖1,點M在邊BC上（不與端點8、C重合），點N在對角線2C上，且MN14C,連接AM,點G是4M

的中點，連接DN、NG.

①若BM=2,求NG的長;

②求證：DN—V^NG；

（2）如圖2,點、E、F分另IJ為48、BC邊上的點，且BE=CF,請直接寫出4F+CE的最小值.

【思路點撥】

(1)①本題利用正方形的性質(zhì)，可用勾股定理求解4M,并結(jié)合點G是4M的中點以及MN_L力C,利用直角

三角形斜邊中線等于斜邊一半求解NG.

②先過點。向AC做垂線，繼而利用正方形性質(zhì)求證MN=NC,然后假設(shè)未知數(shù)利用勾股定理求解GN以及ON,

最后將結(jié)果進(jìn)行對比證明此題.

(2)延長DC至IJG,使CG=BC,連接FG、AG,構(gòu)造△CGF,得△BCE三△CGF(SAS),進(jìn)而可得CE=FG,

由此可知AF+CE=4F+FG24G,求出4G長即可.

【解題過程】

(1)①???四邊形4BCD為正方形，

.?"=90°,

在RtzXABM中，

???AB=6,BM=2,

■■AM=7AB2+BM2=2V10.

???MN14C,點G是NM的中點，

：.GN=IAM=V10.

②證明：過點。作DEJ.AC于點E,如下圖所示:

?.?四邊形4BCD是正方形,

：.AD=DC,DE=-1AC.

?MC為正方形對角線，

.ZCB=45。.

■：MN1AC,

:.MN=NC.

設(shè)MN=NC=a,AN=b,

.?.在RtaAMN中，由勾股定理得：AM=VWV2+W=Va2+b2,

■.■MN1AC,點G是4M的中點,

.-.GN=叵運.

2

，：AC=a+b,

:.DE=EC=

■,EN=EC-NC=?，DN='DE?+EN2=逸竺+竺,

N2

.-.DN=42NG.

(2)延長DC至！JG,使CG=BC,連接FG、AG,

A

D

?四邊形ABC。是正方形，

：./-B=乙DCB=4BCG=90°,CD=BC=CG=AB=6,

ABCE=ACGF(SAS),

：.CE=FG,

：.AF+CE=AF+FG>AG,即當(dāng)4、F、G三點共線時，4F+CE取最小值，最小值為4G,

在Rt△4DG中，AG=y/AD2+BG2=收+(6+6)2=6函,

即力F+CE最小值為6西.

11.（23-24九年級上?廣東廣州?期中）已知正方形2BCD,E為平面內(nèi)任意一點，連接DE,將線段DE繞點。

順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DG,連接EC,AG.

（1）如圖，當(dāng)點E在正方形ABCD內(nèi)部時，補(bǔ)全圖形，判斷4G與CE的關(guān)系，并寫出證明過程;

(2)當(dāng)點B,D,G在一條直線上時，若2。=4,DG=五,求CE的長.

【思路點撥】

(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，先判斷出NGD4=NEDC,進(jìn)而得出△4GD三△CED,即可得出4G=CE,最后

判斷出"FH=乙HDC=90。即可得出結(jié)論；

(2)分兩種情況，當(dāng)點G在線段8。的延長線上時和當(dāng)點G在線段BD上時，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理即

可得出結(jié)論.

本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，關(guān)鍵是判斷出△4GDW4CED和

構(gòu)造直角三角形.

【解題過程】

(1)解：AG=CE,AG1CE,理由如下：

依題意補(bǔ)全圖形，如圖①，

①

延長CE分別交4G,4。于點尸，H,

在正方形48CD中，AD-CD,Z.ADC=90°,

???DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90。得到DG,

:NGDE=N4DC=90。，GD=ED,

.\Z-GDA=乙EDC,

又?.?4D=CD,

(GD=ED

在△4G。和△CEO中，l^GDA=AEDC,

IAD=CD

??.△/GO會△CEO(SAS),

：.AG=CE,Z,GAD=乙ECD,

v^AHF=乙CHD,

：.^LAFH=乙HDC=90°,

：.AG1CE.

（2）解：當(dāng)點G在線段BD的延長線上時，如圖②所示,

②

過點G作GM14D,交力。的延長線于點M,

???BD是正方形48CD的對角線,

：.Z.ADB=Z.GDM=45°,

???GM±AD,DG=V2,

.?.MD=MG=1,

???AM=AD+MD=5,

在RtzXZMG中，由勾股定理，得ZG=7AM2+MG2=底,

由（1）,同理可得△/GOv△CEO,

???CE=AG=V26,

當(dāng)點G在線段80上時，如圖③所示，

過點G作GM1Z0于點M,

???8。是正方形的對角線,

.?ZADG=45°,

,：GM1AD,DG=V2,

'.MD=MG=1,

.-.AM=AD-MD=3,

在Rt△力MG中，由勾股定理，得力G=7AM2+MG2=同,

由(1)同理可得△4G。三△「￡1￡>,

:.CE=AG=V10,

??.CE的長為房或V1U.

12.(22-23九年級下?廣東汕頭?期中)如圖，1中，"=90。，Z.CEF,aFE外角平分線交于點N,

過點/分別作直線CE,CF的垂線，B,。為垂足.

(1)^EAF=(直接寫出結(jié)果不寫解答過程)；

(2)①求證：四邊形力BCD是正方形；

②試說明EF=BE+DF,若2B=6,求(BE+6)(DF+6)的值.

【思路點撥】

(1)由兩個平角的和為360。減去NCTE+NCET,乘I］下乙DFE+NBET,再由角平分線求出乙4EF+乙4/況

利用三角形的內(nèi)角和即可求解；

(2)①作4G1EF于G,如圖所示：貝此AGE=N4GF=90。，先證明四邊形力BCD是矩形，再由角平分線

的性質(zhì)得出48=4。，即可得出四邊形2BCD是正方形；

②延長CB至X,使BH=DF,利用SAS證明三△4DF,可得4H=4F,^HAB=Z.FAD,再證明

△4HE三△4FE,則有HE=EF,進(jìn)而可得EF=BE+DF,設(shè)BE=a,DF=b,根據(jù)S正方形.CD=S^BE+

S44DF+S&4EF+SECF=^(.^AABE++$ECF，再代入化簡即可求解.

【解題過程】

⑴解：?.?"=90。

???ZCFF+乙CEF=90°

.-.Z.DFE+乙BEF=360°-90°=270°

???2F平分NDFE,4E平分N8EF

11

Z.AFE=—Z-DFE,Z-AEF——Z.BEF

22

11

???/.AEF+/-AFE=-(乙DFE+乙BEF)=-X270°=135°

^EAF=180°-/-AEF-^AFE=45°

故答案為：45°；

(2)①證明：作4GIE尸于G,如圖所示

???乙AGE=/.AGF=90°,

???AB1CE,AD1CF

??.z_B=(D=cC=90°,

???四邊形ABC。是矩形，

???/尸平分NOFE,4E平分NBEF

??.Z.AEB=/.AEG,Z.AFG=^AFD

(Z.AEB=Z.AEG

在△ZEB和△/EG中，］/-ABE=^AGE=90°

IAE=AE

.-.AAEB=△4EG(AAS)

AB=AG,

同理可證明：△/FGw△/尸O(AAS),

AD=AG,

AB=AD

四邊形力BCD是正方形；

解：②延長CB至“，使BH=DF,如圖所示:

(AB=AD

在△ZB”和△ZOF中，］2LABH=^LADF

(BH=DF

.-.Ai4FH=ATIZ)F(SAS)

：.AH=AF,AHAB=^FADf

由(1)可知乙乙4升=45。,

又vAEAB+/.FAD+^EAF=90°

???^EAB+/.FAD=^EAF=45°,

Z.EAB+Z.HAB=Z.EAF=45°

^Z.HAE=/-EAF,

(AE=AE

在和中，］/-HAE=￡.EAF

IAH=AF

^.AAHE=AAFE(SAS)

??.HE=EF,

??.HB+BE=EF

??.DF+BE=EF,

設(shè)BE=afDF=b,

-AAHE=AAFE,

???S^ABE+^AADF=S/viE/z，

**,S正方形/BCD=S^BE+^AADF+^AAEF+^ECF=+^ECF

即6x6=2x(gx6a+Tx6b)+g(6—a)(6—&),

化簡得：3a+3b+5ab=18

6a+6b+ab=36,

???(BE+6)(PF+6)=(a+6)(6+6)=6a+6b+ab+36=36+36=72.

13.(22-23八年級下?浙江臺州?期末)如圖1,在正方形ZBCD中，點E是線段CD上任意一點(不含端

點)，點尸在射線BE上，且CF=CB,連接DF,過點。作D”1DF交BE于點區(qū)連接CH.

圖5圖2

(1)①若NEBC=20。，求NDFB的度數(shù)；

②試判斷ADFB的度數(shù)是否變化？請說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)；

(2)若8)=5,當(dāng)CHIIDF時,求CH的長度;

(3)如圖2,當(dāng)C//1BF時，求證：DE=CE.

【思路點撥】

(1)①由四邊形4BCD是正方形，得NBCD=90。，BC=CD,而BC=CF,有4EBC=NCFB=20。，CD=CF,故

ZFCF=18O°-^EBC-^CFB-ABCD=50°,可知4CFD=(180°—NFCE)+2=65°,即得

乙DFB=乙CFD-乙CFB=65°-20°=45°

②設(shè)“BF=Z.CFB=x。,同①方法可得4。FB=Z.CFD-/.CFB=(45+x)°一無。=45°；

(2)過C作CK1CH交BF于7,交DF于K,根據(jù)DH1DF,CH||DF,可得四邊形DHCK是矩形，有

4DKC=90°,CH=DK,△HCT和△FKT是等腰直角三角形，故CT=CH=DK=KF=KT,設(shè)

2

CT=CH=DK=KF=